Sáng kiến kinh nghiệm KHOẢNG CÁCH HÌNH HỌC VÀ MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ. Người viết: Vũ Đức Bình Tổ : Toán Trường T.H.P.T-C Nghĩa Hưng-Nam Định. 1 A. Đặt vấn đề : Trong quá trình giảng dạy tôi tích lũy được một số bài toán có dạng : Chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất mà trong cách giải có thể sử dụng phương pháp hình học cụ thể là khoảng cách hình học có hiệu quả cao như dễ thuyết phục, trình bày ngắn gọn…Sau đây tôi xin trình bày nội dung bài viết này. B. Giải quyết vấn đề : I. Lý thuyết, và một số kỹ năng mà học sinh phải nắm được: 1) Khái niệm khoảng cách giữa hai vật thể hình học trong hình học phẳng cũng như trong không gian: Cho hai hình (H 1 ) và (H 2 ), d là khoảng cách của hai hình đó khi đó ta có: a) d = min {MN , với M túy ý thuộc (H 1 ) và N túy ý thuộc(H 2 )}. b) d ≤ NM với M túy ý thuộc (H 1 ) và N túy ý thuộc(H 2 ). 2) Khái niệm khoảng cách thường dùng trong hình học phẳng và trong hình học không gian, công thức tọa độ của các khoảng cách đó như: - Khoảng cách của hai điểm. - Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. - Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. - Khoảng cách của hai đường thẳng song song. - Khoảng cách của hai chéo nhau. - Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mp song song . - Khoảng cách của hai mp song song. - Khoảng cách . 3) Các quỹ tích cơ bản, phương trình của các yếu tố cơ bản của hình học phẳng và của hình học không gian như: -Trong mặt phẳng tọa độ: đường thẳng, đường tròn, e- líp, hypeol, parabol, -Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz: Đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu. 4) Các kỹ năng: - Tìm giao điểm của đường thẳng. - Tìm giao điểm của đt và đường tròn. - Tìm giao điểm của hai đường tròn. - Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. - Tìm hình chiếu của một điểm trên một đường thẳng, trên một mặt phẳng - II. Các dạng bài tập 1) Dạng bài sử dụng công thức khoảng cách của hai điểm hoặc độ dài của một véc tơ: 2 +) Sử dụng tính chất khoảng cách: AB+ BC ≥ AC Mở rộng: BA+ BC+…+MN+NI ≥ AI ta có các bất đăng thức sau: 1a) ≥−+−+−+− 2 22 2 11 2 22 2 11 )()()()( cbcbbaba 2 22 2 11 )()( caca −+− 1b) 2 22 2 11 2 22 2 11 )()()()( cbcbbaba −+−+−+− +…+ 2 22 2 11 )()( inin −+− ≥ 2 22 2 11 )()( iaia −+− 1c) ≥−+−+−+−+−+− 2 33 2 22 2 11 2 33 2 22 2 11 )()()()()()( cbcbcbbababa 2 33 2 22 2 11 )()()( cacaca −+−+− 1d) ++−+−+−+−+−+− .)()()()()()( 2 33 2 22 2 11 2 33 2 22 2 11 cbcbcbbababa 2 33 2 22 2 11 )()()( cininin −+−+− ≥ 2 33 2 22 2 11 )()()( iaiaia −+−+− +) Sử dụng tính chất bất đẳng thức độ dài vec tơ tổng: |||| →→ + ba ≥ || →→ + ba +++ →→ .|||| ba || → e ≥ | .| →→→ +++ eba đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các vec tơ đã cho cùng hướng. Ta có được một số bất đẳng thức sau: 2a) ≥+++ 2222 yxba 22 )()( ybxa −+− 2b) 2 2 2 1 2 2 2 1 bbaa +++ +…+ 2 2 2 1 ii + ≥ 2 222 2 111 ) .() .( ibaiba +++++++ 2c) ≥+++++ 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 bbbaaa 2 33 2 22 2 11 )()()( bababa −+−+− 2d) ++−+−+−+−+−+− .)()()()()()( 2 33 2 22 2 11 2 33 2 22 2 11 cbcbcbbababa 2 33 2 22 2 11 )()()( cininin −+−+− ≥ 2 33 2 22 2 11 )()()( iaiaia −+−+− +) Các bài tập dạng này có khá nhiều, sau đây tôi nêu một số bài và mong các đồng nghiệp bổ xung thêm cho phong phú . Bài 1. Chứng minh các B.Đ.T sau: 1. CMR: Với ba số a, b, c bất kỳ ta có b.đ.t sau ≥+++++ 2222 cacxbaba 22 cbcb ++ 2. CMR: Với ba số dương a, b, c bất kỳ ta có b.đ.t sau 2222 cacxbaba +++++ > 22 cbcb ++ Hướng dẫn: câu 1 và 2 . Xét các vec tơ sau trong mp với hệ trục tọa độ Oxy → u =( -x-y/2; 2 3y ) và → v =(-x-z/2; 2 3z ) (Trong câu 2 thì các vec tơ đã chọn không thể cùng hướng nên đẳng thức không thể xảy ra = đpcm). 3. CMR: Với số thực a bất kỳ ta có b.đ.t sau ≥+−+++ 11 22 aaaa 2 4. Cho là ba số dương và x+y+z = 1. Chứng minh rằng 3 82 111 2 2 2 2 2 2 ≥+++++ z z y y x x (4) HD: Áp dụng b.đ.t 2b) Ta có (4) có VT ≥ 22 ) 111 ()( zyx zyx +++++ = 2 ) 111 (1 zyx +++ Và sử dụng b.đ.t. Cô si cho ba số dương x, y, z ta có (x+y+z)(1/x+1/y+1/z) ≥ 9 => đpcm. 5. Chứng minh rằng với mọi x, y ta đều có: ≥−++−+ )(sinsinsin4)(sincoscos4 222222 yxyxyxyx 2 6. Cho . Chứng minh rằng: 9. Chứng minh rằng với mọi số thực a,b ta luôn có: 1. 2. 10. CMR: |2cos||1sin1cos| 44 xxx ≤+−+ Bài 2 . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất: 1. Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa hàm số: y = 2222 2222 bbxxaaxx +−++− Với a và b là hai số cho trước và khác nhau. 2.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = )11(2)11(2 3333 +−−++++ xxxx 3.Cho là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: |2|)1()1( 2222 −+++++− yyxyx 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 8cos4cos3cos2cos 22 ++++− xxxx 5. Cho các số a, b, c, x, y, z thỏa điều kiện: a 2 +c 2 +b 2 = 1 và x 2 +y 2 +z 2 = 9. Hãy tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các biểu thức sau: 4 M = (x-a) 2 +(y-b) 2 + (z-c) 2 N = 222222 )3()1( zyxcba +−++++− 6.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: 2cos2cos13cos6cos)( 22 ++++−== xxxxxfy Hd: Đặt → u =( 3-cosx ; 2) và → v =(1+cosx ; 1) . Bài 3 . Giải các p.t, bpt sau: 1. =++++− 2512422 22 xxxx 29129 2 ++ xx HD : Xét các vec tơ sau trong mp với hệ trục tọa độ Oxy → u =( x-1; 1) và → v =(2x+3; 5) từ pt suy ra hai vec tơ này cùng phương => nghiệm của pt là x = 7/2 2. 112112 +−−++−+ xxxx ≥ 2 5 x − HD MinVT=MaxVP 2) Dạng bài sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường hoặc một mặt phẳng Bài 1: Cho hai số x và y thỏa điều kiện: 3x+ 4y =25 (1) , cmr: (x-2) 2 + y 2 ≥ 361/25, tìm x và y để đẳng thức xảy ra. HD: Đây là bài tập khá đơn giản, có nhiều cách giải như tam thức bậc hai, Bunhiacopxki còn phương pháp dùng khoảng cách đưa ra để hs tham khảo lựa chọn Xét trong mp với hệ tọa độ Oxy, điểm M(x;y) thỏa (1)  M thuộc đ/t ∆ có pt (1) .Khi đó gọi d = k/c(M, ∆ ) = 19/5 và với điểm I(2;0) thì IM 2 = (x-2) 2 + y 2 Dễ thấy IM ≥ d => đ.c.m. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (x;y) là tọa độ của H là hình chiếu của I trên ∆ . Bài 2. Cho . (1) Chứng minh rằng: 22 ≤+≤− yx Hd: Có thể thấy M(x;y) thỏa (1)  m thuộc đường Tròn tâm O bán kính R = 1 và d là đường thẳng có pt: x+y = 0 thì khoảng cách từ M đến đường thẳng d là | 2 | yx + , do d đi qua tâm O của 5 đường tròn nên R ≥ d => đ.p.c.m Bài 3: Cho . x 2 +y 2 = u 2 +v 2 = 1. Chứng minh rằng: |x(u-v)+y(u+v)| 2 ≤ HD:Có thể thấy M(x;y) và điểm N(u-v;u+v) thỏa điều kiện của bài toán thì M thuộc đường tròn tâm O bán kính R 1 = 1 và N thuộc đường tròn tâm O bán kính R 2 = 2 , áp dụng công thức ||.|||.| →→→→ ≤ baba => đ.p.c.m Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2222 )3()1( −++−+ yxyx trong đó x,y là các số thỏa mãn: 2x-y = 2 (1) HD: Xét trong mp với hệ trục tọa độ Oxy các điểm M(x;y), A(0;- 1), B(0;3) và đường thẳng d, ta có P = MA+MB và M thuộc d ta có A và B ở về hai phía của đường thẳng d nên minP =AB’ với B’ là điểm đối xứng của B qua đường thẳng d Bài 5: Giải hệ phương trình:      =++ =++ =++ 1 1 1 333 222 zyx xyx zyx HD : Xét các vec tơ sau trong mp với hệ trục tọa độ Oxyz → u = ( x;y;z) và → v = (x 2 ;y 2 ;z 2 ) 6 =>        ≤++−= = = → → →→ 1)(21|| 1|| 1. 222222 xzzyyxv u vu  Từ đó suy ra hai vec tơ này cùng phương  Nghiệm của hệ là: (1;0;0), (0;1;0) và (0;0;1). Bài 6: Giải hệ phương trình:      =++ =++ =++ 3 3 3 333 222 zyx xyx zyx HD : Xét các vec tơ sau trong mp với hệ trục tọa độ Oxyz → u = ( x;y;z) và → v = (1;1;1) =>        = = = → → →→ 3|| 3|| 3. v u vu  Từ đó suy ra hai vec tơ này cùng phương.  Nghiệm duy nhất của hệ là: (1;1;1) Bài 7: Cho ba số a, b, c thỏa mãn a +2b +3c = 6, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 222222 )3()1()1( ++−+−+++ cbacba N = 222 )3()1()1( ++−+− cba Bài 8: Cho ba số a, b, c thỏa mãn a +2b +3c = 16, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 222222 )1()5()3()4()3()2( −+−+−+−+−+− cbacba N= 222 )4()3()2( −+−+− cba Bài 9: Cho ba số a, b, c thỏa mãn a +2b = 6, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức N = 2222 )1()2( −++++ baba Bài 10: Cho ba số a, b, c thỏa mãn a 2 +b 2 +c 2 = 16, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các biểu thức: P = 2a-b+2c và Q = 2a + 3a - 2 3 c. Bài 11: Cho các số a, b, c, x, y, z thỏa điều kiện: a=b/2=c/3 và (x- 1)/2=(y-2)=(z-3) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: M = (x-a) 2 +(y-b) 2 + (z-c) 2 N = 222222 )3()1( zyxcba +−++++− 7 Bài 12: Cho các số x, y, z và a, b, c thỏa các điều kiện sau: 2a-2 = b+20 = c-3 và 2x-12 = 3y+3 = 6z + 18. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = (x-a) 2 + (y-b) 2 + (z-c) 2 . N = (x-b) 2 + (y-c) 2 + (z-a) 2 . C. Kêt luận : Trên đây là một số bài toán sử dụng hình học để giải một số bài toán trong đại số cụ thể là dùng công thức về khoảng cách, tính chất của tích vô hướng của hai vec tơ. Trong quá trình dạy học khi dạy đến các phần hình học liên quan tôi thường ra các bài tập mà có thể sử dụng nội dung bài học hình học để giải được các bài toán đại số tương tự như nội dung của bài viết trên giúp học sinh có thói quen tìm các lời giải khác nhau cho một bài toán, và chọn ra được lời giải tốt nhất. Bài viêtt trên có thể còn chưa phong phú và không thể tránh khỏi sai sót, mong các đồng nghiệp bổ sung và chỉnh lý, để có một tài liệu tham khảo tốt hơn. N.Đ ngày 25 tháng 4 năm 2009. Người viết V Đ. B 8 . dạng : Chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất mà trong cách giải có thể sử dụng phương pháp hình học cụ thể là khoảng cách hình học có. khoảng cách thường dùng trong hình học phẳng và trong hình học không gian, công thức tọa độ của các khoảng cách đó như: - Khoảng cách của hai điểm. - Khoảng