© PREPA CAPES MATHS 2016 Analyse Dany-Jack Mercier Editeur : C S IP P ISB N -13 ; 978-1519694942 ISB N -10 : 1519694946 (ỗ) 2015 D an y-Jack M ercier Tous droits réservés Table des matières Avant-propos Comment utiliser ce volume ? Fonctions 1.1 1.2 1.3 Minimum v i t a l E n trn em en t Réponses Continuité 2.1 2.2 2.3 Minimum v i t a l E n trn em en t Réponses Dérivabilité 3.1 3.2 3.3 Minimum v i t a l E n trn em en t ’ Réponses Intégration 4.1 4.2 4.3 Minimum v i t a l E n trn em en t Réponses 11 11 12 13 25 25 26 28 41 41 43 45 67 67 69 71 Suites 87 5.1 5.2 5.3 87 89 90 Minimum v i t a l E n trn em en t Réponses Séries 6.1 103 Minimum v i t a l 103 TABLE DES MATIERES 6.2 6.3 E n trn em en t 104 Réponses 106 Equations différentielles 7.1 7.2 7.3 Compléments sur les fonctions 8.1 8.2 8.3 165 Minimum v i t a l 165 E n trn em en t .167 Réponses 169 10 Extraits de concours 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 141 Minimum v i t a l 141 E n trn em en t .142 Réponses 145 Compléments sur les suites 9.1 9.2 9.3 121 Minimum v i t a l 121 E n trn em en t .123 Réponses 125 191 Fonction, suite et tableur 191 Equation différentielle x'^y' + xy = 198 Etude de fonction et calculin tég ral 203 Valeurs approchées de 208 Méthode de N e w to n 220 Etude de suites ré c u rre n te s 225 Equations différentielles, fonctions et s u i t e s 231 Equations différentielles linéairesd’ordre 241 Avant-propos AVAN T-PRO PO S Ce livre a été construit pour répondre la demande de nombreux préparationnaires du CAPES qui désiraient un ouvrage dédié l’analyse et leur concours Cette parution leur est dédiée, car sans eux je n’aurais jamais en­ trepris ce travail, ni pensé m’y atteler un jour Les thèmes abordés sont des thèmes classiques d’analyse : fonctions, suites, séries, intégrales, équations différentielles, un niveau qui ne dépasse pas celui des classes préparatoires aux grandes écoles, comme le stipule le progranune officiel du concours, en donnant la part belle des extraits réellement proposés aux CAPES, aux CAPESA et aux CAPLP de ces dernières années, donc après les réformes 2011 et 2014 des épreuves du concours Les exercices et problèmes proposés dans ce volume sont centrés sur la prépara­ tion l’écrit du CAPES mathématiques pour la session 2016 Ils sont extraits de sept ouvrages différents qui s’adressent la fois aux candidats aux CAPES et ceux de l’agrégation interne, en ne retenant que des énoncés importants pour le CAPES Les ouvrages utilisés pour construire ce recueil sont : • Les volumes 5, et de la collection Acquisition des fon ­ damentaux pour les concours ([4], [5], [6]), ainsi que le volume actuellement en préparation pour cette même collection [7] • Les volumes et de la série Exercices & problèmes ([8], [10]), et le volume en préparation, et qui sera consacré entièrement l’analyse [11] Travailler ces questions permettra de bien préparer les écrits et d’approfondir des thèmes récurrents d’analyse extrêmement utiles pour les entretiens avec les jurys des épreuves orales Chaque chapitre, sauf le dernier, est divisé en trois parties : / un minimum vital traiter en priorité, / un entrnement complémentaire, traiter ensuite, / des réponses détaillées toutes les questions posées “tespelGc vl.OO Avant-propos Le dernier chapitre permet de réinvestir ses connaissances dans des problèmes variés choisis en fonction de leur modernité pour le CAPES 2016 Il ne me reste plus qu’à souhaiter au lecteur d’avancer grand pas dans son projet, avec énergie, joie et détermination Avanti ! Dany-Jack Mercier Pointe-à-Pitre, le décembre 2015 i hotogiaphic cos(\/bi) et i 1—> si^a.{^/bt) sont deux solutions linéairement indépendantes de E H , et qu’elles forment donc une base de l’espace vectoriel Sol{EH ) qui est de dimension d’après (A.2) B Si < et A 7^ 0, la fonction A e'^^ + tend vers +00 ou —00 suivant le signe de A, donc n’est pas bornée Si A ^ 0, la fonction affine At A B tend encore vers +00 ou —00 suivant le signe de A Le seul cas où toutes les solutions de Sol{EH ) sont bornées est donc le troisième cas, lorsque > A ce moment et si (A, B ) G K^, on a : A cos{Vbt) + B sin(\/bi)| < |A| + \B\ 10.8 EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES D ’ORDRE 249 quel que soit i e R B.2 On a : px {x) = / / (i) sin(x - i) di Jo px —I Jo = / (0 (sin X cosí —sin icos x) di s in x c (x ) —c o s x s (x) en posant Г f i t ) cos tdt Jo et s { x ) = [ f i t ) ssin i id i Jo Les fonctions t f (t) cost et i / ( i) s in i sont continues sur R, donc les fonctions c et s sont définies et dérivables sur R, de fonctions dérivées respec­ tives d (x) = / (x) cosx et s' (x) = / (ж) sinx Les théorèmes généraux sur la dérivabilité montrent que l’application g est dérivable, de fonction dérivée g' définie par : g'ix) = c o s x c (x )-I-s in x / (x ) cosx-|-sinx s ( x ) —c o s x / (x ) sinx = c o s x c (x )-h s in x s ( x ) Cette expression de g' ix) montre que g^ est dérivable sur R, de dérivée donnée par : g" ix) = —sinx c(x)-H c o s x / (x ) co sx-I-co sx s (x) Ч-s in x / (x ) sinx = -s m x c {x ) + œ s x s { x ) + f (x) Par suite, pour tout réel x : 9" (®) + ix) = f ix) et l’on peut affirmer que g est une solution particulière de l’équation diffé­ rentielle E : y"it) -b y{t) = f (i) sur R En conclusion, une fonction y sera solution générale de l’équation différentielle E si et seulement si elle s’écrit sous la forme : i i-> y (i) = i l c o s i -b B s i n i -b où ( Д В ) g R f Jo / (i) sin(x — i) di CHAPITRE 10 EXTRAITS DE CONCOURS 250 P artie C C 1 On suppose que l’ensemble Z des zéros de y situés dans l’intervalle [oi,l3\ est infini Il est donc possible de définir une suite (sn)neN d’éléments de Z tous distincts entre eux deux deux Pour le voir, on peut par exemple construire une suite (s„)neN par récurrence de la faỗon suivante : - On choisit so Z - Si l’on a déjà construit les n + premiers termes so, •••, Sn de la suite, on définit le terme suivant en le choisissant dans l’ensemble •••) Sn} qui n’est pas vide (sinon Z serait inclus dans { sq, •••) Sn}> donc fini, ce qui est contraire l’hypothèse) Le théorème de Bolzano-Weierstrass montre que la suite (sn)neN du compact [a, 0\ possède au moins une valeur d’adhérence G [a, 0\, autrement dit, il est possible d’extraire une sous-suite (s,^(n))neN de qui converge vers un nombre réel de l’intervalle [a, 0\ Si l’on pose Zn = on obtient bien une suite (^n)neN de zéros de y deux deux distincts qui converge vers G [а,Р] C.1.2 La fonction y est une solution de E H : y"{t) + b{t)y{t) = sur K C ’est donc une fonction deux fois dérivable sur R, et même de classe si l’on applique le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire rappelé dans l’introduction En particulier y est continue, donc : lim y{zn) = y{nf) n-^+oo Mais y{zn) = quel que soit n, donc y{'y) = C.1.3 Tous les termes de la suite sont distincts entre eux deux deux, donc s’il existe no tel que Zno = , alors pour tout n > no on a Zn ^ j et le quotient T„ est bien défini quand n > no Si ^ pour tout entier naturel n, alors c ’est encore plus simple : le quotient est bien défini quel que soit n On a 1y{^n)-y{l) U , hm ^ = y'{i) !• ^ hin = n -^ + o o n —>+00 Zfi — ^ puisque la suite (2„)n€N tend vers Mais y{zn) = 2/(7 ) = quel que soit n, donc : Tn = et 2/'(7 ) = lim„-^+oo Tn = 10.8 EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES D ’ORDRE 251 C.1.4 On vient de trouver un réel tel que : 2/(7 ) = y'in/) = Le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire montre que la solution y de l’équa­ tion différentielle homogène E H coïncide avec l’application nulle, qui est une solution triviale de E H qui vérifie les mêmes conditions initiales On utilise ici l’unicité du problème de Cauchy pour les conditions initiales 2/(7 ) = ¡/{y) = La solution y est donc identiquement nulle, ce qui est absurde d’après notre hy­ pothèse de départ Cela conclut le raisonnement par l’absurde initié en (C 1) On vient de montrer que : Toute solution y de l’équation différentielle -f b{t)y{t) = possède un nombre fini de zéros dans n’importe quel intervalle fermé borné [o;, 0\ de M C.1.5 Il suffit de choisir un intervalle fermé borné [,0\ (avec a < 0), de rappeler que cet intervalle ne contient qu’un nombre fini de zéros de y, et d’envisager deux cas Si [o:, 0\ ne contient aucun zéro de y, alors y ne s’annule pas sur et l’on peut conclure Sinon rien ne nous empêche de noter zi, , Zn tous les zéros de y dans [o:,y0], avec z\ < Z2 < < Zn, de constater que n’importe quel intervalle J inclus dans \z\,Z2[ répond la question C.2 Par définition, le graphe d’une fonction convexe / se trouve toujours sous n’importe quelle corde de ce graphe Cela traduit l’assertion : V u ,u [a,^] V ie [0 , 1] f{tu + { l - t ) v ) < t f { u ) + { l - t ) f { v ) qui définit une fonction convexe sur [a,/?] Ici on a donc : Vi e [0,1] f { t a -I- (1 - t)S) < t f (a) + (1 - i)/(/3) soit : Vi € [0 , 1] f{toc -|- (1 —t)j3) < et t a -t- (1 —t)^ décrit le segment [a,0\ quand t parcourt [0 ,1] Cela prouve que / (x) < quel que soit x e [o;,0\ Pour montrer que / < sur \ot,0[, nous allons raisonner par l’absurde en supposant qu’il existe € ]a,0[ tel que / ( ) = Comme / n’est pas iden­ tiquement nulle sur [o!,j0], il existe € ]a ,;0 [\ {7 } tel que f{6) < On peut supposer que € ]a, [, le cas où € ]7 , |0[ se traitant de la même manière La FIG 10.10 montre alors que le point (7 ,0 ) de la courbe représentative de / se trouve au-dessus de la corde d’extrémités (¿, f{5)) et (/3,0) placées sur la courbe, ce qui est impossible 252 CHAPITRE 10 EXTRAITS DE CONCOURS F ig 10.10 - (7 ,0) au-dessus de la sécante C.2 Le nombre de zéros de y sur n’importe quel intervalle fermé borné est fini d’après (C l) Il suffit de choisir un intervalle [a,l3] tel qu’aucun zéro de y n’appaxtienne ]o:,/3[ (voir C.1.5) et de rappeler que y est continue pour pouvoir affirmer que y garde un signe constant sur [oc,0\ Par hypothèse : 2/'(i) = -h{t)y{t) et —h{t) > quel que soit t € M On peut donc affirmer que y"{t) restera positive (ou négative) pour tout t appartenant [ciy0\ De faỗon plus prộcise on dộduit que y est convexe sur [oi,0\ si 2/ > sur [o:,/?], et que y est concave sur [a,0\ si y < sur [a ,/0] C.2.3 Comme y possède au moins deux zéros, mais un nombre fini de zéros dans E , on peut choisir un intervalle [0.,^] tel que y{ot) = y(/3) = et tel qu’aucun zéro de y n’appartienne ]a, ¿0 [, comme dans la question précédente Alors y conserve un signe constant sur [a,0\ La relation : y"{t) = - 6(i)y(i), alliée —h{t) > quel que soit i € E , montre que y"{t) et y{t) sont de même signe sur [a,/0] De deux choses l’une : Si y > sur [a,/?], alors y" > sur [a,0\ donc y est convexe sur cet intervalle On a y (a) = y{0) = donc on peut appliquer (C 1) et affirmer que y < sur ]a, /0[ C ’est absurde Si y < sur [a,P], alors y" < sur [a,0\ donc y est concave sur cet intervalle On a y{a) = y(/0) = et l’on peut appliquer un résultat du même tonneau que celui de la question (C 1), qui se montrerait de la mờme faỗon, et qui permettrait daffirmer que y > sur ]o;, P[ C’est encore absurde Dans les deux cas on obtient une absurdité, donc notre hypothèse de départ était fausse et l’on peut affirmer que y ne peut pas avoir plus d’un zéro dans E 253 Du même auteur On peut obtenir la liste des ouvrages parus en se connectant sur le site MégaMaths ou en faisant une recherche sur Amazon.fr Le site Amazon.fr permet aussi de feuilleter la plupart de mes livres Pour toute question, écrivez dany-jack.mercier@hotmail.fr qui sera heureux de vous répondre Parmi les livres déjà parus, signalons les deux collections suivantes : D O S S IE R S M A T H E M A T IQ U E S —Chaque fascicule de cette collection précise les connaissances de base sur un thème donné pour faire rapidement le point Déjà parus : • DM 01 - Méthode des moindres carrés • DM 02 - Dualité en algèbre linéaire • DM 03 - Probabilités • DM 04 - Introduction l’algèbre linéaire • DM 05 - Déterminants et systèmes linéaires • DM 06 - Les grands théorèmes de l’analyse • DM 07 - Les raisonnements mathématiques • DM 08 - Réduction des endomorphismes • DM 09 - Mathématiques et codes secrets • DM 10 - Codes correcteurs d’erreurs • DM 11 - Loi normale, échantillonnage et estimation A C Q U IS IT IO N D E S F O N D A M E N T A U X - Cette collection permet de travailler sur de nombreuses questions courtes extraites d’écrits et d’oraux de CAPES, CAPLP et agrégations internes, sur lesquelles il convient de savoir réagir efficacement • Vol I - Nombres, algèbre, arithmétique, polynơmes • Vol II - Algèbre linéaire • Vol III - Espaces euclidiens et hermitiens • Vol IV - Géométrie affine et euclidienne • Vol V - Analyse, intégration et géométrie • Vol V I - Cuvée spéciale : analyse et autres joyeusetés • Vol V II - Topologie et autres thèmes lumineux Pour le CAPES on s’intéressera en priorité aux annales déjà sorties, aux livre Les raisonnements mathématiques et Loi normale, échantillonnage et estima­ tion de la collection des Dossiers mathématiques, et Géométrie du collège pour les matheux 254 Bibliographie [1] D -J Mercier, L ộpreuve dexposộ au CAPES mathộmatiques, Leỗons rộư digộes et commentộes Vol II, Publibook, 2006 [2] D -J Mercier, L ’épreuve dexposộ au CAPES mathộmatiques Leỗons rộư digộes et commentộes Vol IV, Publibook, 2008 [3] F Herbaut, D -J Mercier, Questions du jury d’oral du CAPES mathé­ matiques & réflexions sur la préparation, Publibook, 2010 [4] A Delcroix, D -J Mercier, A Omrane, Acquisition des fondamentaux pour les concours (grandes écoles, CA PES, agrégation, ), Vol V : Ana­ lyse, Intégration, Géométrie, Publibook, 2011 [5] D -J Mercier, Acquisition des fondamentaux pour les concours Vol VI Cuvée spéciale, analyse et autres joyeusetés, CSIPP, 2013 [6] D -J Mercier, Acquisition des fondamentaux pour les concours Vol V II Topologie et autres thèmes lumineux, CSIPP, 2014 [7] D -J Mercier, Acquisition des fondamentaux pour les concours Vol V III Analyse, partre [8] D -J Mercier, Exercices et problèmes de mathématiques pour le CAPES et l’agrégation interne Millésime 2013, Publibook, 2013 [9] D -J Mercier, Dossiers mathématiques n° Les grands théorèmes de l’analyse, CSIPP, 2013 [lOl D -J Mercier, Exercices & problèmes d’analyse et d’algèbre linéaire, Vol V, CSIPP, 2015 [11] D -J Mercier, Exercices & problèmes d’analyse Vol IX, CSIPP, pa­ rtre [12] E Ramis, C Deschamps, J Odoux, Cours de Mathématiques Spéciales, Volume 3, Topologie et Eléments d’Analyse, Masson, 1989 [13] R Rolland, Outils élémentaires de l’analyse Lectures sur les Mathé­ matiques, l’Enseignement et les Concours, vol I, Editions Publibook, pp 163-224, 2009 255 7112849R00150 Printed in Germany by Amazon Distribution GmbH, Leipzig .. .PREPA CAPES MATHS 2016 Analyse Dany-Jack Mercier Editeur : C S IP P ISB N -13 ; 978-1519694942 ISB N -10... sur la prépara­ tion l’écrit du CAPES mathématiques pour la session 2016 Ils sont extraits de sept ouvrages différents qui s’adressent la fois aux candidats aux CAPES et ceux de l’agrégation interne,... progranune officiel du concours, en donnant la part belle des extraits réellement proposés aux CAPES, aux CAPESA et aux CAPLP de ces dernières années, donc après les réformes 2011 et 2014 des épreuves