Đang tải... (xem toàn văn)
CHUYÊN ĐỀ III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨNA. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHPhương pháp:1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn•Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: trong đó a, b, c, a’, b’, c’ R•Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩnGọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi đó ta có(d) (d’) thì hệ vô nghiệm(d) (d’) = thì hệ có nghiệm duy nhất(d) (d’) thì hệ có vô số nghiệm•Hệ phương trình tương đươngHệ hai phương trình tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm
CHUYÊN ĐỀ III HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp: Hệ hai phương trình bậc hai ẩn ax + by = c Hệ hai phương trình bậc hai ẩn: a ' x + b ' y = c ' a, b, c, a’, b’, c’ ∈ R Minh họa tập nghiệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, ta có (d) // (d’) hệ vơ nghiệm { A} hệ có nghiệm (d) ∩ (d’) = (d) ≡ (d’) hệ có vơ số nghiệm Hệ phương trình tương đương Hệ hai phương trình tương đương với chúng có tập nghiệm Giải hệ phương trình phương pháp Dùng quy tắc biến đổi hệ phương trình cho để hệ phương trình có phương trình ẩn Giải phương trình ẩn vừa có suy nghiệm hệ Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số Nhân hai vế phương trình với số thích hợp (nếu cần) cho hệ số ẩn hai phương trình đối áp dụng quy tắc cộng đại số để hệ phương trình mới, có phương trình mà hệ số hai ẩn (phương trình ẩn) Giải phương trình ẩn vừa thu suy nghiệm hệ cho Ví dụ Giải hệ phương trình phương pháp 3 x − 10 + x = 7 x = 14 x = x = 3 x − y = 3 x − ( − x ) = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ y = − 2x y = − 2x y = − 2.2 y =1 x + y = y = − x Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ( 2;1) Ví dụ Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số 3 x − y = 3 x − y = 7 x = 14 x = x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 2 x + y = 4 x + y = 10 2 x + y = 2.2 + y = y =1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ( 2;1) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Giải hệ phương trình sau: − x + y = −10 x − y = 16 19 3 x + y = x − y = −12 2 x + y = 2 x + y − = 2 x + y = − x + y = 10 20 2 x + y = x + y = x − y = 2 x − y = 3 x − y = −18 x + y = 21 5 x + y = −7 3x − y = −8 3 x + y − = 9 x + y − = x + y = −6 x − y = 16 22 −2 x + y = −3 3 x + y = 10 2 x − y = 4 x − y − = 2 x − y = x + y + 3x − y = 23 x + y = x + 3y = x + y = 2 x + y = 18 2 x − y = − x + y = 24 x − y = −5 3x + y = −5 −2 x + y = −3 x + y = x + y = −2( x − 1) 7 x + y = x + y + 25 3x − y = 12 4 x + y = x − y = 2 x + y = −5 x + y = −( x + y ) 6 x + y = y − 10 26 x − y = 10 5 x + y = 4 2 x + y = x − 4y = 3 x + y = −2 −9 x − y = 27 5 x − y = 10 5 x − y = − x + y = x + y = 2 x + y = x − y = −1 28 3 x + y = x − y = −12 x − y = 3 x − y = 1 − x + y = −10 x + y = −1 29 x + y = −3x − 20 x + y = x − y − 12 3 x + y = 6 x + y = x + y = −2 3 x − y = −3 30 5 x − y = 10 x − y = 2 x − y = 4 x − y = 12 2 x − y = 3x + y = 31 3x + y = − x 5( x + y ) = −3 x + y − 3 x + y = 2 x − y = 4 2 x + y = − x + y = −5 32 2 x − y = x − 10 y = x + y = −2 2 x − y = 1 x − y = −5 3x + y = 33 2 x + y = x − y = 2 x + y = 3 x − y = 15 3 x − y = 12 x + y = −1 34 − x + y = −4( x − 1) 5 x + y = −( x + y ) + 3x + y = 5 x + y = 12 −5 x + y = 22 3x + y = 22 35 x + y = −1 3x − y = −8 2 x + y = 2 x + y = 1 3x + y = x + y = 36 0 x + y = x − y = −4 2 x − y = 4 x − y = 10 HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1.Giải hệ phương trình sau: − x + y = −10 −2 y = x = ⇔ ⇔ x − y = 16 x = 16 + y y = −3 2 x + y = 2 x + y = x = ⇔ ⇔ − x + y = 10 9 y = 27 y = 3 3 x − y = −18 x = −1 ⇔ x + y = y = x = 13 ⇔ x + y = −6 y = −38 13 x − y = 16 2 x − y = x + y + x − y = x = ⇔ ⇔ 3 x − y = 3x − y = y = 2 x − y = − x + y = PT Vônghiệm x + y = −2( x − 1) 3 x + y = ⇔ 7 x + y = x + y + 6 x + y = PT Vônghiệm x + y = −( x + y ) x = −2 ⇔ y =1 6 x + y = y − 10 3x + y = −2 −9 x − y = PT Vô Số nghiệm 10 2 x + y = x = ⇔ 2 x − y = −1 y =1 11 − x + y = −10 x = ⇔ x + y = −1 y = −3 12 x + y = −2 x = −1 ⇔ y = 3x − y = −3 13 2 x − y = x = ⇔ 3 x + y = y =1 14 19 x = ⇔ 2 x + y = y = −3 − x + y = − 15 x − y = −5 x = −1 ⇔ 3x + y = y = 16 3 x − y = 12 x = ⇔ 4 x + y = −1 y = −3 17 22 x= 19 ⇔ −5 x + y = 22 y = 176 19 3 x + y = 22 18 3 x + y = x = −1 ⇔ x + y = y = 19 3 x + y = x = ⇔ 2 x − y = −12 y = 20 2 x + y = x = ⇔ x + y = y =1 21 −31 x = 14 ⇔ 5 x + y = −7 19 y = 14 3x − y = −8 22 −2 x + y = −3 x = ⇔ 3x + y = 10 y =1 23 x + y = x = ⇔ x + 3y = y = 24 x − y = −5 x = −3 ⇔ 3x + y = −5 y =1 25 3x − y = 12 x = ⇔ 4 x + y = y = −3 26 26 x = ⇔ x − y = 10 − y = 38 5 x + y = 27 5 x − y = 10 x = ⇔ 5 x − y = y = PT Vônghiệm 31 3 x + y = − x 4 x + y = ⇔ 5( x + y ) = −3 x + y − 8 x + y = −5 PT Vônghiệm 32 2 x − y = 4 x − 10 y = ⇒ PTcó VSN 33 2 x + y = x = ⇔ y =1 x − y = 34 − x + y = −4( x − 1) 3 x + y = ⇔ 5 x + y = −( x + y ) + 6 x + y = ⇒ PTcó VSN 35 x + y = −1 x = −2 ⇔ 3x − y = −8 y =1 36 x = 0 x + y = ⇔ y = x − y = −4 37 PT Vônghiệm 2 x + y = x = ⇔ 2 x + y − = y = −2 28 38 3 x + y = x = ⇔ 4 x − y = −12 y = x − y = 2 x − y = PT Vô nghiệm 39 29 2 x + y = −3 x − 20 5 x + y = −20 ⇔ 4 x + y = x − y − 12 3 x + y = −12 x = −4 ⇔ y = 30 5 x − y = 10 x − y = 3 x + y − = 9 x + y − = PT Vô nghiệm 40 2 x − y = 4 x − y − = PT Vô số nghiệm 41 x = x + y = ⇔ y = 2 x + y = 18 2 x − y = 4 x − y = 12 42 PT Vô số nghiệm x = −2 x + y = −3 ⇔ x + y = y =1 49 x = 3 x + y = ⇔ y = 2 x − y = 43 50 −5 x = ⇔ x − y = y = −5 x + y = −5 x = x + y = −2 ⇔ y = −1 2 x − y = 51 44 x = 2 x + y = ⇔ y = −3 3 x − y = 15 x = 2 x + y = ⇔ y = x − y = 52 45 x = 3x + y = ⇔ y =1 5 x + y = 12 x = −1 − x + y = ⇔ y = x + y = 53 46 2 x + y = 2 x + y = x = x − y = ⇔ y = 3x − y = PT Vô nghiệm 47 54 3x + y = 6 x + y = 2 x − y = 4 x − y = 10 PT Vô nghiệm PT Vô số nghiệm 48 Bài Giải hệ phương trình sau phương pháp cộng đại số: 4x + y = 8x + 3y = 3x − 2y = 11 4x − 5y = 4x − x+ y = x + 3y = 15− 9y 14 5x − 4y = 2x + y = x+ y x− y = x = y+1 4 5x 2y − = 19 4x + 3y = 21 HƯỚNG DẪN GIẢI: 1 x = 4x + y = ⇔ 8x + 3y = y =1 3x − 2y = 11 ⇔ x = y = 4x − 5y = 19 x = 13 ⇔ 5x − 4y = y = 14 2x + y = 13 x+ y x− y = x = ⇔ x = y+1 y = 4x − x+ y = x = 12 x + 3y = 15− 9y ⇔ 14 y = −3 5x 2y − = 19 x = 4x + 3y = 21 ⇔ y = −10 Bài Giải hệ phương trình phương phép thế: x = y x + y − 10 = 2 x + y = −8 x − y = −1 2x − 3y = x + y = −7 3 x − y + = 5 x + y = 14 2 x + y = 3 x − y = 14 x + y = x + y = 2x + 3y = 5 x + y = −10 2 x − y = 2 x − y = HƯỚNG DẪN GIẢI: 2y x = x = a )hpt ⇔ ⇔ ⇒ S = { ( 4;6 ) } y y = = 10 y = −6 x = −2 b)hpt ⇔ ⇔ ⇒ S { ( −2; −1) } x = y − y = −1 4y − x = x = 3)hpt ⇔ ⇒ S = { ( 2; ) } ⇒ y = 26 y = 52 19 y = −19 x = 4) hpt ⇔ ⇒ S = { ( 4; −1) } y + 14 ⇔ y = −1 x = −11 x= − y = − 19 −11 −19 5) hpt ⇔ ⇔ ⇒ S = ; ÷ x = − − y − 19 7 y = 50 − 3y x= 50 45 x = 6)hpt ⇔ ⇒ S = ; ÷ ⇔ 7 −7 y = −45 y = 45 x = − y x = 7)hpt ⇔ ⇔ ⇒ S = { ( 2; ) } −5 y = −10 y = Bài Giải hệ phương trình sau: ( x + 5)( y − ) = xy (3 x + 2)(2 y − 3) = xy ; ( )( ) x − y + 12 = xy ( x + )( y − ) = xy 2( x + y ) + 3( x − y ) = ( x + y ) + 2( x − y ) = y + 27 y − 5x +5= − 2x (2 x − 3)( y + 4) = x( y − 3) + 54 x + + y = y − 5x ( x + 1)(3 y − 3) = y ( x + 1) − 12 1 ( x + )( y + ) − xy = 50 2 xy − ( x − 2)( y − 2) = 32 ( x + )( y − ) = xy ( x + 20)( y − 1) = xy ( x − 10)( y + 1) = xy ( x + )( y − 3) = xy + ( x − 1)( y − ) = ( x + 1)( y − 3) ( x − 1)( y − ) − ( x + 1)( y − 3) = ( x − 5)( y + 4) = ( x − 4)( y + 1) ( x − 3)( y + 1) − ( x − 3)( y − 5) = 18 10 9x y − = −28 2 2 ( x − 1) + ( y − ) = ( x + 1) + ( y + 1) 3x 12 y + = 15 2 ( x − y − 3) = ( x − y − 1) 11 12 4x − x + y = 15 − y x + y = 14 13 14 x + 2x − y + =4 12 x − y 3x − y − = −55 11 15 HƯỚNG DẪN GIẢI −9 x + y = x = −2 1)hpt ⇔ ⇔ −20 x + y = 25 y = −3 Vậy hpt có nghiệm ( x, y ) = ( −2; −3) −4 x + y = 20 x = 10 2)hpt ⇔ ⇔ 12 x − y = 60 y = 12 Vậy hpt có nghiệm ( x, y ) = ( 10,12 ) −1 x = 5 x − y = 3)hpt ⇔ ⇔ 3 x − y = y = −13 Vậy hpt có nghiệm −1 −13 , ÷ 2 ( x, y ) = 20 x − y = 66 x = 4)hpt ⇔ ⇔ −3 x = − y = −1 Vậy hpt có nghiệm ( x, y ) = ( 3; −1) 4 x + y = 21 x = −1 5)hpt ⇔ ⇔ 22 x + y = −7 y = Vậy hpt có nghiệm ( x, y ) = ( −1;5 ) 2x − y − x − y + = 16 11 x + y 2( x − 1) + = 31 3 x = 26 x + y = 47 6) hpt ⇔ ⇔ y = x + y = 34 Vậy hpt có nghiệm ( x, y ) = ( 26,8 ) − x + 20 y = 20 x = 40 7) hpt ⇔ ⇔ x − 10 y = 10 y = Vậy hpt có nghiệm ( x, y ) = ( 40,3) −2 x + y = x = 10 8)hpt ⇔ ⇔ −3 x + y = 18 y = 12 Vậy hpt có nghiệm ( x, y ) = ( 10;12 ) x = x − y = −1 9)hpt ⇔ ⇔ 6 x = 36 y = Vậy hpt có nghiệm ( x, y ) = 6; 7 ÷ 2 37 x= x − y = −5 10)hpt ⇔ ⇔ 3 x − y = 16 y = 31 Vậy hpt có nghiệm ( x, y ) = 37 31 , ÷ 5 x= − x − y = − 11) hpt ⇔ ⇔ −4 x + y = − y = −1 Vậy hpt có nghiệm −1 , ÷ 2 ( x, y ) = 27 x − 14 y = −588 x = −14 12) ⇔ ⇔ 15 x + 24 y = 150 y = 15 Vậy hpt có nghiệm ( x, y ) = ( −14;15 ) x + y = −3 x = 12 13)hpt ⇔ ⇔ 14 x + 51 y = 15 y = −3 Vậy hpt có nghiệm ( x, y ) = ( 12; −3) 10 x − y = 132 x = 33 hpt ⇔ ⇔ 13 x − 34 y = −1815 y = 66 14) Vậy hpt có nghiệm ( x, y ) = ( 33;66 ) 17 x − 37 y = 531 x = 16 hpt ⇔ ⇔ 31x + y = 475 y = −7 15) Vậy hpt có nghiệm ( x, y ) = ( 16; −7 ) Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ 1 1 x + y = 12 + 15 = Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau: x y 1 = a; = b y Điều kiện: x; y ≠ Đặt x Ta có hệ phương trình sau: 1 1 1 b = b = b = x = 28 x = 28 a + b = 8a + 8b = 21 21 ⇔ ⇔ ⇒ ⇔ 12 ⇔ 12 ⇔ y = 21 a + = a = 1 = 8a + 15b = 8a + 15b = a + b = 21 12 28 y 21 12 mãn điều kiện) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ( 28; 21) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải hệ phương trình sau: Bài Giải hệ phương trình sau: 1 x − y = 2 + = x y 1) 2) x − + − x−2 4) x + + + x + =2 y −1 =1 y −1 5) =1 y =1 y 3) x − + − x − =2 y −1 =1 y −1 x + y + x − y = x − y + x + y = 1,1 − =1 − = 0,1 x + y x − y x− y x+ y 6) (thỏa + Vì phương trình (1) có nhiều nghiệm nên hệ phương trình cho có nhiều hai nghiệm khơng thể có vơ số nghiệm + hệ phương trình nghiệm phương trình (1) có hai nghiệm a4 - 4a > ⇔ a - 4a b > ⇔ a ( a - 4b2 ) > b2 ⇔ ( a - 4b ) > ⇔ ( a - 2b ) ( a + 2b ) > ⇔Δ>0⇔ a - 2b > a > 2b ⇔ ⇔ a > 2b a + 2b > a > -2b TH1: a - 2b < a < 2b ⇔ ⇔ a < -2b a + 2b < a < -2b TH2: 2 x + my = Bài 18 Cho hệ phương trình: mx +2 y = a Giải biện luận theo tham số m b Tìm số nguyên m hệ có nghiệm (x; y) với x, y số nguyên HƯỚNG DẪN GIẢI m ≠ ⇔ m ≠ ⇔ m ≠ ±2 a) + Hệ phương trình có nghiệm m m2 = m = = ⇔ ⇔m=2 m m = + Hệ phương trình có vơ số nghiệm m = m = ≠ ⇔ ⇔ m = −2 m m ≠ + Hệ phương trình vơ nghiệm b) + Theo câu a, với m ≠ ±2 hệ phương trình có nghiệm Khi ta tìm 1 ; ( x, y ) = ÷ m+2 m+2 nghiệm + Để x, y số nguyên m + có giá trị nguyên ⇔ m + ∈ U (1) = { ± 1} + Với m + = ⇒ m = −1 (tm) Với m + = −1 ⇒ m = −3 (tm) Cách 2: a) Dùng phương pháp ta biến đổi đưa phương trình bậc ẩn sau: ( 2- m) ( 2+ m) y = 2- m (*) + Hệ phương trình có nghiệm phương trình (*) có nghiệm ( - m ) ( + m) ¹ Û m ¹ ±2 + Hệ phương trình có vơ số nghiệm phương trình (*) có vơ số nghiệm ìï ( - m) ( + m) = ïí Û m=2 ïï - m = ỵ ìï ( - m) ( + m) = ïí Û m = -2 ïï - m ¹ ỵ + Hệ phương trình vơ nghiệm phương trình (*) vơ nghiệm b) với m ≠ ±2 hệ phương trình có nghiệm Khi ta tìm nghiệm 1 ; ( x, y ) = ÷ m+2 m+2 + Để x, y số nguyên m + có giá trị nguyên ⇔ m + ∈ U (1) = { ± 1} + Với m + = ⇒ m = −1 (tm) Với m + = −1 ⇒ m = −3 (tm) x + my = Bài 19 Cho hệ phương trình: mx +4 y = 10 − m (m tham số) a Giải biện luận theo m b Với giá trị số nguyên m, hệ có nghiệm (x; y) với x, y số nguyên dương HƯỚNG DẪN GIẢI m ≠ ⇔ m ≠ ⇔ m ≠ ±2 a) + Hệ phương trình có nghiệm m + Hệ phương trình có vơ số nghiệm m = ±2 m m = = = ⇔ ⇔ ⇔m=2 m = 8; m = m 10 − m m − 10 m + 16 = + Hệ phương trình vơ nghiệm m = m = ±2 m = ≠ ⇔ ⇔ ⇔ m = −2 m 10 − m m ≠ 2; m ≠ m − 10m + 16 ≠ b) Theo câu a, với với m ≠ ±2 hệ phương trình có nghiệm Khi ta có: m − y = 5m − 10 y = m + mx + m y = 4m x + my = ⇔ ⇔ ⇔ mx + y = 10 − m mx +4 y = 10 − m x + my = x = − m m+2 m + ∈ U (5) = { ±1; ±5} + Để y số nguyên > ⇔ m+2 > Để y số dương m + ( Khi ) m + ∈ { 1;5} + Với m + = ⇒ m = −1 (tm) Với m + = ⇒ m = (tm) + Thay m = −1 vào x ta x = (tm) Thay m = vào x ta x = (tm) (m − 1) x − my = 3m − Bài 20 Cho hệ phương trình: x − y = m + Xác định tất giá trị tham số m để hệ có nghiệm (x; y) mà S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ HƯỚNG DẪN GIẢI m − −m ≠ ⇔ m − ≠ 2m ⇔ m ≠ −1 −1 + Để hệ phương trình có nghiệm Khi ta có hệ phương trình (m − 1) x − my = 3m − ( m − 1) x − my = 3m − (−m − 1) x = −( m + 2) x = m +1 ⇔ ⇔ ⇔ 2 x − y = m + y = m −3 2mx − my = m + 5m 2 x − y = m + + Ta có: S = x + y = ( m + 1) + ( m − 3) = 2m − 4m + 10 = ( m − 1) + 2 ⇒S ≥8 Dấu xảy khi: ( m − 1) = ⇔ m = (tm) Cách 2: Dùng phương pháp để giải (m + 1) x + my = 2m − mx − y = m2 − Bài 21 Cho hệ phương trình: Xác định tất giá trị tham số m để hệ có nghiệm (x; y) mà tích P = xy đạt giá trị lớn HƯỚNG DẪN GIẢI m +1 m ≠ ⇔ m2 + m + ≠ −1 + Để hệ phương trình có nghiệm m (ln đúng) Vậy hệ phương trình ln có nghiệm với m + Khi ta có hệ phương trình (m + 1) x + my = 2m − (m + 1) x + my = 2m − mx − y = m − x = m −1 ⇔ ⇔ ⇔ 3 2 y = 2−m m x − my = m − 2m mx − y = m − ( m + m + 1) x = m − 3 P = xy = ( m − 1) ( − m ) = − m + 3m − = − m − ÷ + 2 ⇒P≤ Ta có; 2 Vậy Pmax = 3 ⇔ m − ÷ = ⇔ m = (tm) 2 Cách 2: Dùng phương pháp để giải Ta đưa phương trình: ( m + m+1) x = m - Ta có: m + m+1¹ 0" m Suy phương trình ln có nghiệm với m Tìm được: x = m -1, y = - m Lập luận cách HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT + 2( x + y ) = x x(3x − 1) + 3xy = Bài Giải hpt: HƯỚNG DẪN GIẢI ĐKXĐ: x ≠ 1 + x(x + y) = 3x + 2( x + y ) = 1 + x + xy = x ⇔ ⇔ x x(3 x − 1) + xy = 3x − x + xy = x(3x − 1) + 3xy = 3 + x + xy = x 6 x − x + xy = −3 7 x = ⇔ ⇔ ⇔ 6 x − x + xy = 6 x − x + xy = 6 x − x + xy = x = ⇔ (TM) y = Vậy nghiệm hệ phương trình cho (1;0) x + y +3xy = ( x + y )( x + y + 1) + xy = Bài Giải hpt: HƯỚNG DẪN GIẢI x + y +3xy = x + y +3xy = x + y +3xy = ⇔ ⇔ ( x + y )( x + y + 1) + xy = x + xy + y + x + y = x + y = (x + y ) +xy = xy = ⇔ ⇔ ⇔ x = y =1 x + y = x + y = Vậy hệ phương trình có nghiệm là: (1;1) Bài Giải hpt: 4( x + y ) = 5( x − y ) 40 40 x+ y − x− y =9 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐKXĐ: x ≠ ± y Đặt x + y = u; x − y = v (uv ≠ 0) , ta có hệ phương trình: −10 5 u= u= v u= v 4u = 5v 4 ⇔ ⇔ ⇔ 40 40 32 40 32 40 − u − v = − − v = =9 =9 v v v v x + y = ⇒ x − y = −10 x = −1 ⇔ −1 (TM) −8 y = 9 −1 −1; ÷ Vậy hệ phương trình có nghiệm Bài Giải hpt: y − 2x+1 + = −2 2x + y − x+ y=5 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐKXĐ : Đặt u= x≠ −1 ; y ≠1 y −1 2x+1 ;v= (uv ≠ 0) 2x + y −1 ta có: y −1 2x + = −1 ⇒ ⇔ x + = −(y − 1) ⇔ x + y = (2) 2x+1 u + v = −2 u = −1 = −1 ⇔ y − u.v = v = −1 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình 2 x + y = 2(5 − y) + y = y = 10 ⇔ ⇔ x + y = x = − y x = −5 (TMĐK) Vậy hệ phương trình có nghiệm (−5;10) 1 + +1 = xy x y x + y + xy = 13 Bài Giải hpt: HƯỚNG DẪN GIẢI ĐKXĐ: x ≠ 0; y ≠ 1 x + y + xy = x + y + xy = + +1 = xy ⇔ xy xy ⇔ x y x + y + xy = 13 x + y + xy = 13 x + y + xy = 13 x + y + xy = ⇔ ( x + y ) − xy = 13 Đặt x + y = u; xy = v ta có hệ phương trình u + v = v = − u v = − u v = − u ⇔ ⇔ ⇔ u − v = 13 u − + u = 13 u + u − 20 = u + u − 20 = v = − u ⇔ u = −5 ⇔ u = TH1: u = −5 v = 12 u = v = x = −5 − y u = −5 x + y = −5 x = −5 − y ⇒ ⇔ ⇔ v = 12 xy = 12 y (−5 − y) = 12 y + y + 12 = x = (TM) y = u = x + y = ⇒ ⇔ x = v = xy = (TM) y =1 TH2: Vậy hpt có hai nghiệm (1;3); (3;1) x + y + = 4( x + 1)( y + 1) −3 x + y + xy = Bài Giải hpt: HƯỚNG DẪN GIẢI x + y + = 4( x + 1)( y + 1) x + y + = 4(x + y + xy) ⇔ −3 x + y + xy = 4( x + y + xy ) = −3 −5 − x = −5 + y = x + y + = −3 x + y = −5 ⇔ −3 ⇔ 17 ⇔ −5 + x + y + xy = xy = x = −5 − y = Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm −5 − 2 −5 + 2 −5 + 2 −5 − 2 ; ; ÷ ÷ ÷; ÷ 2 2 x + + y − = −1 − =5 Bài Giải hpt: x + y − HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 hệ phương trình vơ nghiệm Đặt 1 = u, = v (uv ≠ 0) x +1 y −1 Ta có hệ phương trình 2u + 3v = −1 u = ⇔ (TM) 3u − 2u = v = −1 x + = x + = x = ⇒ ⇔ ⇔ (TM) = −1 y − = −1 y = y − Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (0;0) ( x − y ) + x − = y x + y = −2 Bài Giải hpt: HƯỚNG DẪN GIẢI ( x − y ) + x − = y ( x − y ) + x − y − = ⇔ x + y = −2 x + y = −2 x − y = ⇔ x − y = −2 ⇔ x + y = −2 x − y = x = −1 x + y = −2 ⇔ y = −1 x − y = −2 x = −2 x + y = −2 y = Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm ( −1; −1); ( −2;0) x −1 + y = x − − y = −4 Bài Giải hpt: HƯỚNG DẪN GIẢI ĐKXĐ: x ≥ 1; y ≥ Đặt x − = u; y = v (u ≥ 0; v ≥ 0) Khi ta có phương trình: u + 2v = u = ⇔ (TM) 2u − 3v = −4 v = x − = x = ⇔ (TM) y = y = Suy Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (2; 4) x + y + =0 x + y2 + = Bài 10 Giải hpt: HƯỚNG DẪN GIẢI x2 − y − x + y = x + y + =0 ( x − y )( x + y − 1) = ⇔ ⇔ 1 2 x + y + = x + y + = x + y + = x = y x = y x = y x+ y + =0 x + x2 + = x = −y +1 4 ⇔ ⇔ ⇔ x + y2 + = x = − y + x = − y + x + y + = y − y + = 4 −1 ⇔x=y= −1 −1 ; ÷ Vậy hệ phương trình cho có nghiệm 2 x + y = x + y − xy = Bài 11 Giải hpt: HƯỚNG DẪN GIẢI ĐKXĐ: x ≥ 0; y ≥ x + x + y − x y ⇔ x y x + y = x+ y =5 ⇔ ⇔ xy = xy = ( x + y ) − xy = y =5 =2 x = (TM) =3 y = ⇔ x = =3 (TM) y = =2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (4;9); (9; 4) ( x + 3)( y − 5) = xy Bài 12 Giải hpt: ( x − 2)( y + 5) = xy HƯỚNG DẪN GIẢI ( x + 3)( y − 5) = xy xy − x + y − 15 = xy −5 x + y = 15 x = 12 ⇔ ⇔ ⇔ ( x − 2)( y + 5) = xy xy + x − y − 10 = xy 5 x − y = 10 y = 25 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: (12; 25) x + 3x − xy = Bài 13 Giải hpt: xy + x + = HƯỚNG DẪN GIẢI x + 3x − xy = ( 1) xy + x + = ( ) Lấy (1) cộng (2), ta có: x + 3x − xy + xy + x + = ⇔ x + 4x + = ⇔ x + x + 3x + = ⇔ x( x + 1) + 3( x + 1) = ⇔ ( x + 1).( x + 3) = x +1 = x = −1 ⇔ ⇔ x + = x = −3 TH1: Thay x = −1 vào (2), ta có: xy + x + = ⇔ (−1) y + (−1) + = ⇔ − y = −2 ⇔ y=2 TH2: Thay x = −3 vào (2), ta có: xy + x + = ⇔ (−3) y + (−3) + = ⇔ −3 y = ⇔ y=0 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: ( −1; ) ( −3;0 ) 2 x − + y + = x −1 − y + = Bài 14 Giải hpt: HƯỚNG DẪN GIẢI 2 x − + y + = 2 x − + y + = x −1 − y + = ⇔ ⇔ x −1 − y + = 2 x − − y + = 7 y + = y = −2 ⇔ x = x = Vậy hpt có nghiệm: ( x; y ) = { ( 2; −2 ) ; ( 0; −2 ) } xy − ( x − 1)( y − 3) = −4 Bài 15 Giải hpt: ( x + 1)( x − 4) − y = −3 HƯỚNG DẪN GIẢI xy − ( x − 1)( y − 3) = −4 xy − xy + x + y − = −4 3x + y = −1 y = −3x − ⇔ ⇔ ⇔ ( x + 1)( y − 4) − y = −3 xy − x + y − − y = −3 xy − x = x (−3x − 1) − x = −5 + 13 −5 + 13 x = x = 6 y = −3 x − − 13 − 13 y = − y = − + 13 y = −3 x − y = −3 x − x = 2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 2 −3x − x − x = 3 x + x + = −5 − 13 −5 − 13 x = − − 13 x = x = 6 y = + 13 − y = + 13 2 −2 x − 3y = x y + xy = Bài 16 Giải hpt: HƯỚNG DẪN GIẢI ĐK: x ≠ −2 x = x 0 = Với y = ta có HPT: Vơ nghiệm 2 − y2 y + xy = ⇒ y + x = ⇒ x = − y = (3) y ≠ y y y Vậy Nên Thế vào (1) Ta có: − y2 −2 − y2 2y − 3y = ⇔ + − y = ⇔ y − y + = ⇔ y = ⇔ y = ±1 2 y y 2− y 2− y y Thế lại vào (3) y =1 x = 1(TM) y = -1 x = -1 (TM) Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (1;1) (-1;-1) x + 3y = x − + y =1 Bài 17 Giải hpt: HƯỚNG DẪN GIẢI ĐKXĐ: x ≠ 2, y ≠ x + 3y = x = − 3y x = − 3y x = − 3y x = − 3y x = ⇔ ⇔ −1 ⇔ −1 ⇔ ⇔ 1 (t / m) x − + y = − 3y − + y = 3y + y = 3y + 3y = 3y = y = y − 2x 2x x +1 − y = 2(3 y − 2x) + 2x = y Bài 18 Giải hpt: x + HƯỚNG DẪN GIẢI x ≠ −1 y≠0 ĐK 3y − 2x x a= ;b = x +1 y Đặt Hệ trở thành: a − 2b = 2a + 2b = 3a = ⇔ a − 2b = a = ⇔ b = 3y − 2x x + = ⇒ x = y 2 x − y = ⇔ 5 x − y = −3 x = 3(tm) ⇔ y = (tm) Vậy nghiệm hệ ( Bài 19 Giải hpt: ( x; y ) = ( 3;6 ) ) +1 x + y = +1 x + y = +1 HƯỚNG DẪN GIẢI ( ) +1 x + y = +1 x + y = + 2x y= y ( − 1) − x = −1 ⇔ ⇔ x + y = + x + 2x = +1 −1 2x x = −1 2x y = y = − ⇔ ⇔ −1 2( − 1) x = y = −1 2x − x + 2x = +1 ⇔ x = − ⇔ y = x −1 + y = 2x − y = Bài 20 Giải hpt: HƯỚNG DẪN GIẢI x − + 2y = x − + 2( 2x − 1) = x − = − 4x x − + 2y = ⇔ ⇔ ⇔ 2x − = y 2x − = y 2x − y = 2x − = y x − = − 4x x = x = ⇔ ⇔ 2x − = y 2x − = y y =1 Nếu x ≥ 1 − x = − 4x x = 1(ko t / m) ⇔ 2x − = y 2x − = y Nếu x < Vậy hpt có nghiệm (1;1) x + 2( x − y + 3) = y x + ( x + 3)(2x − y + 5) = x + 16 Bài 21 Giải hpt: HƯỚNG DẪN GIẢI Đk: x ≥ −2, y ≥ Với điều kiện hệ x + ( x − y + 3) = y x + ( x + 3) ( x − y + ) = x + 16 x + ( x + ) − y = y − x + ⇔ x + ( x + 3) ( x − y + ) = x + 16 x+2 x+2− y x+2+ y + x+2+ y =0 ⇔ x + ( x + 3) ( x − y + ) = x + 16 x + − y x + + y ( x + 2) + = ⇔ x + ( x + 3) ( x − y + ) = x + 16 ( ( Ta có )( )( ) ( ) ) x + + y ( x + ) + > ∀x ≥ −2, y ≥ nên hệ tương đương với ... ( 16 ;30 ) = 10 y ? ?1 ; = 18 y ? ?1 ĐK: x ≠ 1; y ≠ + x ? ?1 − x − 15 = 10 x ? ?1 + y ? ?1 ;⇔ − = 18 y ? ?1 x ? ?1 = 30 y ? ?1 = 18 y ? ?1 16 = 48 ( TM ) x − = x = x ? ?1. .. x + 12 y = 15 27 x − 14 y = −588 ⇔ 15 x + 24 y = 15 0 2x − y ? ?1 x − y + = 16 11 d x + y + 2( x − 1) = 31 6x − 15 y − + 11 x − 22 y = 528 ⇔ 21x + y + 10 x − 10 = 465 ? ?17 x... ) = ( 2 ;1) 10 + =1 4y +1 12 x − ; + =1 12 x − y + 22 ? ?1 x > ;y > 4 Đk: Đặt 1 = u; =v 12 x − 4y +1 1 = u= ? ?10 u + 5v = ? ?12 x − = 225 x = 19 ( TM ) 12 x − 15 15 ⇔ ⇔