THẦY NGUYỄN PHƢƠNG CHUN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN LỚP 10-11-12 Địa điểm học: Số nhà 57 ngõ 766 Đê La Thành, Giảng Võ, Ba Đình, Hà Nội Đăng ký học vui lòng liên hệ trực tiếp với Thầy Phương_ĐT:0963.756.323 Hãy kết nối với Thầy qua Facebook: “Thầy Nguyễn Phương” để nhận kho tài liệu miễn phí 100 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC HAY VÀ KHĨ Bài Giải phương trình: √ sin 2x + cos 2x = sin2 x − 3cos2 x Hướng dẫn • Điều kiện : sin2 x − 3cos2 x = ⇔ tan2 x = ⇔ x = ± π + kπ, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình ⇔ sin 2x + ⇔ sin 2x + ⇔ 1+ √ √ √ cos 2x = sin2 x − 3cos2 x cos2 x − sin2 x = sin2 x − 3cos2 x √ sin2 x − sin x cos x − + cos2 x = Bài Giải phương trình: cos 2x − sin 2x − π − = sin 2x − + sin x + cos x sin x + cos x Hướng dẫn • Điều kiện : sin x + cos x = ⇔ tan x = −1 ⇔ x = − π + kπ, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình ⇔ π π cos 2x − (1 + sin 2x) − = sin 2x cos − sin cos 2x + sin x + cos x sin x + cos x 6 √ [2 (cos x − sin x) − (sin x + cos x)] − = sin 2x − cos 2x + sin x + cos x ⇔ −1 − sin x = ⇔ −2sin2 x − sin x = ⇔ Bài Giải phương trình: √ sin 2x − cos 2x √ cos 2x + sin 2x √ √ cos x + sin x = sin 2x + Hướng dẫn • Phương trình cho √ ⇔ cos 2x + sin x − = sin 2x − ⇔ −2sin2 x + sin x − = ⇔ −2 (sin x − 2) sin x − ⇔ − (sin x − 2) (2 sin x − 1) = √ √ sin 2x − = √ √ cos x √ cos x cos x (2 sin x − 1) cos x (2 sin x − 1) THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323 Bài Giải phương trình: cot x + cos 3x π − = sin 3x + sin 2x − sin x Hướng dẫn • Điều kiện : sin 2x − sin x = ⇔ sin x (2 cos x − 1) = x = kπ sin x = ⇔ ⇔ , k ∈ Z π x = ± + k2π cos x − = • Ta có : x 2x cos 2cos x cos x + cot = = x = sin 2 sin x2 cos x2 sin x • Suy cos x2 + cos 3x − sin x2 sin 2x − sin x cos x + 1 + cos 3x − sin x sin 2x − sin x 2cos2 x + cos x − − cos 3x = sin 2x − sin x −2sin2 x + sin 2x sin x = sin 2x − sin x = (cos x + 1) (2 cos x − 1) − (1 + cos 3x) sin 2x − sin x 2cos2 x − + (cos x − cos 3x) = sin 2x − sin x sin x (sin 2x − sin x) = = sin x sin 2x − sin x = sin3 x + cos3 x + 2cos2 x = Bài Giải phương trình: Hướng dẫn • Phương trình cho ⇔ ⇔ ⇔ sin3 x + cos3 x + 2cos2 x − = (sin x + cos x) sin2 x − sin x cos x + cos2 x + cos2 x − sin2 x = (sin x + cos x) (1 − sin x cos x + cos x − sin x) = cot2 x − cot x cot 3x = Bài Giải phương trình: sin x = sin 3x = Hướng dẫn • Điều kiện :  x = kπ ⇔ kπ x = ⇔x= kπ , k ∈ Z • Với điều kiện phương trình ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Bài Giải phương trình: cos2 x cos x cos 3x − =2 sin x sin 3x sin2 x cos x sin 3x − cos x cos 3x sin x = 2sin2 x sin 3x cos x (cos x sin 3x − cos 3x sin x) = 2sin2 x sin 3x cos x sin 2x = 2sin2 x sin 3x sin x cos2 x − sin x sin 3x = sin x − sin2 x − sin x sin x − 4sin3 x = 2 sin x 2sin2 x − = sin2 x + + sin x − sin 2x = cos x cos x Hướng dẫn • Điều kiện : cos x = ⇔ x = π + kπ, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình ⇔ ⇔ ⇔ sin2 x cos x + + sin x − sin xcos2 x = cos2 x sin2 x cos x + − cos2 x + sin x − cos2 x = sin2 x (cos x + + sin x) = THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUN LUYỆN THI ĐẠI HỌC29MƠN TỐN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323 Bài Giải phương trình: x cos 3x cos x − cos 4x − cos x + tan tan x + 2 √ = sin x −   √ 2π π     + k2π x = + k2π x =   sin x =  3 x π Hướng dẫn • Điều kiện : cos x = ⇔ = + kπ   π2      x = + kπ cos x =  π 2π   x = + k2π x = + k2π ⇔ x = π + k2π , k ∈ Z   π x = + kπ • Với điều kiện phương trình x ⇔ cos 3x cos x − cos 4x − cos x + tan tan x + = sin x2 sin x ⇔ (cos 4x + cos 2x) − cos 4x − cos x + +2=0 cos x2 cos x 2sin2 x2 ⇔ cos 2x − cos x + +2=0 cos x 2 ⇔ cos x 2cos x − − 4cos x + (1 − cos x) + cos x = ⇔ 4cos3 x − 4cos2 x − cos x + = Bài Giải phương trình: √ tan x + cot x = 3 + Hướng dẫn • Điều kiện : sin 2x = ⇔ 2x = kπ ⇔ x = sin 2x kπ , k ∈ Z • Với điều kiện phương trình ⇔ ⇔ ⇔ Bài 10 Giải phương trình: √ sin x cos x + =2 3+ cos x sin x sin 2x √ 14sin2 x + 2cos x = sin 2x +2 √ 12sin2 x = sin 2x sin2 2x + sin2 x = sin 2xsin2 x Hướng dẫn • Phương trình cho ⇔ ⇔ ⇔ Bài 11 Giải phương trình: − sin 2x = + cos 2x sin2 x + − sin 2x = sin x (8 cos 2x − sin 2x + 9) = sin2 x 4cos2 x + 4sin2 x + = 8sin2 x cos x + 4cos2 2x Hướng dẫn • Phương trình cho ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − cos2 x + = − cos2 x cos x + 2cos2 x − 16cos4 x − 8cos3 x − 12cos2 x + cos x − = (2 cos x − 1) 8cos3 x − cos x + = (2 cos x − 1) (2 cos 3x + 1) = THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUN LUYỆN THI ĐẠI HỌC30MƠN TỐN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323 cos x − sin x − cos 2x = Bài 12* Giải phương trình: Hướng dẫn • Phương trình cho cos x − sin x − cos2 x − sin2 x − = (sin x + cos x − 3) (sin x − cos x + 1) = ⇔ ⇔ Bài 13 Giải phương trình: √ (sin 2x + sin x) − cos 2x + cos x − = Hướng dẫn • Phương trình cho √ √ ⇔ sin 2x − cos 2x + sin x + cos x = √ √ 3 ⇔ sin 2x − cos 2x + sin x + cos x 2 2 π π ⇔ sin 2x − + sin x + = 6 π π π • Đặt t = x + ⇒ 2x − = 2t − , phương trình trở thành 6 π sin 2t − + sin t = 2 ⇔ − cos 2t + sin t = ⇔ 2sin2 t + sin t − = Bài 14 Giải phương trình: cos 3x x √ x π cos + 3sin2 + 2 = √ =2 3cos2 x + π Hướng dẫn • Phương trình cho ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ √ − cos x + π2 + cos 2x + (cos 2x + cos x) + − 2 √ (cos 2x + cos x) + (sin x + sin 2x) = 2√ √ 3 sin 2x + cos 2x + sin x + cos x = 2 2 π π sin 2x + + sin x + =0 6 π π sin 2x + = − sin x + 6 π 7π sin 2x + = sin x + 6 Bài 15 Giải phương trình: Hướng dẫn • Đặt t = x + π sin 3x − π π =0 π π = 3t − π, phương trình trở thành π sin (3t − π) = sin 2t − sin t − sin 3t = − cos 2t sin t − sin 3t + cos 2t sin t = sin t 4sin2 t − + − 2sin2 x = sin t sin2 t − = ⇒ 2x = 2t − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = sin 2x sin x + π 3x − THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUN LUYỆN THI ĐẠI HỌC31MƠN TỐN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323 Bài 16 Giải phương trình: (tan x cot 2x − 1) sin 4x + cos x = sin 2x = • Với điều kiện phương trình Hướng dẫn • Điều kiện : ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ π =− sin4 x + cos4 x ⇔ sin 2x = ⇔ 2x = kπ ⇔ x = kπ , k ∈ Z sin x cos 2x − cos 4x = − sin2 x + cos2 x − 2sin2 xcos2 x cos x sin 2x sin x cos 2x − cos x sin 2x 1 cos 4x = − − sin2 2x cos x sin 2x 2 − sin x 1 + cos2 2x cos 4x = − cos x sin 2x 2 −1 1 + cos2 2x cos 4x = − 2cos2 x 2 + cos 2x 2cos2 2x − = cos2 x + cos 2x + cos2 2x 2cos2 2x − = 2 cos3 2x − 7cos2 2x + cos 2x + = (cos 2x − 1) cos2 2x − cos 2x − = Bài 17 Giải phương trình: Hướng dẫn • Điều kiện : cos x + sin3 x = + sin x + cot x sin x − sin2 x sin x = sin x = ⇔ x = kπ π x = + k2π , k ∈ Z • Với điều kiện phương trình ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ cos x + sin3 x = (1 + sin x) sin x − sin2 x + (1 − sin x) cos x cos x + sin3 x = sin x − sin3 x + cos x − sin x cos x 2sin3 x − sin x + sin x cos x = sin x 2sin2 x − + cos x = sin x −2cos2 x + cos x + = Bài 18 Giải phương trình: tan x cos 3x + cos 2x − √ = (sin 2x + cos x) − sin x  cos x = Hướng dẫn • Điều kiện : sin x = • Với điều kiện phương trình ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  π x = + kπ ⇔ x = π + k2π x = 5π + k2π 6 , k ∈ Z sin x cos 3x + cos 2x cos x − cos x √ = (sin 2x + cos x) cos x − sin 2x √ sin x cos 3x + cos 3x + cos x = (sin 2x + cos x) (cos x − sin 2x) √ x − cos sin x cos 3x + cos 3x √ = cos2 x − sin2 2x cos 3x (sin x + 1) = √3cos2 x − 4sin2 x cos 3x (sin x + 1) = √3cos2 x 4cos2 x − cos 3x (sin x + 1) = √3 cos x 4cos3 x − cos x cos 3x (sin x + 1) √ = cos x cos 3x cos 3x sin x − cos x + = THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323 (1 − sin 2x) sin x + Bài 19* Giải phương trình: 3π + cos 2x = Hướng dẫn • Phương trình cho ⇔ (1 − sin 2x) sin π + x − π + cos2 x − sin2 x = ⇔ √ √ π − − sin 2x sin x − + cos2 x − sin2 x = √ − − sin 2x (sin x − cos x) + cos2 x − sin2 x = ⇔ (cos x − sin x) ⇔ Bài 20 Giải phương trình: √ − sin 2x + cos x + sin x = sin 3x + sin 2x + sin x + = cos 3x + cos 2x − cos x Hướng dẫn • Phương trình cho ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ (sin 3x + sin x) + (sin 2x + 1) = (cos 3x − cos x) + cos 2x 2 sin 2x cos x + (sin x + cos x) = −2 sin 2x sin x + cos2 x − sin2 x 2 sin 2x (cos x + sin x) + (sin x + cos x) − cos2 x − sin2 x = (cos x + sin x) [2 sin 2x + (sin x + cos x) − (cos x − sin x)] = (cos x + sin x) (sin 2x + sin x) = Bài 21 Giải phương trình: (2 cos x − 1) cot x = sin x = cos x = • Với điều kiện phương trình Hướng dẫn • Điều kiện : ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Bài 22 Giải phương trình: ⇔ sin x + sin x cos x − x = kπ x = k2π ⇔ x = kπ, k ∈ Z 2cos2 x − cos x − sin x = sin x cos x − (cos x + 1) (2 cos x − 3) sin x = sin x cos x − (cos x − 1) (cos x + 1) (2 cos x − 3) = 2sin2 x −sin2 x (2 cos x − 3) = 2sin2 x sin2 x (2 cos x − 1) = √ sin 2x + cos x − (cos 2x + sin x) √ = sin 2x −  π x = + k2π 3 Hướng dẫn • Điều kiện : sin 2x = ⇔ , k ∈ Z x = 2π + k2π • Với điều kiện phương trình √ ⇔ sin 2x + cos √ x − (cos 2x + sin√x) = ⇔ sin 2x − cos 2x + cos x − sin x = √ √ 3 ⇔ sin 2x − cos 2x + cos x − sin x 2 2 π π ⇔ sin 2x − + sin − x = √ =0 THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323 Bài 23 Giải phương trình: (sin 2x − cos 2x) tan x + Hướng dẫn • Điều kiện : cos x = ⇔ x = sin 3x = sin x + cos x cos x π + kπ, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình (sin 2x − cos 2x) sin x + sin 3x = sin x + cos x cos x (sin 2x sin x − cos 2x sin x) + sin 2x cos x + sin x cos 2x = sin x + cos x cos x sin 2x (sin x + cos x) = sin x + cos x cos x sin x (sin x + cos x) = sin x + cos x (sin x + cos x) (2 sin x − 1) = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Bài 24 Giải phương trình: π π − x − cos2 + 2x 4 sin 7x + sin 9x = cos2 Hướng dẫn • Phương trình cho ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ sin 7x + sin 9x = + cos π − 2x − + cos π π sin 7x + sin 9x = cos − 2x − cos + 4x 2 sin 7x + sin 9x = sin 2x + sin 4x sin 8x cos x = sin 3x cos x cos x (sin 8x − sin 3x) = Bài 25 Giải phương trình: π + 4x cos 3x − sin 2x − cos x − sin x − = Hướng dẫn • Phương trình cho ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ (cos 3x − cos x) − sin 2x − (sin x + 1) = −2 sin 2x sin x − sin 2x − (sin x + 1) = −2 sin 2x (sin x + 1) − (sin x + 1) = (sin x + 1) (2 sin 2x + 1) = Bài 26 Giải phương trình: π π sin x − + cos −x x − cos x + sin x tan = cos2 x cos x cos x = Hướng dẫn • Điều kiện : x cos = • Với điều kiện phương trình ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  x = π + kπ ⇔ x 2π  = + kπ 2 cos x cos x2 + sin x sin x2 − cos x cos x2 x cos 2 sin x cos π3 − = x cos2 x cos cos x sin x −1= cos2 x cos x − cos x = sin x cos x sin2 x = sin x cos x sin x (sin x − cos x) = ⇔ = π + kπ x = π + k2π x= sin x − π + sin cos x , k ∈ Z π +x THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323 Bài 27 Giải phương trình: 1 π π − = cot x + cot −x cos2 x sin2 x 3   π   x = + kπ cos x =           x = kπ sin x = x = kπ π Hướng dẫn • Điều kiện : ⇔ ⇔ π π kπ =0 sin x +    x + = kπ    x = − +     π   sin  π − x = kπ −x =0 6 • Ta có : π π π π cot − x = tan − − x = tan +x 6 • Suy : π π π π cot x + cot − x = cot x + tan + x = 3 , k ∈ Z • Với điều kiện phương trình ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Bài 28 Giải phương trình: 1 − = 2 cos x sin x 3 sin2 x − cos2 x = 8sin2 xcos2 x −3 cos 2x = 2sin2 2x −3 cos 2x = − cos2 2x 2cos2 2x − cos 2x − = + sin x + cos x = cos x π − Hướng dẫn • Phương trình cho ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x x x π + sin + cos = cos − 2 x x x x x π sin + cos + cos2 − sin2 = cos − 2 2 2x x x x x x x π sin + cos sin + cos + cos − sin = cos − 2 2x x 2π 2 x x sin + cos cos = cos − 2 x x x2 x 2π sin + cos cos = cos − 2x 2x 4π √ x 2π cos − cos = cos − x 2π √ x cos − cos − = Bài 29 Giải phương trình: Hướng dẫn • Điều kiện : tan2 3x tan 5x + tan 3x − tan 5x = cos 3x = cos 5x =  3x = π + kπ ⇔ 5x = π + kπ   x = π + kπ ⇔ π kπ  x = + 10 , k ∈ Z • Với điều kiện phương trình ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ tan2 3x tan 5x + tan 3x − (tan 5x − tan 3x) = tan 3x (tan 3x tan 5x + 1) − (tan 5x − tan 3x) = sin 3x sin 3x sin 5x sin 5x sin 3x +1 − − =0 cos 3x cos 3x cos 5x cos 5x cos 3x sin 3x cos 2x − sin 2x = cos 3x sin 3x cos 2x − sin 2x cos 3x = THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323 Bài 30 Giải phương trình: 3π π + x − sin2 + x cos x = sin xcos2 x − 3sin2 x cos x 2 3sin2 x cos Hướng dẫn • Phương trình cho 3sin2 x sin x − cos2 x cos x = sin xcos2 x − 3sin2 x cos x 3sin3 x + 3sin2 x cos x − cos3 x − sin xcos2 x = 3sin2 x (sin x + cos x) − cos2 x (cos x + sin x) = (sin x + cos x) 3sin2 x − cos2 x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Bài 31 Giải phương trình: sin x sin √ π π + x sin − x + cos x cos 3 2π + x cos 4π +x = Hướng dẫn • Phương trình cho ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ √ 2π 2π + cos x cos 2x + cos =2 √ √ sin x cos 2x + sin x + √ cos x cos 2x − cos√x = (sin 3x −√sin x) + sin x + (cos 3x + cos x) − cos x = sin 3x + cos 3x = 2 sin x cos 2x − cos Bài 32 Giải phương trình: sin2 x (1 + tan x) = sin x (cos x − sin x) + Hướng dẫn • Điều kiện : cos x = ⇔ x = π + kπ, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Bài 33 Giải phương trình: sin x = sin x cos x − 3sin2 x + cos x cos x + sin x sin2 x = sin x cos x + 3cos2 x cos x cos x + sin x sin2 x = cos x (sin x + cos x) cos x sin x (sin x + cos x) = 3cos2 x (sin x + cos x) (sin x + cos x) sin2 x − 3cos2 x = sin2 x + sin x − 2cos3 x = sin 2x cos x Hướng dẫn • Phương trình cho ⇔ ⇔ ⇔ sin x − 2cos3 x = 10 sin xcos2 x sin x − 2cos3 x = 10 sin x − sin2 x 10sin3 x − sin x − 2cos3 x = • Nếu cos x = 0, ta 10sin3 x = ⇔ sin x = (mâu thuẩn) • Do cos x = khơng nghiệm phương trình Chia hai vế phương trình cho cos3 x, ta ⇔ ⇔ ⇔ sin3 x sin x −4 −2=0 cos33 x cos x cos2 x 10tan x − tan x + tan x − = 6tan3 x − tan x − = 10 THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323 Bài 34 Giải phương trình: sin √ π + 2x cot 3x + sin (π + 2x) − cos 5x = Hướng dẫn • Điều kiện : sin 3x = ⇔ 3x = kπ ⇔ x = kπ , k ∈ Z • Với điều kiện phương trình cos 2x ⇔ cos 2x cos 3x − sin 2x sin 3x √ − cos 5x = sin 3x ⇔ cos 5x √ − cos 5x = sin 3x √ cos 5x − cos 5x sin 3x = ⇔ cos 5x − ⇔ Bài 35 Giải phương trình: Hướng dẫn • Đặt t = √ cos 3x − sin 2x − cos 5x = sin 3x ⇔ cos 2x + √ π sin 3x = = sin 5π − x − 5π π − x ⇒ 2x + = 2π − 2t, phương trình trở thành ⇔ ⇔ ⇔ cos (2π − 2t) = sin t − cos 2t = sin t − − 2sin2 t = sin t − 10sin2 t + sin t − 14 = sin x + cos x + tan 2x + cos 2x = sin x − cos x Bài 36 Giải phương trình: Hướng dẫn • Điều kiện : cos 2x = ⇔ 2x = π π kπ + kπ ⇔ x = + , k ∈ Z • Với điều kiện phương trình sin x + cos x sin 2x +2 + cos 2x = sin x − cos x cos 2x −(sin x + cos x) + sin 2x + cos2 2x = − (1 + sin 2x) + sin 2x + − sin2 2x = sin 2x (sin 2x − 1) = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Bài 37 Giải phương trình: 2sin2 x − Hướng dẫn • Điều kiện : cos x = ⇔ x = π = 2sin2 x − tan x π + kπ, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ π 2sin2 x cos x − sin x − cos 2x − = cos x sin x (2 sin x cos x − 1) − sin 2x = cos x − sin 2x = tan x (sin 2x − 1) (1 − sin 2x) (1 + tan x) = THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323 10 Bài 41 Giải phương trình: cos π + 3x + cos 2π − 4x + cos x = Hướng dẫn • Phương trình cho ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Bài 42* Giải phương trình: π 2π + 3x + cos − 4x = − cos x 3 π x 7x π x cos − cos − = 2sin2 2 x 7x π x sin cos − = 2sin2 2 x 7x π x sin cos − − sin =0 2 x 7x π π x sin cos − − cos − =0 2 2 cos + cos x cos 3x = tan 5x π π kπ + kπ ⇔ x = + , k ∈ Z 10 Hướng dẫn • Điều kiện : cos 5x = ⇔ 5x = • Với điều kiện phương trình sin x + sin x cos x cos 3x ⇔ = tan 5x sin x sin x + (sin 5x − sin x) ⇔ = tan 5x sin x sin 5x = ⇔ sin x = cos 5x Bài 43* Giải phương trình: sin x + = ⇔ ⇔ sin x + sin 2x cos 3x = tan 5x sin x sin 5x sin 5x = sin x cos 5x cos 2x − cos x − Hướng dẫn • Phương trình cho trở thành ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ (sin x + 1) (2 cos x − 4) = (3 cos 2x − 5) sin x cos x − cos 2x + cos x − sin x + = sin x cos x + (1 − cos 2x) + (2 cos x − sin x) = sin x cos x + 2sin2 x − cos2 x + (cos x − sin x) = 2sin2 x + cos x sin x − cos2 x + (cos x − sin x) = 2sin2 x + cos x sin x − cos2 x + (cos x − sin x) = (sin x + cos x) (2 sin x − cos x) + (cos x − sin x) = (2 sin x − cos x) (sin x + cos x − 1) = Bài 44 Giải phương trình: 2cos3 x = cos x + tan 2x + sin x sin 2x Hướng dẫn • Điều kiện : cos 2x = ⇔ 2x = π π kπ + kπ ⇔ x = + , k ∈ Z • Với điều kiện phương trình ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ cos x − cos2 x + tan 2x + sin x sin 2x = sin 2x 2sin2 x cos x + + sin x sin 2x = cos 2x sin 2x sin x sin 2x + + sin x sin 2x = cos 2x sin 2x sin x + = cos 2x THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TỐN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323 12 Bài 45 Giải phương trình: cos 3x + 2π = + cos x + cos x Hướng dẫn • Điều kiện : cos x = ⇔ x = cos x − 2π π + kπ, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình 4π = + cos 2x − cos cos x = cos 2x cos 3x + cos x cos x 4cos3 x − cos x + = cos x 2cos2 x − 4cos4 x − 4cos3 x − 3cos2 x + cos x + = 4cos3 x (cos x − 1) − (cos x − 1) (3 cos x + 1) = (cos x − 1) 4cos3 x − cos x − = ⇔ cos 3x + ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ (1 + tan x) cos 5x = sin x + cos x + cos 4x − cos 2x Bài 46* Giải phương trình: Hướng dẫn • Điều kiện : cos x = ⇔ x = π + kπ, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ (cos x + sin x) (cos 4x cos x − sin 4x sin x) = sin x + cos x + sin x − 4sin3 x sin x cos x (cos x + sin x) cos 4x − 4sin2 x cos 2x = sin x + cos x + 4sin2 x − 4sin2 x (cos x + sin x) − cos 4x + 4sin2 x cos 2x + 4sin2 x − 4sin2 x = (cos x + sin x) 2sin2 2x + 4sin2 x cos 2x + 4sin2 x − 4sin2 x = (cos x + sin x) 8sin2 x − sin2 x + 4sin2 x − 2sin2 x + 4sin2 x − 4sin2 x = (cos x + sin x) 8sin2 xcos2 x + 4sin2 x − 2sin2 x + 4sin2 x − 4sin2 x = 4sin2 x − 4sin2 x (cos x + sin x + 1) = tan2 x + 9cot2 x + Bài 47* Giải phương trình: cos 2x + = 14 sin 2x Hướng dẫn • Điều kiện : sin 2x = ⇔ 2x = kπ ⇔ x = kπ , k ∈ Z • Với điều kiện phương trình ⇔ ⇔ • Đặt t = tan x ⇒ cot x = Bài 48 Giải phương trình: 3cos2 x + sin2 x = 14 sin x cos x 2 tan x + 9cot x + cot x + tan x = 14 tan2 x + 9cot2 x + Khi phương trình trở thành t t2 + + + t = 14 t t ⇔ t4 + + 3t + t3 = 14t2 ⇔ t4 + t3 − 14t2 + 3t + = sin 4x + cos 3x + cos x = sin x + Hướng dẫn • Phương trình cho ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ sin x cos x cos 2x + cos 3x + cos x = sin x + 2 sin x (cos 3x + cos x) + cos 3x + cos x = (2 sin x + 1) (cos 3x + cos x) (2 sin x + 1) = (2 sin x + 1) (2 sin x + 1) (cos 3x + cos x − 2) = THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TỐN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323 13 Bài 49 Giải phương trình: sin3 x + cos3 x + (cos x − sin x) = sin 4x 16 Hướng dẫn • Phương trình cho ⇔ (sin x + cos x) (1 − sin x cos x) = sin 4x − sin 2x 16 ⇔ 16 (sin x + cos x) (1 − sin x cos x) = sin 2x cos 2x (2 − sin 2x) ⇔ (sin x + cos x) [8 (1 − sin x cos x) − sin 2x (cos x − sin x) (2 − sin 2x)] = Bài 50 Giải phương trình: cos3 x − sin3 x + (cos x + sin x) = cos 2x Hướng dẫn • Phương trình cho ⇔ (cos x − sin x) (1 + sin x cos x) = cos 2x + sin 2x ⇔ (cos x − sin x) (1 + sin x cos x) = cos 2x (2 + sin 2x) ⇔ (cos x − sin x) [4 (1 + sin x cos x) − (cos x + sin x) (2 + sin 2x)] = Bài 51 Giải phương trình: 16 sin6 x + cos6 x − sin 4x + Hướng dẫn • Điều kiện : cos x = cos 2x = √ (1 + tan x tan 2x) = 10  π x = + kπ ⇔ x = π + kπ , k ∈ Z • Với điều kiện phương trình √ (cos x cos 2x + sin x sin 2x) = 10 cos x cos 2x ⇔ 16 − 3sin2 xcos2 x − sin 4x + ⇔ − 12sin2 2x − sin 4x + ⇔ √ − 2sin2 2x − sin 4x − sin 2x = ⇔ cos 4x − sin 4x = ⇔ sin √ √ =0 cos 2x sin 2x π − 4x = sin 2x THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323 14 Bài 52 Giải phương trình: (tan x cot 2x − 1) sin 4x + Hướng dẫn • Điều kiện : sin 2x = ⇔ x = π =− sin4 x + cos4 x kπ , k ∈ Z • Với điều kiện phương trình ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ sin x cos 2x − cos x sin 2x cos 4x = − − 2sin2 xcos2 x cos x sin 2x − sin x 1 cos 4x = − − sin 2x cos x sin 2x 2 −1 1 cos 4x = − + cos x 2cos2 x 2 2 + cos x cos 4x = cos2 x + cos 2x + cos2 x 2cos2 x − = 2 cos3 x − 7cos2 x + cos x + = Bài 53 Giải phương trình: cot x + sin x + tan x tan    sin x = Hướng dẫn • Điều kiện : cos x =  x  cos = • Với điều kiện phương trình ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x = ⇔ sin 2x = ⇔ x = cot x + sin x kπ , k ∈ Z cos x cos x2 + sin x sin x2 cos x cos x2 =4 cos x sin x + =4 sin x cos2x cos x + sin x = sin x cos x sin 2x = THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323 15 Bài 54 Giải phương trình: sin 2x + tan x = Hướng dẫn • Điều kiện : cos x = ⇔ x = π + kπ, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Bài 55 Giải phương trình: sin x =3 cos x sin xcos2 x + sin x = cos x tan x + tan x + tan2 x = + tan2 x 2tan3 x − 3tan2 x + tan x − = (tan x − 1) 2tan2 x − tan x + = sin x cos x + sin x cos 2x + cos2 x tan2 x − + 2sin3 x = Hướng dẫn • Điều kiện : cos x = ⇔ x = π + kπ, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Bài 56 Giải phương trình: sin2 x − cos2 x + 2sin3 x = cos2 x sin x cos 2x + sin2 x − cos2 x + 2sin3 x = sin x − 2sin2 x + 2sin2 x − + 2sin3 x = 2sin2 x + sin x − = sin x cos 2x + cos2 x tan x + cot x = (sin 2x + cos 2x) sin x = cos x = • Với điều kiện phương trình Hướng dẫn • Điều kiện : ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Bài 57 Giải phương trình: kπ , k ∈ Z ⇔ sin 2x = ⇔ x = sin x cos x + = (sin 2x + cos 2x) cos2x sin x sin x + cos x = (sin 2x + cos 2x) sin x cos x = sin 2x (sin 2x + cos 2x) − sin2 2x = sin 2x cos 2x cos2 2x = sin 2x cos 2x cos 2x (cos 2x − sin 2x) = sin 2x − = 3(sin x − cos x) tan2 2x Hướng dẫn • Điều kiện : cos 2x = ⇔ x = π kπ + , k ∈ Z • Với điều kiện phương trình ⇔ sin2 2x sin 2x − = 3(sin x − cos x) (cos x − sin x) (cos x + sin x) 2 ⇔ ⇔ ⇔ 3sin 2x + sin 2x (5 sin 2x − 2) (1 + sin 2x) = 3sin2 2x 2sin2 2x + sin 2x − = sin 2x − = THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323 16 Bài 58 Giải phương trình: sin x − = (1 − sin x) tan2 x Hướng dẫn • Điều kiện : cos x = ⇔ x = π + kπ, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình ⇔ sin x − = (1 − sin x) ⇔ sin x − = 3sin2 x + sin x (5 sin x − 2) (1 + sin x) = 3sin2 x 2sin2 x − sin x − = ⇔ ⇔ Bài 59 Giải phương trình: sin2 x − sin2 x − tan x (tan x + sin x) + cos x = Hướng dẫn • Điều kiện : cos x = ⇔ x = π + kπ, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình sin x sin x + sin x + cos x = cos x cos x 3cos2 x − sin2 x − 2sin2 x cos x + 6cos3 x = 3cos2 x (1 + cos x) − sin2 x (1 + cos x) = (1 + cos x) 3cos2 x − sin2 x = ⇔ 3− ⇔ ⇔ ⇔ √ √ 3cot2 x + 2sin2 x = + cos x Bài 60* Giải phương trình: Hướng dẫn • Điều kiện : sin x = ⇔ x = kπ, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình ⇔ ⇔ ⇔ √ √ cos2 x 2 + 2sin x = cos x + cos x sin x √ cos x √ cos x + 2sin2 x − cos x = − sin x √ cos x 2sin x − cos x − = sin2 x Cách khác Với điều kiện phương trình ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ √ √ cos2 x 2 + 2sin x = cos x + cos x sin x √ √ 3cos2 x + 2sin4 x = + cos xsin2 x √ √ 2 3cos x + 2 − cos x = + 2√ cos x − cos2 x √ √ √ √ 2cos x + + cos x + − cos2 x − + cos x + 2 = √ Bài 61 Giải phương trình: x π − cos x − 2sin2 − 2x 4sin − = x π = ⇔ x = ± + k2π, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình √ π x ⇔ − cos x − + cos x − = 4sin2 − 2 √ ⇔ √ − cos x − + sin x = (1 − cos x) − ⇔ cos x + sin x = Hướng dẫn • Điều kiện : sin2 THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC44MƠN TỐN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323 17 Bài 62 Giải phương trình: Hướng dẫn • Điều kiện : (cot x + cos x) = (1 + sin x) cot x − cos x sin x = cot x − cos x =   sin x = ⇔ cos x =   sin x = ⇔x= kπ , k ∈ Z • Với điều kiện phương trình cos x + cos x sin x = (1 + sin x) cos x − cos x sin x (1 + sin x) = (1 + sin x) − sin x (1 + sin x) [3 − (1 − sin x)] = (1 + sin x) (1 + sin x) = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Bài 63 Giải phương trình: cos3 x − cos2 x = (1 + sin x) sin x + cos x Hướng dẫn • Điều kiện : sin x + cos x = ⇔ x = − π + kπ, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ cos2 x (cos x − 1) = (1 + sin x) (sin x + cos x) − sin2 x (cos x − 1) = (1 + sin x) (sin x + cos x) (1 + sin x) [(1 − sin x) (cos x − 1) − (sin x + cos x)] = (1 + sin x) (sin x + cos x + sin x cos x + 1) = Bài 64 Giải phương trình: cos 6x + cos 4x − √ cos 2x = sin 2x + √ Hướng dẫn • Phương trình cho ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Bài 65* Giải phương trình: √ √ cos 5x cos x − √3 cos 2x − − sin 2x = cos 5x cos x − √3 (cos 2x + 1) − sin 2x = cos 5x cos x − √ 3cos2 x − sin 2x = cos x cos 5x − cos x − sin x = sin 3x − cos 3x − cos x sin 2x −  π x = + kπ 12 Hướng dẫn • Điều kiện : sin 2x = ⇔ x = 5π + kπ 12 • Với điều kiện phương trình ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = − cos 2x , k ∈ Z sin x − 4sin3 x − 4cos3 x + cos x − cos x = − − 2sin2 x sin 2x − (sin x + cos x) − (sin x + cos x) (1 − sin x cos x) − cos x = 2sin2 x + sin 2x − (sin x + cos x) (3 − (1 − sin x cos x)) − cos x = 2sin2 x + sin 2x − (sin x + cos x) (2 sin 2x − 1) − cos x = 2sin2 x + sin 2x − sin x = 2sin2 x + THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323 18 + cos x + cos 2x − cos 3x = sin x sin 2x Bài 66 Giải phương trình: Hướng dẫn • Phương trình cho + cos x + 2cos2 x − − 4cos3 x − cos x = 8sin2 x cos x + cos x + 2cos2 x − − 4cos3 x − cos x = − cos2 x cos x 2cos2 x + cos x = √ (cos x − sin x) Bài 67 Giải phương trình: = tan x + cot 2x cot x − ⇔ ⇔ ⇔  cos x =    sin 2x = Hướng dẫn • Điều kiện :  cos x − sin x =    tan x + cot 2x = • Với điều kiện phương trình , k ∈ Z √ (cos x − sin x) sin x = sin x cos 2x cos x − sin x + cos x √ sin 2x sin 2x = sin√ x sin x cos x − = ⇔ ⇔ ⇔ 2sin2 x − Bài 68 Giải phương trình:  x = kπ ⇔ x = π + kπ Hướng dẫn • Điều kiện : cos x = ⇔ x = π = 2sin2 x − tan x π + kπ, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ π sin x = 2sin2 x − 2 cos x 2sin x cos x − sin x − sin 2x = cos x sin x (sin 2x − 1) − sin 2x = cos x − sin 2x = tan x (sin 2x − 1) (1 − sin 2x) (1 − tan x) = − cos 2x − sin 2x +√ = cos x sin x + cos x tan x Bài 69 Giải phương trình:   sin x + cos x = Hướng dẫn • Điều kiện : tan x =   cos x = ⇔ π sin 2x = sin x +  π   sin x + = ⇔ sin x =   cos x =  π x = − + kπ =0 ⇔ x = kπ , k ∈ Z • Với điều kiện phương trình sin 2x cos x ⇔ +√ = cos x sin x + cos x sin x √ √ ⇔ sin x sin 2x + cos x (sin = 2 sin x cos x (sin x + cos x) √ x + cos x) ⇔ cos x (sin x + cos x) = 2√ sin xcos2 x ⇔ cos x sin x + cos x − 2 sin x cos x = THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323 19 Bài 70 Giải phương trình: Hướng dẫn • Nếu cos sin 5x = sin • Do cos sin 5x x = 5cos3 x sin 2 x = ⇔ x = π + k2π, ta có 5π + k5π = ±1 5cos3 x sin x π = 5cos3 (π + k2π) sin + kπ = ±5 2 x x = khơng nghiệm phương trình nên nhân hai vế cho cos ta 2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Bài 71 Giải phương trình: 5x x x x sin cos = 5cos3 x sin cos 2 2 (sin 3x + sin 2x) = cos x sin x 2 sin 3x + sin 2x = 5cos3 x sin x sin x − 4sin3 x + sin x cos x = 5cos3 x sin x sin x − 4sin2 x + cos x − 5cos3 x = sin x 5cos3 x − 4cos2 x − cos x + = √ √ 2cos2 x + sin x cos x + = sin x + 3 cos x Hướng dẫn • Phương trình cho √ √ + cos 2x √+ sin 2x + = sin x√+ cos x cos 2x + sin 2x + = sin x + cos x π π ⇔ sin 2x + + = sin x + π π ⇒ 2x + = 2t − , phương trình trở thành π sin 2t − + = sin t ⇔ − cos 2t + = sin t ⇔ 2sin2 t = sin t ⇔ sin t (2 sin t − 3) = ⇔ ⇔ • Đặt t = x + π Bài 72 Giải phương trình: tan x + cot 2x = sin 2x + cos x = sin 2x = • Với điều kiện phương trình Hướng dẫn • Điều kiện : ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ sin 2x ⇔ sin 2x = ⇔ x = kπ , k ∈ Z 2 sin x cos 2x + = sin 2x + cos x sin 2x sin 2x 4sin2 x + cos 2x = 2sin2 2x + 4sin2 x + cos 2x − − 2sin2 2x = 4sin2 x − 2sin2 x − 2sin2 2x = 2sin2 x − 2sin2 2x = 2sin2 x − 4cos2 x = THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323 20 Bài 73 Giải phương trình: sin 3x + sin 5x − sin x cos 2x = Hướng dẫn • Phương trình cho ⇔ ⇔ sin 3x + sin 5x − (sin 3x − sin x) = sin 3x + sin 3x cos 2x = Bài 74 Giải phương trình: ⇔ ⇔ sin 3x + sin 5x + sin x = sin 3x(3 + cos 2x) = (1 + cos 2x) sin 2x = (sin 3x + sin x) (1 + sin x) − sin x Hướng dẫn • Điều kiện : sin x = ⇔ x = π + k2π, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ (1 + cos 2x) sin 2x = (sin 3x + sin x) (1 + sin x) (1 − sin x) 2cos2 x sin 2x = (2 sin 2x cos x) cos2 x 2cos2 x sin 2x = sin 2x cos xcos2 x 2cos2 x sin 2x (1 − cos x) = Bài 75 Giải phương trình: cos x + sin 2x + = cos 3x Hướng dẫn • Điều kiện : cos 3x = ⇔ x = π kπ + , k ∈ Z • Với điều kiện phương trình ⇔ ⇔ ⇔ cos x + sin 2x + cos 3x =0 cos 3x cos 2x cos x + sin 2x = cos x (cos 2x + sin x) = Bài 76 Giải phương trình: ⇔ cos x + sin 2x + cos 3x = ⇔ cos 2x cos x + sin x cos x = (tan x + sin x) − cos x (1 + cos x) = 2sin2 x tan x − sin x cos x = tan x − sin x = • Với điều kiện phương trình Hướng dẫn • Điều kiện : ⇔x= kπ , k ∈ Z ⇔ (1 + cos x) − cos x (1 + cos x) = 2sin2 x − cos x (1 + cos x) − cos x (1 + cos x) (1 − cos x) = 2sin2 x (1 − cos x) ⇔ ⇔ (1 + cos x) − cos x (1 − cos x) − 2(1 − cos x) (1 + cos x) (2 cos x + 1) = ⇔ Bài 77* Giải phương trình: tan √ π cos x − sin x =0 + = Hướng dẫn • Phương trình cho √ √ π π ⇔ cos x − sin x = − + kπ ⇔ cos x − sin x = −1 + 4k 4 √ • Để phương trình có nghiệm ⇔ (1 − 4k) ≤ 12 + ( 3)2 ⇔ − ≤ k ≤ Do k ∈ Z nên ta chọn k = 4 √ Khi phương trình trở thành : cos x − sin x = −1 THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC48MƠN TỐN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323 21 Bài 78 Giải phương trình: sin 2x + cos 2x + = (3 cos x − 2) sin2 x + Hướng dẫn • Phương trình cho ⇔ ⇔ ⇔ Bài 79 Giải phương trình: sin2 xcos2 x + 2cos2 x = (3 cos x − 2) sin2 x + cos2 x sin2 x + = (3 cos x − 2) sin2 x + cos2 x − cos x + = √ cos 2x = 1 + sin x cos x sin x = kπ ⇔x= , k ∈ Z cos x = • Với điều kiện phương trình √ ⇔ cos 2x sin x cos √ x = cos x + sin x ⇔ (sin x + cos x) (cos x − sin x) sin x cos x − = Hướng dẫn • Điều kiện : Bài 80 Giải phương trình: √ √ 2sin2 x − sin x cos x + = cos x − sin x Hướng dẫn • Phương trình cho ⇔ ⇔ ⇔ √ √ 3sin2 x − sin x cos x + cos2 x = cos x − sin x √ √ = cos x − sin x √3 sin x − cos x √ sin x − cos x sin x − cos x + = Bài 81 Giải phương trình: √ (sin x + cos x) − 2sin2 x π π = sin − x − sin − 3x 4 + cot2 x Hướng dẫn • Điều kiện : sin x = ⇔ x = kπ, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Bài 82 Giải phương trình: + sin 2x − 2sin2 x √ π = cos − 2x sin x + cot x cos 2x + sin 2x = (sin 2x + cos 2x) sin x + cot2 x cos 2x + sin 2x = (sin 2x + cos 2x) sin x (sin 2x + cos 2x) − = sin x √ sin x + cos x = Hướng dẫn • Điều kiện : cos x = ⇔ x = cos x π + kπ, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ √ √3 sin x cos x + cos2 x = √3 sin x cos x + cos2 x − = sin√ x cos x − sin x = sin x cos x − sin x = THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323 22 Bài 83 Giải phương trình: Hướng dẫn • Điều kiện : √ (1 − sin x) cos x = (1 + sin x) (1 − sin x) + sin x = − sin x =  π  x = + k2π   2π  ⇔ x = − + k2π   7π   x= + k2π • Với điều kiện phương trình √ ⇔ (1 − sin x) cos x = (1 + sin x) (1 − sin x) √ √ ⇔ cos x − sin x = sin 2x + cos 2x Bài 84 Giải phương trình: ⇔ ⇔ , k ∈ Z √ cos x − sin 2x = (sin x + cos 2x) π π sin − x = sin 2x + 2cos3 x − cos x − sin 2x = (1 + cos x) (1 + sin x) cos x − Hướng dẫn • Điều kiện : cos x = ⇔ x = k2π, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 2cos3 x − cos x − sin 2x = (cos x − 1) (1 + cos x) (1 + sin x) cos x cos2 x − − sin x = −2sin2 x (1 + sin x) cos x −sin2 x − sin x = −sin2 x (1 + sin x) − sin x cos x (1 + sin x) = −sin2 x (1 + sin x) − sin x (1 + sin x) (cos x − sin x) = Bài 85 Giải phương trình: √ + sin x − cos2 x π x tan − = tan x + sin x   sin x =  π x − =0 Hướng dẫn • Điều kiện : cos   cos x = • Ta có tan   x = kπ ⇔ 3π  x = + k2π ⇔x= kπ , k ∈ Z − tan x2 cos x2 − sin x2 cos2 x2 − sin2 x2 π x cos x − = = = = x x + tan x2 cos x2 + sin x2 + sin x cos + sin • Với điều kiện phương trình ⇔ ⇔ √ + sin x − cos2 x cos x = tan x + + sin x sin x √ sin x + cos x = tan x + sin x + sin x ⇔ ⇔ √ sin2 x + sin x cos x = tan x + + sin x sin x √ cot x = tan x + Bài 86 Giải phương trình: √ (2 sin x − 1) = (sin x − 1) − cos 2x + π π − sin 2x + 4 Hướng dẫn • Phương trình cho √ √ ⇔ (2 sin x −√1) = (sin x − 1) − √ sin 2x + π2 √ ⇔ 2√2 sin x − √2 = (sin x − 1) − √2 cos 2x ⇔ 2 sin x −√ = (sin x − 1) √ − − 2sin x ⇔ 2sin x + 2 − sin x − 2 = THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TỐN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323 23 Bài 87 Giải phương trình: cos x (cos x + sin x) + sin x sin x + sin 2x − Hướng dẫn • Điều kiện : sin 2x = ⇔ x = √ = π + kπ, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình ⇔ ⇔ ⇔ √ cos x (cos x + sin x) + sin x sin x + = sin 2x − √ cos2 x + sin √ x cos x + 3sin x + sin x = sin 2x − 2sin x + sin x + = + cos 3x = −2 sin x − cos x Bài 88 Giải phương trình: Hướng dẫn • Điều kiện : sin x ≤ ⇔ π + k2π ≤ x ≤ 2π + k2π, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình ⇔ ⇔ + cos 3x = 4sin2 x − cos x + 4cos3 x − cos x = − cos2 x (2 − cos x) Bài 89 Giải phương trình: sin2 x 7π + ⇔ + cos 3x = − cos2 x (2 − cos x) ⇔ 8cos2 x + cos x = tan2 (3π − x) − cos2 Hướng dẫn • Điều kiện : cos (3π − x) = ⇔ x = x = π + kπ, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình ⇔ ⇔ ⇔ 7π 1 − cos x − tan2 x − (1 + cos x) = 2 sin2 x − (1 + cos x) = + sin x (1 + cos x) [(1 − cos x) − (1 + sin x)] = Bài 90 Giải phương trình: tan 2x − π π tan 2x + 4 sin2 x − (1 + cos x) = cos2 x ⇔ (1 − sin x) ⇔ sin2 x − (1 + cos x) (1 + sin x) = ⇔ (1 + cos x) (sin x + cos x) = = 4cos2 2x tan x − cot x   π 3π kπ   = cos 2x −   + x=       π     =0 cos 2x + x = π + kπ Hướng dẫn • Điều kiện : cos x = ⇔ , k ∈ Z kπ       x=     sin x =      x = ± π + kπ tan x = cot x • Ta có π π π π π π tan 2x − tan 2x + = − tan − 2x tan 2x + = − cot 2x + tan 2x + 4 4 4 = −1 • Với điều kiện phương trình ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 4cos2 2x −1 = tan x − cot x cos x sin x − = 4cos2 2x sin x cos x2 cos 2x = 4cos 2x sin x cos x cos 2x (1 − cos 2x sin 2x) = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ cot x − tan x = 4cos2 2x cos 2x = 4cos2 2x sin x cos x cos 2x (1 − cos 2x sin x cos x) = cos 2x (1 − sin 4x) = THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323 24 2sin2 x + Bài 91 Giải phương trình: √ sin 2x + = √ sin x + cos x Hướng dẫn • Phương trình cho √ √ 3sin2 x + sin 2x + cos2 x = sin x + cos x √ √ = sin x + cos x √3 sin x + cos x √ sin x + cos x sin x + cos x − = ⇔ ⇔ ⇔ √ Bài 92 Giải phương trình: cos 3x + 2sin2 x = + sin 2x Hướng dẫn • Phương trình cho ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ √ √2 cos 3x = − 2sin x + sin 2x √2 cos 3x = cos 2x + sin 2x cos 3x = cos 2x + sin 2x √ √ π cos 3x = cos 2x − sin2 4x sin x + cos4 x − = cos2 x Bài 93* Giải phương trình: Hướng dẫn • Phương trình cho ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ sin2 4x sin x = cos2 x − cos4 x + sin2 4x sin x = cos2 x − cos2 x + sin2 4x sin x = cos2 xsin2 x + sin2 4x sin x = sin2 2x + (*) • Ta có sin2 4x sin x ≤ sin 2x + ≥  sin2 4x sin x = Do phương trình (*) ⇔ Hệ vơ nghiệm nên phương trình cho vơ nghiệm sin2 2x = √ π Bài 94 Giải phương trình: 2sin2 x + sin 2x = 2 sin x sin 3x + Hướng dẫn • Phương trình cho ⇔ ⇔ Bài 95 Giải phương trình: sin x (sin x + cos x) = sin x (sin 3x + cos 3x) sin x [(sin x + cos x) − (sin 3x + cos 3x)] = cos x − sin x + cos 2x + sin 2x = + cos 3x Hướng dẫn • Phương trình cho ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ (cos x − cos 3x) − sin x + (cos 2x − 1) + sin 2x = sin 2x sin x − sin x − 2sin2 x + sin x cos x = sin x (2 sin 2x − − sin x + cos x) = sin x [2 (cos x − sin x) + sin x cos x − 1] = THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323 25 √ 2 cos Bài 96* Giải phương trình: 5π − x sin x = 12 Hướng dẫn • Phương trình cho ⇔ ⇔ ⇔ √ 5π 5π + sin 2x − =1 12 12 5π π 5π sin 2x − = sin − sin 12 12 5π π sin 2x − = sin − 12 12 sin ⇔ ⇔ 5π 5π π + sin 2x − = sin 12 12 5π π π sin 2x − = cos sin − 12 12 sin x x − cos3 2 = cos x + sin x sin3 Bài 97 Giải phương trình: Hướng dẫn • Phương trình cho ⇔ ⇔ ⇔ sin x2 − cos x2 + 12 sin x x x x x = cos − sin cos + sin + sin x 2 2 x x x x x x sin − cos + sin x = cos − sin cos + sin (2 + sin x) 2 2 2 x x x x sin − cos + sin x + cos + sin (2 + sin x) = 2 2 cos 2x + = (2 − cos x) (sin x − cos x) Bài 98 Giải phương trình: Hướng dẫn • Phương trình cho ⇔ ⇔ 2cos2 x + = (sin x − cos x) − sin x cos x + 2cos2 x (sin x − cos x) − sin x cos x − = (1 − tan x) (1 + sin 2x) = + tan x Bài 99 Giải phương trình: Hướng dẫn • Điều kiện : cos x = ⇔ x = π + kπ, k ∈ Z • Phương trình cho ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ cos x − sin x cos x + sin x (sin x + cos x) = cos x cos x (cos x − sin x) (sin x + cos x) = (cos x + sin x) (cos x + sin x) cos 2x = (cos x + sin x) (cos x + sin x) (cos 2x − 1) = Bài 100* Giải phương trình: sin x − 4sin3 x + cos x = Hướng dẫn • Phương trình cho ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ −2 sin x + sin x − 4sin3 x + cos x = −2 sin x + sin 3x + cos x = sin 3x − sin x + cos x − sin x = cos 2x sin x + cos x − sin x = (cos x − sin x) [2 (cos x + sin x) sin x + 1] = (cos x − sin x) 3sin2 x + sin x cos x + cos2 x = ——— HẾT ——— THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323 26 ... Do phương trình (*) ⇔ Hệ vơ nghiệm nên phương trình cho vơ nghiệm sin2 2x = √ π Bài 94 Giải phương trình: 2sin2 x + sin 2x = 2 sin x sin 3x + Hướng dẫn • Phương trình cho ⇔ ⇔ Bài 95 Giải phương. .. NGUYỄN PHƯƠNG CHUN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN LỚP 10-11-12_ĐT: 0963756323 11 Bài 41 Giải phương trình: cos π + 3x + cos 2π − 4x + cos x = Hướng dẫn • Phương trình cho ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Bài 42* Giải phương trình: ... sin x − cos 2x = Bài 12* Giải phương trình: Hướng dẫn • Phương trình cho cos x − sin x − cos2 x − sin2 x − = (sin x + cos x − 3) (sin x − cos x + 1) = ⇔ ⇔ Bài 13 Giải phương trình: √ (sin 2x