HÌNH HỌC 10 TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG GV: PHAN NHẬT NAM TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KÌ TỪ 00 ĐẾN 1800 CƠ SỞ LỶ THUYẾT Định nghĩa Lấy M nửa đường tròn đơn vò tâm O Xét góc nhọn  = xOM Giả sử M ( x0 ; y0 ) sin = y0 (tung độ) cos = x0 (hoành độ) tan = cot = y0  tung độ    x0  hoành độ  (x  0) x0  hoành ñoä    y0  tung ñoä  (y  0) -1 – Nếu  tù cos < 0, tan < 0, cot < Chú ý: – tan xác định   900, cot xác định   00   1800 Tính chất  Góc phụ  Góc bù sin(900   )  cos  cos(900   )  sin  tan(900   )  cot  cot(90   )  tan  sin(1800   )  sin  cos(1800   )   cos  tan(1800   )   tan  cot(1800   )   cot  Giá trị lượng giác góc đặc biệt 00 300 450 600 900 1800 sin 2 cos 2 2 0 –1 tan 3  cot  3  Các hệ thức sin2   cos2   1  tan2   (cos   0) cos2  1  cot   (sin   0) sin2  tan  cot   (sin  cos   0) sin  tan   (cos   0) cos  cos  cot   (sin   0) sin  Chú ý:  sin   ;   cos   GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN: Dạng 1: Biết giá trị lượng giác góc, tính giá trị lương giác lại  Từ giả thuyết ta xác định khoảng giá trị góc  thuộc (00 , 900 ) (900 , 1800 ) cụ thể:   (00 , 900 )  sin   , cos   , tan   , cot     (90 ,180 )  sin   , cos   , tan   , cot   0  Sử dụng đẳng thức lượng giác tương ứng để tìm giá trị lượng giác lại: sin  cos  Nếu gt cho sin   a : cos2    sin    a , tan   , cot   cos  sin  sin  cos  Nếu gt cho cos   a : sin    cos    a , tan   , cot   cos  sin  1   tan   cos   Nếu gt cho tan   a : , sin   tan  cos  cos   a2 1 Nếu gt cho cot   a : , cos   cot  sin    cot   sin   sin   a2 Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho biết cos    Tính giá trị lượng giác lại góc  10 Giải: Ta có cos        (900 , 1800 )  sin   , tan   , cot   10 (vì sin   ) 10 Lại có: sin   cos    sin    cos   tan   sin  cos   cot    cos  sin  Vậy giá trị lượng giác lại  là: sin   Ví dụ 2: Cho biết sin   , tan   cot   10 Tính giá trị lượng giác lại góc  Giải: Ta có   (00 , 1800 )  sin   TH1:   (00 , 900 )  cos   ta có: sin   cos    cos    sin   tan   2 cos  sin  2 cot     sin  cos  2 GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG TH2:   (900 , 1800 )  cos   ta có: sin   cos    cos     sin    tan   2 cos  sin   2 cot     sin  cos  2 Ví dụ 3: Cho biết tan   Tính giá trị lượng giác lại góc  Giải: Ta có tan       (00 , 900 )  sin   , cos   , cot   Lại có: 1  tan    22    cos    cos   cos  5 tan   sin   sin   tan  cos   cos  cot   1  tan  5 , sin   cot   5 Vậy giá trị lượng giác lại góc  là: cos   Ví dụ 4: Cho biết tan x  Tính giá trị biểu thức: A  (vì cos   ) cos3 x  sin x  cos x sin x  3cos x Giải: cos3 x sin x cos x sin x 1   1  cos3 x  sin x  cos x cos3 x cos3 x cos3 x cos x cos x cos x A   sin x cos x sin x  cos x 1  3 cos x cos x cos x   tan x(tan x  1)  (tan x  1) tan x  tan x  tan x 23  2    1  (tan x  1) tan x  22  Ví dụ 5: Cho biết sin   cos   a Tính giá trị lượng giác : sin  , cos  , tan  , cot  b Tính giá trị biểu thức: A  sin   cos6  Giải: a sin   cos    cos   sin    Lại có: sin   cos    sin   sin      2 sin     sin   GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225    2sin   2 sin    www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG 1  2 2 sin  cos  tan    1 cot    1 cos  sin  Do đó: cos   sin    Vậy giá trị lượng giác cần tìm là: sin   b A  sin   cos    sin     cos   2 , cos   , tan   1 , cot   1 2 3 1   sin   cos    3sin  cos   sin   cos     3sin  cos     2 Ví dụ 5: Trong mặt phẳng Oxy cho M(- 4; 3) Hãy tìm giá trị sin x, cos x, tan x, cot x với x  xOM Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho giá trị lượng giác góc, tính giá trị lượng giác lại: a sin   (biết  góc nhọn) d cos    b tan   2 c sin   e cot   2 f cos   Bài 2: Cho biết giá trị lượng giác góc, tính giá trị biểu thức: a Cho biết: sin x  ,  900  x  1800  Tính A tan x  3cot x  tan x  cot x b Cho biết: tan x  Tính B sin x  cos x 3sin x  cos x , C sin x  3cos x  2sin x sin x  cos x c Cho biết: sin x  Tính C cot x  tan x cot x  tan x d Cho biết: cot x  3 Tính E sin x  2sin x cos x  cos x  2sin x  3sin x cos x  cos x Bài 3: Cho biết 450    900 a Chứng minh rằng: sin   cos   b Đặt: a  sin   cos  Hãy tính giá trị biểu thức : A  sin  cos  B  sin   cos  C  sin   cos  D  sin   cos4  E  sin   cos6  F  sin   cos6  Bài 4: Biết sin150  6 Tinh cos150 , tan150 , cot150 GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG Bài : Cho sin   cos   Hãy tính giá trị biểu thức sau: A  sin  cos  B  sin   cos  C  sin   cos  D  sin   cos4  E  sin   cos6  F  sin   cos6  G  sin8   cos8  H cos   cot  sin   tan  Bài 6: Tính giá trị biểu thức sau: a a sin 00  b cos00  c sin 900 e a cos900  b sin 900  c sin1800 b a2 sin 900  b2 cos900  c2 cos1800 f  sin2 900  cos2 600  3tan2 450 c 4a2 sin2 450  3(a tan 450 )2  (2a cos 450 )2 g sin2 30  sin2 150  sin2 750  sin2 870 d cos2 120  cos2 780  cos2 10  cos2 890 Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(x; 4) xOM  1200 Hãy tìm x Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(x; y) xOM   Hãy cho biết dấu x, y trường hợp :  nhọn ,  tù Dạng 2: Chứng minh đẳng thức lượng giác : Sử dụng đẳng thức lượng giác : sin  (cos   0) cos  cos  cot   (sin   0) sin  tan  cot   (sin  cos   0) tan   sin2   cos2   1  tan2   (cos   0) cos2  1  cot   (sin   0) sin2  sin x  cos x   sin x    cos x    sin x  cos x   2sin x cos x   2sin x cos x 2 sin x  cos6 x   sin x    cos x    sin x  cos x   3sin x cos x  sin x  cos x    3sin x cos x 3 sin x  cos8 x   sin x    cos x    sin x  cos x   2sin x cos x  1  2sin x cos x   2sin x cos x GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức:   1 sin x    sin x   ;   cos x  cos x   tan x với 00  x  1800 Giải: x  (00 ,1800 )  sin x    cos x   cos x     cos x  cos x  VT  sin x    sin x   sin x   sin x   1  cos x   2(1  cos x)(1  cos x) 2(1  cos x)(1  cos x)           sin x   sin x  sin x  sin x  sin x    sin x  cos x    sin x      sin x   sin x   sin x  VP    tan x  cos x cos x Do ta có: VT  VP  cos2 x (đpcm) Ví dụ 2: Chứng minh đẳng thức: tan2 x  sin2 x  tan2 x.sin2 x Giải: VT  tan x  sin x  sin x    sin x  sin x   1 2 cos x  cos   sin x  tan x   1  sin x tan x  VP (đpcm) Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức: A  sin 30  sin 150  sin 750  sin 870 Giải: Theo cơng thức phụ ta có: sin 30  sin  900  87   cos87 sin150  sin  900  750   cos 750 Do ta có: A  cos 870  cos 750  sin 750  sin 87   cos 87  sin 87    cos 750  sin 750     GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG Ví dụ 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x A  sin x  4cos x  cos x  4sin x Giải: Nhận xét: x ta có: 1  sin x, cos x    sin x , cos x    sin x, cos x  A  sin x  1  sin x   cos4 x  1  cos2 x    sin x   cos x    sin x   cos x sin x  2  cos x  2 (vì sin x   cos2 x   )    sin x  cos x     (đpcm) Bài tập áp dụng: Baøi Chứng minh đẳng thức sau: a) (sin x  cos x )2   2sin x.cos x b) sin4 x  cos4 x   2sin2 x.cos2 x c) tan2 x  sin2 x  tan2 x.sin2 x d) sin6 x  cos6 x   3sin2 x.cos2 x sin x sin x  cos x   sin x  cos x e) sin x  cos x tan x  cos x  cot x  cot x f) 2 sin x  tan x g) sin x.cos x(1  tan x)(1  cot x)   2sin x.cos x h)  sin x cos x  cos x  sin x Baøi Đơn giản biểu thức sau: a) A  cos y  sin y.tan y b) B   cos b  cos b c) C  sin a  tan2 a d) D  e) E   4sin2 x.cos2 x  sin2 x  tan x.cot x f) F  sin(900  x )  cos(1800  x )  sin2 x(1  tan2 x )  tan2 x (sin x  cos x ) cos 360  sin 540 cos 540 g) G  0 sin144  cos126 i) I   cos2 x  sin x  sin x   sin x  sin x h) H  sin x  cot x  cos x j) J  cos2 120  cos2 780  cos2 10  cos2 890 k) K  cos100  cos 200  cos300  cos 400   cos1600  cos1700  cos1800 GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG Baøi Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến (độc lập với biến số): a A  2cos4 x  sin x  sin x cos2 x  3sin x b B  cos6 x  2sin x cos2 x  3sin x cos x  sin x c C   cot x  tan x   (cot x  tan x) 2 d D  cos  600  x   cos  450  x   sin  x  300   cos  x  1350  e E  sin x  4cos x  cos x  4sin x f F g G  cot x   tan x  cot x  cot x  cos x sin x cos x  cot x cot x Dạng 3: Chứng minh đẳng thức liên quan đến góc tam giác Cho tam giác ABC ta có A  B  C  1800 A B C    900 2 Vì lý nên xét tốn có biến ba góc tam giác ta liên tương đến công thức bù công thức phụ , cụ thể như: sin  A  B   sin 1800  C   sin C cos  A  B   cos 1800  C    cos C sin A B C C   sin  900    cos 2  Các ví dụ minh họa: Ví dụ : Chứng minh với tam giác ABC ta có: a tan B  C  2A 3A  cot 2 b cos  A  B  C    cos B Giải:  B  C  1800  A A, B, C ba góc tam giác nên ta có: A  B  C  180    A  C  180  B a tan B  C  2A 1800  A 3A  3A   tan  tan  90    cot 2   (đpcm) b cos  A  B  C   cos  A  C  B   cos 1800  B    cos B (đpcm) GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG Bài tập áp dụng: Cho A, B, C ba góc tam giác ABC Chứng minh rằng: sin( B  C )  sin A cos( A  B)   cos C A B C  cos 2 A B C  cot C tan sin A B C  cos C A  B  2C 3C sin  cos 2 A  B  2C 3C cot  tan 2 sin TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ CƠ SỞ LỶ THUYẾT Góc hai vectơ Cho a, b  Từ điểm O vẽ OA  a, OB  b Khi  a, b   AOB với 00  AOB  1800 Chú ý: +  a, b  = 900  a  b A O +  a, b  = 00  a , b hướng B +  a, b  = 1800  a , b ngược hướng +  a, b    b , a  Tích vơ hướng hai vectơ a.b  a b cos  a, b   Định nghĩa: a.a  a  a Đặc biệt:  Tính chất: Với a , b , c kR, ta có: a.b  b a ; a  b  c   a.b  a.c ;  ka  b  k  a.b   a  kb  ; a2  ;  a  b 2  a  2a.b  b ;  a  b 2  a2  2a.b  b ; a2   a  a  b   a  b  a  b  a.b >   a, b  nhọn a.b <   a, b  tù a.b   a  b GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 10 www.toanhocdanang.com TÍCH VÔ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG 5a d MAMB  MAMC  MBMC  Gọi G trọng tâm ABC  GA.GB  GA.GC  GB.GC      a a a2 cos1200   3    Ta có: MAMB  MG  GA MG  GB  MG  MG GA  GB  GAGB  MG  MG GA  GB  a2 Tương tự ta cúng có:   MAMC  MG  MG GA  GC    a2 a2 MBMC  MG  MG GB  GC  6   Do : MAMB  MAMC  MBMC  3MG  2MG GA  GB  GC  MAMB  MAMC  MBMC  a2 a2  3MG  2 5a a 5a  3MG    MG  a 2 Ví G điểm cố định nên tập hợp điểm M đường tròn tâm G bán kính R = a Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, góc A góc nhọn Trung tuyến AI Tìm tập hợp tất điểm M thỏa mãn điều kiện: AB AH  AC AK  AI Với H, K hình chiếu M lên AB AC Giải: H, K thuộc cạnh AB AC nên ta có: AB AH  AC AK  AB AH  AC AK  AB AM  AC AM (theo định lý hình chiếu vng góc)    AM AB  AC  AM AI Gọi E trung điểm AI ta có: AI  AI  AI AI  AE.AI   Do ta có: AB AH  AC AK  AI  AM AI  AE AI  AI AM  AE   AI EM  Vậy tập hợp điểm M đường thẳng qua E vng góc với AI (vì E, A, I cố định) Dạng 5: Sử dụng tích vơ hướng để giải tốn cực trị hình học: Phương pháp chung: Sử dụng tích vơ hướng để biến đổi biểu thức cần tìm cực trị biểu thức độ dài, chẳng hạn : S  MI  c (với c hẳng số , điểm I cố định) Min  S   c MI = (tức M  I) GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 21 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG Chú ý :  Nếu M nằm đường thẳng d cho trược Min(S) đạt M hình chiếu I lên d  Nếu M nằm đường tròn C(O,R)thì Min(S) , Max(S) đạt M giao điểm đường thẳng IO đường tròn (C) Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) tâm O Tìm vị trí điểm M thuộc đường tròn (C) để S  MA2  MB  2MC đạt giá trị nhỏ , đạt giá trị lớn Giải: Gọi D đỉnh thứ tư hình bình hành ACBD M Gọi R bán kính (C) C Khi ta có : CA  CB  CD OA  OB  OC  R 2 S  MA  MB  2MC  O    MO  OA  MO  OB     MO  OC  A   MO OA  OB  2OC  OA  OB  2OC  2 B M   MO CA  CB  R  R  R     MO.CD  2.MO.CD.cos MO, CD  2.R.CD.cos MO, CD   D  Ta có: 1  cos MO, CD   2.R.CD  S  2.R.CD     Min(S )  2R.CD cos MO, CD  1 (tức M thuộc (C) cho MO CD ngược chiều) Max(S )  2R.CD cos MO, CD  (tức M thuộc (C) cho MO CD chiều) Ví dụ 2: Cho tam giác ABC đường thẳng d cố định M điểm tùy ý d a Dựng điểm I thỏa mãn điều kiện: IA  3IB  IC  b Xác định vị trí điểm M cho S  MA2  3MB2  2MC đạt giá trị nhỏ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 22 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG Giải: A a Gọi H trung điểm AB ta có: IA  IB  2IH  IA  3IB  IC   IA  IB  IC  IB   HI  CB  I đỉnh thứ tư HCBI      b S  MI  IA  MI  IB  MI  IC   H  I 2  2MI  2MI IA  3IB  IC  IA  3IB  2IC M  2MI  IA2  3IB  2IC C d B Vì A, B, C I điểm cố định nên IA2  3IB2  IC số Do S  MA2  3MB2  2MC đạt giá trị nhỏ  IM đạt giá trị nhỏ  M hình chiếu vng góc điểm I lên đường thẳng d BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài Cho tam giác ABC vng A, AB = a, BC = 2a Tính tích vơ hướng: a) AB AC b) AC.CB c) AB.BC Baøi Cho tam giác ABC cạnh a Tính tích vơ hướng : a) AB AC b) AC.CB c) AB.BC Bài Cho tam giác ABC vng cân có AB = AC = a Tính tích vơ hướng: a) AB AC b) AH CB c) AB.BC Baøi Cho tam giác ABC có : AB.CB  AC.BC  a Tính cạnh tam giác ABC b Gọi I, J hai điểm thỏa mãn đẳng thức IA  IB  JB  JC  tính độ dài đoạn thẳng IJ Baøi Cho bốn điểm A, B, C, D a) Chứng minh: DA.BC  DB.CA  DC.AB  b) Từ suy cách chứng minh định lí: "Ba đường cao tam giác đồng qui" Baøi Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF Chứng minh: BC.AD  CA.BE  AB.CF  Baøi Cho hai điểm M, N nắm đường tròn đường kính AB = 2R Gọi I giao điểm hai đường thẳng AM BN a) Chứng minh: AM AI  AB AI , BN BI  BA.BI b) Tính AM.AI  BN BI theo R GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 23 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG Bài Cho tam giác ABC vng A có BC = , M trung điểm BC Biết AM BC  Tính độ dài AB AC Baøi Cho tam giác ABC cạnh a AM trung tuyến tam giác ABC Tính tich vơ hướng:  a AC AB  AC   d AC AC  AB  e AB  AC b AM AB c CA  BC CA  CB    AB  AC  f AB.BC  BC.CA  CA AB Bài 10 Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC = a) Tính AB AC , suy giá trị góc A b) Tính CA.CB c) Gọi D điểm CA cho CD = Tính CD.CB Bài 11 Cho hình vng ABCD cạnh a Tính giá trị biểu thức sau: a) AB AC b) ( AB  AD )(BD  BC ) d) AB.BD e) ( AB  AC  AD)(DA  DB  DC ) HD: a) a2 b) a2 c) 2a2 c) ( AC  AB)(2 AD  AB) d) a2 e) Bài 12 Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = a) Tính AB AC , suy cosA b) Gọi G trọng tâm ABC Tính AG.BC c) Tính giá trị biểu thức S = GA.GB  GB.GC  GC.GA d) Gọi AD phân giác góc BAC (D  BC) Tính AD theo AB, AC , suy AD HD: a) AB AC   , cos A   b) AG.BC  d) Sử dụng tính chất đường phân giác DB  c) S   29 54 AB DC  AD  AB  AC , AD  AC 5 Baøi 13 Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A = 600 M trung điểm BC a) Tính BC, AM b) Tính IJ, I, J xác định bởi: 2IA  IB  0, JB  JC HD: a) BC = 19 , AM = GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 b) IJ = 24 133 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG Bài 14 Cho tứ giác ABCD a) Chứng minh AB2  BC2  CD2  DA2  AC.DB b) Suy điều kiện cần đủ để tứ giác có hai đường chéo vng góc là: AB2  CD2  BC2  DA2 Bài 15 Cho tam giác ABC có trực tâm H, M trung điểm BC Chứng minh: MH MA  BC Baøi 16 Cho hình chữ nhật ABCD, M điểm Chứng minh: a) MA2  MC  MB2  MD2 b) MA.MC  MB.MD c) MA2  MB.MD  2MA.MO (O tâm hình chữ nhật) Bài 17 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho a  1; 3 , b   ;   a   x ;1 a Chứng minh a  b b Tìm giá trị x để a  c c Tìm giá trị x để a c phương d Tìm tọa độ vectơ d để a  d b.d  20 Baøi 18 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2; 3), B(9; 4), C(5; y) D(x; -2) a Tìm giá trị y cho tam giác ABC vng C b Tìm x để A, B, D thẳng hàng Baøi 19 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(-3; 3), B(4; 4) a Tìm điểm M thuộc trục tung cho AMB  900 b Tìm điểm N thuộc Ox để A, B, N thẳng hàng Baøi 20 Tính góc hai vec tơ trường hợp sau: a a   4; 3 , b  1;  c a   2; 5 , b   3;   b a   6;  8 , b  12;  d a   2;   , b   3;  Baøi 21 Cho tam giác ABC với A(1 ; 6) , B(2 ; 6), C(1 ; 1) a Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC b Tìm hình chiếu vng góc K đỉnh A lên đường thẳng BC Từ suy A’ đối xứng điểm A qua đường thẳng BC Bài 22 Cho tam giác ABC có A(1 ; -1) , B(5 ; -3) , C(2 ; 0) a Tính chu vi nhận dạng tam giác ABC b Tìm tọa độ điểm M biết CM  AB  AC c Tìm tọa độ tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 25 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG Baøi 23 Cho ba điểm A(7; 4), B(0; 3), C(5; -1) a Tính AB AC b Tính giá trị lượng giác góc BAC c Tìm tọa độ chân đường cao tam giác ABC d Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC e Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC f Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp I tam giác ABC g Chứng minh I, H, G thẳng hàng, tính tỷ số HI HG Bài 24 Cho tam giác ABC có AC = 2AB Gọi D trung điểm AC , M điểm thỏa mãn điều kiện BM  BC Chứng minh BD vng góc với AM Bài 25 Cho tam giác ABC có A(1; –1), B(5; –3), C(2; 0) a Tính chu vi nhận dạng tam giác ABC b Tìm toạ độ điểm M biết CM  AB  AC c Tìm tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 26 Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8) a Tính AB AC Chứng minh tam giác ABC vng A b Tìm tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC c Tìm toạ độ trực tâm H trọng tâm G tam giác ABC d Tính chu vi, diện tích tam giác ABC e Tìm toạ độ điểm M Oy để B, M, A thẳng hàng f Tìm toạ độ điểm N Ox để tam giác ANC cân N g Tìm toạ độ điểm D để ABDC hình chữ nhật h Tìm toạ độ điểm K Ox để AOKB hình thang đáy AO i Tìm toạ độ điểm T thoả TA  2TB  3TC  j Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B k Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác đỉnh C ABC Baøi 27 Cho hình vng ABCD a Gọi M, N trung điểm BC CD Chứng minh BK  AC b Gọi P, Q tương ứng BC, CD cho BC = m.BP, CD = m.CQ Chứng minh AP  BQ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 26 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG Bài 28 Cho hình chữ nhật ABCD a AB = a, AD = a Gọi K trung điểm AD Chứng minh BK  AC b2 b AB = a, AD = b Gọi K trung điểm AD L tia AD cho DL  2a Chứng minh BK  AL Baøi 29 Cho tứ giác ABCD có AC  BD M Gọi P trung điểm AD Chứng minh MP  BC  MA.MC  MB.MD Baøi 30 Cho hình vng ABCD, điểm M nằm AC cho AC = 4AM Gọi N trung điểm DC Chứng minh tam giác BMN tam giác vuông cân Bài 31 Cho hình thang vng ABCD có đường cao AB = h, cạnh đáy AD = a , BC = b tìm điều kiện a, , b, h để: a AC  BD b AIB  900 với I trung điểm CD Bài 32 Cho hình thang vng ABCD có đường cao AB = 2a, cạnh đáy AD = a , BC = 4a a Tính AC.BD , từ suy góc AC BD b Gọi I trung điểm CD, J điểm di động cạnh BC Dùng tích vơ hướng để tính BJ cho AJ BI vng góc Baøi 33 Cho tứ giác ABCD a Chứng minh : AB  BC  CD  DA2  AC.BD b Suy điều kiện cần đủ để có tứ giác có đường chéo vng góc AB2  CD2  BC  DA2 Bài 34 Cho tam giác ABC vng A, Gọi M trung điểm BC Lấy điểm B1, C1 AB AC cho AB AB1  AC AC1 Chứng minh AM  B1C1 Baøi 35 Cho tam giác ABC cân đỉnh A , O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, a Gọi M trung điểm AB, E trọng tâm tam giác ACM Chứng minh OE  CM b Gọi BB1 CC1 đường cao tam giác ABC Chứng minh OA  B1C1 Baøi 36 Cho đường tròn tâm O điểm P nằm miền đường tròn Qua P, kẻ hai dây cung AB CD vng góc Gọi M trung điểm dây cung BD Chứng minh: PM  AC Bài 37 Cho tam giác ABC tìm tập hợp điểm M cho: a) MA2  MA.MB b) ( MA  MB)(2 MB  MC )  d) 2MA2  MA.MB  MA.MC c) ( MA  MB)( MB  MC )  Baøi 38 Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O Tìm tập hợp điểm M cho: a) MA.MC  MB.MD  a2 b) MA.MB  MC.MD  5a2 d) ( MA  MB  MC)( MC  MB)  3a2 c) MA2  MB2  MC  3MD2 GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 27 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG Baøi 39 Cho tứ giác ABCD, I, J trung điểm AB CD Tìm tập hợp điểm M cho: MA.MB  MC MD  IJ Baøi 40 Cho tam giác ABC có trọng tâm G M điểm tùy ý a Chứng minh rằng: MA.BC  MB.CA  MC AB  b Chứng minh : MA2  MB2  MC  GA2  GB2  GC  3MG2 từ suy vị trí điểm M để MA2  MB2  MC đạt giá trị nhỏ Baøi 41 Cho tam giác ABC cạnh a Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện: a MA2  MB2  MC  2a b MA.MC  MC.MB f MA2  3MB2  2MC  c MA2  MA.MB  MA.MC  g 2MA2  MB  MC  a d MB.MC  MA2  5a 2 e MA.MB  MB.MC  MC.MA  a2 h MA.MB  MB.MC  MC.MA  a2 Bài 42 Cho hình bình hành ABCD có tâm O, M điểm tùy ý a Chứng minh : MA2  MB  MC  MD   OB  OA2  b Giả sử M di động đường tròn (C), tìm vị trí điểm M để MA2  MB2  MC đạt giá trị nhỏ Baøi 43 Cho tam giác ABC cạnh 6cm Lấy điểm M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đặt S  MA2  MB2  MC Tìm vị trí điểm M để S đạt giá trị nhỏ nhất, lớn Bài 44 Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O a Chứng minh rằng: MA2  MB2  MC  MD2  a2  M thuộc đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD  b Chứng minh rằng: MA2  MB  MC  3MD  2MO MA  MB  MC  3MD  c Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ S  MA2  MB  MC  3MD M di động đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD Bài 45 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều liện: a MA2  MB2  CA2  CB2  g MA.MB  AB.MC b 3MA2  2MB2  MC  h MA2  MB.MC c MB  MB.MC  BC i MA2  MB2  MC  AB2  AC d AM BC  k (với k số cho trước) k MA2  MA.MB  MA.MC e  MA  MB  MC  MB   l f MA.MB  MA.MC  MC  MB  BC m MA2  MA.MB  MA.MC GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 28  MA  MB  2MB  MC   www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Cho ABC có: – độ dài cạnh: BC = a, CA = b, AB = c – độ dài đường trung tuyến vẽ từ đỉnh A, B, C: ma, mb, mc – độ dài đường cao vẽ từ đỉnh A, B, C: ha, hb, hc – bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r – nửa chu vi tam giác: p – diện tích tam giác: S Định lí cơsin a2  b2  c2  2bc.cos A ; b2  c2  a2  2ca.cos B ; c2  a2  b2  2ab.cos C Định lí sin a b c    2R sin A sin B sin C Độ dài trung tuyến ma2  2(b2  c2 )  a2 ; mb2  2(a2  c2 )  b2 ; mc2 2(a2  b2 )  c2  4 Diện tích tam giác 1 aha  bhb  chc 2 1 S  bc sin A  ca sin B  ab sin C 2 abc S 4R S  pr S= S p( p  a)( p  b)( p  c) (cơng thức Hê–rơng) Giải tam giác tính cạnh góc tam giác biết số yếu tố cho trước Hệ thức lượng tam giác vuông (nhắc lại) Cho ABC vuông A, AH đường cao A  BC2  AB2  AC2 (định lí Pi–ta–go)  AB2  BC.BH , AC2  BC.CH 1    AH  BH CH , AH AB AC GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 B 29 H C www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG  AH BC  AB AC  b  a.sin B  a.cos C  c tan B  c cot C ; c  a.sin C  a.cos B  b tan C  b cot C Hệ thức lượng đường tròn (bổ sung) Cho đường tròn (O; R) điểm M cố định  Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD T B A PM/(O) = MA.MB  MC.MD  MO  R  Nếu M ngồi đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT 2 PM/(O) = MT  MO  R Baøi R O M C D Bài tập áp dụng Cho tam giác ABC, BC = a, AC = b, AB = c, S diện tích ΔABC, R bán kính vòng tròn ngoại tiếp, r bán kính vòng tròn nội tiếp; ha, hb, hc đường cao hạ từ A, B, C; ma, mb, mc trung tuyến hạ từ A, B, C; la, lb, lc phân giác hạ từ A, B, C; p nửa chu vi ΔABC a = 5; b = 6; c = Tính S, ha, hb, hc, R, r a  3, b  2,c   Tính góc b = 8; c = 5; A = 60° Tính S, R, r, , ma a = 21; b = 17; c = 10 Tính S, R, r, ha, ma A = 60°; hc = ; R = Tính a, b, c A = 120°; B = 45°; R = Tính cạnh a = 4, b = 3, c = Tính SABC, suy SAIC (I trung điểm AB) Cho góc A nhọn, b = 2m , c = m, S = m² Tính a, la Cho c = 3, b = 4; S = 3 Tính a 10 Nếu góc A = 90° CMR: a la  bcsin A b r  A (b  c)sin 11 Cho góc A = 120° CMR: la  (b  c  b  c ) c 1 1    r hb hc 1  b c tanA a  c  b  b2  c2 a 12 CMR: cotA + cotB + cotC =  R tanB b  c  a abc 3 b c a 13 Cho  a a = 2bcosC Tam giác ABC tam giác gì? bca 14 S = p(p – c) Tam giác ABC tam giác gì? GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 30 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG 15 S = (p – b)(p – c) Tam giác ABC tam giác gì? 16 acosB = bcosA Tam giác ABC tam giác gì? 17 mb² + mc² = 5ma² Tam giác ABC tam giác gì? 18 sinA = 2sinBcosC Tam giác ABC tam giác gì? 19 Cho AB = k Tìm tập hợp M thỏa MA² + MB² = 5k²/2 20 Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh rằng: a 3(GA² + GB² + GC²) = a² + b² + c² b 4(ma² + mb² + mc²) = 3(a² + b² + c²) c 4ma² = b² + c² + 2bc.cosA 21 Chứng minh với tam giác ABC ta có a S = 2R²sinAsinBsinC = Rr(sinA + sinB + sinC) b a = b.cosC + c.cosB c = 2RsinBsinC d sinB.cosC + sinC.cosB = sinA 2 22 Chứng minh a  b  c ≥ 2p Nếu dấu “ = ” xảy ABC tam giác gì? b c a 23 Cho b + c = 2a Chứng minh  hb  hc 24 Định x để x² + x + 1; 2x + 1; x² – cạnh tam giác Khi chứng minh tam giác có góc 120° 25 Đường tròn nội tiếp tiếp xúc cạnh tam giác ABC HIJ Chứng minh : SHIJ  26 Hai trung tuyến BM = 6, CN = hợp với góc 120° tính cạnh ABC Baøi Chứng minh tam giác ABC ta có; a a  b.cos C  c.cos B b sin A  sin B cos C  sin C cos B d ma2  mb2  mc2  c  R sin B sin C e S ABC  (a  b  c ) AB AC   AB AC  GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 31 www.toanhocdanang.com pr 2R TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG Bài Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: a Nếu b + c = 2a 1   hb hc b Nếu bc = a2 sin B sin C  sin2 A, hb hc  ha2 c A vng  mb2  mc2  5ma2 Bài Cho tứ giác lồi ABCD, gọi  góc hợp hai đường chép AC BD AC.BD.sin  b Nêu kết trường hợp tứ giác có hai đường chéo vng góc Cho ABC vuông A, BC = a, đường cao AH a Chứng minh diện tích S tứ giác cho cơng thức: S  Bài a Chứng minh AH  a.sin B.cos B, BH  a.cos2 B, CH  a.sin2 B b Từ suy AB2  BC.BH , AH  BH HC Baøi Cho AOB cân đỉnh O, OH OK đường cao Đặt OA = a, AOH   a Tính cạnh OAK theo a  b Tính cạnh tam giác OHA AKB theo a  c Từ tính sin 2 , cos2 , tan 2 theo sin  , cos , tan  Baøi Baøi Baøi Baøi 10 Giải tam giác ABC, biết: a c  14; A  600 ; B  400 b b  4,5; A  300 ; C  750 c c  35; A  400 ; C  1200 d a  137,5; B  830 ; C  570 Giải tam giác ABC, biết: a a  6,3; b  6,3; C  540 b b  32; c  45; A  870 c a  7; b  23; C  1300 d b  14; c  10; A  1450 Giải tam giác ABC, biết: a a  14; b  18; c  20 b a  6; b  7,3; c  4,8 c a  4; b  5; c  d a  3; b  2; c   Cho tứ giác ABCD Gọi α góc hợp đường chéo AC BD a Chứng minh rằng: S ABCD = AC.BD.sin α b Vẽ hình bình hành ABDC’ Chứng minh rằng: S ABCD  S ACC ' Baøi 11 Cho tứ giác ABCD có I, J trung điểm đường chéo AC BD Chứng minh rằng: AB2  BC  CD2  DA2  AC  BD2  4IJ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 32 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG II Bài Chứng minh đẳng thức sau: sin3 x  cos3 x   sin x.cos x b) sin x  cos x sin x  cos x a)    cos x sin x sin x  tan2 x   c)   1    tan x  4sin2 x.cos2 x e) d) cos2 x  sin2 x 4 sin x  cos x  sin x   tan2 x sin2 x cos2 x   sin x  cos x cos x(1  tan x ) sin x(1  cot x )  cos x   sin x  f)  tan x    cot x    sin x    cos x  sin x.cos x  g) cos2 x(cos2 x  2sin2 x  sin2 x tan2 x)  1 Tính cos180, sin720, sin1620, cos1620, sin1080, cos1080, tan720 Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: Baøi Biết sin18  a) A = cos4 x  cos2 x  sin2 x b) B = sin4 x  sin2 x  cos2 x Baøi Cho vectơ a , b a) Tính góc  a, b  , biết a, b  hai vectơ u  a  2b , v  5a  4b vng góc b) Tính a  b , biết a  11, b  23, a  b  30 c) Tính góc  a, b  , biết (a  3b )  (7a  5b ), (a  4b )  (7a  2b ) d) Tính a  b , 2a  3b , biết a  3, b  2, (a, b )  1200 e) Tính a , b , biết a  b  2, a  b  4, (2a  b )  (a  3b ) Bài Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = a) Tính AB AC cosA b) M, N hai điểm xác định AM  Bài Cho hình bình hành ABCD có AB = AB, AN  AC Tính MN , AD = 1, BAD  600 a) Tính AB.AD, BA.BC b) Tính độ dài hai đường chéo AC BD Tính cos  AC, BD  Baøi Cho tam giác ABC có góc A nhọn Về phía ngồi tam giác vẽ tam giác vuông cân đỉnh A ABD ACE Gọi I trung điểm BC Chứng minh AI  DE Baøi Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O Gọi H, K trực tâm tam giác ABO CDO Gọi I, J trung điểm AD BC Chứng minh HK  IJ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 33 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG Bài Cho hình vng ABCD có cạnh 1, M trung điểm cạnh AB Trên đường chéo AC lấy điểm N cho AN  AC a) Chứng minh DN vng góc với MN b) Tính tổng DN NC  MN CB Baøi 10 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho: a) AB.AM  AC.AM  b) AB.AM  AC.AM  c) ( MA  MB)( MA  MC )  d) ( MA  MB  MC )( MA  MB  MC )  Baøi 11 Chứng minh tam giác ABC ta có: a) b2  c2  a(b.cos C  c.cos B) b) (b2  c2 )cos A  a(c.cos C  b.cos B) b) sin A  sin B.cos C  sin C.cos B  sin(B  C) Baøi 12 Cho ABC Chứng minh rằng: a) Nếu (a  b  c)(b  c  a)  3bc A  600 b3  c  a3  a2 A  600 b) Nếu bca c) Nếu cos( A  C )  3cos B  B  600 d) Nếu b(b2  a2 )  c(a2  c2 ) A  600 Baøi 13 Cho ABC Chứng minh rằng: a) Nếu b2  a2  b cos A  a cos B ABC cân đỉnh C 2c sin B  cos A ABC cân đỉnh B sin C c) Nếu a  2b.cos C ABC cân đỉnh A b) Nếu d) Nếu b c a   ABC vng A cos B cos C sin B.sin C e) Nếu S  2R2 sin B.sin C ABC vng A Bài 14 Cho ABC Chứng minh điều kiện cần đủ để hai trung tuyến BM CN vng góc với là: b2  c2  5a2 Baøi 15 Cho ABC a) Có a = 5, b = 6, c = Trên đoạn AB, BC lấy điểm M, K cho BM = 2, BK = Tính MK 16 b) Có cos A  , điểm D thuộc cạnh BC cho ABC  DAC , DA = 6, BD  Tính chu vi tam giác ABC HD: a) MK = 30 15 GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 b) AC = 5, BC = 34 25 , AB = 10 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG Bài 16 Cho tam giác có độ dài cạnh là: x  x  1; x  1; x  a) Tìm x để tồn tam giác b) Khi chứng minh tam giác có góc 120 Bài 17 Cho ABC có B  900 , AQ CP đường cao, S ABC  9SBPQ a) Tính cosB b) Cho PQ = 2 Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp ABC HD: a) cos B  b) R  Baøi 18 Cho ABC a) Có B  600 , R = 2, I tâm đường tròn nội tiếp Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ACI b) Có A  900 , AB = 3, AC = 4, M trung điểm AC Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp BCM c) Có a = 4, b = 3, c = 2, M trung điểm AB Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp BCM 13 23 30 Baøi 19 Cho hai đường tròn (O1, R) (O2, r) cắt hai điểm A B Một đường thẳng tiếp xúc với hai đường tròn C D Gọi N giao điểm AB CD (B nằm A N) Đặt HD: b) R  a) R = c) R  AO1C   , AO2 D   a) Tính AC theo R ; AD theo r  b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ACD HD: a) AC = R sin  , AD = 2r sin  b) Rr Baøi 20 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC, BD = a, CAB   , CAD   b) Tính diện tích tứ giác ABCD theo a, ,  a) Tính AC HD: a) AC = a sin(   ) a2 cos(   ) b) S  2sin(   ) Baøi 21 Cho ABC cân đỉnh A, A   , AB = m, D điểm cạnh BC cho BC = 3BD a) Tính BC, AD b) Chứng tỏ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD, ACD Tính cos để bán kính chúng bán kính R đường tròn ngoại tiếp ABC HD: a) BC = m sin  , AD = GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 m  cos  35 b) cos    11 16 www.toanhocdanang.com ...  15 www.toanhocdanang.com TÍCH VÔ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG Dạng 2: Các dạng toán sử dụng biểu thức tọa độ Nếu toán cho dạng tọa độ a   a1; a2  b   b1; b2  ta sử dụng công thức a.b  a1b1 ... 0935 334 225 0 12 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG Ví dụ 2: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I, cạnh AB = a, AD = b Tính theo a, b tích vô hướng a AB AC , BD AC ,  AC  AB   AC... cos1800 GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG Bài Chứng minh biểu thức sau khơng phụ thuộc vào biến (độc lập với biến số): a A  2cos4 x  sin x  sin