Câu 1: [1D4-2-3] (Toán học Tuổi trẻ - Tháng - 2018 - BTN) Cặp  a, b  thỏa mãn x  ax  b lim  x 3 x3 A a  3 , b  B a  , b  C a  , b  9 D không tồn cặp  a, b  thỏa mãn Lời giải Chọn A Cách 1: Để lim x 3 x  ax  b  ta phải có x  ax  b   x  3 x  m  x3 Khi  m   m  Vậy x  ax  b   x  3 x  x  x Suy a  3 b  Cách 2: Ta có x  ax  b 3a  b   x  a 3 x3 x3 x  ax  b  ta phải có Vậy để có lim x 3 x3 Câu 2: 3a  b   a  3   a   b  [1D4-2-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho lim x    x  ax   x  giá trị a nghiệm phương trình phương trình sau? A x  11x  10  B x  x   C x  x  15  x  x  10  Lời giải Chọn D  x  ax   x  Ta có: lim x  ax   x   lim  5 x  x  x  ax   x    D    a    a   ax  x 5  5   lim    lim  x  x  2 a    x  ax   x    1  1 x x    a  10 Vì giá trị a nghiệm phương trình x  x  10  Câu 3: [1D4-2-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số  cos x cos x cos x y  f  x  Tính lim f  x  x 0 sin x 83 105 15 83 A B C D 49 49 49 98 Lời giải Chọn D  cos x cos x cos x x 0 x 0 sin x  cos x  cos x  cos x cos x  cos x cos x  cos x cos x cos x  lim x 0 sin x cos 3x 1  cos x  cos x cos x 1  cos x   cos x  lim  lim  lim 2 x 0 sin x x 0 x 0 sin x sin x 3x 5x 7x 2sin 2sin 2sin 2  lim  lim  lim x 0 sin x x 0 sin x x 0 sin x  25 49  2    4  83    49 98 Ta có lim f  x   lim Câu 4: [1D4-2-3] (THPT Yên Định - Thanh Hóa - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho f  x  đa thức thỏa mãn lim x 1 f  x   16 f  x   16  24 Tính I  lim x 1 x 1  x  1 f  x     B I   A 24 D I  C I  Lời giải Chọn C Vì lim x 1 f  x   16 f  x   16  24  f 1  16 f 1  16 lim  x 1 x 1 x 1 Ta có I  lim x 1  x  1  f  x   16 f  x    A lim  x2  x  x  C lim  x2  x  x  x  f  x   16  lim x  12  x  1 (Sở Ninh Bình - Lần - 2018 - BTN) Mệnh đề đúng? Câu 5: [1D4-2-3] x      x  x  x   D lim  x  x  x   x  x  Lời giải  B lim   Chọn C  Ta có: lim  x  x  x   nên phương án A sai Ta có: lim    x  x  x  lim x       nên phương án B sai x  x          x    nên đáp án C x  x  x  lim  lim  x  x    x  x  x    1 1  x      x  x  x  lim   x        nên đáp án D sai x  x   x  x  Ta có: lim x    Ta có: lim x   Câu 6: [1D4-2-3] (Sở GD Cần Thơ-Đề 324-2018) Cho biết lim x  x  x  12  Giá trị a x  17 a A 3 B D 6 C Lời giải Chọn B x  x  12  lim x  a x  17 Ta có lim x  12 12  4  x x  lim x x 2 x  17 17  a  a x  a   x x   x  a3 Câu 7: [1D4-2-3] (Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần – 2018 – BTN) Cho f  x   10 f  x   10 lim  Giới hạn lim x 1 x 1 x 1 x 1 f  x      A   C 10 B D Lời giải Chọn A lim x 1 f  x   10 x 1 x 1  nên f  x   10    x  1 hay f  x    5x  x 1 Do lim x 1 f  x   10   f  x   x 1  lim x 1  lim x 1  x  1  x  1        lim x 1 5x   10   x 1  x  5    x 1 20 x  29   x 1 20 x  29     Cách 2: Giả sử: f  x   10   x  1 g  x  Ta có: lim x 1 f  x   10  x  1 g  x   lim g x  lim   5 x 1 x 1 x 1 x 1 lim Vậy x 1  lim x 1  x 1 g  x  f  x    x 1  x  1 g  x   10    Câu 8: [1D4-2-3] lim x  A   f  x   10  3x x2    lim x 1  x  1   x  1 g  x    x  1 g  x   10    1  1   x 1  0.5  10     1 bằng: B C D  Lời giải Chọn A 3  3x x lim  lim  Cách 1: x  x  2x   2 x Cách 2: Bấm máy tính sau:  3x 2x  + CACL + x  109 so đáp án Cách 3: Dùng chức lim máy VNCALL 570ES Plus: lim so đáp án  3x x  x  109 x  5sin x  cos x bằng: x  x2  A  B Lời giải Câu 9: [1D4-2-3] lim D  C Chọn B 3x  5sin x  cos x 3x 5sin x cos x  lim  lim  lim x  x  x  x  x  x  x  x2  lim 3x A1  lim  lim x  x  x  x  1 x 5 5sin x   A2  lim  lim   A2  x  x  x  x  x  x  lim cos x   A  lim  lim   A3  2 x  x  x  x  x  x  lim 3x  5sin x  cos x 0 x  x2  Vậy lim x4  8x Câu 10: [1D4-2 3] Chọn kết kết sau lim là: x 2 x  x  x  24 24 21 21 A  B C  D 5 5 Lời giải Chọn C x  x  2  x2  2x  4 x  x2  2x  4 x4  8x 24 lim  lim  lim  2 x 2 x  x  x  x 2 x 2  x    x  1  x  1 Câu 11: [1D4-2-3] lim x 1 A 1 x3  x bằng: x 1   x B D  C Lời giải Chọn C x  x  1 x3  x x x 1 x lim  lim  lim  lim  x 1 x 1 x    x x1 x    x  1 x  1  x  x1  x      Câu 12: [1D4-2-3] Cho hàm số f  x    x   x 1 Chọn kết x  x2  lim f  x  : x  A B C D Không tồn Lời giải Chọn A lim f  x   lim  x   x  x  x 1  lim x  x  x  x  1 x   x4  x2   lim x   1      1    x x  x   1 1  x x  2 Câu 13: [1D4-2-3] Chọn kết lim    : x 0  x x  A  B C  tồn Lời giải D Không Chọn C  2  x2 lim     lim   x 0  x x  x0  x  lim  x    2  x 0 Khi x  0  x   x   x2 Vậy lim     x 0  x  Câu 14: [1D4-2-3] Tìm giới hạn lim x 2 x 1 2  x B  A  C 2 Lời giải Chọn A Đáp số: lim x 2 x 1 2  x   Câu 15: [1D4-2-3] Tìm giới hạn lim x 1 x  3x  x 1 D B  A  C 2 D 1 Lời giải Chọn D x  3x   1 Do x  1  x   ( x  1) Đáp số: lim x 1 x 1   x  ax  x  f ( x )  Câu 16: [1D4-2-3] Tìm a để hàm số có giới hạn x   2 x  x  x  A  B  C D Lời giải Chọn C Ta có: lim f ( x)  lim ( x  ax  2)  2a  lim f ( x)  lim (2 x  x  1)  x 2 x 2 x 2 x 2 Hàm số có giới hạn x   lim f ( x)  lim f ( x)  2a    a  x 2 Vậy a  Câu 17: x 2 giá trị cần tìm [1D4-2-3] Tìm a  5ax  3x  2a  f ( x)    1  x  x  x  để hàm x  x  số có C giới hạn x0 B  A  sau D Lời giải Chọn C Ta có lim f ( x)  2a     lim f ( x)  a  x 0 x 0 2  5ax  3x  2a  Câu 18: [1D4-2-3] Tìm a để hàm số f ( x)    1  x  x  x  x 0 B  A  C Lời giải Chọn C Ta có: lim f ( x)  lim  5ax2  3x  2a  1  2a  x 0 x 0   lim f ( x)  lim  x  x  x    x  0 x 0 x  x  có giới hạn D Vậy 2a     a   x  ax  x  Câu 19: [1D4-2-3] Tìm a để hàm số f ( x)   có giới hạn x 1 2 x  x  3a x  C  B  A  D Lời giải Chọn D Ta có: lim f ( x)  lim( x  ax  2)  a   x 1 x 1 lim f ( x)  lim(2 x  x  3a)  3a   x 1 x 1 Hàm số có giới hạn x   lim f ( x)  lim f ( x)  a   3a 1  a  x 1 x 1 Vậy a  giá trị cần tìm x3  3x  Câu 20: [1D4-2-3] Tìm giới hạn A  lim : x 1 x  x  B  A  C D Lời giải Chọn C Ta có: A  lim x 1 x2  x  x3  3x  ( x  1)( x  x  2)  lim   lim x 1 x 3 x  x  x 1 ( x  1)( x  3) Câu 21: [1D4-2-3] Tìm giới hạn B  lim x 2 x4  5x2  : x3  C  B  A  D Lời giải Chọn D Ta có: B  lim x 2 x4  5x2  ( x  1)( x  4) ( x  1)( x  2)( x  2)  lim  lim x 2 x 2 ( x  2)( x  x  4) x3  x  23 ( x  1)( x  2)  lim  x 2 x  2x  Câu 22: [1D4-2-3] Chọn kết kết sau lim x cos x 0 A Không tồn B C Lời giải là: nx D  Chọn B Cách 1:  cos 2    x cos  x2 nx nx Mà lim x  nên lim x cos x 0 x 0 0 nx Cách 2: Bấm máy tính sau: Chuyển qua chế độ Rad + x cos + CACL + nx x  109 + n  10 so đáp án cos x là: x  2x Câu 23: [1D4-2-3] Chọn kết kết sau lim A  B C D  Lời giải Chọn B Cách 1:  cos5 x    Mà lim x  cos5x  , x  2x 2x cos x 0  nên lim x  2x 2x Cách 2: Bấm máy tính sau: Chuyển qua chế độ Rad + cos x + CACL + 2x x  109 so đáp án Cách 3: Dùng chức lim máy VNCALL 570ES Plus: chuyển chế độ Rad + cos5x lim so đáp án x x  109 [1D4-2-3] Giá tri lim x 3 Câu 24: A Không tồn x3 x3 B C Lời giải Chọn A x 3  x 3  lim 1  x 3 x 3 x 3 x  x 3 x    lim   xlim 3 x  x 3 x  x 3 x  lim  lim  1  x 3 x  x 3 x 3 lim Vậy không tồn giới hạn D  Câu 25: [1D4-2-3] [Đề thi thử-Liên trường Nghệ An-L2] Trong mệnh đề sau mệnh đề sai 3x    A lim x  x   x    B lim x  x 1 x 1 3x    C lim x  x   x    D lim x  x 1 x 1 Hướng dẫn giải     Chọn B Ta có: lim x  x  x  x2  x    x  2 x2  x    x  2 3 x    đáp án A  lim x  x   x  x       2 x x x x    x  x   x   lim 3 3x   lim lim    1 2 x  x   x   lim x       x  x x x   1 2 Do lim x   lim         nên x  x  x x x   1 2 lim x          đáp án C x  x x x  Do lim  3x    1  x   với x  1 nên lim x 1 x 1 3x     đáp x 1 án B sai Do lim  3x    1  x   với x  1 nên lim x 1 x 1 3x     đáp x 1 án D Câu 26: [1D4-2-3] Tìm giới hạn A  lim x  A    x2  x   x2  x  x B  C Lời giải Chọn C Ta có:  x2  x    x xx 2 x x2  x    5x  x2 x2  x   x2  x  x  x  x   x  4( x  x) x2  x   x2  x  x D 2x     x2  x   x  x2  x   x2  x  x x( x  1) x2  x   x2  x  x  5x  x2  x   x2  x  x  5x  x2  x   x2  x  x  x2  x   x   2 Do đó: A  lim x   1  1       1     1 x x x  x x   5 x  lim    x  4 1 1   1 1 x x x x  Câu 27: [1D4-2-3] Tìm giới hạn B  lim x x  A     x2  2x  x2  x  x C  B  D Lời giải Chọn C Ta có: x  x  x  x  x   x2  x  x2  x  x x2  2x  x 1  2x  2x2  2x  2x x2  2x  4x2  4x x2  x  x2  x  x 2 x x2  x  x2  x  x Nên B  lim x   lim x     x2  2x  x  2 x x2  x  x2  x  x   x2  2x  x  2    1      1     x x  x x  Câu 28: [1D4-2-3] Tìm giới hạn C  lim  n ( x  a1 )( x  a2 ) ( x  an )  x  x  a  a   an A  B  C n a1  a2   an 2n D Lời giải Chọn C Đặt y  n ( x  a1 )( x  a2 ) ( x  an )  y n  x n  ( y  x)( y n 1  y n 1 x   x n 1 )  y  x   lim ( y  x)  lim x  x  y n  xn y n 1  y n 1 x   x n 1 y n  xn y n 1  y n  x   x n 1 y n  xn x n 1  C  lim n 1 n  x  y  y x   x n 1 x n 1 b b b y n  xn  lim (a1  a2   an   32   nn1 ) Mà lim n  x  x  x x x x  a1  a2   an y k x n 1 k y n 1  y n  x   x n 1  lim   k  0, , n  n  x  x  x n 1 x n 1 a  a   an Vậy C  n lim Câu 29: [1D4-2-3] Tìm giới hạn E  lim x  A    16 x  3x   x  B  C D Lời giải Chọn D E  lim x    16 x  3x   x  lim Câu 30: [1D4-2-3] Tìm giới hạn A  lim x 0 A  x    4x2   x   sin mx  cos mx  sin nx  cos nx B  C m n Lời giải Chọn C mx mx mx 2sin  2sin cos  sin mx  cos mx 2  Ta có: nx nx nx  sin nx  cos nx 2sin  2sin cos 2 mx nx mx mx sin sin  cos m 2  n mx sin nx sin nx  cos nx 2 2 D mx nx mx mx sin sin  cos m lim lim 2 m A  lim n x 0 mx x 0 sin nx x 0 sin nx  cos nx n 2 2 tan 2 x x 0  cos x B  C Lời giải Câu 31: [1D4-2-3] Tìm giới hạn C  lim A  Chọn C  tan 2 x  cos x  cos 2 x tan 2 x C  lim  lim x 0  cos x x 0  cos x  lim  tan 2 x  cos x  cos 2 x D   x 0 2sin x  tan x   lim   x 0  2x   C  2    x  3    cos x  cos x sin x   x2 x 0  x sin x  cos x B  C Lời giải Câu 32: [1D4-2-3] Tìm giới hạn D  lim A  D Chọn C Ta có: D  lim x 0 Mà: lim x 0 1  x sin 3x  cos x x2  x sin 3x  cos x  x sin 3x  1  cos x  lim  lim 2 x 0 x 0 x x x2  sin 3x   3lim  2  x 0  x sin 3x    3x Vậy: D  Câu 33: [1D4-2-3] Tìm giới hạn A  lim x 1 A  sin( x m ) sin( x n ) B  C Lời giải Chọn C n m D sin  (1  x m ) sin  (1  x m )  (1  x n )  xn  lim lim lim x 1 sin  (1  x n ) x 1  (1  x m ) x 1 sin  (1  x n ) x 1  x m A  lim  xn (1  x)( x n 1  x n 2   1) n  lim  x 1  x m x 1 (1  x)( x m 1  x m    1) m  lim   Câu 34: [1D4-2-3] Tìm giới hạn D  lim sin x   sin x x  A  B  C D Lời giải Chọn D Trước hết ta có: sin x  x, x  Ta có: sin x   sin x  2sin Mà lim x  x 1  x x 1  x  cos 2 x 1  x  nên D  x 1  x sin 2 x x 0 cos x  cos x B  C 96 Lời giải Câu 35: [1D4-2-3] Tìm giới hạn C  lim A  D Chọn C sin 2 x x2 Ta có: C  lim  96 x 0 cos x  1  cos x  x2 x2 Câu 36: [1D4-2-3] Tìm giới hạn F  lim x  A  3sin x  cos x x 1  x B  C D Lời giải Chọn D Ta có:  3sin x  cos x x 1  x   x   x 1  x Vậy F  Câu 37: [1D4-2-3] Tìm giới hạn H  lim x 0 A  m cos ax  m cos bx sin x B  C Lời giải Chọn C b a  2n 2m D cos ax  1  n cos bx  b a x2 x2 Ta có: H  lim   x 0 sin x 2n 2m x2 m  n cos ax x 0 x2 Câu 38: [1D4-2-3] Tìm giới hạn M  lim A  B  C a 2n D Lời giải Chọn C  cos ax  n cos ax  ( n cos ax )2   ( n cos ax ) n1 a a  cos ax    M  lim lim n 2 n  x 0 x 0  cos ax  ( n cos ax )   ( n cos ax ) n 2n x Ta có:  n cos ax  sin 2 x x 0 cos x  cos x B  C 96 Lời giải Câu 39: [1D4-2-3] Tìm giới hạn C  lim A  D Chọn C sin 2 x x2 Ta có: C  lim  96 x 0 cos x  1  cos x  x2 x2    sin  cos x  2  Câu 40: [1D4-2-3] Tìm giới hạn E  lim x 0 sin  tan x  A  B  C Lời giải Chọn D    sin  cos x  2  sin(tan x) tan x  1; Ta có: E  lim Mà lim x  x 0 sin(tan x) tan x tan x      sin  cos x   cos  (1  cos x)  2   lim 2  lim x 0 x  tan x tan x x   sin   2sin        lim x 0 tan x D x   sin   sin     sin x    x x   lim x x 0 tan x  x  sin   2 Do đó: E  3sin x  cos x x  x 1  x Câu 41: [1D4-2-3] Tìm giới hạn F  lim A  B  C D Lời giải Chọn D 3sin x  cos x Ta có:  x 1  x  x   x 1  x  Vậy F  cos ax  m cos bx Câu 42: [1D4-2-3] Tìm giới hạn H  lim x 0 sin x m A  B  C b a  2n 2m D Lời giải Chọn C cos ax  1  n cos bx  b a x2 x2 Ta có: H  lim   x 0 sin x 2n 2m x2 m Câu 43: [1D4-2-3] lim x  A   3x x2  3 bằng: B C D  Lời giải Chọn A Cách 1: lim x  3 x  lim  2 x  x    x  3x Cách 2: Bấm máy tính sau:  3x 2x  + CACL + x  109 so đáp án Cách 3: Dùng chức lim máy VNCALL 570ES Plus: lim  3x x  x  109 so đáp án x  5sin x  cos x bằng: x  x2  B Lời giải Câu 44: [1D4-2-3] lim A  C D  Chọn B 3x  5sin x  cos x 3x 5sin x cos x  lim  lim  lim x  x  x  x  x  x  x  x2  lim A1  lim x  x 3x  lim 0 x  x   x2 5 5sin x   A2  lim  lim   A2  x  x  x 2 x 2 x 2 lim x  cos x   A  lim  lim   A3  x  x  x  x  x  x  lim 3x  5sin x  cos x 0 x  x2  Vậy lim x4  8x là: x 2 x  x  x  24 24 C  D 5 Câu 45: [1D4-2 3] Chọn kết kết sau lim A  21 B 21 Lời giải Chọn C x  x  2  x2  2x  4 x  x2  2x  4 x4  8x 24 lim  lim  lim  2 x 2 x  x  x  x 2 x   x    x  1  x  1 Câu 46: [1D4-2-3] lim x 1 A 1 x3  x bằng: x 1   x B C Lời giải Chọn C D  x  x  1 x3  x x x 1 x lim  lim  lim  lim  x 1 x 1 x    x x1 x    x  1 x  1  x  x1  x      Câu 47: [1D4-2-3] Cho hàm số f  x    x   x 1 Chọn kết x  x2  lim f  x  : x  A B C D Không tồn Lời giải Chọn A lim f  x   lim  x   x  x  x 1  lim x  x  x  x  1 x   x4  x2   lim x   1      1    x x  x   1 1  x x  2 Câu 48: [1D4-2-3] Chọn kết lim    : x 0  x x  A  B C  tồn Lời giải D Không Chọn C  2  x2 lim     lim   x 0  x x  x0  x  lim  x    2  x 0 Khi x  0  x   x   x2 Vậy lim     x 0  x  Câu 49: [1D4-2-3] (THPT Chuyên Hạ Long - QNinh - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Biết a 3x   a tối giản  , a , b số nguyên dương phân số x 0 b x b Tính giá trị biểu thức P  a  b A P  13 B P  C P  D P  40 lim Hướng dẫn giải Chọn A 3x   3x   3  lim  lim  x  x  x 3x   x 3x   Ta có: lim  x 0  Do đó, a  , b  Vậy P  a  b  13 Câu 50: [1D4-2-3] (THPT Hà Huy Tập - Hà Tĩnh - Lần - 2017 - 2018 - BTN) ( x  2012)  x  2012 a a  , với phân số tối giản, a số nguyên âm x 0 b x b Tổng a  b lim B 4018 A 4017 D 4016 C 4015 Lời giải Chọn A * Ta có: ( x  2012)  x  2012 (  x  1) lim  lim x  x  2012.lim x 0 x 0 x 0 x x  2x 1  2012.lim x 0 x   * Xét hàm số y  f  x    x ta có f    Theo định nghĩa đạo hàm ta có: f     lim x 0 f  x   7 f  x   f  0  2x 1  lim x  x0 x  1 2x   f   0    2x 1  lim  x 0 x a  4024 ( x  2012)  x  2012 4024    a  b  4017 x 0 x b   lim Câu 51: [1D4-2-3] Chọn kết kết sau lim x cos x 0 A Không tồn B C là: nx D  Lời giải Chọn A lim x cos x 0 2    2   lim x 1  2sin   lim  2x sin  x  x  nx nx  nx    x  8x là: x 2 x  2x  x  24 24 C  D 5 Câu 52: [1D4-2-3] Chọn kết kết sau lim A  21 B 21 Lời giải Chọn C x  x    x  2x   x  x  2x   x  8x 24 lim  lim  lim  2 x 2 x  2x  x  x 2 x 2 x 1  x    x  1 Câu 53: [1D4-2-3] lim x 1 A  x2  x  bằng: x 1 B C D  Lời giải Chọn D lim  x  1  0; x   0, x  lim x  x    x 1 x 1 x2  x  Do đó, lim   x 1 x 1 1  Chọn kết lim f  x  x 1 x 1 x 1 2 B  C D  3 Câu 54: [1D4-2-3] Cho hàm số f  x   A  Lời giải Chọn A 1 x  x   x3 1 x 1 x3 1 f x      Ta có: lim x  x  2  0; lim x   0; x   0, x  x 1 x 1  lim f  x    x 1 Câu 55: [1D4-2-3] Tính lim x a A 2a x4  a4 x a B 3a C 4a Lời giải Chọn C  x  a  x  a   x  a  x4  a4 lim  lim  lim  x  a   x  a   4a x a x  a x a x a x a 1 1 x x 0 x Câu 56: [1D4-2-3] Tính lim D 5a B A C D Lời giải Chọn C 1 1 x  lim x 0 x 0 x lim  lim x 0 1 1   x   x  1  x    x   x  1  x   x  1  x       lim x 0  x x   x  1  x   ... 2 Hàm số có giới hạn x   lim f ( x)  lim f ( x)  2a    a  x 2 Vậy a  Câu 17: x 2 giá trị cần tìm [1D4-2-3] Tìm a  5ax  3x  2a  f ( x)    1  x  x  x  để hàm x  x  số. .. lim  x  x  x    x  0 x 0 x  x  có giới hạn D Vậy 2a     a   x  ax  x  Câu 19: [1D4-2-3] Tìm a để hàm số f ( x)   có giới hạn x 1 2 x  x  3a x  C  B  A ... 3a)  3a   x 1 x 1 Hàm số có giới hạn x   lim f ( x)  lim f ( x)  a   3a 1  a  x 1 x 1 Vậy a  giá trị cần tìm x3  3x  Câu 20: [1D4-2-3] Tìm giới hạn A  lim : x 1 x  x