Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập VỀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN NGƯỢC TRONG HỆ VI PHÂN TẬP i i i i i i i i i Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01 Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập MỤC LỤC i Lời icảm iơn Một isố ikí ihiệu Tổng iquan ivấn iđề Chương iI iHỆ iVI iPHÂN iTẬP §1.1 iCác ikhái iniệm icơ ibản 1.1.1 Tập iaffine, itập ilồi 1.1.2 Giới ihạn icủa idãy itập 1.1.3 Khơng igian imêtríc iHausdorff §1.2 iĐạo ihàm ivà itích iphân iHukuhara icủa iánh ixạ itập 1.2.1 Đạo ihàm iHukuhara icủa iánh ixạ itập 1.2.2 Tích iphân iHukuhara icủa iánh ixạ itập §1.3 iHệ ivi iphân itập 1.3.1 Định inghĩa ihệ ivi iphân itập 1.3.2 Định ilý ivề iso isánh inghiệm Chương iII iBÀI iTOÁN iĐIỀU iKHIỂN iTRONG iHỆ iVI iPHÂN iTẬP §2.1 iBài itốn iđiều ikhiển itập 2.1.1Bài itoán iđiều ikhiển itập 2.1.2Ổn iđịnh inghiệm §2.2 iPhân iloại iđiều ikhiển itập 2.2.1Phân iloại icác ibài itoán iđiều ikhiển itập 2.2.2Một ivài idạng itoán iđiều ikhiển itập itối iưu 2.2.3 Hệ ivi iphân itập imờ 03 04 05 06 06 08 08 12 12 13 15 15 15 19 19 20 24 24 25 26 Chương iIII iBÀI iTOÁN iĐIỀU iKHIỂN iNGƯỢC iTRONG HỆ iVI iPHÂN iTẬP §3.1 iHệ ivi iphân itập icó iđiều ikhiển 3.1.1Sự itồn itại inghiệm icủa ihệ ivi iphân itập icó iđiều ikhiển 3.1.2Xấp ixỉ inghiệm icủa ihệ ivi iphân itập icó iđiều ikhiển 3.1.3Sự isai ilệch inghiệm icủa ihệ ivi iphân itập icó iđiều ikhiển §3.2 iĐiều ikhiển ingược iđối ivới ihệ ivi iphân itập 3.2.1Bài itoán iđiều ikhiển ingược 3.2.2Điều ikhiển ingược ivới ibài itốn iđiều ikhiển iđược ihồn itồn 3.2.3Điều ikhiển ingược ivới ibài itoán inghiệm ibị ichặn 29 29 33 36 37 37 37 46 Kết iluận Tài iliệu itham ikhảo 54 55 Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01 Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập LỜI CẢM ƠN i i Trong iquá itrình ihọc icao ihọc ivà iviết iluận ivăn itốt inghiệp, itác igiả iđã inhận iđược nhiều iđiều ikiện ithuận ilợi icủa iSở iGiáo iDụ ic ivà iĐào iTạo iTỉnh iĐồng iTháp, ilãnh iđạo ivà icác iđồng inghiệp icủa iTrường iTHPT iHồng iNgự iI, isự igiúp iđỡ iquý ibáu icủa iTrường iĐại iHọc iCần iThơ, itất icả icác ithầy icô iđang itrực itiếp igiảng idạy itại iKhoa iToán icủa iTrường iĐại iHọc iCần iThơ ivà iKhoa iToán i– iTin icủ ia iTrường iĐại iHọc iKhoa iHọc iTự iNhiên i– iĐại iHọc iQuốc iGia iThành iPhố iH iồ iChí iMinh iTác igiả icòn inhận iđược isự iđộng iviên, ichia isẻ ivà igiúp iđỡ icủa icác ibạn iđồng inghiệp, ibạn ibè ivà ingười ithân Trong iq itrình ithực ihiện iluận ivăn ithạc isĩ itốn ihọc, itác igiả iđã inhận iđược isự ihướng idẫn itrực itiếp icủa iPGS.TS iNGUYỄN iĐÌNH iPHƯ ivề ichun imơn, ingười ithầy iln inhiệt itình ivà itận itâm ichỉ ibảo, itruyền iđạt icho itác igiả inhiều ikiến ithứ ic ivà icung icấp inhiều itài iliệu iThầy iđã ichỉ idẫn icho itác igiả itrình ibày inhững ikiến ithức ithu iđược iqua ihọc itập ivà inghiên icứu imột icách icó ihệ ithống itrong iluận ivăn inày Luận ivăn inày icòn iđược icác iGiáo isư iphản ibiện, icác ithầy iđã iđọc ivà icho inhững iý ikiến iđóng igóp iquý ibáu Tác igiả ixin ichân ithành icảm iơn itất icả imọi ingười ivề isự igiúp iđỡ ivà iđộng iviên iquý igiá inày i TP iHồ iChí iMinh, itháng i10 inăm i2009 Tác igiả Nguyễn iDuy iTrương Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01 Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập MỘT SỐ KÝ HIỆU i i i R i- iTập ihợp icác isố ithực Rn i- iKhông igian iEuclide ithực in i– ichiều K ic i(R in i) i- iKhông igian icác itập icompact ikhác irỗng K(R in i) i- iTập itất icả icác itập icompact ikhác irỗng d iH i(A, iB) i- iKhoảng icách itừ itập iA iđến itập iB D(A,B) i- iKhoảng icách igiữa ihai itập ikhông irỗng iA ivà iB D iH i(X, it0 i)- iĐạo ihàm iHukuhara icủa iX itại it0 ∫t F ( s ) ds - Tích phân Hukuhara ánh xạ tập F i i i i i i i i i i i i i i t0 10 i A i- iChuẩn icủa itập iA ( i) i- iKết ithúc ichứng iminh Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01 Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập TỔNG QUAN VẤN ĐỀ i i i Lý ithuyết iđiều ikhiển itoán ihọc ilà imột itrong inhững ilĩnh ivực itốn ihọc icó inhiều iứng idụng itrong ikinh itế ivà ikĩ ithuật iCó inhiều iloại ibài itốn iđiều ikhiển inhư iđiều ikhiển iđược ihoàn itoàn, iđiều ikhiển itối iưu ivà iổn iđịnh ihóa iđiều ikhiển itối iưu iGần inửa ithế ikỉ iqua, ilý ithuy iết iđ iiều ikhiển itoán ihọc ikhơng ingừng iđược iphát itriển ivì inó icó inhiều iứng idụng iTồn itại ihai ixu ihướng igiải ibài itoán itối iư iu: iđ iiều ikiện icần ivà iđiều ikiện iđủ iNguyên ilý icực iđại iPontriagin itrở ithành icông icụ irất itốt iđối ivới icác ihệ ivi iphân Gần iđây, iviệc inghiên icứ iu iphương itrình ivi iphân itập itrong ikhơng igian imêtric iđã iđược inhiều isự iquan itâm ichú iý iMột isố ikết iquả ichính itheo ihướng inày iđạt iđược ido igiáo isư iV iLakshmikantham ivà icác itác igiả ikhác ixem itrong i[6]-[13] Luận iv iăn inày ichọn iđề itài: i“Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập” iTrên icơ isở ikhảo isát ilý ithuyết icác inguyên ilý ivề iđ iiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập, itác igiả iđưa ira imột isố ibài itoán ingược icùng ivới icác iứng idụng icủa ichúng Nội idung iluận ivăn inày iđược ichia ira ilàm i3 ichương: Chương iI HỆ iVI iPHÂN iTẬP Giới ithiệu imột isố ikhái iniệm icơ ibản ivề itập, idãy itập, igiới ihạn icủa idãy itập, imêtríc iHausdorff, iđạo ihàm ivà itích iphân iHukuhara icủa iánh ixạ itập, iđưa ira ikhái iniệm ihệ ivi iphân itập, icác iđịnh ilý ivề iso isánh inghiệm,… Chương iII BÀI iTOÁN iĐIỀU iKHIỂN iTRONG iHỆ iVI iPHÂN iTẬP Giớ ii ithiệu inhững ikhái iniệm ivề ibài itoán iđiều ikhiển, ibài itoán iđiều ikhiển iđược, iđiều ikhiển itrong ihệ ivi iphân itập, iđiều ikhiển itối iưu ihệ ivi iphân, iổn iđịnh inghiệm, ihệ ivi iphân itập imờ,.… iTrong ichương inày, inhững ivấn iđề icơ ibản iđã itrình ibày imột icách icơ iđọng inhưng iđầy iđủ Chương iIII iBÀI iTỐN iĐIỀU iKHIỂN iNGƯỢC iTRONG iHỆ iVI iPHÂN iTẬP iĐây ilà inội idung ichính icủa iluận ivăn iGiới ithiệu imột isố ikhái iniệm ivề ihệ ivi iphân tập icó iđiều ikhiển inhư: isự itồn itại inghiệm, ixấp ixỉ inghiệm, isự isai ilệch inghiệm icủa ihệ ivi iphân itập icó iđiều ikhiển iTừ iđó iđưa ira imột isố iứng idụng icủa iđiều ikhiển ingược ivào imột isố ibài itốn icó iliên iquan inhư: iđiều ikhiển ingược ivới ibài itốn iđiều ikhiển iđược ihồn itồn, iđiều ikhiển ingược ivới ibài itốn inghiệm ibị ichặn Cuối icùng ilà iphần ikết iluận Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01 Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập Chương I HỆ VI PHÂN TẬP i i i i i Nội idung icủa ichương inày ilà inh iắc ilại imột isố ikhái iniệm icơ ib iản icó iliên iquan itrực itiếp iđến iviệc igiới ithiệu iđịnh inghĩa iđạo ihàm ivà itích iphân iHukuhara icủa iánh ixạ itập, icuối icùng itác igiả idựa ivào icác ikhái iniệm iđó iđể ixây idựng ikhái iniệm ihệ ivi iphân itập i(xem itrong i[16 i– i20]) § 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN i i i i i i Để iđịnh inghĩa iđược ihệ ivi iphân itập, ita icần inắm iđược imột isố ikhái iniệm icơ ibản ivề tập iaffine, itập ilồi, igiới ihạn icủa idãy itập, ikhơng igian imêtríc iHausdorff 1.1.1 iTập iaffine, itập ilồi 1.1.1.1 iTập iaffine Trong ikhông igian iRn i, iđường ithẳng iđi iqua ihai iđiểm ix, iy i∈ iRn i ilà ihọ icác iđiểm: (1− iλ)x i+ iλ iy i= ix i+ iλ( iy i− ix) i; iλ i∈ iR Tập iM i⊂ iRn i iđược igọi ilà itập iaffine inếu i∀x, iy i∈ iM i, iλ i∈ iR ithỏa imãn: (1 i− iλ)x i+ iλ iy i∈ iM i Tập iM i+ ia iđược igọi ilà ichuyển idịch iaffine i(tịnh itiến iaffine) icủa itập iM itrên ivectơ n ia i∈ iR i: { } M i+ ia i= i x i+ ia ix i∈ iM i, ia i∈ iRn i Tập iaffine iM iđược igọi ilà isong isong iaffine ivới itập iaffine iL i⇔ iM i= iL i+ ia i, ihay iM n ilà itịnh itiến iaffine icủa iL itrên ivectơ ia i∈ iR i Định ilí i1.1.1 iTập irỗng i∅ ivà ikhơng igian iRn i ilà icác itập iaffine Định ilí i1.1.2 iCác ikhơng igian icon icủa iRn iđều ilà icác itập iaffine iqua igốc itọa iđộ n iChứng iminh: iThật ivậy, imỗi ikhông igian icon icủa iR iđều ichứa igốc itọa iđộ i0, đồng ithời iđóng iđối ivới iphép icộng ivà iphép inhân ihai ingơi, inên ita icó: λ x i= i(1 i− iλ i)0 i+ iλx i∈ iM i, i∀x i∈ iM i, iy i= i0 i∈ iRn i, inên iy i∈ iRn i 1 1 Ngoài ira: (x i+ iy) i= x i+ i1 − y i∈ iM x i+ iy i= i2 (x i+ iy) ∈ iM ( i) 2 2 Định ilí i1.1.3 iMỗi itập iaffine ikhác irỗng isong isong ivới imột ikhông igian icon ituyến itính iduy inhất, iđó ilà ikhơng igian: L i= iM i− iM i= i{x i− iy ix i∈ iM i, iy i∈ iM i} i Ví idụ i1.1.1 Tập iaffine irỗng iđược iquy iước icó idim i∅ i= i-1 Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01 Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập Một iđiểm iđược iquy iước icó idimM i= i0 Một iđường itrong iRn i icó idimM i= i1 Một imặt itrong iRn i icó idimM i= i2 Một isiêu iphẳng itrong iRn icó idimM i= in i-1 Chúng ita ibiết isiêu iphẳng ivà icác itập iaffine iđều icó ithể inhận iđược itừ icác ihệ iphương itrình iđại isố ituyến itính, icác ihàm ituyến itính,… ichúng ita icó iđịnh ilí isau: 1.1.1.2 iTập ilồi Tập iC itrong iRn iđược igọi ilà ilồi inếu ivới imọi iđiểm ix, iy i∈C ivà isố ithực iλ i, i0 i≤ iλ i≤ i1 ithỏa imãn: (1 i− iλ) ix i+ iλ iy i∈C Chú iý: iNếu itập iaffine ichứa inguyên iđường ithẳng ithì itập ilồi ichỉ ichứa imột iđoạn icủa iđường ithẳng inối ihai iđiểm ix ivà iy i Tổng ivectơ i iλ1 ix1 i+ iλ2 ix2 i+ i i+ iλm ixm i i iđược igọi ilà itổ ihợp ilồi icủa i ix1 i, ix2 i, , ixm m iλ i≥ i0 ivà i∑λi i= i1 i=1 Cho itập iS ilà ilồi, ikhi iđó igiao icủa itất icả icác itập ilồi ichứa iS iđược igọi ilà ibao ilồi icủa S ikí ihiệu ilà iconvS i iNhư ivậy, ibao ilồi iconvS ilà itập ilồi ivà ilà itập ilồi inhỏ inhất ichứa itập iS Bao ilồi icủa ihữu ihạn icác iđiểm itrong ikhông igian iRn i iđược igọi ilà iđa idiện ilồi Định ilí i1.1.4 iGiao ihữu ihạn icủa icác itập ilồi itrong iRn i ilà imột itập ilồi Định ilí iđược ichứng iminh ilà idễ idàng ibằng iquy inạp Hệ iquả i1.1.4 iCho ibi i∈ iRn i, iβi i∈ iR ivới ii i∈ iI itập icác ichỉ isố, ikhi iđó itập: { } C i= i x i∈ iR in i( ix i, ibi i) i≤ iβi i,∀i i∈ iI i imột itập ilồi { } Chứng iminh: iMỗi itập: iCi i= i x i∈ iR in i(x i,bi i) i≤ iβi i ikhông igian icon iđóng i(cũng icó ithể ilà irỗng ihoặc itồn ibộ iR in i) iCác ikhơng igian icon iđóng iCi inày ilà ilồi inên iC i= i∩Ci ilà igiao ihữu ihạn icác itập ilồi, ido iđó iC ilà itập ilồi i∈I Định ilí i1.1.5 iTập icon itrong iRn ilà ilồi inếu ivà ichỉ inếu inó ichứa itất icả icác itổ ihợp ilồi icác iphần itử icủa inó Chứng iminh: Điều ikiện icầ in: iGiả isử iC ilà imột itập icon ilồi itrong iRn i, ichúng ita icần ichỉ ira irằng iC ichứa itổ ihợp ilồi icác iphần itử ix1 i, ix2 i, , ixm i∈ iC iThật ivậy, iđối ivới ihai iphần itử ita iln icó: ix, iy i∈C ithì iy i− ix i∈C ivà i(1 i− iλ) ix i+ iλ iy i= ix i+ iλ( iy i− ix i) i∈C Bằng iquy inạp icho im iphần itử ix1 i, ix2 i, , ixm i ita icũng icó iλ1 ix1 i+ iλ2 ix2 i+ i i+ iλm ixm i∈C Điều ikiện iđủ: iGiả isử itập iC i⊂ iRn i ichứa icác itổ ihợp ilồi, ichúng ita icần ichứng iminh C itập ilồi iThật ivậy, iđặt: Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01 Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập y i= iλ1 ix1 i+ iλ2 ix2 i+ i i+ iλm ixm λ' i= λi , iλ i≥ i0 i i − i λi ' ' ' Khi iđó: iλ i1 + iλ 2i' + i i+ iλm = i1, iλ ii≥ i0 iy ilà itổ ihợp ilồi ithuộc iC iTa icó y i∈C inên isuy ira: x i= i(1 i− iλ1 i) iy i+ iλ1x i∈C i iHay iC ilà itập ilồi 1.1.2 iGiới ihạn icủa idãy itập Giả isử iX ilà ikhông igian imêtric, iK in i⊂ iX i, in i=1,2, i i ilà idãy itập icon icủa iX 1.1.2.1 iGiới ihạn itrên icủa idãy itập Giới ihạn itrên icủa idãy itập iKn→∞ n ilà itập: n { ( n i) lim isup iK := x i∈ iX i: ilim iinf id x i, iK ( i) } = i0 n→∞ lim isupKn ilà itập imọi iđiểm itụ icủa icác idãy ixn i∈ iKn i ibất ikỳ icó lim isupKn iđược iđịnh inghĩa ilà itập imọi iđiểm itụ icủa icác idãy i“ ixấp n→∞ thể ilập iđược; n→∞ xỉ i” i, itức ilà icác idãy i{xn} ithỏa: ( { }) ∀ε i> i0, i∃N i(ε i) i: i∀n i> iN i(ε i), ix in i∈ iB i( iKn i, iε i) i iđây iB i( iK in i,ε i) i= i x i: id i( ix i, iKn i) i< iε ; lim isupKn = i∩ ∪ iK in = i∩ i∩ i∪ iB i( iKn i,ε i) N > n→∞ i i i in i≥N ε i> i0 iN i> i0 in i≥N 1.1.2.2 iGiới ihạn idưới icủa idãy itập Giới ihạn idưới icủa idãy itập iKn ilà itập: lim iinf iK := x i∈ iX i: ilim id i( ix i, iK { ) i= i0 i } lim iinfKnchính ilà itập icác igiới ihạn icủa imọi idãyxn∈Kn n i→∞ n n→∞ n n→∞ lim iinfKn n→∞ = i∩ i∪ i∩ iB i( iKn i, iε i) ε i> i0 iN i> i0 in i≥N Chú iý: iNếu ilim iinf iK in i= ilim isup iKn i, ita inói itập inày ilà igiới ihạn icủa idãy iKn ivà ikí n→∞ n→∞ hiệu ilà ilim iKn i n→∞ 1.1.3 iKhông igian imetric iHausdorff Cho ix i∈ iRn i, iA∈ iRn i, iA i≠ i∅ i iKhoảng icách itừ ix itới iA iđược iđịnh inghĩa inhư isau: d x i, iA = iinf x i− ia , ia i∈ iA Đặt: ( ) { } S iε i( iA i) i= i{x i∈ iR in i: id i(x i, iA) i< iε}; S ε i( iA i) i= i{x i∈ iR in i: id i(x i, iA) i≤ iε} Luận ivăn iThạc iSĩ - iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01 Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập Đặc ibiệt, ita ikí ihiệu: iS1n i= iS1 i(θ i) i.Từ iđó iS iε i( iA i) i= iA i+ iε iS1n i là: Với imọi iε i> i0 i, iA∈ iRn i, iA i≠ i∅ i Cho iA, iB ilà ihai itập icon ikhác irỗng icủa iRn i iTa iđịnh inghĩa ikhoảng icách itừ iA itới iB dH i(B, iA) i= isup{d i(b, iA) i: ib i∈ iA} Tương iđương ivới: { } dH i( iB, iA) i= iinf i ε i> i0 i: iB i⊆ iA i+ iε iS1n Ta icó imột isố itính ichất: (a) d iH i(B i, iA) i≥ i0 ivới id iH i(B i, iA)= i0 i⇔ iB i⊆ iA; (b) d iH i(B i, iA i) i≤ id iH i(B i, iC i) i+ id iH i(C i, iA) i; (c) d iH i(B i, iA i) i≠ id iH i( iA, iB) i; Với iA, iB,C ikhác irỗng icon iRn i Bây igiờ, ita iđịnh inghĩa ikhoảng icách igiữa ihai itập icon ikhông irỗng iA, iB ilà: D i( iA, iB i) i= imax i{d iH i( iA, iB i), id iH i(B i, iA)} Ta icũng icó imột isố itính ichất: (a) D i(B i, iA) i≥ i0 ivới iD i(B i, iA)= i0 i⇔ iA i= iB i; (b) D i(B i, iA i) i≤ iD i(B i, iC i) i+ iD i(C i, iA) i; (c) D i(B i, iA i) i= iD i( iA, iB) i; Với iA, iB,C ikhác irỗng icon iRn i Định ilí i1.1.8 iNếu iA, iB i∈ iK iC i( iRn i) ivà iC i∈ iK i( iRn i) ithì iD i( iA i+ iC i, iB i+ iC i) i= iD i( iA, iB) Chứng iminh: iTa icần ichứng iminh ibổ iđề isau: Bổ iđề i1.1.8 iCho iA, iB i∈ iK iC i( iRn i) i, iC i∈ iK i( iRn i) ivà iA i+ iC i⊆ iB i+ iC ithì iA i⊆ iB i Chứng iminh ibổ iđề: iCho ia i∈ iA ibất ikì iTa icần ichỉ ira irằng ia i∈ iB i iCho ib iất ikì ic1 i∈C i, ita icó ia i+ ic1 i∈ iB i+ iC i, iđiều iđó icó inghĩa ilà itồn itại ib1 i∈ iB ivà ic2 i∈C isao icho ia i+ ic1 i= ib1 i+ ic2 i iMột icách itương itự, itồn itại ib2 i∈ iB ivà ic3 i∈C isao icho ia i+ ic2 i= ib2 i+ ic3 i Lặp ilại iquá itrình itrên ivà ilấy itổng icủa in iđẳng ithức ita iđược: n n n+1 i i=1 i i=1 i=2 na i+ i∑ci i= i∑ ibi i+ i∑ci i; tương iđương ivới: n na i+ ic1 i= i∑bi i+ icn+1; i =1 thì: Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01 Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập a i= in ∑b i i + n ii=1 in Đặt: ixn i= ∑bi i, ithì ia i= ixn i+ n ii=1 c n+1 n − c c − n+1 n c n c n n+ − c1 → i0 i n n i i in Do iđó ixn hội itụ ivề ia iVì iB icompact ido iđó ia i∈ iB i iBổ iđề iđược ichứng iminh ( i) Bây igiờ ita ichứng iminh iđịnh ilí i1.1.8 iCho iλ i≥ i0 ivà iS ilà ihình icầu iđơn ivị iđóng ikhơng igian iTa ixét icác ibao ihàm: (1) A i+ iλS i⊃ iB; (2) B i+ iλS i⊃ iA; (3) A i+ iC i+ iλS i⊃ iB i+ iC; (4) iB i+ iC i+ iλS i⊃ iA i+ iC Đặt: id1 i= iD i( iA, iB) ivà id1 i= iD i( iA i+ iC i, iB i+ iC i).Thì id1 ilà iinfimum icủa inhững isố iλ idương ithỏa i(1) ivà i(2) iT iương itự, id2 ilà iinfimum icủa inhững isố iλ idương ithỏa i(3) ivà i(4) iVì i(1) ivà i(2) isuy ira i(3) ivà i(4) ibằng icách icộng ithêm iC inên id1 i≥ id2 ivà i(3) ivà i(4) ibằng cách ixóa iC isuy ira i(1) ivà i(2) inên id1 i≤ id2 i.Vậy id1 i= id2 i ( i) n Định ilí i1.1.9 iNếu iA, iB i∈ iK i(R i) ithì iD( icoA, icoB i) i≤ iD i( iA, iB) (1) n Nếu iA, iA’, iB, iB’∈ iK iC i( iR i) thì: D(tA, itB i) i= itD i( iA, iB) ivới imọi it i≥ i0; (2) D( iA i+ iA i', iB i+ iB i') i≤ iD i( iA, iB i) i+ iD i( iA i', iB i') (3) inữa: D( iA i− iA i', iB i− iB i') i≤ iD i( iA, iB i) i+ iD i( iA i', iB i') (4) Ta ithấy irằng ix i∈ iB ivới imọi in, ivì iB ilồi ivà iC ilà icompact inên iđó: A i− iA i', iB i− iB i' ilà itồn itại, ivà với iβ i= imax i{λ i, iμ} D i( iλ iA, iμ iB i) i≤ iβ iD i( iA, iB i) i+ λ i− iμ [D i( iA, iθ i) i+ iD i( iB, iθ i)] (5) và: D i( iλ iA, iλ iB i) i≤ iλ iD i( iA i− iB, iθ i) inếu A i− iB ilà itồn itại (6) Chứng iminh: iChứng iminh i(1), i(2) ilà ihiển inhiên, ibây igiờ ita ichứng iminh i(3) Với imọi ia i∈ iA ivà iu i∈ iA' i iDo B ivà iB’ ilà icompact inên itồn itại ib i( ia i) i∈ iB ivà iv i(u i) i∈ iB i' icho: inf a i− ib =a i− ib i( ia) ; iinf u i− iv =u i− iv i(u) b∈B v∈B i' a i+ iu i− ib i( ia i) i− iv i(u i) ≤ a i− ib i( ia i) + u i− iv i(u) sup inf a i+ iu i− ib i− iv ≤ isup iinf a i− ib + isup iinf u i− iv Ta ilại icó: Do iđó: b∈B , v∈B a∈ iA i, iu∈ iA i' i i ' i i a∈ iA ib∈B u∈A i' iv∈B i' Từ iđó isuy ira i(3) Chứng iminh i(4), ita ithấy: D( iA i− iA i', iB i− iB i') i≤ iD i( iA i− iA i'+ iA i'+ iB i', iB i− iB i'+ iB i'+ iA') Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập Chứng iminh: iCho iα i> i0, it i0 i∈ iR+ i iChọn iβ i= iβ i( it, iα i) i> i0 isao icho: a i( it0 i,α i) i< ib(β i) (24) i(23) iđúng iNếu iđiều iđó ikhơng iđúng ithì isẽ itồn itại: ( ) X i( it i) i= iX i it0 i, iX i0 i, it i, iU i( it i) i i= iX i0 i+ i∫t F i is, iX i( is i) i, iU i( is i) i ds ( t ) X i( it1 i) itập inghiệm icủa iNLSCDE i(22) ivà i∃t1 i> it0 i isao icho = iβ i Bởi ivì ihàm itựa iLyapunov iV i(t i, iX i(t i),U i(t i)) igiảm ithì: V (t i, iX i(t i),U i(t i)) i≤ iV i(t1 i, iX i(t1 i),U i(t1 i)),∀t i> it1 ihoặc i iX i( it) i≤ iβ i, ichính ilà ikết iquả iđiều ikiện i(iv) icủa ibổ iđể i(3.2.1) ivà i(24) icho: b i( iβ i) i≤ ib i( iX i( it1 i) )≤ iV i( it1 i, iX i( it1 i), iU i( it1 i)) i≤ iV i( it i0 i, iX i( it0 i), iU i( it0 i)) i≤ ia i( it0 i, iX i0 i) i< ia i( it i0 i,α i) i< ib(β i) Đây ilà iđiều ikiện iràng ibuộc i(23) iBổ iđề ichứng iminh ixong ( i) Định ilý i3.2.5 i(xem i[21]) iGiả isử irằng iNLSCDE i(22) ithỏa imãn icác iđiều ikiện isau: i Hàm itựa iLyapunov iV i(t, iX i(t i),U i(t i)) ithỏa imãn iđiều ikiện icủa ibổ iđề i3.2.1, ii F i∈ iC iI i× iK iC i(R in i)× iK iC i(R ip i), iK iC i(R in i) i, i F i( it i, iX i( it i) i, iU i( it i) i) i≤ iL i( iX i i+ i U i ), iL i> i0, ( ) ( ) iii iMỗi icặp i(X0 i, iX1 i)∈ iK iC i R in i , i∀t1 > it i0 i,∃U i( it i) i∈ iK iC i Rp i isao icho: X1 e t ∫ U(s) i i i − iL i( it1 i−t0 ) i ds i= − X0 (25) L t0 iNLSCDE i(22) ilà i(GC) ( ) Chứng iminh: iTrước ihết, ita ichọn itập iđiều ikhiển iđược iU i( it i) i∈ iK iC i Rp i thỏa i(25) Vì itập inghiệm icủa i(22) iđược iviết idưới idạng: ( ) X i( it i) i= iX i it0 i, iX i0 i, it i, iU i( it i) i i= iX i0 i+ i∫t F i is, iX i( is i) i, iU i( is i) i ds ( ) t0 thì: ( ) ( ) X i( it1 i) i= iX i it0 i, iX i0 i, it1 i, iU i( it1 i) i= iX i0 i+ i∫t1 F i is, iX i( is i) i, iU i( is i) i ds, t0 Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01 44 Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập Suy ira irằng: X i( it1 i) ≤ + i∫t1 X i0 ( ) F i is, iX i( is i) i, iU i( is i) i ds, t0 )ds, t ≤ t0 ≤ + i∫1 X i0 i X i0 L + U i( is i) ( X(s) i i i − iL i( it1 i−t0 t0 t i t0 X1 e i) Ta ithay: i∫ U ( is i) ds i= t ( 26) + iL i∫t1 X i( is i) ds i+ iL i∫t1 U i( is i) ds − X0 từ i(25) ivào i(26) ita inhận: X i(t1 i) ≤ X1 L Định ilý iđược ichứng iminh ixong, inếu ita ichứng iminh iđược irằng i iX i(t1 i) i= i iX1 i iNếu iđiều i i ikhông iđúng, inếu i iX i(t1 i) i< i iX1 i iNhưng itrong itrường ihợp inày ita icó ibởi ibổ iđề i (3.2.1), i iX i( it1 i) i= iβ ikéo itheo: b i( iβ i) i≤ ib i( iX i( it1 i) ) i≤ iV i( it1 i, iX i( it1 i),U i( it1 i)) i≤ iV i( it1 i, iX1 i, iU i( it1 i)) i≤ ia i( it1 i, iX1 i) i< ia i( it1 i, iα i) i< ib(β i) Ta ichứng iminh iđược irằng: i iX i(t1 i) i= i iX1 i iĐiều iđó icó inghĩa ilà: i(X0 i, iX1 i)∈ iK iC i(Rn i) isẽ i điều ikhiển iđược, ihệ ivi iphân iđiều ikhiển itập iphi ituyến i(NLSCDE) ilà i(GC) ( i) Hệ iquả i3.2.1 iTrong itrường ihợp ikhi ip i= in ita iphải ichọn itoán itử iđiều ikhiển iλ i(t) imột ihàm ithực isao icho imỗi icặp i(X0 i, iX1 i)∈ iK iC i(R in i),∀t1 i> it i0 i,∃U i( it i) i∈ iK iC i(Rp i) ivới U i( it i) i= iλ i(t i) iX1 i, iở iđây ihàm iλ i(t) ithỏa imãn: X t 1 ∫ λ ( s ) ds = i i i t0 i − iL e ( i it1 −t0 i ) − X L X1 (27) iNLSCDE i(22) ilà i(GC) Hệ iquả i3.2.2 i Nếu ixấp ixỉ icủa iF i(t, iX i(t i),U i(t i)) i≈ iAX i+ iBU i+ iR i(t, iX i,U i) ithì ibài itốn i(GC) icủa iNLSCDE i(22) isẽ ilà ibài itoán i(GC) icủa iUSLSCDEP i(18) ii Nếu ixấp ixỉ icủa iF i(t, iX i(t i),U i(t i)) i≈ iA(t i)X i+ iB i(t i)U i+ iR i(t, iX i,U i) ithì ibài i tốn i(GC) icủa iNLSCDE i(22) isẽ ilà ibài itoán i(GC) icủa iUSLSCDEP i(19) Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01 45 Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập Ta ixét imột ivài iví idụ icho i2 itrường ihợp inày: i Ví idụ i3.2.1 iTrường ihợp iđiều ikhiển iđược ihoàn itoàn: iSự idi ichuyển icủa ivết dầu itrên ibiển ilà iđiều ikhiển iđược iBởi ivì ivới imỗi icặp: ( X0 i, iX1 i)∈ iK iC i(R in i), i∀t1 i> it i0 i,∃U i( it i) i∈ iK iC i(Rp i) isao icho iU i( it i) i= iλ i(t i) iX1 i, iở iđây itoán itử điều ikhiển iλ i(t) ithỏa imãn: − iL t X1 e i ( i t 1 ∫ λ(s) i i i t ds i= −t0 i) − X0 LX1 iNLSCDE i(22) isẽ ilà i(GC) Ví idụ i3.2.2 iTrường ihợp ikhơng iđiều ikhiển iđược: iTa ixét ivấn iđề iv iề isự idi chuyển itừ inơi inày iđến inơi ikhác icủ ia imột ichất ihóa ihọc itrong imôi itrường iSự idi ichuyển icủa imột iđám imây itrong ikhơng ikhí isẽ ikhơng iđiều ikhiển iđược iBởi ivì inó idi ichuyển imọi i ( ) nơi ivà ita ikhơng ithể itìm iđược iđiều ikhiển ingược iU i( it i) i= ih i iX i( it) 3.2.3 i iĐiều ikhiển ingược ivới isự ibị ichặn icủa inghiệm Trong i[16 i– i22], ita ixét iđến imột iphương itrình ivi iphân iđiều ikhiển itập i(SCDE) icó dạng: DH iX i(t i) i= iF i(t i, iX i(t i), iU i(t i)) i(SCDE) (1) Trong iđó: iX i(t i0 i) i= iX i0 i∈ iK ic i(R in i), iX i(t i)∈ iK ic i(R in i), it i∈ i[ it i0 i,T i] i= iI i⊂ iR+ i ivà F i∈ iC i iI i× iK ( iR in i) i× iK ( iR ip i), iK ( iRn i) i, iU i(t i) i∈ iK ( iR ip i) i C C C C Tập inghiệm icủa inó icó idạng: X(t) i= iX(t , iX, it, iU(t)) i∈ iK i(R in i) 0 C Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01 46 Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập Định inghĩa i3.2.3 i(xem i[22]) iTập inghiệm i(X i0 i, iX i1 i) i∈ iK iC i(R in i) isẽ iđiều ikhiển i inếu isau ithời igian it1 itìm iđược imột itập iđiều ikhiển iU(t) i∈ iKC i(R ip i) isao icho: ∈ iK i(R in i) X(t i) i= iX(t i, iX , it i, iU(t i)) i= iX 0 1 C (2) Ta ikết ihợp ivới igiá itrị iban iđầu icủa ibài itốn i(1) icó itập inghiệm inhư isau: t X i(t i) i= iX i0 i+ i∫ iF i(s i, iX i(s i),U i(s i))ds, it i∈ iI (3) t0 Ở itích iphân ilà itích iphân iHukuhara iNhận ixét irằng iX i(t) ilà inghiệm icủa i(1) inếu inó ithỏa i(3) itrên iI Sự itồn itại itập inghiệm icủa iSCDE iđược igiới ithiệu itrong i[18] ivà isự iso isánh icủa itập inghiệm iđược inghiên icứu itrong ichương iI icủa iluận ivăn iMột ivài ikết iquả icủa iSCDE icó imặt itrong ichương iII icủa iluận ivăn inày iSự iổn iđịnh icủa itập inghiệm icủa iSCDE iđược inghiên icứu itỉ imỉ itrong i[19] iTính ibị ichặn icủa itập inghiệm icủa iSCDE ilà imột ihệ ithống ivi iphân ituyệt iv iời ivà iđược isử idụng itrong ithực ihành iTrong imục inày, ichúng itôi inghiên icứu imột ivài itiêu ichuẩn ivề itính ibị ichặn icủa itập inghiệm icủa iSCDE Định inghĩa i3.2.4 i(xem i[22]) iTập inghiệm icủa iSCDE iđược igọi ilà: B1 iBị ichặn, inếu ivới imỗi iα i> i0 ivà it i0 i∈ iR+ i, iở iđây itồn itại iβ i= iβ i(t i0 i, iα) i> i0 isao cho: i X0 i< iα isuy ira i X i(t i) i< iβ i,t i≥ it0 i i B2 iBị ichặn iđều, inếu iβ itrong iB1 ikhơng itính iđến it0 B3 iGần inhư ibị ichặn itới ihạn ivới itập ibị ichặn iB, inếu ivới imỗi iα i> i0 ivà it i0 i∈ iR+ i, iở i itồn itại iB i> i0 ivà iT i= iT i(t i0 i, iα) i> i0 isao icho i X0 i< iα isuy ira i X i(t i) i< iB i,t i≥ it i0 i+T i B4 iGần inhư ibị ichặn itới ihạn iđều, inếu iT itrong iB3 ikhơng itính iđến it0 B5 iBị ichặn itới ihạn, inếu iB1 ivà iB3 iđồng ithời ixảy ira B6 iBị ichặn itới ihạn iđều, inếu iB2 ivà iB4 iđồng ithời ixảy ira Định ilý i3.2.6 i i(xem i[22]) iGiả isử irằng ihàm itựa iLyapunov iV i(t, iX i(t i),U i(t i)) thỏa imãn inhững iđiều ikiện isau: n n (i) iV i∈ iC i iR+ i× iKC i( iR ) i× iKC i( iR ), iR+ i) ivà V (t i, iX i(t i), iU i(t i) i− iV i(t i, iX i(t i), iU i(t i) i≤ iL i( iD[ iX i(t i), iX i(t i)] i+ iD[U i(t i), iU i( it)]) (ii) Và iD+V i(t, iX i(t),U i(t)) i= Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01 47 Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập lim isup[V i(t i+ ih, iX i(t i) i+ ihF i(t i, iX i(t i), iU i( it i)), iU i( it i) i+ ih( iλ(t i) iF i(t i, iX i(t i), iU i(t i)) i+ iλ i'(t i) iX i(t i))] + h→0 ≤ ig i(t i, iV i(t i, iX i( it i), iU i(t)) (4) Ở iđây: ig i∈[ iR+2 i, iR] ivà it i∈ iR+ i, iX i(t i) i∈ iK ic i(Rn i),U i(t i) i∈U Nếu iX i(t i, it0 i, iX0 i, iU0 i) ilà inghiệm icủa iSCDE i(1) itồn itại itrên i[t0 i, iT i) ivới X i(t0 i) i= iX0 i, U i(t0 i) i= iλ(t0 i) iX i(t0 i) i= iU0 i, iV i(t0 i, iX0 i, iU0 i) i≤ iω0 i ithì ita icó: V i(t i, iX i(t i), iU i(t i)) i≤ ir(t i, it0 i, iw0 i), it i∈[t0 i, iT i), (5) Ở ir(t i, it0 i, iw0 i) ilà inghiệm ilớn inhất icủa iphương itrình ivi iphân igốc: d ω dt = g(t , ω), w(t0 ) = w0 ≥ i i i i i i i i i i i Chứng iminh: iCho iX i(t i) i= iX i(t i, it0 i, iX i0 i, iU0 i) ilà inghiệm icủa iSCDE i(1) itồn itại itrên i[t ,T i) i iĐịnh inghĩa im i(t i) i= iV i(t i, iX i(t i), iU i(t i)) isao icho im(t0 i) i= iV i(t0 i, iX0 i, iU0 i) i≤ iw0 i iBây igiờ ivới ih i> i0 i: i0 i m(t i+ ih) i− im(t i) i= iV i(t i+ ih, iX i(t i+ ih), iU i(t i+ ih)) i−V i(t i, iX i(t i), iU i(t i)) = V i(t i+ ih, iX i(t i+ ih), iU i(t i+ ih)) i− iV i(t i+ ih, iX i(t i) i+ ihF i(t i, iX i(t i), iU i(t i)), U i(t i) i+ ih( iλ(t i) iF i(t i, iX i(t i), iU i(t i)) i+ iλ i'(t i) iX i( it i))] +V i( it i+ ih i, iX i(t i) i+ ihF i(t i, iX i(t i), iU i(t i)), iU i(t i) i+ ih i( iλ(t i) iF i(t i, iX i(t i), iU i( it i)) i+ iλ i'( it i) iX i(t))] i−V i(t i, iX i(t i), iU i(t i)) ≤ L i( iD[ iX i(t i+ ih i), iX i(t i) i+ ihF i(t i, iX i( it i), iU i( it))] i+ D[U i(t i+ ih), iU i(t i) i+ ih( iλ(t i) iF i(t i, iX i(t i), iU i( it i)) i+ iλ i'(t i) iX i(t i))]) +V i(t i+ ih, iX i(t i) i+ ihF i(t i, iX i(t i), iU i(t i)), iU i(t i) i+ ih( iλ(t i) iF i(t i, iX i(t i), iU i(t i)) i+ iλ i'( it i) iX i(t i))] −V i(t i, iX i(t i), iU i(t i)) Áp idụng iđiều ikiện iLipschitz icho i(i) iNhư ivậy: D+m i(t i) i= ilim isup i i[ im i(t i+ ih i) i− im i(t)] + h→0 h ≤ D+V i(t i, iX i(t i), iU i(t i)) i+ iL ilim isup i h iD[ iX i(t i+ ih i), iX i(t i) i+ ihF i(t i, iX i( it i), iU i( it i))]h→0+ + L ilim isup i h iD[U i( it i+ ih i), iU i(t i) i+ ih i( iλ i( it i) iF i( it i, iX i(t i), iU i(t i)) i+ iλ i'(t i) iX i(t i))])h→0+ Từ iđó: Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01 48 Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập D[ iX i(t i+ ih i), iX i(t i) i+ ihF i(t i, iX i(t i), iU i(t i))] i= iD i i X (t + h ) − X (t) i i i i i i i , F i(t i, iX i(t i),U i(t)) i i hh iX i(t i) ilà inghiệm icủa iSCDE i(1), ita iđược: lim isup i iD[ iX i(t i+ ih i), iX i(t i) i+ ihF i( it i, iX i(t i), iU i(t i))] + h→0 h = limsup i iD i i + h→0 X (t + h ) − X (t) i i i i i i i , F i(t i, iX i(t i),U i(t)) i i hh iiii = D[ iDH iX i(t i), iF i(t i, iX i(t i), iU i(t i))] i= i0 và: lim isup i iD[U i(t i+ ih i), iU i(t i) i+ ih i( iλ i(t i) iF i(t i, iX i(t i), iU i(t i)) i+ iλ i'(t i) iX i(t i))] + h→0 h = limsup i iD i i + h→0 λ (t + h ) X (t + h ) − λ(t ) X (t) i i i i i i i i i i i i i i ,λ i(t i)F i(t i, iX i(t i),U i(t i)) i+ iλ i'(t i) iX i(t) i hh iiii = ilimsup D h h→0 λ i(t i+ ih i)[ iX i(t i+ ih i) i− iX i(t i)] h + X i(t i)[λ i(t i+ ih i) i− iλ(t)] , iλ i(t i)F i(t i, iX i(t i),U i(t i)) i+ iλ i'(t i) iX i(t) + h = D[λ (t ) DH X (t ) + X (t ) λ '(t ), λ (t ) F (t , X (t ), U (t )) + λ '(t ) X (t )] i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ≤ λ(t i) iD[ iDH iX i(t i), iF i(t i, iX i(t i), iU i(t i))] i+ iD[ iX i(t i) iλ i'(t i), iλ i'(t i) iX i(t i)] i= i0 i Vì ithế ita icó ibất iđẳng ithức ivi iphân ivô ihướng: D+ im i(t i) i≤ ig i(t i, im i(t i)) , m i(t i0 i) i≤ iw0 i Do iđịnh ilý i1.4.1 itrong i[24], inó icó itiếp itheo isự iước ilượng: m i(t i) i≤ ir i(t i, it i0 i, iw0 i) i, it i∈[t i0 i, iT i) Chứng iminh inày iđánh igiá iước ilượng iđịnh ilý i3.2.1 ( i) Hệ iquả i3.2.3 iHàm ig i(t i, iw) i= i0 ithỏa iđịnh ilý i3.2.1 iđể itạo ira iước ilượng: V i(t i, iX i(t i), iU i(t i)) i≤ iV i(t i0 i, iX i(t i0 i), iU i(t0 i)) Bây igiờ, ita igiới ithiệu imột isố ikết iquả ivề isự ibị ichặn icủa itập inghiệm iSCDE Định ilí i3.2.7 Giả isử irằng: n n (i) iV i∈ iC i iR+ × iK iC i( iR i) i× iK iC i( iR i), iR+ i i ivà V (t1 i, iX i(t1 i), iU i(t1 i) i− iV i(t i2 i, iX i(t i2 i), iU i(t i2 i) i≤ iL i( iD[ iX i(t1 i), iX i(t i2 i)] i+ iD[U i(t1 i), iU i(t i2 i)]), iL i> i0 Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01 49 Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập i(t i, iX i, iU i) i∈ iR+ i× iK iC i( iR in i) i× iK iC i( iRn i), iU i(t i) i= iλ(t i) iX i(t i) i, iD+V i(t i, iX i(t i), iU i(t i)) i≤ i0 (ii) b i( iX i i+ i U i ) i≤ iV i( it i, iX i, iU i) i≤ ia i( it i, i iX i i− i U i ), ivới i(t i, iX i, iU i) i∈ iR+ i× iK iC i( iR in i) i× iK iC i( iRn i), ib i, ia i(t i,.) i∈ iK i= i{σ i∈C i[ iR+ i, iR+ i] i: iρ( iw) ilà ităng itrong iw ivà iρ( iw) i→ i∞ ikhi iw i→ i∞} i(B1) iđúng Chứng iminh: iCho i0 i< iα ivà it i0 i∈ iR+ i iChọn iβ i= iβ i(t0 i, iα i) isao icho: a i(t i0 i, iα i) i< ib( iβ i) (6) Với iβ i, i(B1) iđúng iNếu iđiều inày ikhông iđúng, iở iđây isẽ itồn itại itập inghiệm: X i(t i) i= iX i(t i, iX i0 i, iU0 i) icủa i(1) ivà it1 i> it0 i isao icho: i X i(t1 i) i= iβ ivà i i iX i(t i) i≤ iβ i, it i0 i≤ it i≤ it1 i Theo i(i) ivà ihệ iquả i3.2.3 ita icó: V i(t i, iX i(t i), iU i(t i)) i≤ iV i(t i0 i, iX i0 i, iU0 i) i, it i0 i≤ it i≤ it1 i Theo ikết iquả inày, iđiều ikiện i(ii) ivà i(6) ita iđược: b i( iβ i) i= ib i( iX i(t1 i) ) i≤ ib i( iX i(t1 i) i+ i U i(t1 i) ) i≤ iV i( it1 i, iX i( it1 i), iU i(t1 i)) ≤ V i(t i0 i, iX i0 i, iU i0 i) i≤ ia i(t i0 i, i iX i( it i0 i) i− i U i( it i0 i) ) i≤ ia i( it i0 i, i iX i( it i0 i) ) i< ia i(t i0 i, iα i) i< ib( iβ i) Sự imâu ithuẩn inày iđã ichứng iminh i(B1) ( i) Định ilý i3.2.8 i iGiả isử irằng: (ρ) i× iK iC i(R ), iR+ i) ivà iở iđây iρ (i) iV i∈ iC i iR+ i× iS c có ithể ilớn, n V (t1 i, iX i(t1 i), iU i(t1 i) i− iV i(t i2 i, iX i(t i2 i), iU i(t i2 i) i≤ iL i( iD[ iX i(t1 i), iX i(t i2 i)] i+ iD[U i(t1 i), iU i(t i2 i)]), iL i > i0 ivà ivới i(t i, iX i, iU i) i∈ iR+ i× iS ic i( iρ) i× iK iC i( iRn i), iU i(t i) i= iλ(t i) iX i(t) i, iD i+V i(t i, iX i(t i), iU i(t i)) i≤ i0 (ii) b i( iX i i+ i U i ) i≤ iV i(t i, iX i, iU i) i≤ ia i(t i, i iX i i− i U i ), ivới i(t i, iX i, iU i) i∈ iR+ i× iS ic i( iρ) i× iK iC i( iRn i), iở ia i,b i∈ iK i, inó ichỉ iđược iđịnh inghĩa itrên i[ iρ, i∞) i(B2) iđúng ( i) Chứng iminh itương itự inhư ichứng iminh iđịnh ilý i3.2.7 Định ilý i3.2.9 D V i(t, iX i,U i) ilà: Giả isử ita ithừa inhận iđịnh ilý i3.2.7, ita iđánh igiá imạnh ihơn ivề + D i+V i(t i, iX i, iU i) i≤ iV i(t i, iX i, iU i),η i> i0, i(t i, iX i, iU i) i∈ iR i× iS ic i( iρ) i× iK ( iRn i) + (7) C Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01 50 Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập igiả isử iđiều ikiện i(ii) iđúng ivới X ≥ iB i iThì i(B5) iđúng Chứng iminh: iRõ iràng i(B1) ivẫn itồn itại từ iđịnh ilý i3.2.7 iVì ithế: < iβ i, it i≥ it0 i X i0 < iα isuy ira X i(t i) Bây igiờ i(7) icho ita isự iđánh igiá: V i(t i, iX i, iU i) i≤ iV i(t i0 i, iX i0 i, iU i0 i) ie−η i( it i−t i) i, it i≥ it0 i Cho iT i= (8) a i(t0 i, iα i) igiả isử irằng ivới it i≥ it i0 i+ iT i, X i(t i) ≥ iB i iThì, ita iđược itừ i(8) i: ln η b i( iB ) b i( iB i) i≤ ib i( X i( it i) ) i≤ iV i(t i, iX i( it i), iU i( it)) i≤ ia i(t i0 i, iα i) ie i−ηT i i= ib i( iB) Sự imâu ithuẩn inày iđã ichứng iminh i(B5) ivà iđịnh ilý ichứng iminh ixong ( i) Định ilý 3.2.10 i iGiả isử irằng: (i) iρ i> 0, iV1 i∈ iC i iR+ i× iS i( iρ) i× iK iC i( iR (t i, iX i, iU i) i∈ iR i× iδ iS i( iρ) i× iK ( iRn i) + n ), iR+ i),V1 i ilà ibị ichặn ivới: C V i(t1 i, iX i1 i, iU i1 i− iV i( it i2 i, iX i2 i, iU i2 i) ≤ iL1 i( iD[ iX i1 i, iX i2 i] i+ iD[U i1 i, iU2 i]) i, iL1 i> i0, D+V i(t, iX ,U i) i= ilimsup + h→0 [V i(t i+ ih, iX i+ ihF i(t, iX i,U i),U i) −V i(t, iX i,U i)] h 1 ≤ g1 i(t i, iV1 i), i(t i, iX i, iU i) i∈ iR+ i× iδ iS i( iρ) i× iK iC i( iRn i) ig1 i∈C i[ iR+2 i, iR] (ii) V2 i∈ i[ iR+ i× iδ iS i( iρ) i× iK iC i( iR in i), iR+ i], b i( iX i i+ i U i ) i≤ iV2 i(t i, iX i, iU i) i≤ ia i( it i, i iX i i− i U i ), ia i,b i∈ iK i; D+V1 i(t i, iX i, iU i) i+ iD i+V2 i(t i, iX i, iU i) i≤ ig i2 i(t i, iV1 i(t i, iX i, iU i) i+ iV2 i(t i, iX i, iU i)) i, ig i2 i∈C i[ iR+2 i, iR] (iii) iPhương itrình ivi iphân ivơ ihướng: w i'1 i= ig i(t i, iw1 i), w1 i(t i0 i) i= iw10 i≥ i0, (9) w i'2 i= ig i(t i, iw2 i), w2 i(t i0 i) i= iw20 i≥ i0, (10) và: lần ilượt ilà ibị ichặn ivà ibị ichặn iđều iThì ihệ i(1) ilà ibị ichặn Chứng iminh: iCho iB1 i> iρ ivà it i0 i∈ iR+ i iCho:α1 i= iα i(t i0 i, iB1 i) i= imax{α i0 i, iα*} Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01 51 Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập đây: iα0 i= imax{V1 i(t i0 i, iX i0 i, iU i0 i) i: iX i0 i∈ icl{S i( iB1 i) i∩ iS ic i( iρ)} ivà iα* i≥ iV1 i(t i, i X i, iU i) ivới i(t i, iX i, iU i) i∈ iR+ i× iδ iS i( iρ) i× iK iC i( iRn i) Từ iđó i(9) ilà ibị ichặn, icho iα1 i> i0 i, ivà it i0 i∈ iR+ i, itồn itại iβ0 i= iβ i(t0 i, iα1 i) isao icho: w1 i(t i, it i0 i, iw10 i) i< iβ0 i, it i≥ it0 i, (11) với iđiều ikiện iw10 < iα1 , iở iđây iw1 i(t i, it i0 i, iw10 i) ilà inghiệm icủa i(9) iCho iα1 i= ia i( iB1 i) i+ iβ0 i, isự ibị chặn iđều icủa i(10) icho ita: w1 i(t i, it i0 i, iw10 i) i< iβ i(α2 i), it i≥ it0 i, với iđiều ikiện iw10 < iα1 , iở iđây iw1 i(t i, it i0 i, iw10 i) ilà inghiệm icủa i(10) iChọn iB2 (12) thỏa imãn: b i( iB2 i) i> iβ1 i(α2 i) i (13) Ta ibiết irằng: iX i0 i∈ iS i( iB1 i) isuy ira: X (t i, iX i0 i, iU i0 i) i∈ iS i( iB2 i), với it i≥ it0 i, iở iđây iX i(t i, iX i0 i, iU0 i) ilà itập inghiệm iSCDE icủa i(1) Nếu inó ikhơng iđúng, ikhi iđó itồn itại inghiệm iX i(t i, iX i0 i, iU0 i) icủa i(1) ivới iX i0 i∈ iS i( iB1 i) isao , * * cho ivới it i i> it , X i(t i i, iX iU ) = iB i iTừ iđó: iB i> it , iở iđây ita icó i2 ikhả inăng ixảy ira: 0 (i) X i( it i, iX i0 i, iU i0 i) i∈ iS iC i( iρ) ivới it i∈[t i0 i, it*]; (ii) iTồn itại it i≥ it0 i isao icho iX i(t i, iX i0 i, iU i0 i) i∈δ iS( iρ) ivà iX i( it i, iX i0 i, iU i0 i) i∈ iSC i( iρ) ivới t ∈[t i, it*] Nếu i(1) iđúng, ita icó ithể itìm iđược it1 i≥ it0 i isao icho: X (t1 i, iX i0 i, iU i0 i) i∈δ iS i( iB1 i) X i( it i* i, iX , iU ) i∈δ iS i( iB i) (14) X (t i, iX i0 i, iU i0 i) i∈ iS iC i( iB1 i) i, it i∈[t1 i, it*] Đặt im i(t i) i= iV1 i(t i, iX i(t i, iX i0 i, iU i0 i), iU i(t i)) i+V2 i(t i, iX i(t i, iX i0 i, iU i0 i), iU i(t i)) ivới it i∈[t1 i, it*] ivà iáp idụng iđịnh ilý i3.1.7, ita icó ithể ithu iđược ibất iđẳng ithức ivi iphân: D+m i(t i) i≤ ig i2 i(t i, im i(t i)), it i∈[t1 i, it*] ido iđó: m i(t i) i≤ iγ i2 i(t i, it1 i, im i(t i)), it i∈[t1 i, it*] Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01 52 Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập γ i2 i(t1 i, it1 i, iv0 i) i= iv0 i iđây: iγ i2 i(t i, it1 i, iv0 i) ilà inghiệm ilớn inhất icủa i(9) ivới Vì ivậy: , V i(t i i, iX i(t i i, iX iU ), iU i(t i* i)) i+V i(t i, iX i(t i* i, iX , iU ), iU i(t* i)) * * * 0 ≤ iγ (t i i, it i, iV i(t i, iX i(t i, iX , iU ), iU i(t i)) i+V i(t i, iX i( it i, iX , iU ), iU i(t i)) 1 1 0 1 0 (15) Tương itự, ita icũng icó: V1 i(t1 i, iX i(t1 i, iX i0 i, iU i0 i), iU i(t1 i)) i≤ iγ1 i(t1 i, it i0 i, iV1 i(t i0 i, iX i0 i, iU0 i)) iγ1 i(t1 i, it i0 i, iu0 i) ilà inghiệm ilớn inhất icủa i (9) iTập iw10 i= iV1 i(t i0 i, iX i0 i, iU0 i) i< iα1 i iThì: V1 i(t1 i, iX i(t1 i, iX i0 i, iU i0 i), iU i(t1 i)) i≤ iγ1 i(t1 i, it i0 i, iV1 i(t i0 i, iX i0 i, iU0 i)) i≤ iβ0 i Từ iđó i(11) iđúng Hơn inữa, iV2 i(t1 i, iX i(t1 i, iX i0 i, iU i0 i), iU i(t1 i)) i≤ ia i( iB1 i) iCho inên ita icó: w20 i= iV1 i(t1 i, iX i(t1 i, iX i0 i, iU i0 i), iU i( it1 i)) i+ iV2 i(t1 i, iX i(t1 i, iX i0 i, iU i0 i), iU i( it1 i)) i≤ iβ0 i+ ia i( iB1 i) i= iα2 (17) Kết ihợp i(12), i(13), i(14) ivà i(17), ita iđược: b i( iB i) i≤ im i(t i* i) i≤ iγ i(t i* i) i≤ iβ i(α ) i< ib i( iB i) (18) 2 Đây ilà isự imâu ithuẫn Nếu itrường ihợp i(2) iđúng, ita icũng iđạt iđược ibất iđẳng ithức i(15), iở iđây t1 i> t mãn i(14) thỏa Theo i(16), ita icó imối iquan ihệ: V1 i(t1 i, iX i(t1 i, iX i0 i, iU i0 i), iU i(t1 i)) i≤ iγ1 i(t1 i, t , iV1 i( t , iX i0 i, iU i0 i), iU i( t )) , * ) i ∈δ i S ( i ρ ) i i i V i ( Từ iđó i iX i( t , it , iX 0, iU t , iX i(t , iX iU ), iU i( t )) i≤ iα i≤ iα , itrước iđây ita 0 tranh i iluận, i ita i icó B1 i> iρ, it0 i> i0, itồn itại mâu i ithuẫn i i(18) i iĐiều i inày i ichứng i iminh B i icho icho: X i0 i∈ iS i( iB1 i) isuy ira iX i(t i, it i0 i, iX i0 i, iU i0 i) i∈ iS i( iB2 i), it i≥ it0 i, Với iB1 i< iρ, ita icó itập iB2 i(t i0 i, iB1 i) i= iB2 i(t0 i, iρ) ivà iđịnh ilý iđã iđược ichứng iminh ixong i( i) Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01 53 Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập KẾT LUẬN i Luận ivăn inày iđã itrình ibày imột icách icơ iđọ ing ivà icó ihệ ithống icác ikiến ithức imới ivề ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập iđã ixét itrong i[16 i– i22], imột iđối itượng irất iđược iquan itâm itrong itốn ihọc inói ichung ivà iphương itrình ivi iphân inói iriêng Thực ihiện iphân iloại icác ibài itoán iđ iiều ikhiển icho ihệ ivi iphân itập, iổn iđịnh inghiệm, icó iđóng igóp itrong itính ibị ichặn icủa itập inghiệm i(đang icùng inhóm inghiên icứu ihồn ichỉnh ikết iquả),… Nội idung ichính icủa iluận ivăn: i“ iVề ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập” iđã iđược igiải iquyết Vì ithời igian idành icho iluận ivăn ith iạc isĩ icó ihạn, inên icòn inhiều ivấn iđề itrong ilĩnh ivực inày inhư: ibài itốn iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân icó iđiều ikiện itối iưu,… ichưa iđược itiếp icận Hy ivọng itrong itương ilai, ikhi icó iđiều ikiện itác igiả isẽ itiếp itục ikhảo isát ichúng Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01 54 Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập TÀI LIỆU THAM KHẢO i [1] i i G iEvans, iJ iBlackledge iand iP.Yardley, iNumerical iMethods ifor i Partial iDifferential iEquations iSpringer-Verlag, iLondon, i2000 O.Kaleva, iFuzzy iDifferential iEquations, iFuzzy iSets iand iSystems, i24, i301- i317, i1987 [3] O.Kaleva, iThe iCauchy iProblem ifor iFuzzy iDifferential iEquations, iFuzzy Sets iand iSystems, i35, i389-396, i1990 [4] I iPerfilieva, iFuzzy iapproach ito isolution iof idifferential iequations iwith iimprecise idata: iapplication ito ireef igrowth iproblem In: iFuzzy iLogic iin iGeology i(R.V iDemicco iand iG.J iKlir, iEd.), iChap i9, ipp.275-300 iAcademic iPress, iAmsterdam, i2003 [5] I iPerfilieva, iFuzzy iTransforms In: iRough iand iFuzzy iReasoning: iRough iversus iFuzzy (D iDubois iand iM iInuiguchi, iEd.) iSpringer-Verlag, i2004, ito iappear [6] T.Gnana i iBhaskar, i iV.Lakshmikantham, i iDevi i iJ.Vasundhara; i iRevisiting ifuzzy idifferential iequations, iNonlinear iAnalysis i58 i(2004) i351-358 [7] T.Gnana iBhaskar, iJ.Vasundhara iDevi; iStability icriteria ifor iset idifferential iequations, iMath-ematical iand iComputer iModelling i41 i(2005), i1371 ii1378 [8] T.Gnana iBhaskar, iJ iVasundhara iDevi; iNonuniform istability iand iboundedness icriteria ifor iset idifferential iequations, Applicable iAnalysis i84(2) i(2005) i131- i143 [9] V iLakshmikantham; iUncertain i isystems i iand i ifuzzy i idifferential equations, iJournal iMathemat- iical iAnalysis iand iApplications, i251 i(2000) i805 i- i817 [10] V iLakshmikantham; i iSet i idifferential i iequations i iversus i ifuzzy differential iequations, iApplied iMathematics iand [2] i Computation, i164 i(2005) i277 i- i294 Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01 55 Về ibài itoán iđiều ikhiển ingược itrong ihệ ivi iphân itập [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] V iLakshmikantham, iBhaskar iT iGnana, iDevi iJ iVasundhara; iTheory iof iset idifferential iequations iin imetric ispaces, iCambridge iScientific iPublisher, iUK, i2006 V.Lakshmikantham, iS.Leela; iDifferential iand iIntergral iInequalities, iVol iI iand iII, iAcademic iPress, iNew iYork, i1969 V iLakshmikantham, iR.Mohapatra; iTheory iof iFuzzy iDifferential Equations iand iInclusions, iTaylor iand iFrancis, iLondon, i2003 Nguyễn iĐình iPhư, iTổng iquan ivề ilý ithuyết ihệ ithống, iNXB iĐHQG iTP iHồ iChí iMinh, i(2003) Nguyễn iĐình iPhư, iNguyễn iThư iHương, iPhương itrình ivi iphân iđa itrị,, iNXB ĐHQG iTP iHồ iChí iMinh, i(2005) N.D iPhu, iT.T iTung; iSome iresults ion isheaf isolutions iof isheaf iset icontrol iproblems, iJ iNonlinear iAnalysis, iVol i9 i(2007), ipp i1309 i– i1315 N.D iPhu, iT.T iTung; iSome iproperties iof isheaf isolutions iof isheaf ifuzzy icontrol iproblems, iElectronic iJournal iof iDifferential iEquations, Vol i2006 i(2006), iNo i108, i1- i8 N.D iPhu, iT.T iTung; iExistence i iof i isolutions i iof i iset i icontrol i idifferential equations, iJ iScience iand iTechnology iDevelopment i10 i(6) i(2007), ipp i5-14 N.D iPhu, iL.T iQuang, iT.T iTung; iStability icriteria ifor iset icontrol idifferential iequations, iJ iNonlinear iAnalysis, i69 i(2008), ipp i3715 i– i3721 N.D iPhu, iL.T iQuang, iT.T iTung; iCriteria ifor iboundedness iof isolutions iof iset icontrol idifferential iequations, iJ iEvolution iEquations i(Accepted) N.D iPhu, iOn ithe icontrollable ifor iset icontrol idifferential iequations, J iEvolution iEquations i(Accepted) N.D iPhu, iL.Q iDung, iThe ipartial idifferential ioperators iin iHausdorff imetric ispace iand iapplications, iJ iNonlinear iAnalysis i(to iappear) Luận ivăn iThạc iSĩ i- iNgành iGiải iTích i– iMã ingành: i60 i46 i01 56 ... iII BÀI iTOÁN iĐIỀU iKHIỂN iTRONG iHỆ iVI iPHÂN iTẬP Giớ ii ithiệu inhững ikhái iniệm ivề ibài itoán iđiều ikhiển, ibài itoán iđiều ikhiển iđược, iđiều ikhiển itrong ihệ ivi iphân itập, iđiều ikhiển... ihệ ivi iphân itập icó iđiều ikhiển 3.1.3Sự isai ilệch inghiệm icủa ihệ ivi iphân itập icó iđiều ikhiển §3.2 iĐiều ikhiển ingược iđối ivới ihệ ivi iphân itập 3.2. 1Bài itoán iđiều ikhiển ingược... iBÀI iTOÁN iĐIỀU iKHIỂN iNGƯỢC iTRONG HỆ iVI iPHÂN iTẬP §3.1 iHệ ivi iphân itập icó iđiều ikhiển 3.1.1Sự itồn itại inghiệm icủa ihệ ivi iphân itập icó iđiều ikhiển 3.1.2Xấp ixỉ inghiệm icủa ihệ