FERMAT EDUCATION Trích “ƠN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN” BÀI HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Hàm số bậc a) Khái niệm Hàm số bậc hàm số có dạng y  ax  b với a  b) Tính chất - Hàm số bậc y  ax  b với a  + Đồng biến  a  0; + Nghịch biến  a  - Đồ thị hàm số bậc đường thẳng: + Với b  0, đường thẳng qua điểm (0; 0) (1; a); + Với b  0, đường thẳng cắt trục hồnh trục tung điểm  b    a ;  (0; b)   - Ta có a hệ số góc đường thẳng d : y  ax  b + Nếu a  0, góc tạo chiều dương trục Ox d góc nhọn  a  tan  ; + Nếu a  0, góc tạo chiều dương trục Ox d góc tù  a   tan(180   ) - Cho hai đường thẳng d : y  ax  b d ' : y  a ' x  b ' a  a ' + d trùng d '   ; b  b ' a  a ' + d song song d '   ; b  b ' + d cắt d '  a  a '; a  a ' + d cắt d’ điểm trục tung  ; b  b ' + d vng góc d '  a.a '  1 Độ dài đoạn thẳng AB với A( x A ; y A ), B( xB ; y B ) AB  ( xB  xA )2  ( yB  y A )2 Độ dài đoạn thẳng OA với A( x A ; y A ) O(0; 0) OA  xA  y A Hàm số bậc hai - Hàm số bậc hai y  ax với a  có đồ thị đường cong có đỉnh gốc tọa độ O, nhận trục tung làm trục đối xứng + Nếu a  đồ thị nằm phía trục hồnh; O(0; 0) điểm thấp + Nếu a  đồ thị nằm phía trục hồnh; O(0; 0) điểm cao Fermat Education – Số 6A1, TK Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Hotline: 0977333961 Email: contact@fermat.edu.vn Website: www.fermat.edu.vn Fb: Fermat Education FERMAT EDUCATION Trích “ƠN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN” - Hàm số bậc hai y  ax ( a  0) : + Nếu a  đồng biến x  nghịch biến x  0; + Nếu a  đồng biến x  nghịch biến x  - Cho đường thẳng d : y  mx  n parabol ( P) : y  ax2 với a  Khi phương trình hồnh độ giao điểm d (P) có dạng ax  mx  n  (*) với   m2  4an STT Vị trí tương đối d (P) Biệt thức  Ghi Hoành độ tiếp d tiếp xúc với (P) 0 d không cắt (P) 0 d cắt (P) hai điểm phân biệt điểm x  m 2a Hoành độ giao 0 điểm nghiệm (*) II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 1A Cho đường thẳng d : y  ( m  2)x  m  parabol ( P) : y  mx m  tham số a) Khi m  1, hãy: i) Vẽ (P) d hệ trục tọa độ Oxy ii) Tính diện tích tam giác OMN với M , N giao điểm d ( P) b) Tìm giá trị m để: i) d qua K ( 2; 2) ; ii) Ba đường thẳng d1 : y  x  3, d2 : y   x  d đồng quy; iii) d tạo với đường thẳng y  góc 1350 ; iv) d song song với đường thẳng  , biết  qua I(1; 2) vng góc với đường thẳng  ' : x  y   0; v) (P) qua điểm cố định d; vi) d cắt trục tọa độ Ox, Oy tạo thành tam giác có diện tích m  ; vii*) Khoảng cách từ O(0; 0) đến d lớn viii) Đường thẳng thu ý i) cắt hai trục tọa độ tạo thành OCD Tìm phương trình đường thẳng song song với đường thẳng cắt trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích gấp lần diện tích OCD c) Viết phương trình đường thẳng d3 song song với d1 : y  x  qua điểm cố định d Fermat Education – Số 6A1, TK Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Hotline: 0977333961 Email: contact@fermat.edu.vn Website: www.fermat.edu.vn Fb: Fermat Education FERMAT EDUCATION Trích “ƠN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN” d) Chứng minh với m  0, d cắt (P) hai điểm phân biệt e) Gọi A( x1 ; y1 ) B( x2 ; y2 ) giao điểm d (P) Hãy tìm: i) Hệ thức độc lập x1 x2 không phụ thuộc vào m ii) Giá trị nhỏ biểu thức Q  x12  x22 g) Gọi A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y ) giao điểm d (P) Hãy tìm m để: i) A B nằm hai phía trục tung; ii) A B nằm phía đường thẳng x  ; iii) x1 x2 thỏa mãn hệ thức x1  x2 ; iv) AB song song với đường thẳng d4 : y  x  2017 Tính diện tích tam giác OAB với m vừa tìm h) Khi m  2, gọi M, N giao điểm d với hai trục tọa độ Tìm m để diện tích OMN nhỏ 1B Cho parabol ( P) : y  x đường thẳng d : y  ( m  3)x  m với m tham số a) Khi m  2 , hãy: i) Vẽ (P) d hệ trục tọa độ Oxy ii) Tính diện tích tam giác OMN với M , N giao điểm d ( P) b) Tìm giá trị m để : i) d qua M ( 1 ; 2) d / / d1 : y  x  ii) d tạo với Ox góc 600 iii) d cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích iv*) Tìm m để khoảng cách từ O(0; 0) đến d lớn c) Viết phương trình đường thẳng d3 vng góc với d2 : y  2 x  qua điểm cố định d d) Chứng minh d cắt (P) điểm phân biệt e) Gọi A( x1 ; y1 ) B( x2 ; y2 ) tọa độ giao điểm d (P) i) Tìm hệ thức độc lập x1 , x2 khơng phụ thuộc vào ii) Tìm giá trị nhỏ Q  m 1  2; x1 x2 iii) Tìm m để A, B có hồnh độ âm; v) Gọi C giao điểm đường thẳng AB với trục Oy, tìm m để CA  2CB III BÀI TẬP VỀ NHÀ Cho parabol ( P) : y  x đường thẳng d : y  3x  2m  với m tham số iv) Tìm m để (2 x12  mx1 )(2 x2  mx2 )  Fermat Education – Số 6A1, TK Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Hotline: 0977333961 Email: contact@fermat.edu.vn Website: www.fermat.edu.vn Fb: Fermat Education FERMAT EDUCATION Trích “ƠN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MƠN TOÁN” , hãy: i) Vẽ (P) d hệ trục tọa độ Oxy; a) Khi m  ii) Tìm diện tích tam giác OMN với M , N giao điểm d ( P) b) Tìm giá trị m để : i) (P) d tiếp xúc với nhau; ii) d cắt (P) điểm phân biệt A B Tìm m để OAB vuông O iii) Giao điểm d1 : y  x  1; d2 : y  x  thuộc d; iv) Khoảng cách từ O(0; 0) đến d nhỏ c) Tìm giá trị tan góc tạo d với tia Ox d) Viết phương trình đường thẳng d3 vng góc với d qua điểm cố định đường thẳng d4 : y  ( m  2) x  m e) Trong trường hợp d cắt (P) điểm phân biệt, gọi A( x1 ; y1 ); B( x2 ; y2 ) tọa độ hai giao điểm Tìm m để: i) y1  y2  ; ii) Biểu thức Q  x12  x2  ( x1 x2 )2 đạt giá trị nhỏ nhất; x2  x1  4m m2 iii*) Biểu thức E  đạt giá trị nhỏ (với  x1  x2  4m m2 m  0) Fermat Education – Số 6A1, TK Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Hotline: 0977333961 Email: contact@fermat.edu.vn Website: www.fermat.edu.vn Fb: Fermat Education FERMAT EDUCATION Trích “ƠN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN” BÀI HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ 1A a) Với m  1, ta có d : y  3x  (P): y   x2 i) HS tự vẽ hình ii) Hồnh độ giao điểm d (P) nghiệm PT : x2  3x   Giải PT tìm x1  1, x2   Tọa độ hai giao điểm M (1; 1) N (2; 4) Cách Ta có H (1; 0) K(2; 0) hình chiếu M N lên trục Ox Dựa vào hình vẽ ta có SMON  SNOK  SMNKH  SMOH Từ tính SMON  (đvdt) Cách Đường thẳng cắt Oy P(0; 2) 1 1 SOMN  SOPN  SOPM  OP.xN  OP.xM  2.2  2.1  2 2 b) i) Do d qua K nên thay x  2; y  vào PT d y  ( m  2)x  m  Từ giải PT tìm m   5 ii) Tìm T   ;  tọa độ giao điểm d1 , d2  3 Vì ba đường thẳng đồng quy nên đường thẳng d qua T Từ thay tọa độ T vào PT d , tìm m  8 Với m  8 d : y  10 x  phân biệt với d1 , d2 iii) Nhận thấy đường thẳng y  song song Ox nên từ giả thiết suy d tạo với tia Ox góc 1350 Vì   1350  900 nên ta sử dụng công thức a   tan(1800   ) Từ thu m    tan 450 Thực tra bảng bấm máy tính ta tan 450  suy m  1 iv) Vì    '  Hệ số góc  a   Vì  qua I (1; 2) nên ta tìm PT  : y   x  2 m   0.5 Ta có d     Từ tìm m  m   2.5 v) Tìm I ( 1; 5) điểm cố định d Thay tọa độ I vào (P) tìm m  Fermat Education – Số 6A1, TK Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Hotline: 0977333961 Email: contact@fermat.edu.vn Website: www.fermat.edu.vn Fb: Fermat Education FERMAT EDUCATION Trích “ƠN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN” vi) Với m  Gọi M, N giao điểm d với Ox, Oy 1 ( m  3)2 Ta có cơng thức tính SOMN  OM.ON  2 m2 Từ giả thiết SOMN  m  Giải PT ẩn m tìm m  7; m  (đều TMĐK m  2) vii) Gọi H hình chiếu O lên d Ta có OH  OI  26 ( I ( 1; 5) điểm cố định d) Suy OH max  26 d  OM Sau viết PT đường thẳng OM ta tìm m  11 viii*)) Phương trình d : y  3x   8  d cắt Oy, Ox D(0; 8); C  ;    Đường thẳng cần tìm có hệ số góc cắt trục tung điểm có trị tuyệt đối tung độ gấp đôi 16 16 Hai đường thẳng cần tìm y  3x  16; y  3x  16 c) Từ giả thiết d3  d1 nên hệ số góc d3 a  Vì d3 qua I ( 1; 5) điểm cố định d nên ta tìm PT d3 : y  x  phân biệt với d1 d) PT hoành độ giao điểm d (P) là: mx  ( m  2) x  ( m  3)  với ( m  0) Dễ dàng chứng minh   với m  nên đường thẳng d cắt (P) điểm phân biệt e) i) Từ PT hoành độ giao điểm d (P) Ta có x1  x2   x1 x2  1  m m Suy hệ thức độc lập 3( x1  x2 )  x1 x2    11 11 ii) Biến đổi Q  ( x1  x2 )  x1 x2       4 m 2 Vậy Qmin  11  m  4 g) i) Để A, B nằm hai phía Oy x1 x2  Fermat Education – Số 6A1, TK Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Hotline: 0977333961 Email: contact@fermat.edu.vn Website: www.fermat.edu.vn Fb: Fermat Education FERMAT EDUCATION Giải BPT  Trích “ƠN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN” m3  tìm m m   m  3 ii) Hai điểm A, B nằm hai phía đường thẳng x  x1   x2  (1  x1 )(1  x2 )  Giải BPT m1  tìm m  m  1 m Suy ra: Để điểm A, B nằm phía đường thẳng x  1  m  iii) Từ giả thiết x1  x2 kết hợp x1  x2  Giải x1  m2 m 2( m  2) m2 , x2  3m 3m thay vào x1x2   m3 m Giải PT 8 2( m  2)2 m3 thu m  1 m   m 11 (3m) iv) Từ giả thiết AB  d4 hay d  d4 tìm m   64  Cách Tìm tọa độ hai giao điểm A  ;  B( 1; 5) 5  8  Gọi H, K hình chiếu A,B Ox  H  ;  , K( 1; 0) 5  Ta có cơng thức tính diện tích SAOB  SABHK  SAOK  SBOH Từ tính SABO  52 (đvdt) Cách Đường thẳng d cắt Oy N (0; 8) 1 SAOB  SAON  SBON  ON x1  ON x2 2 1 52  1.8   2 5  m3  ;  , N (0; m  3) m  2, có M    m2  h) Với 2.SOMN  Ta có Vậy ( m  3)2 25  m2  10  20 m2 m2 Smin  10 m  1B Tương tự 1A a) i) HS tự vẽ hình Fermat Education – Số 6A1, TK Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Hotline: 0977333961 Email: contact@fermat.edu.vn Website: www.fermat.edu.vn Fb: Fermat Education FERMAT EDUCATION Trích “ƠN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN” ii) Ta có SMON  SMOH  SNOK  SMNKH , với H K hình chiếu vng góc M, N lên Ox Từ tính S  (đvdt) b) i) m ii) Tìm m    m  iii) ĐK m  Ta có d cắt Oy, Ox E(0; m), F  ;   m3  m2  Xây dựng cơng thức tính SOEF  m3 Từ giải m  6 m  (đều TMĐK) iv*) Tìm điểm cố định mà d qua I ( 1; 3) Từ suy khoảng cách lớn c) Tìm đường thẳng d3 : y  10 m  10 x 2 d) Xét phương trình hồnh độ giao điểm d (P): x  ( m  3)x  m  , có   ( m  1)2    d cắt (P) tai hai điểm phân biệt e) i) Tìm hệ thức: x1  x2  x1 x2   2  1 ii) Ta có Q       Qmin  m  9 m 3 x  x  iii) Giả thiết  x1  x2  hay   x1 x2  Từ tìm được:  m  iv) Biến đổi PT: 4( x1 x2 )2  2m( x1 x2 )( x1  x2 )  m2 x1 x2  Từ giải m  1, m   33 Fermat Education – Số 6A1, TK Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Hotline: 0977333961 Email: contact@fermat.edu.vn Website: www.fermat.edu.vn Fb: Fermat Education FERMAT EDUCATION Trích “ƠN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN”  x  x2 v) Có C(0; m) mà CA  2CB  x1  x2    x1  2 x2 Trường hợp x1  x2 , khơng tìm m Trường hợp x1  2 x2 , tìm m   13 a) i) HS tự vẽ hình ii) Cách Ta có SMON  SONK  SMOH  SKHMN , với H,K hình chiếu M, N lên Ox Từ tính S  (đvdt) Cách Có M (2; 2); N (4; 8) cắt Oy C(0; 4) 1 SOMN  SOCN  SOCM  4.4  4.2  2 (đvdt) b) i) Phương trình hồnh độ giao điểm (P) d : x2  x  4m  10  , tính  '  4m  1 Để (P) d tiếp xúc  '   m  ii) Để d cắt (P) hai điểm phân biệt  '   m  +) A( x1 ; y1 ); B( x2 ; y2 ); AOB vuông O nên OA2  OB2  AB2  x12  y12  x2  y2  ( x1  x2 )2  ( y1  y2 )2 Tìm m  m  iii) Tìm M ( 9; 7) giao điểm d1 , d2 Từ M thuộc d tìm m  25 iv) Khoảng cách nhỏ  (0; 0)  d Tìm m  c) Do a   , sử dụng công thức tan   a  d) Tìm I ( 1; 2) điểm cố định d4 Vì đường thẳng d song song với nên d3  d  3a3  1 Từ tìm PT đường thẳng d3 : y   x  3 e) Câu b ý ii) có m  d cắt (P) hai điểm phân biệt Từ ta có x1  x2  x1 x2  10  m i) Ta có y1  y  3( x1  x2 )  m  10   m  2 Fermat Education – Số 6A1, TK Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Hotline: 0977333961 Email: contact@fermat.edu.vn Website: www.fermat.edu.vn Fb: Fermat Education FERMAT EDUCATION Trích “ƠN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN” Kết hợp điều kiện m  suy m ii) Biến đổi Q  16m2  72m  116   m    35  Qmin  35 m  iii) Với m , (TMĐK m  ) 4 x1 , x2 nghiệm nên x12  x1  (4m  10)  x2  x2  (4m  10)  0; Ta có x1  x2  4m   x1  (4 m  10)   x2  m  6( x1  x2 )  10  26 E m2 26  2 26 m2 Emin  m  26 Đây tài liệu trích “Ơn luyện thi vào lớp 10 Mơn Tốn” Cơng ty Cổ phần Giáo dục Fermat phát hành Cuốn sách nằm sách dành cho học sinh ôn thi vào lớp 10: Fermat Education – Số 6A1, TK Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Hotline: 0977333961 Email: contact@fermat.edu.vn Website: www.fermat.edu.vn Fb: Fermat Education FERMAT EDUCATION Trích “ƠN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN” Để đặt mua sách xin liên hệ theo hotline 0984 208 495 (Mr Tuấn) hoặc: Fermat Education Địa chỉ: Số 6A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Điện thoại: 0977.333.961 (Ms Thu) Website: www.fermat.edu.vn Fanpage: www.fb.com/fermateducation.Facebook: www.fb.com/tailieudayhoctoan Fermat Education – Số 6A1, TK Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Hotline: 0977333961 Email: contact@fermat.edu.vn Website: www.fermat.edu.vn Fb: Fermat Education ... Tìm phương trình đường thẳng song song với đường thẳng cắt trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích gấp lần diện tích OCD c) Viết phương trình đường thẳng d3 song song với d1 : y  x  qua điểm... Dựa vào hình vẽ ta có S MON  SNOK  SMNKH  SMOH Từ tính S MON  (đvdt) Cách Đường thẳng cắt Oy P(0; 2) 1 1 SOMN  SOPN  SOPM  OP.xN  OP.xM  2.2  2.1  2 2 b) i) Do d qua K nên thay x... thay tọa độ T vào PT d , tìm m  8 Với m  8 d : y  10 x  phân biệt với d1 , d2 iii) Nhận thấy đường thẳng y  song song Ox nên từ giả thi t suy d tạo với tia Ox góc 1350 Vì   1350  900