TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁCH GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN PHẦN I: ĐẠI SỐ A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Điều kiện để thức có nghĩa A có nghĩa A ≥ Các cơng thức biến đổi thức A2 = A a c e A = B A B ( A ≥ 0; B > 0) A B = A2 B AB = d A2 B = A B e A B = − A2 B ( AB ≥ 0; B ≠ 0) g A = B B h C C ( A ∓ B) = A − B2 A±B i C C( A ∓ B ) = A − B2 A± B ( A ≥ 0; B ≥ 0) A B ( A ≥ 0; B ≥ 0) f AB b A A B = B B ( B ≥ 0) ( A < 0; B ≥ 0) ( B > 0) ( A ≥ 0; A ≠ B ) ( A ≥ 0; B ≥ 0; A ≠ B ) Hàm số y = ax + b (a ≠ 0) - Tính chất: + Hàm số đồng biến R a > + Hàm số nghịch biến R a < - Đồ thị: Đồ thị đường thẳng qua điểm A(0;b); B(-b/a;0) Hàm số y = ax2 (a ≠ 0) - Tính chất: + Nếu a > hàm số nghịch biến x < đồng biến x > + Nếu a < hàm số đồng biến x < nghịch biến x > - Đồ thị: Đồ thị đường cong Parabol qua gốc toạ độ O(0;0) + Nếu a > đồ thị nằm phía trục hồnh + Nếu a < đồ thị nằm phía trục hồnh Vị trí tương đối hai đường thẳng Xét đường thẳng y = ax + b (d) y = a'x + b' (d') (d) (d') cắt ⇔ a ≠ a' (d) // (d') ⇔ a = a' b ≠ b' (d) ≡ (d') ⇔ a = a' b = b' Vị trí tương đối đường thẳng đường cong Xét đường thẳng y = ax + b (d) y = ax2 (P) (d) (P) cắt hai điểm (d) tiếp xúc với (P) điểm (d) (P) khơng có điểm chung Phương trình bậc hai Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Công thức nghiệm ∆ = b2 - 4ac Nếu ∆ > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = Công thức nghiệm thu gọn ∆' = b'2 - ac với b = 2b' - Nếu ∆' > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: −b+ ∆ −b− ∆ ; x2 = 2a 2a x1 = − b ' + ∆' − b ' − ∆' ; x2 = a a Nếu ∆ = : Phương trình có nghiệm kép : - Nếu ∆' = : Phương trình có nghiệm kép: −b − b' x1 = x2 = x1 = x = 2a a Nếu ∆ < : Phương trình vơ nghiệm - Nếu ∆' < : Phương trình vơ nghiệm Hệ thức Viet ứng dụng - Hệ thức Viet: Nếu x1, x2 nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a≠0) thì: −b   S = x1 + x2 = a   P = x x = c  a - Một số ứng dụng: + Tìm hai số u v biết u + v = S; u.v = P ta giải phương trình: x2 - Sx + P = (Điều kiện S2 - 4P ≥ 0) + Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a≠0) Nếu a + b + c = phương trình có hai nghiệm: x1 = ; x2 = c a Nếu a - b + c = phương trình có hai nghiệm: x1 = -1 ; x2 = − c a Giải tốn cách lập phương trình, hệ phương trình Bước 1: Lập phương trình hệ phương trình Bước 2: Giải phương trình hệ phương trình Bước 3: Kiểm tra nghiệm phương trình hệ phương trình nghiệm thích hợp với toán kết luận Trang B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Rút gọn biểu thức Bài toán: Rút gọn biểu thức A Để rút gọn biểu thức A ta thực bước sau: - Quy đồng mẫu thức (nếu có) - Đưa bớt thừa số ngồi thức (nếu có) - Trục thức mẫu (nếu có) - Thực phép tính: luỹ thừa, khai căn, nhân chia - Cộng trừ số hạng đồng dạng Dạng 2: Bài tốn tính tốn Bài tốn 1: Tính giá trị biểu thức A Tính A mà khơng có điều kiện kèm theo đồng nghĩa với toán Rút gọn biểu thức A Bài toán 2: Tính giá trị biểu thức A(x) biết x = a Cách giải: - Rút gọn biểu thức A(x) - Thay x = a vào biểu thức rút gọn Dạng 3: Chứng minh đẳng thức Bài toán: Chứng minh đẳng thức A = B Một số phương pháp chứng minh: - Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa A=B⇔ A-B=0 - Phương pháp 2: Biến đổi trực tiếp A = A1 = A2 = = B - Phương pháp 3: Phương pháp so sánh A = A1 = A2 = = C A=B B = B1 = B2 = = C - Phương pháp 4: Phương pháp tương đương A = B ⇔ A' = B' ⇔ A" = B" ⇔ ⇔ (*) (*) A = B - Phương pháp 5: Phương pháp sử dụng giả thiết - Phương pháp 6: Phương pháp quy nạp - Phương pháp 7: Phương pháp dùng biểu thức phụ Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức Bài toán: Chứng minh bất đẳng thức A > B Một số bất đẳng thức quan trọng: - Bất đẳng thức Cosi: a1 + a2 + a3 + + an n ≥ a1.a2 a3 an (với a1.a2 a3 an ≥ ) n Dấu “=” xảy khi: a1 = a2 = a3 = = an - Bất đẳng thức BunhiaCôpxki: Với số a1; a2; a3;…; an; b1; b2; b3;…bn (a1b1 + a2b2 + a3b3 + + anbn )2 ≤ (a12 + a22 + a32 + + an2 )(b12 + b22 + b32 + + bn2 ) Dấu “=” xảy khi: a1 a2 a3 a = = = = n b1 b2 b3 bn Trang Một số phương pháp chứng minh: - Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa A>B⇔ A-B>0 - Phương pháp 2: Biến đổi trực tiếp A = A1 = A2 = = B + M2 > B M ≠ - Phương pháp 3: Phương pháp tương đương A > B ⇔ A' > B' ⇔ A" > B" ⇔ ⇔ (*) (*) A > B - Phương pháp 4: Phương pháp dùng tính chất bắc cầu A > C C > B → A > B - Phương pháp 5: Phương pháp phản chứng Để chứng minh A > B ta giả sử B > A dùng phép biến đổi tương đương để dẫn đến điều vơ lí ta kết luận A > B - Phương pháp 6: Phương pháp sử dụng giả thiết - Phương pháp 7: Phương pháp quy nạp - Phương pháp 8: Phương pháp dùng biểu thức phụ Dạng 5: Bài toán liên quan tới phương trình bậc hai Bài tốn 1: Giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a≠ ≠0) Các phương pháp giải: - Phương pháp 1: Phân tích đưa phương trình tích - Phương pháp 2: Dùng kiến thức bậc hai x2 = a → x = ± a - Phương pháp 3: Dùng công thức nghiệm Ta có ∆ = b2 - 4ac + Nếu ∆ > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = −b+ ∆ −b− ∆ ; x2 = 2a 2a + Nếu ∆ = : Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = −b 2a + Nếu ∆ < : Phương trình vơ nghiệm - Phương pháp 4: Dùng công thức nghiệm thu gọn Ta có ∆' = b'2 - ac với b = 2b' + Nếu ∆' > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = − b ' + ∆' − b ' − ∆' ; x2 = a a + Nếu ∆' = : Phương trình có nghiệm kép − b' x1 = x = a + Nếu ∆' < : Phương trình vơ nghiệm - Phương pháp 5: Nhẩm nghiệm nhờ định lí Vi-et Nếu x1, x2 nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a≠0) thì: −b   x1 + x2 = a   x x = c a  Chú ý: Nếu a, c trái dấu tức a.c < phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Trang Bài tốn 2: Biện luận theo m có nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) Xét hệ số a: Có thể có khả a Trường hợp a = với vài giá trị m Giả sử a = ⇔ m = m0 ta có: (*) trở thành phương trình bậc ax + c = (**) + Nếu b ≠ với m = m0: (**) có nghiệm x = -c/b + Nếu b = c = với m = m0: (**) vô định ⇔ (*) vô định + Nếu b = c ≠ với m = m0: (**) vô nghiệm ⇔ (*) vô nghiệm b Trường hợp a ≠ 0: Tính ∆ ∆' + Tính ∆ = b2 - 4ac Nếu ∆ > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = −b+ ∆ −b− ∆ ; x2 = 2a 2a Nếu ∆ = : Phương trình có nghiệm kép : x1 = x2 = −b 2a Nếu ∆ < : Phương trình vơ nghiệm + Tính ∆' = b'2 - ac với b = 2b' Nếu ∆' > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = − b ' + ∆' − b ' − ∆' ; x2 = a a − b' Nếu ∆' = : Phương trình có nghiệm kép: x = x = a Nếu ∆' < : Phương trình vơ nghiệm - Ghi tóm tắt phần biện luận Bài tốn 3: Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm Có hai khả để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có nghiệm: Hoặc a = 0, b ≠ Hoặc a ≠ 0, ∆ ≥ ∆' ≥ Tập hợp giá trị m toàn giá trị m thoả mãn điều kiện điều kiện Bài tốn 4: Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm phân biệt a ≠ a ≠  ' ∆ > ∆ > Điều kiện có hai nghiệm phân biệt  Bài tốn 5: Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm Điều kiện có nghiệm: a ≠ a ≠ a =   '  b ≠ ∆ = ∆ = Trang Bài tốn 6: Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm kép a ≠ Điều kiện có nghiệm kép:  ∆ = a ≠  ' ∆ = Bài tốn 7: Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) vô nghiệm a ≠ Điều kiện có nghiệm:  ∆ < a ≠  ' ∆ < Bài tốn 8: Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm a ≠ a ≠ a =   ' b ≠ ∆ = ∆ = Điều kiện có nghiệm:  Bài tốn : Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có hai nghiệm dấu Điều kiện có hai nghiệm dấu: ∆' ≥ ∆ ≥     c c  P = a > P = > a  Bài tốn 10 : Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm dương Điều kiện có hai nghiệm dương:   ∆ ≥ ∆' ≥   c c   P = >  P = > a a   b b   S = − a > S = − a > Bài tốn 11 : Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm âm Điều kiện có hai nghiệm âm:   ∆ ≥ ∆' ≥   c c   P = >  P = > a a   b b   S = − a < S = − a < Bài tốn 12 : Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm trái dấu Điều kiện có hai nghiệm trái dấu: P < a c trái dấu Bài tốn 13 : Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (*) ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm x = x1 Cách giải: - Thay x = x1 vào phương trình (*) ta có: ax12 + bx1 + c = → m - Thay giá trị m vào (*) → x1, x2 - Hoặc tính x2 = S - x1 x2 = P x1 Trang Bài tốn 14 : Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện: b x12 + x22 = k a αx1 + βx2 = γ c 1 + =n x1 x2 d x12 + x22 ≥ h e x13 + x23 = t Điều kiện chung: ∆ ≥ ∆' ≥ (*) Theo định lí Viet ta có: −b   x1 + x2 = a = S (1)   x x = c = P ( 2) a  a Trường hợp: α x + β x = γ −b   x1 + x2 = Giải hệ  a αx1 + βx2 = γ x1, x2 Thay x1, x2 vào (2) → m Chọn giá trị m thoả mãn (*) b Trường hợp: x12 + x22 = k ↔ ( x1 + x2 )2 − x1 x2 = k Thay x1 + x2 = S = −b c x1.x2 = P = vào ta có: a a S2 - 2P = k → Tìm giá trị m thoả mãn (*) c Trường hợp: 1 + = n ↔ x1 + x2 = nx1.x2 ↔ − b = nc x1 x2 Giải phương trình - b = nc tìm m thoả mãn (*) d Trường hợp: x12 + x22 ≥ h ↔ S − P − h ≥ Giải bất phương trình S2 - 2P - h ≥ chọn m thoả mãn (*) e Trường hợp: x13 + x23 = t ↔ S − 3PS = t Giải phương trình S − 3PS = t chọn m thoả mãn (*) Bài tốn 15: Tìm hai số u v biết tổng u + v = S tích u.v = P chúng Ta có u v nghiệm phương trình: x2 - Sx + P = (*) (Điều kiện S2 - 4P ≥ 0) Giải phương trình (*) ta tìm hai số u v cần tìm Trang Nội dung 6: Giải phương trình phương pháp đặt ẩn số phụ Bài tốn1: Giải phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = Đặt t = x2 (t≥0) ta có phương trình at2 + bt + c = Giải phương trình bậc hai ẩn t sau thay vào tìm ẩn x Bảng tóm tắt at + bt + c = vô nghiệm nghiệm âm nghiệm kép âm nghiệm dương nghiệm dương Bài toán 2: Giải phương trình A( x + ax4 + bx2 + c = vô nghiệm vô nghiệm vô nghiệm nghiệm đối nghiệm cặp nghiệm đối 1 ) + B( x + ) + C = x x = t ⇔ x2 - tx + = x 1 Suy t2 = ( x + )2 = x + + ⇔ x + = t − x x x Đặt x + Thay vào phương trình ta có: A(t2 - 2) + Bt + C = ⇔ At2 + Bt + C - 2A = = t giải tìm x x 1 Bài tốn 3: Giải phương trình A( x + ) + B( x − ) + C = x x Đặt x − = t ⇔ x2 - tx - = x 1 Suy t2 = ( x − )2 = x + − ⇔ x + = t + x x x Giải phương trình ẩn t sau vào x + Thay vào phương trình ta có: A(t2 + 2) + Bt + C = ⇔ At2 + Bt + C + 2A = Giải phương trình ẩn t sau vào x − = t giải tìm x x Bài tốn 4: Giải phương trình bậc cao Dùng phép biến đổi đưa phương trình bậc cao dạng: + Phương trình tích + Phương trình bậc hai Trang Nội dung 7: Giải hệ phương trình ax + by = c a ' x + b ' y = c ' Bài tốn: Giải hệ phương trình  Các phương pháp giải: + Phương pháp đồ thị + Phương pháp cộng + Phương pháp + Phương pháp đặt ẩn phụ Nội dung 7: Giải phương trình vơ tỉ Bài tốn 1: Giải phương trình dạng f ( x) = g ( x) (1) Ta có  g( x ) ≥ f ( x ) = g( x ) ⇔   f ( x ) =  g( x ) (2) (3) Giải (3) đối chiếu điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp → nghiệm (1) Bài tốn 2: Giải phương trình dạng f ( x) + h( x) = g ( x) Điều kiện có nghĩa phương trình  f ( x) ≥  h ( x ) ≥  g ( x) ≥  Với điều kiện thoả mãn ta bình phương hai vế để giải tìm x Nội dung 8: Giải phương trình chứa giá trị tuyệt đối Bài tốn: Giải phương trình dạng f ( x ) = g ( x ) Phương pháp 1:  g ( x) ≥ f (x) = g (x) ⇔  [ f ( x)] = [g ( x)] 2 Xét f(x) ≥ → f(x) = g(x) Xét f(x) < → - f(x) = g(x) Phương pháp 3: Với g(x) ≥ ta có f(x) = ± g(x) Nội dung 9: Giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Bài tốn: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x) Phương pháp 1: Dựa vào luỹ thừa bậc chẵn - Biến đổi hàm số y = f(x) cho: y = M - [g(x)]2n , n ∈Z → y ≤ M Do ymax = M g(x) = - Biến đổi hàm số y = f(x) cho: y = m + [h(x)]2k k∈Z → y ≥ m Do ymin = m h(x) = Phương pháp 2: Phương pháp 2: Dựa vào tập giá trị hàm Phương pháp 3: Dựa vào đẳng thức Trang Nội dung 10: Các toán liên quan đến hàm số * Điểm thuộc đường - đường qua điểm Bài toán: Cho (C) đồ thị hàm số y = f(x) điểm A(xA;yA) Hỏi (C) có qua A khơng? Đồ thị (C) qua A(xA;yA) toạ độ A nghiệm phương trình (C) A∈(C) ⇔ yA = f(xA) Dó tính f(xA) Nếu f(xA) = yA (C) qua A Nếu f(xA) ≠ yA (C) khơng qua A * Sự tương giao hai đồ thị Bài toán : Cho (C) (L) theo thứ tự độ thị hàm số y = f(x) y = g(x) Hãy khảo sát tương giao hai đồ thị Toạ độ điểm chung (C) (L) nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm: f(x) = g(x) (*) - Nếu (*) vơ nghiệm (C) (L) khơng có điểm chung - Nếu (*) có nghiệm kép (C) (L) tiếp xúc - Nếu (*) có nghiệm (C) (L) có điểm chung - Nếu (*) có nghiệm (C) (L) có điểm chung * Lập phương trình đường thẳng Bài tốn 1: Lập phương trình đường thẳng (D) qua điểm A(xA;yA) có hệ số góc k Phương trình tổng quát đường thẳng (D) : y = ax + b (*) - Xác định a: ta có a = k - Xác định b: (D) qua A(xA;yA) nên ta có yA = kxA + b → b = yA - kxA - Thay a = k; b = yA - kxA vào (*) ta có phương trình (D) Bài tốn 2: Lập phương trình đường thẳng (D) qua hai điểm A(xA;yA); B(xB;yB) Phương trình tổng quát đường thẳng (D) : y = ax + b  y A = ax A + b  y B = ax B + b (D) qua A B nên ta có:  Giải hệ ta tìm a b suy phương trình (D) Bài tốn 3: Lập phương trình đường thẳng (D) có hệ số góc k tiếp xúc với đường cong (C): y = f(x) Phương trình tổng quát đường thẳng (D) : y = kx + b Phương trình hồnh độ điểm chung (D) (P) là: f(x) = kx + b (*) Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép Từ điều kiện ta tìm b suy phương trình (D) Bài tốn 3: Lập phương trình đường thẳng (D) qua điểm A(xA;yA) tiếp xúc với đường cong (C): y = f(x) Phương trình tổng quát đường thẳng (D) : y = kx + b Phương trình hoành độ giao điểm (D) (P) là: f(x) = kx + b (*) Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép Từ điều kiện ta tìm hệ thức liên hệ a b (**) Mặt khác: (D) qua A(xA;yA) ta có yA = axA + b (***) Từ (**) (***) → a b → Phương trình đường thẳng (D) Trang 10 PHẦN II: HÌNH HỌC A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Hệ thức lượng tam giác vuông b2 = ab' c2 = ac' A h = b'c' b c ah = bc h a2 = b2 + c2 B c' b' C H 1 = 2+ 2 h b c a Tỉ số lượng giác góc nhọn < sinα < < cossα < sin α cos α tgα = cot gα = cos α sin α tgα.cotgα = 1 + tg 2α = cos α sin2α + cos2α = 1 + cot g 2α = sin α B Hệ thức cạnh góc tam giác vng b = asinB = acosC a c b = ctgB = ccotgC c = a sinC = acosB c = btgC = bcotg B A b C Đường tròn - Cách xác định: Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ đường tròn - Tâm đối xứng, trục đối xứng: Đường tròn có tâm đối xứng; có vơ số trục đối xứng - Quan hệ vng góc đường kính dây Trong đường tròn + Đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây + Đường kính qua trung điểm dây không qua tâm vng góc với dây Trang 11 - Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây: Trong đường tròn: + Hai dây cách tâm + Hai dây cách tâm + Dây lớn dây gần tâm + Dây gần tâm dây lớn - Liên hệ cung dây: Trong đường tròn hay hai đường tròn nhau: + Hai cung căng hai dây + Hai dây căng hai cung + Cung lớn căng dây lớn + Dây lớn căng cung lớn - Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn: Vị trí tương đối Số điểm chung Hệ thức liên hệ d R dR - Đường thẳng đường tròn cắt - Đường thẳng đường tròn tiếp xúc - Đường thẳng đường tròn khơng giao Trang 12 - Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn: Vị trí tương đối Số điểm chung Hệ thức liên hệ d R - Hai đường tròn cắt - Hai đường tròn tiếp xúc + Tiếp xúc R - r < OO' < R + r OO' = R + r + Tiếp xúc OO' = R - r - Hai đường tròn khơng giao + (O) (O') ngồi OO' > R + r + (O) đựng (O') + (O) (O') đồng tâm OO' < R - r OO' = Tiếp tuyến đường tròn - Tính chất tiếp tuyến:Tiếp tuyến vng góc với bán kính qua tiếp điểm - Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến: + Đường thẳng đường tròn có điểm chung + Khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bán kính + Đường thẳng qua điểm đường tròn vng góc với bán kính qua điểm - Tính chất tiếp tuyến cắt A MA, MB hai tiếp tuyến cắt thì: + MA = MB O M + MO phân giác góc AMB + OM phân giác góc AOB B Trang 13 - Tiếp tuyến chung hai đường tròn: đường thẳng tiếp xúc với hai đường tròn đó: Tiếp tuyến chung ngồi Tiếp tuyến chung d d d' O O' O O' d' Góc với đường tròn Loại góc Hình vẽ Cơng thức tính số đo A B Góc tâm AOB = sd AB O A B O Góc nội tiếp AMB = sd AB M x A Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung B xBA = O sd AB B A M Góc có đỉnh bên đường tròn O AMB = ( sd AB + sdCD ) AMB = ( sd AB − sdCD) C D M D C Góc có đỉnh bên ngồi đường tròn O A B Trang 14 Chú ý: Trong đường tròn - Các góc nội tiếp chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung - Góc nội tiếp nhỏ 900 có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung - Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn góc vng ngược lại góc vng nội tiếp chắn nửa đường tròn - Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung Độ dài đường tròn - Độ dài cung tròn - Độ dài đường tròn bán kính R: C = 2πR = πd π Rn - Độ dài cung tròn n0 bán kính R : l = 180 Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn - Diện tích hình tròn: S = πR2 - Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cong n0: S = Các loại đường tròn Đường tròn ngoại tiếp tam giác π R2n 360 Đường tròn nội tiếp tam giác A A O O B C B C Tâm đường tròn giao ba đường trung trực tam giác = lR Đường tròn bàng tiếp tam giác Tâm đường tròn bàng tiếp góc A giao điểm hai đường phân giác góc ngồi B C giao điểm đường phân giác góc A đường phân giác ngồi B (hoặc C) Tâm đường tròn giao ba đường phân giác tam giác 10 Các loại hình khơng gian a Hình trụ - Diện tích xung quanh: Sxq = 2πrh - Diện tích tồn phần: Stp = 2πrh + πr2 - Thể tích hình trụ: V = Sh = πr2h b Hình nón: - Diện tích xung quanh: Sxq = 2πrl - Diện tích tồn phần: Stp = 2πrl + πr2 - Thể tích hình trụ: V = π r2h r: bán kính Trong h: chiều cao Trong r: bán kính l: đường sinh h: chiều cao Trang 15 c Hình nón cụt: - Diện tích xung quanh: Sxq = π(r1 + r2)l - Thể tích: V = π h(r12 + r22 + r1 r2 ) d Hình cầu - Diện tích mặt cầu: S = 4πR2 = πd - Thể tích hình cầu: V = π R3 r1: bán kính dáy lớn Trong đó: r2: bán kính đáy nhỏ l: đường sinh h: chiều cao R: bán kính Trong đó: d: đường kính 11 Tứ giác nội tiếp: Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: - Tứ giác có tổng hai góc đối 1800 - Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có đỉnh cách điểm - Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh lại góc α Trang 16 B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh hai góc Cách chứng minh: - Chứng minh hai góc góc thứ ba - Chứng minh hai góc với hai góc khác - Hai góc tổng hiệu hai góc theo thứ tự đơi - Hai góc phụ (hoặc bù) với góc thứ ba - Hai góc nhọn tù có cạnh đơi song song v.góc - Hai góc ó le trong, so le ngồi đồng vị - Hai góc vị trí đối đỉnh - Hai góc mộ tam giác cân - Hai góc tương ứng hai tam giác đồng dạng - Hai góc nội tiếp chắn cung chắn hai cung Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng Cách chứng minh: - Chứng minh hai đoạn thẳng đoạn thứ ba - Hai cạnh mmột tam giác cân tam giác - Hai cạnh tương ứng hai tam giác - Hai cạnh đối hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hình vng) - Hai cạnh bên hình thang cân - Hai dây trương hai cung đường tròn hai đường Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng song song Cách chứng minh: - Chứng minh hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba - Chứng minh hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ ba - Chứng minh chúng tạo với cát tuyến hai góc nhau: + vị trí so le + vị trí so le ngồi + vị trí đồng vị - Là hai dây chắn chúng hai cung đường tròn - Chúng hai cạnh đối hình bình hành Dạng 4: Chứng minh hai đường thẳng vng góc Cách chứng minh: - Chúng song song song song với hai đường thẳng vng góc khác - Chứng minh chúng chân đường cao tam giác - Đường kính qua trung điểm dây dây - Chúng phân giác hai góc kề bù Trang 17 Dạng 5: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy Cách chứng minh: - Chứng minh chúng ba đường cao, ba trung tuyến, ba trung trực, ba phân giác (hoặc phân giác phân giác ngồi hai góc kia) - Vận dụng định lí đảo định lí Talet Dạng 6: Chứng minh hai tam giác Cách chứng minh: * Hai tam giác thường: - Trường hợp góc - cạnh - góc (g-c-g) - Trường hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c) - Trường hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c) * Hai tam giác vng: - Có cạnh huyền góc nhọn - Có cạnh huyền cạnh góc vng - Cạnh góc vng đơi Dạng 7: Chứng minh hai tam giác đồng dạng Cách chứng minh: * Hai tam giác thường: - Có hai góc đơi - Có góc xen hai cạnh tương ứng tỷ lệ - Có ba cạnh tương ứng tỷ lệ * Hai tam giác vuông: - Có góc nhọn - Có hai cạnh góc vng tương ứng tỷ lệ Dạng 8: Chứng minh đẳng thức hình học Cách chứng minh: Giả sử phải chứng minh đẳng thức: MA.MB = MC.MD (*) - Chứng minh: ∆MAC ∼ ∆MDB ∆MAD ∼ ∆MCB - Nếu điểm M, A, B, C, D cúng nằm đường thẳng phải chứng minh tích tích thứ ba: MA.MB = ME.MF MC.MD = ME.MF Tức ta chứng minh: ∆MAE ∼ ∆MFB ∆MCE ∼ ∆MFD → MA.MB = MC.MD * Trường hợp đặc biệt: MT2 = MA.MB ta chứng minh ∆MTA ∼ ∆MBT Trang 18 Dạng 9: Chứng minh tứ giác nội tiếp Cách chứng minh: Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: - Tứ giác có tổng hai góc đối 1800 - Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có đỉnh cách điểm - Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh lại góc α Dạng 10: Chứng minh MT tiếp tuyến đường tròn (O;R) Cách chứng minh: - Chứng minh OT ⊥ MT T ∈ (O;R) - Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng MT bán kính - Dùng góc nội tiếp Dạng 10: Các tốn tính tốn độ dài cạnh, độ lớn góc Cách tính: - Dựa vào hệ thức lượng tam giác vuông - Dựa vào tỷ số lượng giác - Dựa vào hệ thức cạnh góc tam giác vng - Dựa vào cơng thức tính độ dài, diện tích, thể tích Đây số kiến thức chương trình Toán Để giúp em ôn tập tốt Cần đọc kỹ tài liệu Xem thêm Sách giáo khoa Toán Chúc em học tập thành công! Trang 19 ... nội tiếp Dạng 10: Các tốn tính tốn độ dài cạnh, độ lớn góc Cách tính: - Dựa vào hệ thức lượng tam giác vuông - Dựa vào tỷ số lượng giác - Dựa vào hệ thức cạnh góc tam giác vng - Dựa vào cơng... pháp 2: Phương pháp 2: Dựa vào tập giá trị hàm Phương pháp 3: Dựa vào đẳng thức Trang Nội dung 10: Các toán liên quan đến hàm số * Điểm thuộc đường - đường qua điểm Bài toán: Cho (C) đồ thị hàm... Kiểm tra nghiệm phương trình hệ phương trình nghiệm thích hợp với toán kết luận Trang B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Rút gọn biểu thức Bài toán: Rút gọn biểu thức A Để rút gọn biểu thức A ta thực