Câu 1: [1D2-2-4] (THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - Lần - 2018 - BTN) Một khối lập phương có độ dài cạnh 2cm chia thành khối lập phương cạnh 1cm Hỏi có tam giác tạo thành từ đỉnh khối lập phương cạnh 1cm A 2876 B 2898 C 2915 D 2012 Lời giải Chọn A Có tất 27 điểm Chọn điểm 27 có C27  2925 Có tất 8.2  6.2  4.2        49 ba điểm thẳng hàng Vậy có 2925  49  2876 tam giác (Chuyên KHTN - Lần - Năm 2018) Một người viết ngẫu nhiên số có bốn chữ số Tính xác suất để chữ số số viết có thứ tự tăng dần giảm dần ( nghĩa số viết dạng abcd a  b  c  d a  b  c  d ) Câu 2: [1D2-2-4] A 125 B 375 C 250 D 14 375 Lời giải Chọn D Viết ngẫu nhiên số có chữ số nên số phần tử không gian mẫu n     9.10.10.10  9000 Gọi A biến cố chữ số số viết có thứ tự tăng dần giảm dần Gọi số tự nhiên có chữ số mà chữ số số viết có thứ tự tăng dần giảm dần có dạng abcd Trường hợp 1: số tự nhiên có chữ số mà chữ số số viết có thứ tự giảm dần Vì a  b  c  d nên chữ số đôi khác chữ số a , b , c , d lấy từ tập X  1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 với chữ số lấy từ X lập số thỏa yêu cầu tốn Do số số tự nhiên có chữ số mà chữ số số viết có thứ tự tăng dần C94 Trường hợp 2: số tự nhiên có chữ số mà chữ số số viết có thứ tự tăng dần Vì a  b  c  d nên chữ số đôi khác chữ số a , b , c , d lấy từ tập Y  0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 với chữ số lấy từ Y lập mọt số thỏa yêu cầu tốn Do số số tự nhiên có chữ số mà chữ số số viết có thứ tự giảm C104 Vậy số phần tử biến cố A n  A  C94  C104  336 Xác suất biến cố A là: P  A  n  A 336 14   n    9000 375 Câu 3: [1D2-2-4] (THPT Chuyên Quốc Học Huế - Lần -2018 - BTN) Cho hình lập phương, cặp đỉnh xác định đường thẳng Trong đường thẳng đó, tìm số cặp đường thẳng (khơng tính thứ tự) khơng đồng phẳng khơng vng góc với B 96 A 132 C 192 D 108 Lời giải Chọn B C B D A C' B' A' D' Chia làm ba loại gồm: 12 cạnh; 12 đường chéo phụ đường chéo hình vng mặt hình lập phương đường chéo hình lập phương + Nhận thấy cạnh đồng phẳng, vng góc nên khơng có cặp cạnh thỏa mãn yêu cầu toán Cả bốn đường chéo + Chọn cạnh bất kỳ, tương ứng với cạnh có đường chéo chính, đường chéo phụ kết hợp với cạnh tạo thành cặp đường thẳng thỏa tốn, có 12     72 cặp + Đường chéo đường chéo phụ khơng thỏa mãn toán + Chọn đường chéo phụ bất kỳ, có đường chéo phụ khác kết hợp với đường chéo phụ chọn tạo thành cặp đường thẳng thỏa mãn u cầu tốn Vì 12.4  24 cặp số lần đếm gấp đôi nên số cặp đường chép phụ thỏa toán : Vậy có 72  24  96 cặp đường thẳng thỏa toán Câu 4: [1D2-2-4] Giá trị n A n  18 thỏa mãn đẳng thức Cn6  3Cn7  3Cn8  Cn9  2Cn82 B n  16 C n  15 D n  14 Lời giải Chọn C PP sử dụng máy tính để chọn đáp số (PP trắc nghiệm): + Nhập PT vào máy tính: Cn6  3Cn7  3Cn8  Cn9  2Cn82  + Tính (CALC) với X  18 (không thoả); với X  16 (không thoả); với X  15 (thoả), với X  14 (không thoả) Câu 5: [1D2-2-4] Cho đa giác n đỉnh, n n  Tìm n biết đa giác cho có 135 đường chéo A n  15 B n  27 C n  D n  18 Lời giải Chọn D + Tìm cơng thức tính số đường chéo: Số đoạn thẳng tạo n đỉnh Cn2 , có n cạnh, suy số đường chéo Cn2  n + Đa giác cho có 135 đường chéo nên Cn2  n  135 n!  n  135 ,  n  , n  2   n  1 n  2n  270  n  !2!  n  18  nhan   n  3n  270     n  18   n   15 loai  + Giải PT: Câu 6: [1D2-2-4] Nếu đa giác có 44 đường chéo, số cạnh đa giác là: A 11 B 10 C D Lời giải Chọn A Cứ hai đỉnh đa giác n  n  , n  3 đỉnh tạo thành đoạn thẳng (bao gồn cạnh đa giác đường chéo) Khi số đường chéo là: Cn2  n  44  n!  n  44  n  !.2! n  11  n  n  1  2n  88    n  11 (vì n ) n  8 Câu 7: [1D2-2-4] Một đa giác có số đường chéo gấp đơi số cạnh Hỏi đa giác có cạnh? A B C D Lời giải Chọn C Đa giác có n cạnh  n  , n  3 Số đường chéo đa giác là: Cn2  n Ta có: Cn2  n  2n  n  n!  3n  n  n  1  6n   n7  n  !.2! n  Câu 8: [1D2-2-4] Có m nam n nữ Có cách chọn k người có a nam b nữ ( k  m, n; a  b  k ; a, b  ) với S1 số cách chọn có a nam, S số cách chọn có b nữ A Số cách chọn thoả mãn điều kiện toán là: Cmk n  2(S1  S2 ) B Số cách chọn thoả mãn điều kiện toán là: 2Cmk n  (S1  S2 ) C Số cách chọn thoả mãn điều kiện toán là: 3Cmk n  2(S1  S2 ) D Số cách chọn thoả mãn điều kiện toán là: Cmk n  (S1  S2 ) Lời giải Chọn D Số cách chọn k người m  n người là: Cmk n a-1 ai1 k ai1 *Số cách chọn có a nam là: S   Cm Cn i0 b 1 *Số cách chọn có b nữ là: S2   Cnbi 1.Cmk bi 1 i 0 Số cách chọn thoả mãn điều kiện toán là: Cmk n  (S1  S2 ) Câu 9: [1D2-2-4] Trong mặt phẳng cho n điểm, khơng có điểm thẳng hàng tất đường thẳng nối hai điểm bất kì, khơng có hai đường thẳng song song, trùng vng góc Qua diểm vẽ đường thẳng vng góc với đường thẳng xác định n  điểm lại Số giao điểm đường thẳng vng góc giao bao nhiêu? A 2Cn2( n1)( n2)   n(Cn21  1)  5Cn3  B Cn2( n1)( n2)  n(Cn21  1)  5Cn3  D Cn2( n1)( n2)  n(Cn21  1)  5Cn3  C 3Cn2( n1)( n2)  n(Cn21  1)  5Cn3  2 Lời giải Chọn D Gọi n điểm cho A1 , A2 , , An Xét điểm cố định, có Cn21 đường thẳng nên có Cn21 đường thẳng vng góc qua điểm cố định Do có nCn21  n(n  1)(n  2) đường thẳng vng góc nên có C n2( n 1)( n  2) giao điểm (tính giao điểm trùng nhau) Ta chia điểm trùng thành loại: * Qua điểm có Cn21  ( n  1)(n  2) nên ta phải trừ n  Cn21  1 điểm * Qua A1 , A2 , A3 có đường thẳng vng góc với A4 A5 đường thẳng song song với nhau, nên ta giao điểm, TH ta phải loại đi: 3Cn3 * Trong tam giác ba đường cao có giao điểm, nên ta điểm cho tam giác, trường hợp ta phải trừ 2Cn3 Vậy số giao điểm nhiều có là: Cn2( n1)( n2)  n(Cn21  1)  5Cn3  Câu 10: [1D2-2-4] (THPT Chuyên Quốc Học Huế - lần - 2017 - 2018) Bé Minh có bảng hình chữ nhật gồm hình vng đơn vị, cố định khơng xoay hình vẽ Bé muốn dùng màu để tô tất cạnh hình vng đơn vị, cạnh tơ lần cho hình vng đơn vị tơ màu, màu tơ cạnh Hỏi bé Minh có tất cách tơ màu bảng ? A 4374 B 139968 C 576 D 15552 Lời giải Chọn D Tô màu theo nguyên tắc: Tô ô vuông cạnh: chọn màu, ứng với màu chọn có cách tơ Do đó, có 6.C32 cách tơ Tơ vng cạnh (có cạnh tơ trước đó): ứng với vng có cách tơ màu cạnh theo màu cạnh tơ trước đó, chọn màu lại tơ cạnh lại, có 3.C21  cách tơ Do có 63 cách tơ Tơ vng cạnh (có cạnh tơ trước đó): ứng với vng có cách tơ màu cạnh (2 cạnh tơ trước màu hay khác không ảnh hưởng số cách tơ) Do có 2 cách tơ Vậy có: 6.C32 63.4  15552 cách tơ Câu 11: [1D2-2-4] Cho đa giác n đỉnh, n có 135 đường chéo A n  15 B n  27 n  Tìm n biết đa giác cho C n  D n  18 Lời giải Chọn D + Tìm cơng thức tính số đường chéo: Số đoạn thẳng tạo n đỉnh Cn2 , có n cạnh, suy số đường chéo Cn2  n + Đa giác cho có 135 đường chéo nên Cn2  n  135 n! + Giải PT :  n  135 ,  n  , n     n  1 n  2n  270  n  !2!  n  18  nhan   n  3n  270     n  18  n  15  loai  Câu 12: [1D2-2-4] (THPT Quỳnh Lưu - Nghệ An - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Có số tự nhiên có 2018 chữ số cho số tổng chữ số ? 2 3 A  A2018   C2017  A2017  A2017   C2017   C2017 B  2C2018  2C2018  C2018  C2018 C  A2018  A2018  A2018  C2017 2 2 D  4C2017   C2017  A2017  A2016  C2016    C2017   C2017 Lời giải Chọn D Vì  1     1  1 1  1 1 1  1 1 1 1 nên ta có trường hợp sau: Trường hợp 1: Số tự nhiên có chữ số đứng đầu 2017 số đứng sau : Có số Trường hợp 2: Số tự nhiên có chữ số , chữ số 2016 số - Khả 1: Nếu số đứng đầu số đứng 2017 vị trí lại nên ta có số C2017 - Khả 2: Nếu số đứng đầu số đứng 2017 vị trí lại nên ta có số C2017 Trường hợp 3: Số tự nhiên có chữ số , chữ số 2016 số - Khả 1: Nếu số đứng đầu số đứng 2017 vị trí lại nên ta có số C2017 - Khả 2: Nếu số đứng đầu số đứng 2017 vị trí lại nên ta có số C2017 Trường hợp 4: Số tự nhiên có hai chữ số , chữ số 2015 số - Khả 1: Nếu số đứng đầu số số lại đứng hai 2017 vị trí lại nên ta có A2017 số - Khả 2: Nếu số đứng đầu hai chữ số đứng hai 2017 vị trí lại nên ta có C2017 số Trường hợp 5: Số tự nhiên có chữ số , chữ số tương tự trường 2 hợp ta có A2017 số  C2017 Trường hợp 6: Số tự nhiên có chữ số , ba chữ số 2014 số - Khả 1: Nếu số đứng đầu ba chữ số đứng ba 2017 vị trí lại nên ta có C2017 số - Khả 2: Nếu số đứng đầu số đứng vị trí mà khơng có số khác đứng trước hai số lại đứng 2016 vị trí lại nên ta có C2016 số - Khả 3: Nếu số đứng đầu số đứng vị trí mà đứng trước có hai số hai số lại đứng 2016 vị trí lại nên ta có A2016 số Trường hợp 7: Số tự nhiên có năm chữ số 2013 số , chữ số đứng đầu nên bốn chữ số lại đứng bốn 2017 vị trí lại nên ta có C2017 số Áp dụng quy tắc cộng ta có 2 2 số cần tìm  4C2017   C2017  A2017  A2016  C2016    C2017   C2017 Câu 13: [1D2-2-4] Cho đa giác n đỉnh, n có 135 đường chéo A n  15 n  Tìm n biết đa giác cho B n  27 C n  D n  18 Lời giải Chọn D + Tìm cơng thức tính số đường chéo: Số đoạn thẳng tạo n đỉnh Cn2 , có n cạnh, suy số đường chéo Cn2  n + Đa giác cho có 135 đường chéo nên Cn2  n  135 n!  n  135 ,  n  , n     n  1 n  2n  270  n  3n  270   n  !2!  n  18  nhan    n  18  n  15  loai  + Giải PT : ... 1  1 1  1 1 1  1 1 1 1 nên ta có trường hợp sau: Trường hợp 1: Số tự nhiên có chữ số đứng đầu 2017 số đứng sau : Có số Trường hợp 2: Số tự nhiên có chữ số , chữ số 2016 số - Khả... đứng hai 2017 vị trí lại nên ta có C2017 số Trường hợp 5: Số tự nhiên có chữ số , chữ số tương tự trường 2 hợp ta có A2017 số  C2017 Trường hợp 6: Số tự nhiên có chữ số , ba chữ số 2014 số -... phụ kết hợp với cạnh tạo thành cặp đường thẳng thỏa tốn, có 12     72 cặp + Đường chéo đường chéo phụ khơng thỏa mãn toán + Chọn đường chéo phụ bất kỳ, có đường chéo phụ khác kết hợp với