(THPT Chuyên Vĩnh Phúc- Lần 3-2018) Số nghiệm phương trình x  x    x2  x  3 8x 3 x 6   x2  3x  .8x  x 3 Câu 1: [2D2-5-4] A 2 B C D Lời giải Chọn D + Đặt x  x   u , x  x   v Khi phương trình có dạng: u  v  u.8v  v.8u * + Khi u  , phương trình * có dạng v  v (đúng) Khi phương trình x  x   có hai nghiệm x phân biệt + Khi v  , phương trình * có dạng u  u (đúng) Khi phương trình x  x   có hai nghiệm x phân biệt + Khi uv  , khơng tính tổng qt, giả sử u  v Trường hợp : u  v  8v  u.8v  u Có  u  u  u  v  u.8v  v.8u 8  v.8  v Trường hợp : u   v v v  8   u.8  u  v  u.8v  v.8u  u  v Có  u  8   v.8  v Trường hợp : u  v  u u  8   v.8  v  v  v.8u  u.8v  u  v Có  v  8   u.8  u Từ ba trường hợp suy u  v , phương trình * có dạng: u  u.8u  u   v  u   v (loại phương trình cho khơng có nghiệm x chung Vậy phương trình * có nghiệm u  v  , hay phương trình cho có nghiệm Câu 2: [2D2-5-4] (THPT Nguyễn Trãi – Đà Nẵng – 2018) Phương trình x x   m  1  3m   có hai nghiệm trái dấu m   a; b  Giá trị P  b  a A P  B P  19 C P  Lời giải 15 D P  35 Chọn B Đặt t  x , ta có phương trình t   m  1 t  3m   1 Với x1   x2  x1   x2 , nên phương trình cho có hai nghiệm trái dấu x1 , x2 phương trình 1 có hai nghiệm  t1   t2 Ta có 1  t  2t   m  2t  3   t  2t  m Vì t  khơng nghiệm phương trình   nên:    2t  Xét hàm số f  t   Ta có f   t    3 t  2t  , với  t  2t  2t  6t  22  2t  3  với  t  Bảng biến thiên: Phương trình 1 có hai nghiệm  t1   t2 phương trình  3 có hai nghiệm  t1   t2 Từ bảng biến thiên ta suy giá trị cần tìm m m9 8 19 Như a  , b  Do P  b  a    3 Câu 3: [2D2-5-4] (Lương Văn Chánh - Phú Yên – 2017 - 2018 - BTN) Xét số thực x , y  x   thỏa mãn  y  x  3 2018 x 3 y Gọi m giá trị nhỏ biểu thức T  x  y Mệnh đề sau ? 2018 x 3 y  2018 xy 1  x   2018 xy 1  C m   2;3 B m  1;  A m   0;1 D m   1;0  Lời giải Chọn D Ta có 2018 x 3 y  2018 xy 1  x   2018 xy 1   y  x  3 2018 x 3 y  2018x 3 y  2018 x 3 y  x  y  2018 xy 1  2018xy 1  xy  1  f  x  y   f   xy  1 Xét hàm số f  t   2018t  2018t  t , với t  ta có f   t   2018t ln 2018  2018t ln 2018   , t  nên 1  x  y   xy  Do f  t  đồng biến  x  1 x 1 T  x x3 x3  x  1 Xét hàm số f  x   x  , với x   0;   có x3  y  x  3   x   y   f  x  1  x  3  x2  x   x  3  , x   0;   Do f  x  đồng biến  0;    f  x   f     Dấu “  ” xảy  x   m   Câu 4: [2D2-5-4] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm phương trình x  x    x  x  3 83 x 5   3x   x A B 8 x  C Lời giải Chọn B Đặt u  x  x  , v  3x  , phương trình cho viết lại u  v  u.8v  v.8u  u 1  8v   v 8u  1 * Ta thấy u  v  thỏa mãn phương trình *  8v 8u   Với u  v  ta có *  v u Ta thấy: ** D 8u  8u   u   Do VP **  0, u  Nếu u  u u Nếu v   8v  8v  v   Do VT **  0, v  v v Từ suy ** vơ nghiệm Như vậy, phương trình cho tương đương với   x   13  x2  8x    u    x   13 v     3 x    x   Vậy, phương trình cho có nghiệm Câu 5: [2D2-5-4] (THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Phương trình x  2 m 3 x   x3  x  x  m  x 2  x 1  có nghiệm phân biệt m  ( a; b) đặt T  b  a thì: A T  36 B T  48 C T  64 D T  72 Lời giải Chọn B Ta có x  2 m 3 x   x3  x  x  m  x 2  x 1  2 m 3 x   x     m  3x  23  22 x 2 m 3 x  m  x  22  x    x  Xét hàm f  t   2t  t có f   t   2t.ln  3t  0, t  nên hàm số liên tục đồng biến Do từ (1) suy m  3x    x   m   x  x  x Xét hàm số f  x    x3  x  x  x  có f   x   3x  12 x  ; f   x     x  Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta có, phương trình có nghiệm phân biệt  m  Suy a  4; b   T  b  a  48 HẾT -Câu 6: [2D2-5-4] (THPT Hậu Lộc - Thanh Hóa - 2017 - 2018 - BTN) Cho bất phương  trình m.3x 1   3m      4   x x  , với m tham số Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình cho nghiệm với x   ;0 A m  m 22 B m  22 C m  22 D 22 Lời giải Chọn A  Ta có m.3x 1   3m    x   4   x x 0 x x  4   4   4       3m      3m  Đặt t    , x  nên 3        t 1 Tìm tham số m cho t  3mt  3m   , với  t  t  t  t2   m  max Ta tìm GTLN hàm số f  t     0;1 3t  3t  3t   t 1 m t  1  t  2t  Ta có f   t    0   t  1 t  1  Lập bảng biến thiên ta Vậy max  0;1 t  22  f 1   3t  3   Câu 7: [2D2-5-4] (THPT Chuyên Thái Nguyên - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Có  x; y  thỏa y    y  3  ? cặp số thực 4y A mãn đồng thời điều kiện B x  x   log C  5 ( y  4) D Lời giải Chọn B Xét bảng sau: Gọi y  y   ( y  3)2  (*) + TH1 y  , ta có *  4 y  y   ( y  3)2   3  y  , 3  y  + TH2  y  , *  y  y   ( y  3)2   11  y  , y  + TH3 y  , *  y  y   ( y  3)2   9  73 9  73 ,  y 2 loại TH3 Vậy trường hợp cho ta 3  y  , với điều ta có Do x  x 3 x  x 3 log3 1    5 y 3  ( y  4) 5 3 x  x 3 1     ( y  3) 5  ( y 3) 5 1   5 y 3  x2  2x    x  1  x  Dấu xảy     y  3  y  3 Vậy có cặp nghiệm thỏa mãn Câu 8: [2D2-5-4] (Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần – 2018 – BTN) Cho phương trình 4x   m  1 x 1   Biết phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn  x1  1 x2  1  Khẳng định bốn khẳng định B  m  A Khơng có m D m  C m  Lời giải Chọn B Đặt t  x  t   phương trình cho trở thành t   m  1 t   1 Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1 , x2  1 có hai nghiệm dương phân biệt t1 , t2   m  1  2  m  2m            m  1  2  m  1  2   S   2  m  1  8   P    m  1 Khi t1  m   m2  2m   x1 , t2  m   m2  2m   2x2 Ta có t1.t2  2x1  x2   x1  x2  ,  x1  1 x2  1   x1 x2       log  m   m  2m   log 2 m   m  2m   log  m   m  2m   3  log  m   m  2m     1   u  Đặt u  log  m   m  2m   1 trở thành 3u  u     u   log m   m2  2m  log m   m  2m   2 2 2 2 2 2 + u   m   m2  2m    m2  2m    m : ptvn m  1  2 + u   m   m2  2m    m2  2m    m  m  (nhận) Vậy m  thỏa ycbt Câu 9: [2D2-5-4] (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA LẦN 3-2018) Cho phương trình 3x  a.3x cos  x   Có giá trị thực tham số a thuộc đoạn  2018; 2018 để phương trình cho có nghiệm thực ? A B 2018 C D Lời giải Chọn A Ta 3x  a.3x cos  x    x  a.3x cos  x   (vì có 3x  )  3x  32 x  a.cos  x  (*) Điều kiện cần: Nếu phương trình (*) có nghiệm x0 ta thấy  x0 nghiệm (*) x0   x0  x0  Thay vào (*) ta a  6 Điều kiện đủ: Ngược lại a  6 phương trình (*) trở thành 3x  32 x  6.cos  x  Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 3x  32 x  3x.32 x  mà 6.cos  x   3x  32 x  3x  32 x 3x  32 x  6.cos  x      x 1 6 cos  x   cos  x   1 Vậy có a  6 thỏa yêu cầu tốn Câu 10: [2D2-5-4] [THPT Chun Võ Ngun Giáp]Tích tất nghiệm thực phương trình  9x  3   3x  9   9x  3x  12  A 3 B C 25 D Lời giải Chọn D Đặt t  3x  Phương trình thành  t  3   t  9   t  t  12  3 t  t  4 Ta có     t  t  12  3t  27t  9t  81    t   t    3 x  t  x     Do t  nên nhận t   3x    x   1.2  t  3 x     x   Câu 11: [2D2-5-4] [THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU] Số nghiệm nguyên không âm x 1 x x 1 bất phương trình 15.2     bao nhiêu? A B D C Lời giải Chọn D Đặt t  x  (do x  ) bất phương trình trở thành: 30t   t   2t  30t   3t   30t   9t  6t    t    x  Suy có nghiệm ngun khơng âm BPT Câu 12: [2D2-5-4] [SGD – HÀ TĨNH ] Tập giá trị m để phương trình     x 1  x   m   có hai nghiệm âm phân biệt là: B  4;5  A  5;7  D  7;8 C  5;6  Lời giải: Chọn C NX:  Đặt t    x 1   x 1     x 1    1 x  , t  0 x Do x  nên  t  1 Phương trình cho trở thành m  4t   * , t   0;1 t Ứng với  t  cho ta giá trị x  ,do để phương trình ban đầu có hai nghiệm âm pt * phải có hai nghiệm t   0;1 phân biệt 1 Xét hàm số f  t   4t    f   t     f   t    t   t t x    Nhìn bbt suy giá trị m cần tìm  m  Câu 13: [2D2-5-4] [THPT TIÊN LÃNG] Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình x   m  1 3x   2m  có tập nghiệm A m  B Khơng có giá trị m thoả mãn yêu cầu đề 3 D m   C m  Lời giải Chọn D x   m  1 3x   2m  Đặt t  3x  Yêu cầu toán trở thành: t   m  1 t   2m  0, t   t  2t   2m  t  1 , t  m t  2t  t 3 , t  (*)  Do t   0, t    m   t  1 Xét hàm số g  t   g t   t 3  0;    Suy hàm số g  t  đồng biến  0;   ; lim g  t    t  2 Do (*)  m   Câu 14: [2D2-5-4] [THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU ] Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình   m  1   2m  nghiệm x x với x  A m tùy ý B m   3 C m   D m Lời giải Chọn D Đặt t  3x , t  ycbt  t   m  1 t   2m  0, t   m  t  2t  , t  2t  m  t  3 , t  f t   1  t  3 , f   t    0, t   hàm số đồng biến  0,   2 Vậy ycbt  m  f  t  , t   m  f     Câu 15: [2D2-5-4] [THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU ] Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình   m  1   2m  nghiệm x x với x  C m   B m   A m tùy ý D m Lời giải Chọn D Đặt t  3x , t  ycbt  t   m  1 t   2m  0, t   m  t  2t  , t  2t  m  t  3 , t  f t   1  t  3 , f   t    0, t   hàm số đồng biến  0,   2 Vậy ycbt  m  f  t  , t   m  f     Câu 16: [2D2-5-4] Cho a, b, c, x  khẳng định sau: logb c  c logb a Câu 17: a x Câu 18: Phương trình    2 x  x  vô nghiệm 5 m  2017  Câu 19: Khi m  phương trình x    ln có nghiệm x  2016  Có khẳng định sai khẳng định trên? A B C Lời giải Chọn B D Khẳng định 1, khẳng định đúng, em tự chứng minh Đối với ý m  VT  (theo BĐT CAUCHY) VP  suy phương trình cho vơ nghiệm suy khẳng định sai sin Câu 20: [2D2-5-4] Để phương trình: 2 x  2cos x  m có nghiệm, giá trị cần tìm tham số m là: A  m  3 m  B m2 C 2  m  D Lời giải Chọn C Phương trình tương đương 2sin x  21sin x  m  2sin x  2 2 sin x m Đặt t  2sin x , t  1;2   sin x  Xét hàm f t t ,t t 1;2 f t ; f t t2 t Bảng biến thiên t  f t f t 2  3 2 Vậy phương trình f t m có nghiệm 2 m Câu 21: [2D2-5-4] (THPT Phan Chu Trinh - ĐăkLăk - 2017 - 2018 - BTN) Biết tập hợp tất giá trị tham số m để bất phương trình 4sin x  5cos x  m.7cos 2 x có nghiệm a a  m   ;   với a, b số nguyên dương tối giản Tổng S  a  b là: b b  A S  13 B S  15 C S  Lời giải D S  11 Chọn A Ta có: sin x 5 cos x  m.7 cos x       28  cos x 5   7 cos x  m  cos x    28  28  với x  Do  nên cos x          Xét f  x      28  cos x 5   7 cos x  hay f  x   Dấu đẳng thức xảy cos x   sin x  28 7  x  k f  x  Bất phương trình có nghiệm m  f  x  6   m  hay m   ;     S  13 7  Vậy f  x   ...Chọn B Đặt t  x , ta có phương trình t   m  1 t  3m   1 Với x1   x2  x1   x2 , nên phương trình cho có hai nghiệm trái dấu x1 , x2 phương trình 1 có hai nghiệm  t1 ... CHÂU] Số nghiệm nguyên không âm x 1 x x 1 bất phương trình 15.2     bao nhiêu? A B D C Lời giải Chọn D Đặt t  x  (do x  ) bất phương trình trở thành: 30t   t   2t  30t  ... Nếu phương trình (*) có nghiệm x0 ta thấy  x0 nghiệm (*) x0   x0  x0  Thay vào (*) ta a  6 Điều kiện đủ: Ngược lại a  6 phương trình (*) trở thành 3x  32 x  6.cos  x  Theo bất