Câu 1: [1D4-1-4] Cho dãy ( xk ) xác định sau: xk  k    2! 3! (k  1)! n Tìm lim un với un  n x1n  x2n   x2011 B  A  C  2012! D  2012! Lời giải Chọn C Ta có: k 1   nên xk   (k  1)! k ! (k  1)! (k  1)! Suy xk  xk 1  1    xk  xk 1 (k  2)! (k  1)! n  n 2011x2011 Mà: x2011  n x1n  x2n   x2011 Mặt khác: lim x2011  lim n 2011x2011  x2011   Vậy lim un   2012! 2012! u0  2011 un3  Câu 2: [1D4-1-4] Cho dãy số (un ) xác định bởi:  Tìm lim n un 1  un  u n  A  B  C D Lời giải Chọn C Ta thấy un  0, n Ta có: un31  un3    (1) un3 un6 Suy ra: un3  un31   un3  u03  3n (2) 3 Từ (1) (2), suy ra: un 1  un   Do đó: un3  u03  3n  1 1   un3    u  3n  u  3n  3n 9n n 1 n    (3) k 1 k k 1 k n Lại có: n 1 1 1          n   1.2 2.3 (n  1)n n k 1 k k 1 k 2n Nên: u03  3n  un3  u03  3n   Hay  u03 un3 u3 2   3   n n n 9n n n k k 1  2n un3 Vậy lim  n Câu 3: [1D4-1-4] Cho a, b  (u, v)   , (a, b)  1; n  ab  1, ab  2,  Kí hiệu rn số cặp số rn  n  n ab C ab Lời giải cho n  au  bv Tìm lim B  A  D ab 1 Chọn C  n  1 Xét phương trình 0; (1) n   Gọi (u0 , v0 ) nghiệm nguyên dương (1) Giả sử (u , v) nghiệm nguyên dương khác (u0 , v0 ) (1) Ta có au0  bv0  n, au  bv  n suy a(u  u0 )  b(v  v0 )  tồn k nguyên dương cho u  u0  kb, v  v0  ka Do v số nguyên dương nên v0  (2) a Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dương phương trình (1) số số k nguyên  v  1  n u 1 dương cộng với Do rn            a   ab b a  v0  ka   k  n u0 n u0    rn     ab b a ab b a u0 rn u0 1        Từ suy ra: ab nb na n ab nb na n r Từ áp dụng nguyên lý kẹp ta có lim n  n  n ab Từ ta thu bất đẳng thức sau: Câu 4: [1D4-1-4] (Toán Học Tuổi Trẻ - Lần – 2018) Cho dãy số  un  xác định u1  un 1  un  4n  , n  Biết lim un  u4 n  u42 n   u42018 n un  u2 n  u22 n   u22018 n  a 2019  b c với a , b , c số nguyên dương b  2019 Tính giá trị S  a  b  c A S  1 Chọn B Ta có B S  C S  2017 Lời giải D S  2018 u2  u1  4.1  u3  u2  4.2  un  un 1   n  1  Cộng vế theo vế rút gọn ta un  u1  1    n  1   n  1  n  n  1   n  1  2n  n  , với n  Suy u2 n   n   n  u 22 n   2 n   2 n  u22018 n   22018 n   22018 n  u4 n   n   n  u 42 n   n   n  u42018 n   42018 n   42018 n  Do lim un  u4 n  u42 n   u42018 n un  u2 n  u22 n   u22018 n 42018 2018 2    2.4         n n n n n n  lim 2018 3    2.22      22018    n n n n n n 1      1     Vì 2 2019 2018 2018    42019 2019 2019  1  1  2019 1 2019  1 a    2019 xác định nên b  c   Vậy S  a  b  c  Câu 5: [1D4-1-4] (THTT - Số 484 - Tháng 10 - 2017 - BTN) Đặt f  n    n2  n  1  Xét dãy số  un  cho un  A lim n un  f 1 f  3 f  5 f  2n  1 Tính lim n un f   f   f   f  2n  B lim n un  C lim n un  D lim n un  Lời giải Chọn D 4n  2n  1   f  2n  1  g n  Xét g  n   f  2n   4n2  2n  1   4n g n   4n  1  4n  4n  1   4n  1 4n   4n   2n  1    2  1  4n  4n  1   4n  1 4n   4n   2n  1  2 10 26  2n  3   2n  1   un   2 10 26 50  2n  1   2n  1   2n  12   lim n un  lim 2n  4n  4n  2 ... tồn k nguyên dương cho u  u0  kb, v  v0  ka Do v số nguyên dương nên v0  (2) a Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dương phương trình (1) số số k nguyên  v  1  n u 1 dương cộng với Do rn ... - Lần – 2018) Cho dãy số  un  xác định u1  un 1  un  4n  , n  Biết lim un  u4 n  u42 n   u42018 n un  u2 n  u22 n   u22018 n  a 2019  b c với a , b , c số nguyên dương b... nên b  c   Vậy S  a  b  c  Câu 5: [1D4-1-4] (THTT - Số 484 - Tháng 10 - 2017 - BTN) Đặt f  n    n2  n  1  Xét dãy số  un  cho un  A lim n un  f 1 f  3 f  5 f  2n