ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ TÂM HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH TRÊN THANG THỜI GIAN Thái Nguyên – 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ TÂM HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH TRÊN THANG THỜI GIAN Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 Giáo viên hướng dẫn: PGS.TS Tạ Duy Phượng Thái Nguyên – 2014 LƠI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn không trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Nguyễn Thị Tâm LƠI CAM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến PGS.TS Tạ Duy Phượng - người hướng dẫn tỉ mỉ, tận tình khơng chi vê măt khoa hoc ma ca vê cach trinh bay mơt văn bản khoa hoc, để tơi hồn thành luận văn cách tốt Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo khoa Tốn trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, giúp đỡ tạo điều kiện cho suôt trình học tập nghiên cứu khoa học, giúp tơi hồn thành khóa cao học cách thuận lợi Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, người thân, bạn bè bên cạnh động viên, chia sẻ chăm sóc cho tơi q trình học tập sống Nguyễn Thị Tâm MỤC LỤC Mở đầu Chương GIẢI TÍCH TRÊN THANG THỜI GIAN 1.1 Thang thời gian………………………………………………………….8 1.1.1 Định nghĩa thang thời gian ………………8 1.1.2 Các định nghĩa bản ……………… 1.2 Phép tính vi phân ……………………….10 1.2.1 Định nghĩa hàm quy ………… 10 1.2.2 Định nghĩa rd-liên tục ………………………… 10 1.2.3 Định nghĩa đạo hàm ………………………… 11 1.2.4 Tính chất đạo hàm ………………………… 13 1.3 Phép tốn tích phân ……………… …… 17 1.3.1 Tồn tiền - nguyên hàm .………… 17 1.3.2 Nguyên hàm …………… ………… 18 1.3.3 Bảng tổng kết so sánh .………… .19 Chương MƠT SƠ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH TRÊN THANG THỜI GIAN 2.1 Hệ động lực thang thời gian 20 2.2 Tính điều khiển hệ động lực thang thời gian 23 2.2.1 Hệ động lực khơng dừng có điều khiển 23 2.2.2 Hệ động lực tuyến tính với hệ 28 2.3 Tính quan sát được…………………………….……………………… 36 2.3.1 Hệ động lực không dừng 36 2.3.2 Hệ động lực với hệ số ………….……………………………… 38 2.4 Tính ổn định hóa được…………………………….………………… 41 2.4.1 Tính ổn mũ trường hợp hệ khơng dừng .41 2.4.2 Tính ổn định BIBO cho hệ không dừng ………… 42 2.3.3 Tính BIBO ổn định hệ với hệ số ………… ………… 45 Kết luận…………………………………………………………………… 53 Tài liệu tham khảo 54 BẢNG KÍ HIỆU  = Thang thời gian k    \{M}  có phần tử lớn M điểm cô lập trái; trùng với  trường hợp lại   t   : t     = Tập tất cả số tự nhiên  = Tập tất cả số tự nhiên khác  = Tập tất cả số nguyên  = Tập tất cả số hữu tỷ  = Tập tất cả số thực   = Tập tất cả số thực không âm  = Tập tất cả số phức C X  Tập hàm liên tục từ X vào Y ,Y Crd (  , X )  Tập tất cả hàm:   X rd − liên tục C1 rd (  , X )  Tập tất cả hàm:   X khả vi rd − liên tục CrdR (  , X )  Tập tất cả hàm: k  X rd − liên tục hồi quy L  X   Tập tất cả tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào X   A  Tập tất cả giá trị riêng A MƠ ĐÂU Giải tích thang thời gian, lần trình bày Stefan Hilger luận án tiến sĩ Ông [6] vào năm 1988 (dươi hướng dẫn Bernd Aulbach) nhằm thống giải tích liên tục rời rạc Nghiên cứu giải tích thang thời gian (xem [2], [3]) dẫn đến số áp dụng quan trọng, chẳng hạn nghiên cứu mơ hình mật độ côn trùng, nghiên cứu hệ thần kinh, trình biến đổi nhiệt, học lượng tử mơ hình bệnh dịch Việc phát triển lý thuyết hệ động lực thang thời gian (xem [2], [3], [4], [5], [7]) dẫn đến kết quả tổng quát áp dụng cho thang thời gian tổng quát chưa cac trường hợp liên tục rời rạc la cac trương hơp riêng Ta biết rằng, có nhiều kết quả hệ phương trình vi phân thực dễ dàng tự nhiên cho phương trình sai phân Tuy nhiên, có kết quả dễ dàng trình bày cho phương trình vi phân lại không đơn giản cho phương trinh sai phân ngược lại Việc nghiên cứu phương trình động lực tuyến tính thang thời gian cho ta nhìn tổng qt để khắc phục tính khơng qn phương trình vi phân liên tục phương trình sai phân rời rạc Ta lấy thang thời gian tập số thực, kết quả tổng quát thu trở với kết quả phương trình vi phân thường Nếu lấy thang thời gian tập số nguyên, kết quả tổng quát thu trở với kết quả phương trình sai phân Tuy nhiên, thang thời gian có cấu trúc phong phú tập số thực tập số nguyên nên kết quả thu tổng quát nhiều so với kết quả tập số thực tập số nguyên Do vậy, đặc trưng bản thang thời gian thống mở rộng Mục đích luận văn trình bày cách hệ thống số tính chất định tính hệ động lực thang thời gian: tính điều khiển quan sát , tính ổn định va ơn đinh hoa, chủ yếu dựa [4], [5] [7] Luận văn gồm hai chương: Chương trình bày kiến thức sở giải tích thang thời gian theo [2], [3] Chương trình bày tính chất định tính hệ động lực tuyến tính thang thời gian theo [4], [5] [7] Chương tập trung nghiên cứu tính điều khiển được, tính quan sát được, tính ổn định hóa trường hợp hệ đơng lưc thang thơi gian hệ tuyến tính với hệ số hoăc sô thay đôi theo thơi gian Tính ổn định thang thơi gian đa băt đâu đươc nghiên cưu Viêt Nam nhom nghiên cưu cua Giáo sư Nguyên Hưu Dư (xem [1]) Hi vong luân văn sinh viên học viên cao học quan tâm đến lĩnh vực toán học thang thời gian hệ động lực thang thời gian Chương GIẢI TÍCH TRÊN THANG THỜI GIAN 1.1 Thang thời gian 1.1.1 Định nghĩa thang thời gian Định nghĩa 1.1 Một tập đóng, khác rỗng tập số thực  gọi thang thời gian (time scale) Thang thơi gian thương đươc ký hiệu  Ví dụ 1.1.1  Các tập ,, , 2;5 , 6;7  =   2k, 2k  1 thang thời gian k 0,k  , , Các tập ,  \ ,  0;1 khơng phải thang thời gian chúng nằm  không phải tập đóng  Các tập , n  khơng thang thời gian khơng nằm  Ta giả sử xuyên suốt rằng: Thang thời gian  có tôpô cảm sinh từ tôpô tập số thực  Vì từ sau khái niệm ngơn từ tập mở, tập đóng, lân cận, giới hạn,…được hiểu tập mở, tập đóng, lân cận, giới hạn,…trong tôpô cảm sinh 1.1.2 Các định nghĩa Định nghĩa 1.2 Cho  thang thời gian Ánh xạ  :    xác định công thức  (t) : inf{s : s  t} gọi toán tử nhảy tiến (forward jump) thang thời gian   (t) : sup{s  s  t} gọi Ánh xạ  :    xác định công thức : toán tử nhảy lui (backward jump) thang thời gian  Quy ước: inf  sup (tức là, t  max   (t)  t ); sup  inf  (tức là, t    (t)  t ) A ... Chương MƠT SƠ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH TRÊN THANG THỜI GIAN 2.1 Hệ động lực thang thời gian 20 2.2 Tính điều khiển hệ động lực thang thời gian 23 2.2.1 Hệ động lực... quan tâm đến lĩnh vực toán học thang thời gian hệ động lực thang thời gian Chương GIẢI TÍCH TRÊN THANG THỜI GIAN 1.1 Thang thời gian 1.1.1 Định nghĩa thang thời gian Định nghĩa 1.1 Một tập đóng,... giải tích thang thời gian theo [2], [3] Chương trình bày tính chất định tính hệ động lực tuyến tính thang thời gian theo [4], [5] [7] Chương tập trung nghiên cứu tính điều khiển được, tính quan