Câu 1: [1H2-1-3] (Toán Học Tuổi Trẻ - Tháng 12 - 2017) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi G trọng tâm tam giác ABC M trung KS điểm SC Gọi K giao điểm SD với mặt phẳng  AGM  Tính tỷ số KD A B C D Lời giải Chọn A Gọi O  AC  BD , I  AM  SO Trong mặt phẳng  SBD  , kéo dài GI cắt SD K  K  SD   AMG  Trong tam giác SAC , có SO , AM hai đường OG OI   , ta lại có trung tuyến Suy I trọng tâm tam giác SAC  OB OS KD GD OI OG     GI // SB  GK // SB  OS OB KS GB Ta có DO  BO  3GO  GD  4GO , GB  2GO KD GD 4GO KS    2 Vậy KS GB 2GO KD Câu 2: [1H2-1-3] (CỤM CÁC TRƯỜNG CHUN ĐỒNG BẰNG SƠNG CỬU LONG-LẦN 2-2018) Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh Gọi M , N trung điểm BC CD Tính diện tích thiết diện hình lập phương cắt mặt phẳng  AMN  A 17 B 17 C Lời giải Chọn A 35 D 35 A' D' C' B' P A D F Q N H B M C E Gọi E  MN  AB , F  MN  AD , Q  AE  BB , P  AF  DD Từ suy thiết diện hình lập phương cắt mặt phẳng  AMN  ngũ giác APNMQ Vì M , N trung điểm BC CD nên suy BE  CN  1, DF  CM  Từ suy AE  AF   EF  Ta có AE  AA2  AE  22  32  13 , tương tự AF  13 Do tam giác AEF tam giác cân Gọi H trung điểm EF , ta có AH  AE  EH  Diện tích tam giác AEF là: S  3  34 13       1 34 17 EF AH   2 2 Ta thấy EQM  FPN Từ EQ EM EB 1 1    suy S EQM  S  S  S FPN  S EA EF EA 3 1 Vậy, diện tích thiết diện APNMQ S APNMQ  S  SEQM  SFPN  S  S  S 9  S 17 17 Hay S APNMQ   Câu 3: [1H2-1-3] (THPT Chuyên Trần Phú - Hải Phòng - Năm 2018) Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh Cắt hình lập phương mặt phẳng chứa đường chéo AC Tìm giá trị nhỏ diện tích thiết diện thu A B D C Lời giải Chọn A C B A D A C' B' A' A' C' D' H Gọi  H  thiết diện hình lập phương mặt phẳng   chứa AC + Trường hợp  H  có đỉnh thuộc cạnh BB DD Giao tuyến    ABCD  đường thẳng d , hình chiếu vng góc A lên d điểm H Khi góc    ABCD  AHA Vì AH  d nên AH  AC , sin   AA AA   sin AC A , AH AC  cos   cos AC A Hình chiếu vng góc hình  H  lên  ABCD  hình vng ABCD , diện tich hình  H  : S ABCD  S H  cos   S H   S ABC D cos  Diện tích thiết diện nhỏ cos  lớn nhất, tức cos   cos ACA  Khi diện tích cần tìm S H   2 + Trường hợp  H  có đỉnh thuộc cạnh CD AB , chọn mặt phẳng chiếu  BCC B  , chứng minh tương tự ta có S H   S BBC C , S H   cos  + Trường hợp  H  có đỉnh thuộc cạnh BC AD , chọn mặt phẳng chiếu  BAAB  , chứng minh tương tự ta có, S H   Câu 4: [1H2-1-3] Cho tứ diện ABCD Gọi O điểm bên tam giác BCD M điểm đoạn AO Gọi I , J hai điểm cạnh BC , BD Giả sử IJ cắt CD K , BO cắt IJ E cắt CD H , ME cắt AH F Giao tuyến hai mặt phẳng  MIJ   ACD  đường thẳng: A KM B AK C MF D KF Lời giải Chọn D Do K giao điểm IJ CD nên K   MIJ   ACD  (1) Ta có F giao điểm ME AH Mà AH   ACD  , ME   MIJ  nên F   MIJ   ACD  (2) Từ (1) (2) có  MIJ   ACD   KF Câu 5: [1H2-1-3] Cho tứ diện SABC có D, E trung điểm AC , BC G trọng tâm tam giác ABC Mặt phẳng   qua AC cắt SE , SB M , N Một mặt phẳng    qua BC cắt SD , SA tương ứng P Q a) Gọi I  AM  DN , J  BP  EQ Khẳng định sau đúng? A Bốn điểm S , I , J , G thẳng hàng thẳng hàng B Bốn điểm S , I , J , G không C Ba điểm P , I , J thẳng hàng D Bốn điểm I , J , Q thẳng hàng b) Giả sử K  AN  DM , L  BQ  EP Khằng định sau đúng? A Ba điểm S , K , L thẳng hàng hàng B Ba điểm S , K , L không thẳng C Ba điểm B, K , L thẳng hàng D Ba điểm C, K , L thẳng hàng Lời giải L S Q K N P M J I A D C G E B a) Chọn A Ta có S   SAE    SBD  , (1)   G   SAE  G  AE   SAE  G  AE  BD     G   SBD  G  BD   SBD    2  I   SBD    I  DN   SBD  I  AM  DN      I  AM   SAE   I   SAE   3   J  BP   SBD    J   SBD  J  BP  EQ      J  EQ   SAE    J   SAE   4 Từ (1),(2),(3) (4) ta có S , I , J , G điểm chung hai mặt phẳng  SBD   SAE  nên chúng thẳng hàng b) Chọn A Câu 6: [1H2-1-3] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Một mặt phẳng   cắt cạnh bên SA, SB, SC , SD tưng ứng điểm M , N , P, Q Khẳng định đúng? A Các đường thẳng MP, NQ, SO đồng qui chéo B Các đường thẳng MP, NQ, SO C Các đường thẳng MP, NQ, SO song song trùng D Các đường thẳng MP, NQ, SO Lời giải Chọn A S Q M I P N D A O B C Trong mặt phẳng  MNPQ  gọi I  MP  NQ Ta chứng minh I  SO Dễ thấy SO   SAC    SBD   I  MP   SAC    I  NQ   SBD   I   SAC    I  SO  I   SBD  Vậy MP, NQ, SO đồng qui I Câu 7: [1H2-1-3] Cho hai mặt phẳng  P   Q  cắt theo giao tuyến đường thẳng a Trong  P  lấy hai điểm A, B không thuộc a S điểm không thuộc  P  Các đường thẳng SA, SB cắt  Q  tương ứng điểm C , D Gọi E giao điểm AB a Khẳng định đúng? A AB, CD a đồng qui B AB, CD a chéo C AB, CD a song song D AB, CD a trùng Lời giải Chọn A Q C D a E P B A S Trước tiên ta có S  AB ngược lại S  AB   P   S   P  (mâu thuẫn giả thiết) S , A, B khơng thẳng hàng, ta có mặt phẳng  SAB   C  SA   SAB  C   SAB  Do C  SA   Q     C   Q   C   Q  1   D   SAB   D  SB   SAB  Tương tự D  SB   Q       D   Q  D  Q   2 Từ (1) (2) suy CD   SAB    Q    E  AB   SAB    E   SAB  Mà E  AB  a     E  CD E  a  Q E  Q         Vậy AB, CD a đồng qui đồng qui E Câu 8: [1H2-1-3] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , có đáy hình thang với AD đáy lớn P điểm cạnh SD a) Thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ( PAB ) hình gì? A Tam giác bình hành B Tứ giác C Hình thang D Hình b) Gọi M , N trung điểm cạnh AB, BC Thiết diện hình chóp cắt  MNP  hình gì? A Ngũ giác bình hành B Tứ giác Lời giải a) Chọn B C Hình thang D Hình S P Q A B D C E Trong mặt phẳng  ABCD  , gọi E  AB  CD Trong mặt phẳng  SCD  gọi Q  SC  EP Ta có E  AB nên EP   ABP   Q   ABP  , Q  SC   ABP  Thiết diện tứ giác ABQP b) Chọn A S P H F A K D M B N C G Trong mặt phẳng  ABCD  gọi F , G giao điểm MN với AD CD Trong mặt phẳng  SAD  gọi H  SA  FP Trong mặt phẳng  SCD  gọi K  SC  PG Ta có F  MN  F   MNP  ,  FP   MNP   H   MNP   H  SA  H  SA   MNP  Tương tự K  SC   MNP  Vậy   H   MNP  Thiết diện ngũ giác MNKPH Câu 9: [1H2-1-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M , N , P ba điểm cạnh AD, CD, SO Thiết diện hình chóp với mặt phẳng ( MNP ) hình gì? A Ngũ giác bình hành B Tứ giác C Hình thang D Hình Lời giải Chọn A S H R T P F N C D M E K O A B Trong mặt phẳng ( ABCD ) gọi E , K , F giao điểm MN với DA, DB, DC Trong mặt phẳng  SDB  gọi H  KP  SB Trong mặt phẳng  SAB  gọi T  EH  SA Trong mặt phẳng  SBC  gọi R  FH  SC  E  MN  EH   MNP  , Ta có   H  KP T  SA  T  SA   MNP   T  EH   MNP  Lí luận tương tự ta có R  SC   MNP  Thiết diện ngũ giác MNRHT Câu 10: [1H2-1-3] Cho tứ diện ABCD , O điểm thuộc miền tam giác BCD , M điểm đoạn AO a) Tìm giao tuyến mặt phẳng  MCD  với mặt phẳng  ABC  A PC P  DC  AN , N  DO  BC B PC P  DM  AN , N  DA  BC C PC P  DM  AB , N  DO  BC D PC P  DM  AN , N  DO  BC b) Tìm giao tuyến mặt phẳng  MCD  với mặt phẳng  ABD  A DR R  CM  AQ , Q  CA  BD B DR R  CB  AQ , Q  CO  BD C DR R  CM  AQ , Q  CO  BA D DR R  CM  AQ , Q  CO  BD c) Gọi I , J điểm tương ứng cạnh BC BD cho IJ khơng song song với CD Tìm giao tuyến hai mặt phẳng  IJM   ACD  A FG F  IJ  CD , G  KM  AE , K  BE  IA , E  BO  CD B FG F  IA  CD , G  KM  AE , K  BA  IJ , E  BO  CD C FG F  IJ  CD , G  KM  AE , K  BA  IJ , E  BO  CD D FG F  IJ  CD , G  KM  AE , K  BE  IJ , E  BO  CD Lời giải b) Chọn D b) Chọn D c) Chọn D A R G M P D Q J B O K I E N C F a) Trong  BCD  gọi N  DO  BC ,  ADN  gọi P  DM  AN   P  DM   CDM     P  AN   ABC   P   CDM    ABC  Lại có C   CDM    ABC   PC   CDM    ABC  b)Tương tự,  BCD  gọi Q  CO  BD ,  ACQ  gọi R  CM  AQ   R  CM   CDM    R   CDM    ABD    R  AQ   ABD  A P S B I D Q R C Gọi I giao điểm BD RQ Nối P với I , cắt AD S Xét tam giác BCD bị cắt IR, ta có DI BR CQ IB RC QD DI 2.1 IB DI IB Xét tam giác ABD bị cắt PI , ta có AS DI BP SD IB PA SA SD SA SD Câu 19: [1H2-1-3] Cho tứ diện ABCD ba điểm P, Q, R lấy ba cạnh AB, CD, BC Cho PR // AC CQ 2QD Gọi giao điểm AD PQR S Chọn khẳng định ? A AD 3DS AS B AD DS C AS DS DS Lời giải Chọn A A P S D B I Q R C Gọi I giao điểm BD RQ Nối P với I , cắt AD S Ta có DI BR CQ IB RC QD mà CQ QD suy Vì PR song song với AC suy RC BR DI BR IB RC AP PB DI IB DI IB AP PB RC BR D Lại có SA DI BP SD IB PA SA AP BP SD PB PA SA SD AD DS Câu 20: [1H2-1-3] Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD Gọi A trọng tâm tam giác BCD Tính tỉ số GA GA A B C D Lời giải Chọn B A E G B D A' M C Gọi E trọng tâm tam giác ACD, M trung điểm CD Nối BE cắt AA G suy G trọng tâm tứ diện Xét tam giác MAB, có ME MA MA MB Khi đó, theo định lí Talet suy AE AB suy A E // AB AG AG GA GA AE AB 3 Câu 21: [1H2-1-3] Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD khơng cân Gọi M , N trung điểm AB, CD G trung điểm đoạn MN Gọi A1 giao điểm AG BCD Khẳng định sau đúng? A A1 tâm đường tròn tam giác BCD B A1 tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD C A1 trực tâm tam giác BCD D A1 trọng tâm tam giác BCD Lời giải Chọn D A M G B P D A1 N C Mặt phẳng ABN cắt mặt phẳng BCD theo giao tuyến BN Mà AG ABN suy AG cắt BN điểm A1 Qua M dựng MP // AA1 với M BN Có M trung điểm AB suy P trung điểm BA1 BP PA1 Tam giác MNP có MP // GA1 G trung điểm MN A1 trung điểm NP Từ , suy BP PA1 PA1 A1 N NA1 BA1 BN mà N trung điểm CD Do đó, A1 trọng tâm tam giác BCD Câu 22: [1H2-1-3] Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? A Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước ba đường thẳng nằm mặt phẳng B Ba đường thẳng cắt đôi khơng nằm mặt phẳng đồng quy C Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt cho trước ba đường thẳng nằm mặt phẳng D Ba đường thẳng cắt đơi nằm mặt phẳng Lời giải Chọn B Gọi d1 , d , d đường thẳng cắt đôi Giả sử d1 , d cắt A , d khơng nằm mặt phẳng với d1 , d mà d cắt d1 , d nên d phải qua A Thật giả sử d không qua A phải cắt d1 , d hai điểm B , C điều vơ lí, đường thẳng cắt mặt phẳng hai điểm phân biệt Câu 23: [1H2-1-3] Cho tứ diện ABCD G trọng tâm tam giác BCD , M trung điểm CD , I điểm đoạn thẳng AG , BI cắt mặt phẳng  ACD  J Khẳng định sau sai? A AM   ACD    ABG  B A , J , M thẳng hàng C J trung điểm AM D DJ   ACD    BDJ  Lời giải Chọn C Ta có A   ACD    ABG  , M  BG  M   ACD    ABG   M  CD nên AM   ACD    ABG  Nên AM   ACD    ABG  A A , J , M thuộc hai mặt phẳng phân biệt  ACD  ,  ABG  nên A , J , M thẳng hàng, B Vì I điểm tùy ý AG nên J lúc trung điểm AM Câu 24: [1H2-1-3] Cho tứ diện ABCD M , N , P , Q trung điểm AC , BC , BD , AD Tìm điều kiện để MNPQ hình thoi B BC  AD A AB  BC AB  CD C AC  BD D Lời giải Chọn D D P Q B A M N C Ta có: MN song song với PQ song song với AB , MQ song song với PN song song với CD nên tứ giác MNPQ hình bình hành Tứ giác MNPQ hình thoi MQ  PQ  AB  CD Câu 25: [1H2-1-3] Cho tứ diện ABCD Gọi M , N , P, Q, R, S trung điểm cạnh AC , BD, AB, AD, BC , CD Bốn điểm sau đồng phẳng? A P, Q, R, S B M , N , R, S M , P, R, S Lời giải Chọn A C M , N , P, Q D Do PQ đường trung bình tam giác ABD  PQ BD Tương tự, ta có RS BD Vậy PQ RS  P, Q, R, S nằm mặt phẳng Các bốn điểm M , N , R, S ; M , N , P, Q M , P, R, S khơng đồng phẳng Câu 26: [1H2-1-3] Cho hình chóp S.ABCD Điểm C nằm cạnh SC Thiết diện hình chóp với mp  ABC   đa giác có cạnh? A C B Lời giải Chọn B S M A' D A C B I Xét  ABA   SCD  có D   A  SC , SC   SCD   A điểm chung    A  ABA     Gọi I  AB  CD  I  AB, AB   ABA  Có   I điểm chung  I  CD, CD   SCD    ABA    SCD   IA Gọi M  IA  SD Có  ABA   SCD   AM  ABA   SAD   AM  ABA   ABCD   AB  ABA   SBC   BA Thiết diện tứ giác ABAM Câu 27: [1H2-1-3] Cho tứ giác lồi ABCD điểm S không thuộc mp (ABCD) Có nhiều mặt phẳng xác định điểm A, B, C, D, S? A B C D Lời giải Chọn C Có C42   mặt phẳng Câu 28: [1H2-1-3] Cho tứ diện ABCD M , N , P , Q trung điểm AC , BC , BD , AD Tìm điều kiện để MNPQ hình thoi A AB  BC AB  CD B BC  AD Lời giải Chọn D C AC  BD D D P Q B A M N C Ta có: MN song song với PQ song song với AB , MQ song song với PN song song với CD nên tứ giác MNPQ hình bình hành Tứ giác MNPQ hình thoi MQ  PQ  AB  CD Câu 29: [1H2-1-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang, đáy lớn AB M trung điểm CD Mặt phẳng   qua M song song với BC SA   cắt AB, SB N P Nói thiết diện mặt phẳng   với khối chóp S.ABCD ? A Là hình bình hành MN B Là hình thang có đáy lớn C Là tam giác MNP NP D Là hình thang có đáy lớn Lời giải Chọn B Trong mặt phẳng  ABCD  , qua M kẻ đường thẳng MN BC  N  BC  Khi đó, MN    Trong mặt phẳng  SAB  , qua N kẻ đường thẳng NP SA  P  SB  Khi đó, NP    Vậy     MNP  Xét hai mặt phẳng  MNP   SBC  có  MN   MNP    BC   SBC   hai mặt phẳng cắt theo giao tuyến qua   MN // BC  P   MNP  , P   SBC   điểm P song song với BC Trong mặt phẳng  SBC  kẻ PQ BC  Q  SC  Khi đó, PQ giao tuyến mặt phẳng   với mặt phẳng  SBC  Vậy mặt phẳng   cắt khối chóp S.ABCD theo thiết diện tứ giác MNPQ MN // BC  MNBC hình bình hành Từ suy Tứ giác MNBC có  MC // NB MN  BC Trong tam giác SBC có P thuộc đoạn SB , Q thuộc đoạn SC PQ BC nên PQ  BC MN // PQ  MNPQ hình thang có đáy lớn MN Tứ giác MNPQ có   PQ  MN Câu 30: [1H2-1-3] Cho tứ diện ABCD Gọi M , N , P, Q, R, S trung điểm cạnh AC , BD, AB, AD, BC , CD Bốn điểm sau đồng phẳng? A P, Q, R, S B M , N , R, S M , P, R, S Lời giải Chọn A C M , N , P, Q D Do PQ đường trung bình tam giác ABD  PQ BD Tương tự, ta có RS BD Vậy PQ RS  P, Q, R, S nằm mặt phẳng Các bốn điểm M , N , R, S ; M , N , P, Q M , P, R, S khơng đồng phẳng Câu 31: [1H2-1-3] Cho hình chóp S.ABCD Điểm C nằm cạnh SC Thiết diện hình chóp với mp  ABC   đa giác có cạnh? A B C Lời giải Chọn B S M A' D A C B I Xét  ABA   SCD  có D   A  SC , SC   SCD   A điểm chung    A  ABA     Gọi I  AB  CD  I  AB, AB   ABA  Có   I điểm chung  I  CD, CD   SCD    ABA    SCD   IA Gọi M  IA  SD Có  ABA   SCD   AM  ABA   SAD   AM  ABA   ABCD   AB  ABA   SBC   BA Thiết diện tứ giác ABAM Câu 32: [1H2-1-3] Cho tứ giác lồi ABCD điểm S không thuộc mp  ABCD  Có nhiều mặt phẳng xác định điểm A , B , C , D , S ? A B C D Lời giải Chọn C Có C42   mặt phẳng Câu 33: [1H2-1-3] Cho hình hộp ABCD.ABCD Gọi M trung điểm AB Mặt phẳng  MAC  cắt hình hộp ABCD.ABCD theo thiết diện hình gì? A.Hình tam giác thang B Hình ngũ giác C Hình lục giác D.Hình Lời giải I B N C M A D B' C' O A' D' Chọn D Trong mặt phẳng  ABBA  , AM cắt BB I Do MB //AB; MB  AB nên B trung điểm B I M trung điểm IA Gọi N giao điểm BC C I Do BN / / BC B trung điểm B I nên N trung điểm C I Suy ra: tam giác IAC có MN đường trung bình Ta có mặt phẳng  MAC   cắt hình hộp ABCD.ABCD theo thiết diện tứ giác AMNC có MN / / AC Vậy thiết diện hình thang AMNC Câu 34: [1H2-1-3] Cho tứ diện ABCD Gọi O điểm bên tam giác BCD M điểm đoạn AO Gọi I , J hai điểm cạnh BC , BD Giả sử IJ cắt CD K , BO cắt IJ E cắt CD H , ME cắt AH F Giao tuyến hai mặt phẳng  MIJ   ACD  đường thẳng: A KM B AK C MF Lời giải Chọn D D KF Do K giao điểm IJ CD nên K   MIJ   ACD  (1) Ta có F giao điểm ME AH Mà AH   ACD  , ME   MIJ  nên F   MIJ   ACD  (2) Từ (1) (2) có  MIJ   ACD   KF Câu 35: [1H2-1-3] Cho hình chóp S.ABCD Điểm C nằm cạnh SC Thiết diện hình chóp với mp  ABC   đa giác có cạnh? A C B Lời giải Chọn B D S M A' D A C B I Xét  ABA   SCD  có   A  SC , SC   SCD   A điểm chung    A  ABA     Gọi I  AB  CD  I  AB, AB   ABA  Có   I điểm chung  I  CD, CD   SCD    ABA    SCD   IA Gọi M  IA  SD Có  ABA   SCD   AM  ABA   SAD   AM  ABA   ABCD   AB  ABA   SBC   BA Thiết diện tứ giác ABAM Câu 36: [1H2-1-3] Cho tứ diện ABCD Gọi O điểm bên tam giác BCD M điểm đoạn AO Gọi I , J hai điểm cạnh BC , BD Giả sử IJ cắt CD K , BO cắt IJ E cắt CD H , ME cắt AH F Giao tuyến hai mặt phẳng  MIJ   ACD  đường thẳng: A KM B AK C MF D KF Lời giải Chọn D Do K giao điểm IJ CD nên K   MIJ  Ta có F giao điểm ME AH Mà AH   ACD  , ME   MIJ  nên F   MIJ   ACD  (2) Từ (1) (2) có  MIJ   ACD   KF  ACD  (1) ... Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước ba đường thẳng nằm mặt phẳng B Ba đường thẳng cắt đôi khơng nằm mặt phẳng đồng quy C Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt cho trước ba đường thẳng. .. đường thẳng SD với mặt phẳng AMB Mệnh đề sau đúng? A Ba đường thẳng B Ba đường thẳng C Ba đường thẳng D Ba đường thẳng đôi song song AB, CD, MN đôi cắt AB, CD, MN đồng quy AB, CD, MN thuộc mặt. .. Các đường thẳng MP, NQ, SO đồng qui chéo B Các đường thẳng MP, NQ, SO C Các đường thẳng MP, NQ, SO song song trùng D Các đường thẳng MP, NQ, SO Lời giải Chọn A S Q M I P N D A O B C Trong mặt phẳng