Ngày soạn: 15/3/2009 Ngày giảng: 17/3/2009 Chuyên đề: Dãy các phân số viết theo quy luật I/ Nhận xét mở đầu: Khi giải các bài toán về phân số, ta thờng gặp các bài toán tính tổng các phân số mà tử và mẫu của chúng đợc viết theo quy luật. VD: 3 + 3 + 3 + + 3 4.7 7.10 10. 13 73.76 Dễ nhận thấy các phân số có tử không thay đổi và đúng bằng hiệu hai thừa số ở d- ới mẫu, thừa số cuối ở mẫu trớc bằng thừa số đầu ở mẫu sau. Phơng pháp chung để giải các bài toán dạng này là dùng công thức: m = 1 _ 1 b. ( b+m) b b+m Khi đó ta có thể viết mỗi số hạng thành hiệu của hai phân số , số trừ của nhóm tr- ớc bằng số bị trừ của nhóm sau rồi khử liên tiếp. Kết quả còn lại số bị trừ đầu tiên và số trừ cuói cùng, khi đó phép tính thực hiện đợc dễ dàng. Nếu mỗi số hạng phức tạp hơn, chẳng hạn: 2m b. ( b+m ).(b+ 2m ) thì ta dùng công thức: 2m = 1 _ 1 b. ( b+m ).(b+ 2m ) b.( b+ m ) ( b+m ).( b+ 2m ) Tuy nhiên không phải bài toán nào ta cũng phát hiện đợc ngay quy luật mà phải qua một số phép biến đổi dựa trên tính chất cơ bản của phân số nh nhân cả tử và mẫu với cùng một số để tìm quy luật của mẫu, áp dụng hợp lý tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để biến đổi tử đúng bằng hiệu hai thừa số dới mẫu . II/ Các ví dụ : VD1: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy sau: a/ 1/1.2 ; 1/ 2.3 ; 1/ 3.4 b/ 1/6 ; 1/ 66 ; 1/ 176 Gi i Trớc hết ta có nhận xét sau: Tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy là: a/ 1/ 1.2 + 1/ 2.3 + 1/ 3.4 + .+ 1/ 100.101 Các phân số trong tổng có tử bằng nhau và đúng bằng hiệu hai thừa số dới mẫu nên ta dùng công thức biến đổi: m/ b. ( b+ m ) = 1/ b - 1/ b+m Vậy 1/ 1.2 + 1/ 2.3 + 1/ 3.4 + .+ 1/ 100.101 = 1 1/ 101 = 100/ 101 b/ Trớc hết ta viết các mẫu thành tích theo quy luật: 6 = 1.6 ; 66 = 6. 11 ; 176 = 11. 16 số hạng thứ n của dãy có dạng : ( 5n 4 ) ( 5n + 1 ) => số hạng thứ 100 của dãy có dạng : ( 5. 100 4 ) ( 5. 100 + 1 ) = 496 . 501 lại có 1- 1/6 = 5/ 1.6 ; 1/6 1/11 = 5/ 6.11 Từ đó: 1/6 + 1/ 66 + 1/ 176 + + 1/ 496. 501 = 1/5 .( 1 1/6 + 1/6 - 1/11 + 1/11 - .+ 1/ 496 - 1/ 501 ) = 1/5 . ( 1 1/500) = 1/5 . 500/ 501 = 100/ 501 VD2: Tính tổng B= 1/ 1.2.3 + 1/ 2.3 4 + 1/ 3.4.5 + + 1/ 48.49.50 NX: Mỗi số hạng của tổng có dạng 2m = 1 _ 1 b. ( b+m ).(b+ 2m ) b.( b+ m ) ( b+m ).( b+ 2m ) Mà ta có : 1/ 1.2 - 1/ 2.3 = 2/ 1.2.3 1/ 2.3 - 1/3.4 = 2/ 2.3.4 Từ đó => B = 1/2 . ( 2/ 1.2.3 + 2/ 2,3.4 + . + 2/ 48. 49. 50 ) = 1/2 .( 1/ 1.2 1/ 2.3 + 1/ 2.3 - .- 1/ 49.50) = 1/2. ( 1/ 1.2 1/ 49.50 ) = 1/ 2 . 1224/ 2450 = 306/ 1225. VD3: Tính tổng C = 1/10 + 1/15 + 1/21 + . + 1/ 120 Ta nhận xét thấy mẫu của các số hạng trong tổng khi phân tích thành tích thì không có quy luật nào cả nên không áp dụng đợc công thức. Tuy nhiên nếu nhân cả tử và mẫu của mỗi số hạng trong tổng với 2 ( Không làm thay đổi giá trị của phân số) thì sẽ dễ dàng viết đợc các mẫu theo quy luật. Nhân cả tử và mẫu của C với 2, khi đó C = 2/ 20 + 2/ 30 + 2/ 42 + . + 2/ 240 = 2/ 4.5 + 2/ 5.6 + 2/ 6.7 + . + 2/ 15.16 = 2. ( 1/ 4.5 + 1/ 5.6 + 1/ 6.7 + . + 1/ 15.16) = 2. ( 1/4- 1/5 + 1/5 - . 1/ 16) = 2. ( 1/4 - 1/16) = 2. 3/16 = 3/ 8. VD4 Tính giá trị của biểu thức a/ P = 1+ 1/3 + 1/5 + . + 1/97 + 1/99 1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 + . + 1/ 97.3 + 1/ 99.1 NX: Trớc hết ta ghép các phân số ở số bị chia thành từng cặp để làm xuất hiện mẫu chung giống với mẫu của các phân số tơng ứng ở số chia nh sau: P = ( 1 + 1/99) + ( 1/3 + 1/97) + . + ( 1/ 49 + 1/ 50) 1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 + . + 1/ 97.3 + 1/ 99.1 = 100/ 1.99 + 100/ 3.97 + 100/ 5. 95 + . + 100/ 49.51 1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 + . + 1/ 97.3 + 1/ 99.1 = 100. ( 1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 + + 1/ 49. 51 ) 2 . ( 1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 + + 1/ 49. 51 ) = 100/ 2 = 50 Vậy giá trị của biểu thức P = 50 b/ Q = 1/2 + 1/3 + 1/4 + . + 1/ 100 99/1 + 98/2 + 97/3 + . + 1/99 NX: Trong VD này chúng ta lại phải biến đổi số chia để làm xuát hiện các biểu thức có thể rút gọn đợc với các biểu thức trên tử. Ta có: Q = 1/2 + 1/3 + 1/4 + . + 1/ 100 100-1 + 100-2 + 100- 3 + . + 100- 99 1 2 3 99 = 1/2 + 1/3 + 1/4 + . + 1/ 100 (100/1 + 100/ 2 + 100/3 + . + 100/ 99) ( 1/1 + 2/2 + 3/3 + . + 99/99) = 1/2 + 1/3 + 1/4 + . + 1/ 100 100 + 100. ( 1/2 + 1/3 + 1/4 + . + 1/99) 99 = 1/ 100 Vậy giá trị của biểu thức Q = 1/ 100 VD 5: Tìm tích của 98 số đầu tiên của dãy 3 1 1 ; 1 8 1 ; 1 15 1 ; 1 24 1 ; 1 35 1 NX: Ta viết lại các só hạng của dãy : 3 4 ; 8 9 ; 15 16 ; 24 25 ; 35 36 . <=> 3.1 2 2 ; 4.2 3 2 ; 5.3 4 2 ; 6.4 5 2 ; 7.5 6 2 . Số thứ 98 có dạng : 100.98 99 2 Gọi tích của 98 số trong dãy là A, ta có : A= 100.98 99 7.5 6 . 6.4 5 . 5.3 4 . 4.2 3 . 3.1 2 222222 = )100 6.5.4.3).(98 4.3.2.1( )99 5.4.3.2).(99 5.4.3.2( TS thứ nhất của A TS thứ 2 của A = 100 2 . 1 99 = 50 99 III/ áp dụng: Bài 1: Tính tổng: a, A= 18.15 6 + 21.18 6 + 24.21 6 + . + 90.87 6 b, B= 11.8 3 2 + 14.11 3 2 + 17.14 3 2 + . + 200.197 3 2 c, C= 27.25 1 + 29.27 1 + 31.29 1 + .+ 75.73 1 d, D= 94.90 15 + 98.94 15 + 102.98 15 + . + 150.146 15 */Giải a, A= 18.15 6 + 21.18 6 + 24.21 6 + . + 90.87 6 = 2. ++++ 90.87 3 . 24.21 3 21.18 3 18.15 3 = 2. +++ 90 1 87 1 . 21 1 18 1 18 1 15 1 = 2. 90 1 15 1 =2. 90 5 = 9 1 b, B= 11.8 3 2 + 14.11 3 2 + 17.14 3 2 + . + 200.197 3 2 =3. ++++ 200.197 3 . 17.14 3 14.11 3 11.8 3 =3. +++ 200 1 197 1 . 14 1 11 1 11 1 8 1 = 3. 200 1 8 1 = 25 9 c, C= 27.25 1 + 29.27 1 + 31.29 1 + .+ 75.73 1 = ++++ 75.73 2 . 31.29 2 29.27 2 27.25 2 . 2 1 = ++++ 75 1 73 1 . 31 1 _ 29 1 29 1 27 1 27 1 25 1 . 2 1 = 75 1 25 1 . 2 1 = 75 1 d, D= 94.90 15 + 98.94 15 + 102.98 15 + . + 150.146 15 =       ++++ 150.146 4 . 102.98 4 98.94 4 94.90 4 . 4 15 =       −++−+−+− 150 1 146 1 . 102 1 98 1 98 1 94 1 94 1 90 1 . 4 15 =       − 150 1 90 1 . 4 15 = 60 1 Bµi 2: CMR: Víi mäi n ∈ N th× ta lu«n cã: )65)(15( 1 . 176 1 66 1 6 1 ++ ++++ nn = 65 1 + + n n */Gi¶i BiÕn ®æi VT ta cã: )65)(15( 1 . 176 1 66 1 6 1 ++ ++++ nn =         ++ ++++ )65)(15( 5 . 16.11 5 11.6 5 6.1 5 . 5 1 nn =       ++ ++++− 65 1 - 15 1 . 16 1 - 11 1 11 1 - 6 1 6 1 1. 5 1 nn =       + − 65 1 1. 5 1 n =       + + 65 )1(5 . 5 1 n n = 65 1 + + n n =VP => ®pcm Bµi 3: T×m x ∈ N biÕt: a, x - 55.53 20 . 17.15 20 15.13 20 13.11 20 −−−− = 11 3 b, )1( 2 . 36 1 28 1 21 1 + ++++ xx = 9 2 */Gi¶i: a, x - 55.53 20 . 17.15 20 15.13 20 13.11 20 −−−− = 11 3 <=> x = 55.53 20 . 17.15 20 15.13 20 13.11 20 11 3 +++++ <=> x =       +++++ 55.53 2 . 17.15 2 15.13 2 13.11 2 10 11 3 <=> x =       −+−+−+ 55 1 53 1 . 13 1 13 1 11 1 10 11 3 <=> x =       −+ 55 1 11 1 10 11 3 = 11 8 11 3 + =1 b, )1( 2 . 36 1 28 1 21 1 + ++++ xx = 9 2 <=> 9 2 )1( 2 . 72 2 56 2 42 2 = + ++++ xx <=> 2. 9 2 1 11 . 9 1 8 1 8 1 7 1 7 1 6 1 =       + −++−+−+− xx <=> 2. 9 2 1 1 6 1 =       + − x <=> 18 1 9 1 6 1 1 1 =−= + x <=> x+1 = 18 <=> x = 17 Bµi 4: CMR: a, A= 20.19.18 1 . 5.4.3 1 4.3.2 1 3.2.1 1 ++++ < 4 1 b, B= 29.27.25 36 . 9.7.5 36 7.5.3 36 5.3.1 36 ++++ < 3 */Gi¶i: a, A= 20.19.18 1 . 5.4.3 1 4.3.2 1 3.2.1 1 ++++ < 4 1 Ta cã: A =       ++++ 20.19.18 2 . 5.4.3 2 4.3.2 2 3.2.1 2 . 2 1 =       −++−+− 20.19 1 19.18 1 . 4.3 1 3.2 1 3.2 1 2.1 1 . 2 1 = 380 189 . 2 1 20.19 1 2.1 1 . 2 1 =       − = 760 189 Mµ 4 1 756 189 760 189 =< => A < 4 1 b, B= 29.27.25 36 . 9.7.5 36 7.5.3 36 5.3.1 36 ++++ < 3 Ta cã: B = 9.       ++++ 29.27.25 4 . 9.7.5 4 7.5.3 4 5.3.1 4 = 9.       −++−+−+− 29.27 1 27.25 1 . 9.7 1 7.5 1 7.5 1 5.3 1 5.3 1 3.1 1 = 9. 87 260 783 260 .9 783 1 3 1 ==       − Mµ 3 87 261 87 260 =< =>B < 3 Bµi 5: CMR: a, M = 1 1 . 4 1 3 1 2 1 2222 <++++ n (n ∈ N; n ≥ 2) b, N = 4 )2( 1 . 8 1 6 1 4 1 2222 <++++ n (n ∈ N; n ≥ 2) c, P = 1 ! !2 . !5 !2 !4 !2 !3 !2 <++++ n (n ∈ N; n ≥ 3) */Gi¶i: a, M = 1 1 . 4 1 3 1 2 1 2222 <++++ n . ¸p dông ph¬ng ph¸p lµm tréi Ta cã: M = nn. 1 . 4.4 1 3.3 1 2.2 1 ++++ < nn ).1( 1 . 4.3 1 3.2 1 2.1 1 − ++++ <=> M < nnn 1 1 1 1 1 . 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 −=− − ++−+−+− Mµ 1 1 1 <− n =>M <1 b, N = 4 )2( 1 . 8 1 6 1 4 1 2222 <++++ n Ta cã: N =       ++++ 22222 1 . 4 1 3 1 2 1 . 2 1 n Mµ 2222 1 . 4 1 3 1 2 1 n ++++ <1 (theo phÇn a) => N < 2 2 1 .1= 4 1 c, P = 1 ! !2 . !5 !2 !4 !2 !3 !2 <++++ n Ta cã: P=2!       ++++ ! 1 . !5 1 !4 1 !3 1 n =2!( nnn )1)(2( 1 . 5.4.3 1 4.3.2 1 3.2.1 1 −− ++++ => P < 2.         − ++++ nn ).1( 1 . 5.4 1 4.3 1 3.2 1 <=> P < 2. 1 2 1 1 2 1 <−=       − nn _________________________________________________ . Chuyên đề: Dãy các phân số viết theo quy luật I/ Nhận xét mở đầu: Khi giải các bài toán về phân số, ta thờng gặp các bài toán tính tổng các phân số mà tử. NX: Trớc hết ta ghép các phân số ở số bị chia thành từng cặp để làm xuất hiện mẫu chung giống với mẫu của các phân số tơng ứng ở số chia nh sau: P = (