Ph n m t Hàm số bậc nhất A- Kiến thức cơ bản : Dạng tổng quát: y= ax + b (a 0) Tính chất: Nếu a>0 thì hàm số đồng biến trên R Nếu a<0 thì hàm số nghịch biến trên R Đồ thị: Nếu b=0 thì đồ thị hàm số y=ax là đờng thẳng đi qua gốc toạ độ O(0:0) và điểm A(1;a) Nếu b 0 thì đồ thị hàm số y= ax + b là đờng thẳng đi qua A(0;b) và điểm B(-b/a;0) Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng y=ax+b và y=ax+b Song song khi a=a và b b Cắt nhau khi a a Trùng nhau khi a=a và b=b Vuông góc khi a.a=-1 *Phơng trình hoành độ giao điểm của hai đờng thẳng trên là ax+b = ax+b Điểm thuộc đồ thị hàm số Điểm A(m;n) thuộc đồ thị hàm số y=ax+b khi n=a.m+b Hàm số bậc hai y=ax 2 (a0) *Dạng tổng quát: y=ax 2 (a0) *Tính chất: Nếu a>0 thì hàm số đồng biến khi x>0 nghịch biến khi x<0 Nếu a<0 thì hàm số đồng biến khi x<0 nghịch biến khi x>0 *Đồ thị: Đồ thị hàm số y=ax 2 (a0) là đờng Parabol có đỉnh là gốc toạ độ; nhận trục tung làm trục đối xứng; nằm phía trên trục hoành nếu a>0, nằm phía dới trục hoành nếu a<0. Phơng trình hoành độ giao điểm của Parabol y=ax 2 (a 0) và đờng thẳng y=mx+n là: ax 2 =mx+n hay ax 2 - mx-n=0 (1) +Nếu phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt (>0) thì đờng thẳng và Parabol cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B (với x A , x B là hai nghiệm của (1)). +Nếu phơng trình (1) có nghiệm kép (=0) thì đờng thẳng tiếp xúc với Parabol. +Nếu phơng trình (1) vô nghiệm (<0) thì đờng thẳng và Parabol không giao nhau Điểm thuộc đồ thị hàm số Điểm A(m;n) thuộc đồ thị hàm số y=ax 2 khi n=am 2 B. Bài tập: Dạng 1: Tính chất của hàm số y=ax+b: Bài 1:Chứng minh hàm số bậc nhất y=ax+b đồng biến khi a>0 và nghịch biến khi a<0. Bài 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? Hãy xác định các hệ số a, b và xét xem hàm số nào đồng biến? hàm số nào nghịch biến? a) y=3-0,5x b) y=-1,5x c) y=5-2x 2 d) y= ( ) 2 1 x+1 e) y= ( ) 3 2x f) y+ 2 = 3x Bài 3: Cho hàm số bậc nhất y=(m +1)x+5 Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến? nghịch biến ? Bài 4: Cho hàm số ( ) 3 2 1y x= + . Hàm số trên đồng biến hay nghịch biến trên R? Vì sao? Bài 5: Chứng minh rằng hàm số sau là đồng biến trong khoảng đã chỉ ra: a) 1 3 2 y x= trên R b) y = 3x + 2 trên R Bài 6: Chứng minh rằng hàm số sau là nghịch biến trong khoảng đã chỉ ra a) 1 4 3 y x= + trên R b) 4 3y x= trên R Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số là hàm số bậc nhất Bài 1: Với những giá trị nào của m thì các hàm số sau đây là hàm số bậc nhất? a) 2 3 3 y m x= + b) 1 3 2 4 S t m = + (t là biến số) c) 1 1 3 1 y x m = + ữ d) ( ) 2 1 5 1 m y x m = Dạng 3: Đồ thị hàm số y ax b= + (a 0). Bài 1: Cho hàm số y = 2x. a) Vẽ đồ thị của hàm số trên. b) Xác định điểm A thuộc đồ thị hàm số có tung độ bằng -3 c) Tính số đo góc tạo bởi đờng thẳng y = 2x với trục Ox. Bài 2: Cho đờng thẳng 2 4= y x cắt hai trục toạ độ tại hai điểm A và B. a) Xác định toạ độ các điểm A và B. b) Tính diện tích tam giác tạo bởi đờng thẳng ấy với hai trục toạ độ. c) Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến đờng thẳng trên. Bài 3: a) Vẽ đồ thị hàm số 2y x= và 2 1y x= + trên cùng một hệ trục toạ độ. b) Tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng trên. Bài 4: a) Vẽ trên cùng một mặt phẳng toạ độ đồ thị các hàm số sau: 2=y x (d 1 ) 2 2= y x (d 2 ) 4= +y x (d 3 ) b) Đờng thẳng (d 3 ) cắt các đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ) theo thứ tự tại A và B. Tìm toạ độ các điểm A, B và tính diện tích tam giác OAB. Bài 5: Cho hàm số ( ) 3y m x= a) Với giá trị nào thì hàm số đồng biến trên R? Nghịch biến trên R? b) Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểm B(1; - 2). c) Tìm m biết khi x= 1 3+ thì hàm số có giá trị bằng -3. B i 6 C ho hàm số y=3x+m 1) Tính giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua A(-2; 5) 2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là -5. 3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là -3. Bài 7: Cho hàm số ( ) 1y m x m= + +3 a)Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua gốc toạ độ. b)Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -3. c)Xác định giá trị của m để đ.t.h.s cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2. d)Tìm m biết khi x=-3 thì hàm số có giá trị bằng 2. Bài 8: a)Xác định hàm số = +y ax b biết hàm số có hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm A(2;1) b)Xác định hàm số = +y ax b biết đờng thẳng = +y ax b đi qua điểm A(2;1) và song song với đờng thẳng 2 5= +y x Dạng 4: Điểm cố định của đờng thẳng Bài 1: Cho hàm số 2 1= + +y mx m (1) Chứng tỏ rằng đờng thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m. Hãy xác định toạ độ điểm đó. Bài 2: Chứng minh rằng các đờng thẳng sau đây luôn đi qua một điểm cố định. a) 2y mx m= + b) 2 1y mx m= + c) ( ) ( ) 1 1y m x m= + + Dạng 5. Hệ số góc của đờng thẳng. Đờng thẳng song song và đờng thẳng cắt nhau Bài 1: Với điều kiện nào của k và m thì hai đờng thẳng : y = (k - 2)x + m 1 và y = (6 - 2k)x + 5 - 2m. a) Trùng nhau b) Song song c) Cắt nhau Bài 2: Cho hàm số 5y ax= + . Hãy xác định hệ số a trong mỗi trờng hợp sau: a) Đồ thị của hàm số song song với đờng thẳng 3y x= b) Khi 1 2= x thì hàm số có giá trị bằng 2 2= y Bài 3: Cho hàm số ( ) 3y m x k= + (d) . Tìm giá trị của m và k để đờng thẳng (d): a) Song song với đờng thẳng 2 1 0y x = và đi qua điểm M(1; -3). b) Đi qua hai điểm A(1; 2) và B(-3; 4) c) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 1 2+ . d) Trùng với đờng thẳng 3 5 0x y+ = Dạng 6: Lập phơng trình đờng thẳng . Bài 1: Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2. Bài 2: Xác định hàm số y=ax+b biết đồ thị của hàm số là đi qua gốc toạ độ và: a) Đi qua điểm A(3; 2) b) Song song với đờng thẳng y=3x+1. Bài 3: Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b trong mỗi trờng hợp sau: a) a =-1 và đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 b) a = 3 và đồ thị của hàm số đi qua điểm A(2; 5) c) Đồ thị của hàm số song song với đờng thẳng 2y x= và đi qua điểm B(1; 2 3+ ) d) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(-1; 2) và B(2;-3) e) Đồ thị hàm số đi qua M(2;- 3) và vuông góc với đờng thẳng y=x2 Bài 4: Cho hàm số y = (a1)x + a a) Xác định giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ -3 b) Xác định giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ 2 Bài 5: Cho đờng thẳng y = (m 2)x + n (m 2) (d) Tìm các giá trị của m và n biết đờng thẳng (d): a) Đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3;4) b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 2 + và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 2 + c) Trùng với đờng thẳng y2x+3=0 Bài 6: Cho hàm số y = (1 2m)x + m + 1 (1) a) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên R. b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đờng thẳng y=3x1 c) Tìm m để đồ thị hàm số (1) và các đờng thẳng y=x; y=2x-1 đồng quy. Bài 7: Trên mặt phẳng toạ độ cho hai điểm A(1; 2) và B(3; 4) Tìm hệ số góc của đờng thẳng đi qua A và B. Bài 8: Cho hàm số ( ) ( ) 1 1y m x m= + + (1) a) Xác định hàm số (1) biết đồ thị hàm số đi qua gốc toạ độ. b) Xác định m để đờng thẳng (1) song song với đờng thẳng 3 2y x= + c) Xác định m để đờng thẳng (1) cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1 . B i 9 Cho hai đờng thẳng y = 2x + m 1 và y = x + 2m . a) Tìm m để hai đờng thẳng trên cắt nhau tại một điểm trên trục tung. b) Tìm m để hai đờng thẳng trên cắt nhau tại một điểm nằm trên đờng thẳng y=3x B i 10: Cho hàm số y=(m2)x+m+3. a) Tìm điều kiệm của m để hàm số luôn nghịch biến . b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hành độ là 3 . c) Tìm m để đồ thị các hàm số y=-x+2 ; y =2x1và y=(m2)x+m+3 đồng quy Bài 11: Tìm toạ độ của M(x 1 ; y 1 ) thuộc đờng thẳng 2x+3y =5 sao cho khoảng cách từ gốc toạ độ O đến M nhỏ nhất. Bài 12: Trên cùng mặt phẳng toạ độ cho ba điểm A(1; 4); B(-2; -2); C(3; 0) a) Viết phơng trình các đờng thẳng chứa cạnh AB, BC, AC của tam giác ABC. b) Tìm toạ độ D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. c) Viết phơng trình đờng trung tuyến AM của tam giác ABC. d) Viết phơng trình đờng cao AH của tam giác ABC. e) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC. f) Tìm toạ độ trực tâm của tam giác ABC. Dạng 7: Parabol và đờng thẳng: B i 1: Cho hàm số: y = 2 3x 2 (P) a) Tính giá trị của hàm số tại x = 0 ; -1 ; 3 1 ; -2 . b) Biết f(x) = 9 2 1 ; 8; ; 2 3 2 . Tìm x. Bài 2: Cho hàm số y=2x 2 (P). a) Vẽ đồ thị (P). b) Trên (P) lấy hai điểm A và B có hoành độ lần lợt là -1 và 2. Viết phơng trình đờng thẳng AB. c) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(0; 2) và tiếp xúc với (P). d) Tìm trên (P) các điểm có khoảng cách đến gốc toạ độ bằng 5 e) Tìm trên độ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ. Bài 3. Cho hàm số y=2x 2 (P) a. Vẽ đồ thị. b. Tìm toạ độ giao điểm của (P) với đờng thẳng y=-x+3. c. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(0;-2) và tiếp xúc với (P). Bài 4: Cho hai hàm số y = x 2 (P) và y = 2x + 3 (D) a) Vẽ trên cùng hệ trục toạ độ hai hàm số (P) và (D). b) Xác định toạ độ giao điểm A và B của (P) và (D). c) Gọi C và D thứ tự là hình chiếu vuông góc cảu A và B trên trục hoành. Tính diện tích tứ giác ABCD. B i 5: C ho parabol (P): 2 4 1 xy = và đờng thẳng (D): 12 = mmxy a) Vẽ (P) . b) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P) . c) Chứng tỏ (D) luôn đi qua một điểm cố định . Bài 6. Cho Parabol (P): y=x 2 và đờng thẳng (d): y=2x+m. Xác định m để: a. (d) tiếp xúc với (P). Tìm hoành độ tiếp điểm. b. (d) cắt (P) tại hai điểm, một điểm có hoành độ x=-1.Tìm tọa độ giao điểm còn lại. Bài 7: Cho Parabol y = x 2 (P) và đờng thẳng y = 2x m (D) a) Tìm m để (P) và (D) cắt nhau tại hai điểm phân biệt?tiếp xúc nhau?không giao nhau? b) Khi (P) và (D) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B, hãy xác định toạ độ hai điểm A và B với m =-3. Bài 8: Cho Parabol (P): y = ax 2 và đờng thẳng y = mx + n. Xác định các hệ số a, m, n biết rằng (P) đi qua điểm A(- 2; 2), đờng thẳng đi qua điểm B(1; 0) và tiếp xúc với (P). Bài 9: Cho hàm số y = (2m - 1) x 2 (P). a) Tìm m để (P) đi qua điểm A(2; -2). Vẽ đồ thị hàm số (P) vừa tìm đợc. b) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua B(-1; 1) và tiếp xúc với (P) c) Tìm trên (P) các điểm có khoảng cách đến gốc toạ độ bằng 1. Bài 10: Cho Parabol (P): y = ax 2 và đờng thẳng (d) có hệ số góc k đi qua điểm M(0; 1) a) Chứng minh đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi k. b) Gọi hoành độ của A,B lần lợt là x A , x B . CMR: 2 > A B x x c) Chứng minh OAB vuông. Bài 11: Cho Cho Parabol (P): y = 2 2 x và đờng thẳng (D): mx + y = 2. a) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (D) luôn đi qua 1 điểm cố định. b) Chứng minh rằng (D) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt c) Xác định m để AB có độ dài nhỏ nhất. Khi đó tính diện tích AOB Bài 12: Với giá trị nào của m thì hàm số ( ) 2 y m 3m x 2m 6= + là hàm số bậc nhất. Bài 13: Cho hàm số y (3 2 2)x 2 1= + . (1) a, Hàm số (1) đồng biến hay nghịch biến trên R b, Tính giá trị của hàm số khi x 3 2 2= + . c, Tìm x để hàm số có giá trị bằng 1. Bài 14: Cho hàm số y (m 4)x m 6= + + . a, Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến. b, Tìm m biết đồ thị hàm số đi qua điểm (-1;2). Vẽ đồ thị hàm số với m tìm đợc. c, Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định khi giá trị của m thay đổi. Bài 15: Tìm m để hai đờng thẳng y (m 6)x 2= + + và y m(3m 4)x 5= + song song. Bài 16: Tìm k để hai đờng thẳng y (k 3)x 3k 3= + và y (2k 1)x k 5= + + + a, Cắt nhau tại một điểm trên trục tung. b, Song song với nhau. c, Trùng nhau. d, Vuông góc với nhau. Ph n HAI Chuyên đề Giải, biện luận phơng trình bậc hai A.Lý thuyết 1. Định nghĩa: Phơng trình bậc hai là phơng trình có dạng: ax 2 + bx + c = 0 (a 0) (1) trong đó a, b, c là các hệ số đẵ biết, x là ẩn. 2. Công thức nghiệm: = b 2 4ac < 0 phơng trình vô nghiệm = b 2 ac. ( 2bb = ) < 0 phơng trình vô nghiệm. = 0 phơng trình có nghiệm kép: x 1 = x 2 = - a b 2 > 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x 1 a b 2 + = ; x 2 a b 2 = . = 0 phơng trình có nghiệm kép: x 1 = x 2 = - a b' > 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt: a b x + = 1 ; x 2 a b '' = . 3. Hệ thức Vi-ét: * Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0) thì = =+ a c xx a b xx 21 21 . *ứng dụng: +Nhẩm nghiệm: - Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm x 1 = 1; x 2 = a c - Nếu a - b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm x 1 = - 1; x 2 = a c + Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P và S 2 4P 0 thì hai số đó là hai nghiệm của phơng trình X 2 SX + P = 0 . 4. Một số bài toán biện luận phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a 0) 1) Phơng trình có nghiệm: 0 , ; 2) Phơng trình có nghiệm: 0 > , ; 3) Phơng trình có hai nghiệm cùng dấu = 0 0 21 a c xx . , 4) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu: = 0 0 21 a c xx . , ; 5) Phơng trình có hai nghiệm dơng = =+ 0 0 0 21 21 a c xx a b xx . , ; 6) Phơng trình có hai nghiệm âm == =+= 0 0 0 21 21 a c xxP a b xxS . , ; 5.Một số bài toán ứng dụng hệ thức Vi- ét: 1) P S xx xx xx = + =+ 21 21 21 11 . ; 2) ( ) PSxxxxxxxxxxxx 2222 2 21 2 2121 2 221 2 1 2 2 2 1 =+=++=+ . ; 3) 2 2 2 21 2 2 2 1 2 2 2 1 211 P PS xx xx xx = + =+ ).( ; 4) ( ) ( ) PSSPSSxxxxxxxxxxxxxxxx 3332 32 21 2 221 2 1212 2 221 2 121 3 2 3 1 ==+++=++=+ )(.).().)(( ; B.Bài tập áp dụng. Bài tập 1: Giải các phơng trình bậc hai sau: TT PTBH KQ TT PTBH KQ 1 x 2 - 11x + 30 = 0 5; 6 41 x 2 - 16x + 84 = 0 2 x 2 - 10x + 21 = 0 3; 7 42 x 2 + 2x - 8 = 0 3 x 2 - 12x + 27 = 0 3; 9 43 5x 2 + 8x + 4 = 0 4 5x 2 - 17x + 12 = 0 12/5;1 44 x 2 – 2( )23 + x + 4 6 = 0 5 3x 2 - 19x - 22 = 0 22/3;-1 45 11x 2 + 13x - 24 = 0 6 x 2 - (1+ 2 )x + 2 = 0 2 ;1 46 x 2 - 11x + 30 = 0 7 x 2 - 14x + 33 = 0 47 x 2 - 13x + 42 = 0 8 6x 2 - 13x - 48 = 0 48 11x 2 - 13x - 24 = 0 9 3x 2 + 5x + 61 = 0 49 x 2 - 13x + 40 = 0 10 x 2 - 3 x - 2 - 6 = 0 50 3x 2 + 5x - 1 = 0 11 x 2 - 24x + 70 = 0 51 5x 2 + 7x - 1 = 0 12 x 2 - 6x - 16 = 0 52 3x 2 - 2 3 x - 3 = 0 13 2x 2 + 3x + 1 = 0 53 x 2 - 2 2 x + 1 = 0 14 x 2 - 5x + 6 = 0 54 x 2 - 2 ( ) 13 − x - 2 3 = 0 15 3x 2 + 2x + 5 = 0 55 11x 2 + 13x + 24 = 0 16 2x 2 + 5x - 3 = 0 56 x 2 + 13x + 42 = 0 17 x 2 - 7x - 2 = 0 57 11x 2 - 13x - 24 = 0 18 3x 2 - 2 3 x - 2 = 0 58 2x 2 - 3x - 5 = 0 19 -x 2 - 7x - 13 = 0 59 x 2 - 4x + 4 = 0 20 2 x 2 – 2( )13 − x -3 2 = 0 60 x 2 - 7x + 10 = 0 21 3x 2 - 2x - 1 = 0 61 4x 2 + 11x - 3 = 0 22 x 2 - 8x + 15 = 0 62 3x 2 + 8x - 3 = 0 23 2x 2 + 6x + 5 = 0 63 x 2 + x + 1 = 0 24 5x 2 + 2x - 3 = 0 64 x 2 + 16x + 39 = 0 25 x 2 + 13x + 42 = 0 65 3x 2 - 8x + 4 = 0 26 x 2 - 10x + 2 = 0 66 4x 2 + 21x - 18 = 0 27 x 2 - 7x + 10 = 0 67 4x 2 + 20x + 25 = 0 28 5x 2 + 2x - 7 = 0 68 2x 2 - 7x + 7 = 0 29 4x 2 - 5x + 7 = 0 69 -5x 2 + 3x - 1 = 0 30 x 2 - 4x + 21 = 0 70 x 2 - 2 3 x - 6 = 0 31 5x 2 + 2x -3 = 0 71 x 2 - 9x + 18 = 0 32 4x 2 + 28x + 49 = 0 72 3x 2 + 5x + 4 = 0 33 x 2 - 6x + 48 = 0 73 x 2 + 5 = 0 34 3x 2 - 4x + 2 = 0 74 x 2 - 4 = 0 35 x 2 - 16x + 84 = 0 75 x 2 - 2x = 0 36 x 2 + 2x - 8 = 0 76 x 4 - 13x 2 + 36 = 0 37 5x 2 + 8x + 4 = 0 77 9x 4 + 6x 2 + 1 = 0 38 x 2 – 2( )23 + x + 4 6 = 0 78 2x 4 + 5x 2 + 2 = 0 39 x 2 - 6x + 8 = 0 79 2x 4 - 7x 2 - 4 = 0 40 3x 2 - 4x + 2 = 0 80 x 4 - 5x 2 + 4 = 0 Bµi tËp 2. T×m x, y trong c¸c trêng hîp sau: a) x + y = 17, x.y = 180 e) x 2 + y 2 = 61 , x.y = 30 b) x + y = 25, x.y = 160 f) x - y = 6, x.y = 40 c) x + y = 30, x 2 + y 2 = 650 g) x - y = 5, x.y = 66 d) x + y = 11 x.y = 28 h) x 2 + y 2 = 25 x.y = 12 Bài tập 3.Không giải phơng trình,hãy tính tổng và tích các nghiệm của phơng trình sau. a) x 2 + 6x + 8 = 0 e) x 2 + 13x + 42 = 0 b) 11x 2 + 13x - 24 = 0 f) 11x 2 - 13x - 24 = 0 Tính giá trị của biểu thức A = x 1 2 + x 2 2 .\ Bài tập 4.a)Tìm một phơng trình bậc hai có hai nghiệm là: 6 23 + và 6 23 . b)Không giải phơng trình, hãy tìm tổng lập phơng các nghiệm của phơng trình sau: 3x 2 - 5x - 2 = 0. Bài tập 5.Với giá trị nào của b thì phơng trình: a) 2x 2 + bx - 10 = 0 có một nghiệm bằng 5. b) bx 2 - 15x - 7 = 0 có một nghiệm bằng 7. c) ( b - 1 )x 2 - ( b + 1 )x - 72 = 0 có một nghiệm bằng 3, tìm nghiệm còn lại. Bài tập 6.Chứng minh rằng với bất kì giá trị nào của k phơng trình: a) 7x 2 + kx - 23 = 0 có hai nghiệm trái dấu. b) 12x 2 + 70x + k 2 + 1 = 0 không thể có hai nghiệm dơng. c) x 2 - ( k + 1 )x + k = 0 có một nghiệm bằng 1. Bài tập 7.Chứng tỏ rằng các phơng trình sau luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m: a) x 2 - 4x m 2 = 0 d) x 2 + ( m + 3 )x + m + 1 = 0 b) 2x 2 - 3x + m - 1 = 0 e) x 2 - ( 1 + 2m )x + m = 0 c) x 2 + 2( m - 2 )x + m 2 = 0 f) ( 2m 2 +1 )x 2 - 2( m 2 + 2 )x + 1 = 0 Bài tập 8.Tìm điều kiện m để các phơng trình sau đây có nghiệm,vô nghiệm. a) x 2 + x - m = 0 d) x 2 - ( m - 1 )x + 1 = 0 b) 2x 2 - 3x + m - 1 = 0 e) x 2 + 2x + m 2 = 0 c) x 2 + 2( m - 2 )x + m 2 = 0 f) ( m 2 +1 )x 2 - 2( m + 3 )x + 1 = 0 Bài tập 9.Với giá trị nào của m thì các phơng trình sau đây: có nghiệm,vô nghiệm, có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép. a) 3x 2 - 2x + m = 0 c) 4x 2 + mx + m 2 = 0 b) 5x 2 + 18x + m = 0 d) 4x 2 + mx - 5 = 0 Bài tập 10.Cho phơng trình: ( a - 3 )x 2 - 2( a - 1 )x + a - 15 = 0 . a)Giải phơng trình khi a = 13. b)Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt. Bài tập 11.Cho phơng trình: x 2 + ( m + 1 )x + m = 0 . a)Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm. b)Tính y = x 1 2 + x 2 2 theo m, tìm m để y có giá trị nhỏ nhất, biết x 1 , x 2 là nghiệm của phơng trình đẵ cho. Bài tập 12.Cho phơng trình: x 2 - 2( m + 1 )x + 2m + 10 = 0 . a)Giải và biện luận số nghiệm của phơng trình theo m. b)Tìm m sao cho 10 x 1 x 2 + x 1 2 + x 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó. Bài tập 13.Cho phơng trình: 3x 2 + mx + 12 = 0 . a)Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt b)Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 1, tìm nghiệm còn lại. Bài tập 14.Cho phơng trình: x 2 - 2( k + 3 )x + 2k - 1 = 0 . a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt. b) Chứng minh rằng tổng và tích hai nghiệm có một sự liên hệ không phụ thuộc vào k. c)Tìm k để có hai nghiệm phơng trình thoả mãn hệ thức 2 311 2121 =++ xxxx . Bài tập 15.Cho phơng trình: ( 2m - 1 )x 2 - 2( m + 4 )x + 5m + 2 = 0 . a)Xác định m để phơng trình có nghiệm. b)Trong trờng hợp có nghiệm hãy tính theo m tổng S và tích P của các nghiệm. c)Tìm hệ thức liên hệ giữa tổng S và tích P. Bài tập 16.Cho phơng trình: x 2 - (2m + 3 )x + m - 3 = 0 . a) Chứng minh rằng với mọi m phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt. b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm đối nhau. Bài tập 17.Cho phơng trình: x 2 - 2( m - 1 )x + m - 1 = 0 . a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 3, tìm nghiệm còn lại. b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm bằng nhau. Bài tập 18.Cho phơng trình: x 2 + 3 x - 5 = 0 , gọi hai nghiệm của phơng trình là x 1 , x 2 . Không giải phơng trình tính giá trị của các biểu thức sau; a) 21 11 xx + b) 2 2 2 1 xx + c) 2 2 2 1 11 xx + d) 3 2 3 1 xx + Bài tập 19.Cho phơng trình: x 2 - 2(m + 1 )x + m - 4 = 0 . a)Giải phơng trình khi m = 1. b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. c) Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình, chứng minh rằng biểu thức )1()1( 1221 xxxxA += không phụ thuộc vào giá trị của m. Bài tập 20.Cho phơng trình: x 2 - m x + m - 1 = 0 . a)Giải phơng trình khi m = 5. b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị m. c) Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình, tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức A = 2 2 2 1 xx + . Bài tập 21.Cho phơng trình: x 2 -2(m+1)x + m 2 +4m-3 = 0. a)Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho có nghiệm? b)Xác định m để hiệu giữa tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm đạt giá trị lớn nhất? Bài tập 22. Cho phơng trình : x 2 +(2m-5)x-3n = 0 a)Giải phơng trình khi m=3 và n=2/3 b) Xác định m và n để phơng trình có hai nghiệm là 3 và -2 c) Khi m=4, xác định n để phơng trình có nghiệm dơng? Bài tập 23. Cho phơng trình: x 2 2(m-1)x +2m 3 = 0 a) Chứng minh với với mọi m phơng trình luôn có nghiệm b) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng -1 và khi đó hãy tính nghiệm còn lại. Bài tập 24. Cho phơng trình : x 2 2(m+1)x +m 2 + 2 =0 a)Với giá trị nào của m thì phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 b)Tìm m để hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn x 1 - x 2 =4 Bài tập 25. Cho phơng trình : x 2 -4x +m =0 (1) a)Tính hoặc của phơng trình (1) theo m b)Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có nghiệm ? c) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm x 1 và x 2 thảo mãn 12 2 2 2 1 =+ xx d) Khi phơng trình (1) có hai nghiệm x 1 và x 2 , hãy tìm giá trị của m để biểu thức A=x 1 2 + x 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất . Bài tập 26. Cho phơng trình x 2 -8x +m =0 (1) a)Giải phơng trình (1) khi m = 12 b)Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có nghiệm kép ? c)Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn: x 1 - x 2 =2 Bài tập 27. Cho phơng trình : x 2 2(a-1)x + 2a 5 = 0. a) Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi a. b) a bằng bao nhiêu thì phơng trình đã cho có hai nghiệm x 1, , x 2 thoả mãn : x 1 < 1 < x 2 . Bài tập 28. Cho phơng trình : x 2 + mx + m-2 =0. a)Giải phơng trình (1) với m=3. b)Tìm giá trị của m để các nghiệm x 1 , x 2 của phơng trình (1) thoả mãn x 1 2 + x 2 2 = 4. Bài tập 29. Cho phơng trình: x 2 + ( m + 1 )x + m - 1 = 0 (1) a. Chứng minh phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b. Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình (1), tìm m để biểu thức :A= x 1 2 x 2 + x 1 x 2 2 + 4 x 1 x 2 đạt giá trị lớn nhất Bài tập 30. Cho phơng trình x 2 - 2mx + m 2 - m +1 =0(1) a.Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép. b. Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn x 1 2 +x 2 2 - x 1 x 2 = 15 Bài tập 31. Cho phơng trình x 2 - (k+1)x+k = 0 (1) ( ẩn x, tham số k). a. Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi k ? b. Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình (1). Hãy tìm k để A= x 1 2 x 2 + x 1 x 2 2 +2005 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy ? Bài tập 32. Cho phơng trình (ẩn x tham số m): x 2 + 4x 2m = 0 (1) a)Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép b)Giải phơng trình với m = 6 Bài tập 33. Cho phơng trình : 2x 2 + (2m - 1)x+ m - 1 =0 (1) a) Giải phơng trình (1) khi m = -1 b) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi m c) Tìm giá trị của m để phơng trình có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. Bài tập 34. Cho phơng trình: x 2 + 2(m+1)x + m 2 + 4 m + 3 = 0 (1) (x là ẩn, m là tham số) a) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt? b)Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm phân biệt của phơng trình (1) Tìm m để biểu thức A= 2x 1 +2x 2 - x 1 x 2 +7 = 0 Bài tập 35. Cho phơng trình : 052)1(2 2 =+ mxmx a) Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi a. b) a bằng bao nhiêu thì phơng trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 <1<x2. c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m Bài tập 36. Cho phơng trình: 08 2 =+ mxx a) Giải phơng trình (1) khi m = 12. b) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có nghiệm kép ? c) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn 2 21 = xx Ph n BA Chuyên đề rút gon biểu thức Bài tập 1: Rút gọn biểu thức: [...]... hơn Ô tô thứ hai là 10 km/h nên đến B trớc Ô tô thứ hai 24 phút Tính vận tốc mỗi xe Lời Giải Gọi vận tốc của Ô tô thứ nhất là x ( km/h).(x> 0) Ta có vận tốc của Ô tô thứ hai là x 10 ( km/h) 120 ( h) x 120 Thời gian Ô tô thứ hai hết quãng đờng AB là: ( h) x 10 `Thời gian Ô tô thứ nhất đi hết quãng đờng AB là: Vì Ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn Ô tô thứ hai là 10 km/h nên đến B trớc Ô tô thứ hai 24 phút... tháng đầu hai tổ sản xuất đợc 800 chi tiết máy do đó ta có phơng trình (1) x + y = 800 Vì trong tháng thứ hai Tổ I vợt mức 15%, Tổ II sản xuất vợt mức 12%, cả hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy do đó ta có phơng trình (2) là: x + 15x 20x 115 112 +y+ = 945 x+ y = 945 100 100 100 100 Theo bài ra ta có hệ phơng trình: x + y = 800 x = 300 ; Giải hệ phơng trình ta đợc: 115 112 100 x + 100 y = 945... hai làm một nmình hoàn thành công việc là x, ( giờ), x> 12 1 ( KLCV ) x 4 1 Sau 4 giờ hai tổ đẵ là chung đợc khối lợng công việc là: = ( KLCV ) 12 3 1 2 Phần công việc còn lại tổ hai phải làm là: 1 = ( KLCV ) 3 3 Trong 1 giờ tổ hai làm đợc khối lợng công việc: Vì tổ hai hoàn thàmh khối lợng công việc còn lại trong 10 giờ nên ta có phơng trình: 2 : x = 10 3 Giải PTBN ta đợc x= 15 Vậy thời gian tổ hai. .. 720 chi tiết máy do đó ta có phơng trình (1) x + y = 720 Vì trong tháng thứ hai tổ I vợt mức 15%, tổ II sản xuất vợt mức 12%, cả hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy do đó ta có phơng trình (2) là: x + 15x 12x 115 112 +y+ = 819 x+ y = 819 100 100 100 100 x + y = 720 Theo bài ra ta có hệ phơng trình: 115 112 x + y = 819 100 100 x = 420 Giải hệ phơng trình ta đợc: y = 300 Vậy trong tháng đầu tổ... + = 0, 045 100 100 x+ y = 4 Theo bài ra ta có hệ phơng trình: 1,2 x 1,1y 100 + 100 = 0,045 ;Giải hệ phơng trình ta đợc: x = 101 2000 y = 3033000 Vậy dân số của tỉnh A năm nay là 1 012 000 ngời, tỉnh B là 3 033 000 ngời Bài toán 42 ( Dạng toán sử dụng kiến thức % ) Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất đợc 720 chi tiết máy Sang tháng thứ hai tổ vợt mức... -Bài toán 10 ( Dạng toán chuyển động) Quãng đờng AB dài 270 km Hai Ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B Ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn Ô tô thứ hai 12 km/h, nên đến trớc Ô tô thứ hai 40 phút Tính vận tốc của mỗi Ô tô Lời Giải Gọi vận tốc của Ô tô thứ nhất là x ( km/h).(x> 12) Ta có vận tốc của Ô tô thứ hai là x - 12 (km/h) 270 ( h) x 270 Thời gian Ô tô thứ hai đi hết quãng đờng AB... quãng đờng AB là x.y Vì nếu ngời đó tăng vận tốc thêm 10 km/h thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ do đó ta có PT (1): (x + 10) .(y-1) =xy Vì nếu ngời đó giảm vận tốc đi 10 km/h thì đến B muộn hơn dự định 2 giờ do đó ta có PT (2) (x - 10) .(y+2) =xy Theo bài ra ta có hệ phơng trình: ( x + 10) ( y 1) = xy x = 30 ;giải hệ phơng trình ta đợc y= 4 ( x 10) ( y + 2) = xy Vậy vân tốc dự định là 30 km/h, thời... sản phẩm Hỏi số sản phẩm đợc giao của mỗi tổ theo kế hoạch? (trích đề thi tốt nghiệp THCS thành phố Hà Nội, năm 2002- 2003) Bài toán 69 Hai ôtô khởi hành cùng một lúc trên quãng đờng từ A đến B dài120 km Mỗi giờ ôtô thứ nhất chạy nhanh hơn ôtô thứ hai là 10 km nên đến B trớc ôtô thứ hai là 2 giờ Tính vận tốc của mỗi ôtô? 5 (trích đề thi tốt nghiệp THCS tỉnh Bắc Giang, năm 2002- 2003) Bài toán 70 Một... phút thì đầy bể do đó ta có 15 Sau 10 phút Vòi 1 chảy đợc: 10 phơng trình: 12 10 2 + y = x 15 1 1 1 x + y = 80 ;Theo bài ra ta có hệ phơng trình: 10 + 12 = 2 x y 15 Giải hệ phơng trình ta đợc: x= 120 phút, y = 240 phút Vậy thời gian vòi 1 chảy đầy bể là 120 phút, vòi 2 là 240 phút Bài toán 34 ( Dạng toán tìm số ) Tìm hai số biết tổng bằng 19 và tổng các... toán tìm số ) Cho một số có hai chữ số Tìm số đó, biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần, nếu thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ đợc một số theo thứ tự ngợc lạivới số đẵ cho Lời Giải: Gọi chữ số phải tìm là xy ; x, y nguyên dơng, 0 x,y 9, x# 0 Vì tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần do đó ta có phơng trình: 6 ( x + y ) = xy Vì nếu thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ đợc một . có hai nghiệm x 1 = - 1; x 2 = a c + Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P và S 2 4P 0 thì hai số đó là hai. + + = 4 2 2 2 2 2 : 2 1 4 7 10 a a a a a a a a aa A a) Rút gọn b) So sánh 10 10 1 A A Với a a AKQ 6 9 : 10 + = A 11 = ( ) +