Đang tải... (xem toàn văn)
Phân tích và hướng dẫn chi tiết giải hệ phương trình
“Hệ phương trình” Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 Trang “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 Nội dung CHUYÊN ĐỀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN A PHẦN LÝ THUYẾT Dạng 1: Giải hệ phương trình phương pháp Dạng 2: Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số Dạng 3: Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ B PHẦN BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN C PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN PHẦN HƯỚNG DẪN – ĐÁP SỐ MỤC I 12 B CÁC BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN 12 C CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN 16 II: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ VÀ BÀI TOÁN PHỤ 20 A MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 20 Dạng 1: Giải biện luận hệ phương trình theo tham số m 20 Dạng 2: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x; y thỏa điều kiện cho trước 20 Dạng 3: Tìm mối liên hệ x , y không phụ thuộc vào tham số m 20 B BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN 23 C HƯỚNG DẪN – ĐÁP SỐ MỤC II 26 III PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO 34 HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1: 34 HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 38 HỆ CÓ YẾU TỐ ĐẲNG CẤP ĐẲNG CẤP 40 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 48 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 64 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HẰNG ĐẲNG THỨC: 72 KHI TRONG HỆ CÓ CHỨA PHƯƠNG TRÌNH BẬC THEO ẨN x, HOẶC y 75 PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 79 MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN PHẦN HỆ PHƯƠNG TRÌNH 85 HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BÀI TẬP RÈN LUYỆN 90 IV HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN 110 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 CHUYÊN ĐỀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Cho hai phương trình bậc hai ẩn ax + by = c a/x + b/y = c/ Khi ta có hệ hai phương trình bậc hai ẩn ax by c (I) / / / a x b y c * Nếu hai phương trình có nghiệm chung (xo;y0) (xo;y0) gọi mợt nghiệm hệ (I) * Nếu hai phương trình cho khơng có nghiệm chung ta nói hệ (I) vơ nghiệm Giải hệ phương trình tìm tất nghiệm I MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN A PHẦN LÝ THUYẾT Dạng 1: Giải hệ phương trình phương pháp a) Phương pháp giải: Để giải hệ hai phương trình bậc hai ẩn phương pháp ta làm bước sau đây: Biểu diễn một ẩn từ một phương trình hệ qua ẩn Thay ẩn bới biểu thức biểu diễn vào phương trình lại Giải phương trình mợt ẩn nhận Tìm giá trị tương ứng ẩn lại b) Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Giải hệ phương trình : { 2𝑥 + 𝑦 = 12 (1) 7𝑥 − 2𝑦 = 31 (2) Hướng dẫn giải Từ phương trình (1), biểu diễn y theo x ta có y 12 2x Thay y phương trình (2) y 12 x , ta x – 12 – x 31 x – 24 x 31 11x 55 x Thay x = vào phương trình y 12 x , ta được: y 12 – 2.5 Vậy hệ có nghiệm (x, y) = (5; 2) Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 Dạng 2: Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số a) Phương pháp giải: Để giải hệ hai phương trình bậc hai ẩn phương pháp cộng đại số ta làm bước sau đây: Nhân hai vế phương trình hệ với số thích hợp (nếu cần) để đưa hệ cho hệ mới, hệ số mợt ẩn (hoặc đối nhau) Trừ (hoặc cợng) vế phương trình hệ để khử bớt một ẩn Giải phương trình mợt ẩn thu Thay giá trị tìm ẩn vào mợt hai phương trình hệ để tìm ẩn b) Ví dụ minh hoạ : Giải hệ phương trình sau 3 x y 11 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: x y Hướng dẫn giải Các hệ số ẩn y hai phương trình đối nhau, ta cợng vế hai phương trình để khử ẩn y ta thu được: x 12 x Thay vào phương trình thứ hai hệ, ta có: y y y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (3;-1) 2 x y Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: 2 x y Hướng dẫn giải Các hệ số ẩn x hai phương trình nhau, ta trừ vế hai phương trình để khử ẩn x, ta được: y 8 y Thay y = vào mợt hai phương trình cho hệ ta được: 2.x – 3.1 x x 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm x, y ; 2 1 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 5 x 11 y Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: 10 x y 74 Hướng dẫn giải Nhân hai vế phương trình thứ với 2, giữ nguyên phương trình hai ta hệ mới: 10 x 22 y 16 10 x y 74 Trừ vế phương trình thứ (mới) cho phương trình thứ hai ta được: 29 y 58 y 2 Thay vào phương trình thứ hai, ta có 10 x – 2 74 10 x 60 x Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y) = (6 ; -2) *Lưu ý: Khi hệ có chứa biểu thức giống nhau, ta kết hợp phương pháp đặt ẩn phụ để đưa hệ hệ đơn giản Sau sử dụng phương pháp cộng để tìm nghiệm hệ phương trình Dạng 3: Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ a) Phương pháp giải Đặt điều kiện để hệ có nghĩa (nếu cần) Đặt ẩn phụ điều kiện ẩn phụ (nếu có) Giải hệ theo ẩn phụ đặt Trở lại ẩn cho để tìm nghiệm hệ số b) Ví dụ minh hoạ 1 x y 1 Ví dụ 5: Giải hệ phương trình 3 x y Hướng dẫn giải Điều kiện: x ≠0, y ≠ Đặt 1 a; b (*) x y Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 Hệ phương trình cho tương đương với a b 3a 4b b a b 3a 3b 7b b Ta có: 3a 4b 3a 4b a b a b a b Thay vào (*) ta có a 1 y y 1 x x 7 7 Vậy nghiệm hệ phương trình x, y ; 9 2 B PHẦN BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN 3 x y Bài I.01 Giải hệ phương trình 2 x y 3 x y 11 Bài I.02 Giải hệ phương trình: x y x y 3 Bài I.03 Giải hệ phương trình: x y x 3y Bài I.04 Giải hệ phương trình: 3 x y 1 2 x y Bài I.05 Giải hệ phương trình sau: x y 2 x y 3 Bài I.0.6 Giải hệ phương trình sau: 3 x y x y Bài I.07 Giải hệ phương trình sau: 3 x y x y 26 Bài I.08 Giải hệ phương trình sau: 5 x y 16 3 x y 11 Bài I.09 Giải hệ phương trình sau: x y Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 2 x y Bài I.10 Giải hệ phương trình sau: 4 x y x y Bài I.11 Giải hệ phương trình: x y 1 2 x y Bài I.12 Giải hệ phương trình: x y 3 x y Bài I.13 Giải hệ phương trình: 5 x y 23 3( x 1) 2( x y ) Bài I.14 Giải hệ phương trình 4( x 1) ( x y ) 2 y 3 x Bài I.15 Giải hệ phương trình: 1 2y x 1 x y Bài I.16 Giải hệ phương trình: 2 x y 3x x 1 Bài I.17 Giải hệ phương trình 2x x 4 y2 5 y2 x y Bài I.18 Giải hệ phương trình: x y 5 y 1 1 y 1 4 x y Bài I.19 Không dùng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình: x y x2 x 1 y Bài I.20 Giải hệ phương trình 3 x y Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 C PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải hệ phương trình sau: x y 10 x y 16 3x y 2 x y 12 2 x y 2 x y 2 x y x y 10 2 x y 5 x y x y 2 x y 3x y 18 x y 5 x y 7 3x y 8 3 x y 9 x y 4 x y 6 10 2 x y 16 x y 3 11 3 x y 10 2 x y 12 4 x y x y 13 x y x y 14 2 x y 18 2 x y 15 x y x y 5 16 3x y 5 x y 3 17 x y x y 2( x 1) 18 7 x y x y 3 x y 12 19 4 x y x y 20 x y 5 2 x y ( x y ) 21 6 x y y 10 2 x y 10 22 5 x y 2 x y 23 x y 3 x y 2 24 x y 2 x y 25 2 x y 1 5 x y 10 26 5 x y x y 27 x y 3x y 28 4 x y 12 x y 29 3x y x y 10 30 x y 1 2 x y 3 x 20 31 4 x y x y 12 3 x y 32 6 x y 2 x y 2 33 3x y 3 5 x y 34 10 x y 3 x y x 35 5( x y ) 3 x y 2 x y 36 4 x y 12 2 x y 37 3 x y 3 x y 38 2 x y 2 x y 39 x y 5 2 x y 40 4 x 10 y x y 2 41 2 x y 2 x y 42 3 x y 15 x y 5 43 3x y 2 x y 44 x y 3 x y 45 5 x y 12 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 x y x y 3x y 12 46 4 x y 1 x y 4( x 1) 47 5 x y ( x y ) 48 x 3y 3 x y 1 2 x y 50 4 x y x y 3 51 x y 3 x y 52 x y 17 x y 13 53 3 x y x y 54 x y 1 2 x y 55 x y x y 10 56 x y 3 x y 57 5 x y 23 x y 58 x y 2 x y 59 3 x y 2 x y 60 3 x y 3 x y 61 6 x y x y 62 x y 21 4 x y 63 3 x y 9 3( x 1) 2( x y ) 64 4( x 1) ( x y ) 2 x y 65 3 x y 3 x y 66 7 x y 23 x 3y 67 2 x y 2 x y 68 3 x y x y 69 3 x y 4 x y 70 2 x y x y 71 3 x y x y 72 2 x y x y 73 2 x y x y 74 3 x y 2 x y 75 x y x y 76 2 x y 2 x y 77 x y 3 x y 78 x y x y xy 79 x y xy 2 x y 80 3 x y 12 x y 11 81 4 x y 2 y 3 x 82 1 2y x x2 x 1 y 83 3 x y x y 2014 84 x y x | y | 85 4 x y 2 x y 86 3 x y 3 x y 87 x y Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 x y 88 x y 2 x y 2014 89 x y 2015 x y 90 x y ( x 3)( y 2) xy 91 ( x 1)( y 1) xy 2 x y 92 x y 1 x y 1 93 3 x y 3 x y 94 4 x y 2 x y 95 x y 2 x y 96 3 x y 2 x y 4 97 x 3y 2 x y 98 x y 2 x y 3 99 3 x y x y 100 3 x y 3 x y 101 2 x y 3 x y 102 x y 3 x y 21 103 2 x y 3 x y 104 x 3y x y xy 105 x y xy 3 x y 106 4 x y 3 x y 21 107 2 x y 3 x y 108 x 3y 1 x y 1 109 2 x y x y x y 110 1 x y x y 1 x y 111 3 1 x y x 1 112 x 1 y 1 y x y x y 1,1 113 0,1 x y x y x x y x y 114 2x x y x y x y 1 115 1 x y y 2x x 1 y 1 116 x y 1 x y 117 x y 1 118 1 x y 1 x y 119 1 x y 15 x x y y 12 120 x x 2 y 12 y Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 3 x y x y 2 10 x y x y Trang 10 “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 Từ suy x 25 Kiểm tra lại, ta thấy x 25, y 25 nghiệm hệ phương trình 30) Điều kiện: x, y, z 13 Cợng ba phương trình vế theo vế, ta được: x 13 x y 13 y z 13 z Xét: T t 13 t với t 3;13 1 1 t 13 t Vì T t 13 t Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dấu “=” xảy t Vậy hệ phương trình có một nghiệm x y z x x y x y 2 x y 31) Biến đổi hệ phương trình thành: 2 (2) 4 3x y x y Thực phép (2) vào (1) ta có: (1) x x y x y x y 3x y x y x2 x y 2x2 2xy 15 x y x2 x y 2x x y 15 x y x y x 2x 15 TH1: x y Thay vào phương trình (2) có ngay: x2 Phương trình vơ nghiệm y 1 x y 8y TH2: x x 15 y 7 x 5 y y 119 0(VN ) Vậy hệ cho có nghiệm sau: 3; 1 , 3; 7 2 u x y x y u y u v 32) Đặt 2 x u 2v v x y 3 x y v 2x y u v2 3u v Khi hệ ban đầu trở thành: 2 2v u v 2(*) Thế v 3u vào phương trình (*) giải tìm u , từ v = x = 3; y = 33) PT thứ hai hệ x y x y x2 2x x y x 1 x y x 2 x y x Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 97 “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 x x 2y x thay vào phương trình thứ ta 2 y x x 13x2 11x 30 x TH2: x y x thay vào phương trình thứ ta bậc hai 2 y x x theo x 34) Điều kiện: x 4; y 0; x y; x y; y 3x Phương trình (1) TH1: 2x x2 y 4x y x2 y y 2x y 4x y + Nếu y khơng thỏa mãn điều kiện y 3x 12 + Nếu y x thay vào phương trình (2) ta thu được: x2 16 x x2 16 x 1 x 25 x 5 x5 x 5 0 2 x 1 x 1 x 16 x 16 x5 x 5 0 x 1 x 16 Với x y 16 Xét x5 x 16 x 5 x x x 16 x 1 Dễ thấy x x 16 x 4x x 16 với x nên phương trình vơ nghiệm Tóm lại hệ có nghiệm nhất: x; y 5;16 35) ĐK: x y, x x y a y Đặt , phương trình (1) hệ cho tương đương với: b x y a a 1 b b2 1 a b a ab b2 1 Do a2 ab b2 a, b a b y x y 3y Hệ x y2 y x x y x y 2 y y y y y y t t Đặt t y y, pt t t t 5t Do y y x Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 98 “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 8 4 Kết luận: Hệ có nghiệm nhất: x; y ; 3 9 36) Từ phương trình (1) ta rút được: x x x2 y x2 y x x2 y x2 x x2 y x2 y x 9x (*) y2 Từ phương trình ta có kết quả: 9x 6x 1 y Thay vào (*) ta có: x 2x2 2x x2 y y 6x 2 x x x y xy 2 y2 y x x y y Nếu x vô nghiệm Nếu x x2 y y x2 y y x 3 y x 3 y x y y x 2 x y y xy x y x Thay vào ta tìm được: ( x; y) (5;3) KL: Hệ có nghiệm: ( x; y) (5;3) 37) Biến đổi phương trình (1) ( x 3) ( y 4)2 ( y 4) ( x 3)2 (*) + x 3 y 4 ta thấy không thỏa mãn + x 3 y 4 bình phương hai vế phương trình (*) ( x 3)( y 4) y 2( x 3) y 2 x 10 2 ( y 4) 4( x 3) Thay vào phương trình (2) rút gọn ta được: x 28 x 51 3 x 15 x2 8x 16 3 x 15 x 13 27 x 15 x 13 x 4 x 15 x 13 x 15 x 13 16 x x x 4 x 15 0 x 13 x 15 x 13 0 4x 7 0 x 4 x 152 x 13 x 15 x 132 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 99 “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 4x 7 0 1 2 3 x 15 x 13 x 15 x 13 x 4 - Với x 4 y 2 4x 7 - Với x 15 x 13 x 15 x 13 0 (3) Ta chứng minh phương trình vơ nghiệm sau: Dễ thấy với x x2 28x 51 Do phương trình(**)có nghiệm 3 x 15 x 15 Từ suy vế trái (3) ln dương, dẫn đến phương trình vơ nghiệm KL: x; y 4; 2 38) Từ phương trình (2) ta thu được: y x y xy Thay vào phương trình (1) ta có: xy x2 y x3 x x y x y x x xy x2 y 2 ( x 2)( x x 4) x( x x 4) y( x x 4) x3 x x x y xy y (x3 8) (x 2x 4x) (x y 2xy 4y) (2x y)(x 2x 4) y 2x Thay y 2x vào phương trình (2)và rút gọn ta x y 2 x(6 x 7) x y 7 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) (0; 2), ; 3 39) Với điều kiện x hệ phương trình cho tương đương với hệ: x y 8xy xy 12 y y 2 13 y y xy Lấy (1) + (2) ta có phân tích sau: x y xy y xy y [ y( x 1)]2 y( x 1) Ta y x 1 19 y2 17 y 1 - Với y 17 213 49 213 ;x 38 17 213 49 213 ;x 38 Vậy hệ phương trình cho có bợ nghiệm là: - Với y Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 100 “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 49 213 17 213 49 213 17 213 ( x; y) ; ; , 38 38 40) Điều kiện: y x2 2 y xy xy Với y ta biến đổi hệ phương trình thành 2 x xy y y Đặt a x2 ; b xy hệ phương trình trở thành y 2a b 2ab b (3) b 2 2a 2ab b 2a (4) 2a 2b b a Cộng (3) (4) theo vế thu gọn ta a 1 a2 a a TH1: a 1 b 2b ( VN) x2 x TH : a b ta có hệ phương trình y y xy Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) 4; 1 x 1 x 41) Điều kiện: 2 y y 0 y Cách 1: Đặt t x 1,0 t Lúc hệ pt thành: t 3t y y t 3t y y 2 2 2 x x y y x x y y 2 Từ phương trình (1) ta suy ra: t y t ty y 3(t y) Vì t ty y2 3(t y) t y 3 t y y có y 3 y y y 3 y y 3 y 3 y 1 nên phương trình vơ nghiệm Vậy t y x y Thay x y vào phương trình (2) có: x x 2 x x x2 1 x2 x2 x y 1 x 3 Vậy hệ pt có nghiệm x; y 0;1 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 101 “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 Cách 2: Phương trình (2) x x y y f x g y Xét f x miền 1;1 ta có f x 13 y2 y y 1 Vậy f x g y Dấu xảy x 1, x Thay vào phương trình (1) có nghiệm x; y 0;1 (thỏa mãn) Ta lại có: g y y y Vậy hệ có nghiệm x; y 0;1 42) Vì x khơng phải nghiệm hệ chia phương trình (1) cho x3 ta thu được: x x 3x x y y 3 1 1 1 1 y y x x Đặt a , b y suy a3 a b3 b a b a ab b2 1 a b y Thay vào pt thứ ta được: x7 x7 x 15 x 0 x 3 15 x 2 15 x 111 98 43) Dễ thấy xy không thỏa mãn hệ x7 y 1 x y x y Với xy viết lại hệ dạng: 2 x y xy x y 14 Điều kiện để phương trình x y xy x y 14 (ẩn x) có nghiệm 7 1 y y 24 y 56 y 1; 3 2 Điều kiện để phương trình x y xy x y 14 (ẩn y) có nghiệm là: 10 x x 28 x 56 x 2; 3 Xét hàm số f t 2t đồng biến 0; nên f x f y f f 1 t x Kết hợp với phương trình thứ ta được: nghiệm hệ y 1 “Để chứng minh hàm số f x đồng biến miền xác định D ta làm sau: Xét hai giá trị x1 x2 D Chứng minh: f x1 f x2 0” x1 x2 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 102 “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 Ngược lại để chứng minh hàm số f x nghịch biến miền xác định D ta làm sau: Xét hai giá trị x1 x2 D Chứng minh: 44) Điều kiện xác định x f x1 f x2 0” x1 x2 1 ;y 2 2 x 13 x y 3 y Ta viết lại hệ thành: 4 x y Đặt a 2x 1, b y suy 2a3 a 2b3 b a b Từ phương trình thứ hệ ta có: 2x y Thay vào phương trình thứ hai ta được: 4 y y 6(*) Đặt t y y t thay vào ta có: 2t 16 t t 1 y Vậy hệ có nghiệm x; y ;6 2 4y x 13x y 13 45) Điều kiện: 2 x y x y Đặt a 13x y , b 2x y Khi ta hệ phương trình: 5 x b (1) a 4b x a 2b x a 2b a 2b (2) a 2b b x y b x y b x y (3) 8y (4) Thế (4) vào phương trình Thế (1) vào (3) ta được: x 3 19 y y y 2x y x y ta được: 3 4 y 69 y 19 2 69 545 từ tính x 24 545 69 545 Thử lại ta thấy x; y 24 545; nghiệm cần tìm 46) Ta tìm cách loại bỏ 18y Vì y khơng nghiệm phương trình (2) nên tương Giải y đương 72 x y 108 xy 18 y Thế 18y từ phương trình (1) vào ta thu được: Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 103 “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 xy 21 3 2 x y 72 x y 108 xy 27 xy 21 xy Thay vào phương trình (1) ta tìm x, y y 0( L) xy 27 3 y 3 x 3 18 xy 27 y x 3 18 Vậy hệ cho có nghiệm 3 x; y ; , ; 2 4 4 47) Điều kiện: x 2, y Phương trình (1) tương đương: 2 x x x y 1 y y f 2x 1 f y Đặt a x , b y 1 a3 a b3 b a b x y 1 x y thay vào ta a 2b có: y y a 2b a 1; b y 3 65 23 65 233 23 65 a ;b y 32 65 23 65 233 23 65 ;b y a 32 Vậy hệ có nghiệm 23 65 185 233 23 65 23 65 185 233 23 65 ; ; x; y 1; , , 16 32 16 32 48) Điều kiện: x2 Ta có (1) tương đương x x2 y y y2 1 y y2 1 y x x y y Từ ta rút x y Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 104 “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 Thay vào (2) ta được: y y y2 1 35 12 Bình phương hai vế (điều kiện y ) Khi ta có: y2 1 y2 Đặt y2 y4 y2 y2 y2 35 35 2 y 12 y 1 y 12 2 y2 y2 y2 1 t Phương trình tương đương: 49 y t ( L) y 25 35 12 t 2t 12 y 12 y t 25 12 Đối chiếu điều kiện lấy giá trị dương 5 5 Vậy hệ có nghiệm x; y ; , ; 4 3 49) Triển khai phương trình (1) (1) x y xy x xy y x y x y 8 xy x2 1 y 1 8xy Nhận thấy x 0, y không nghiệm hệ x2 y 8 Phương trình (1) là: x y Đặt x y a; b Hệ cho tương đương: x 1 y 1 x x a x 1 y 1 b a b y y 4 1 x x a 8 x ab y 1 y b y 2 Vậy hệ có nghiệm x; y 1; , 1; , 3; 1 , 3; 1 50) Ta có: ( x y) 1 1 x y 2 x y2 x2 y x y ( x y) 2 Mặt khác ta có: 2 x 2y x xy y x y ( x y ) 12 x 2y x xy y Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 105 “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 x2 y x xy y x 2y x 2y Từ suy Dấu xảy x y Thay vào phương trình lại ta thu được: x x x x x 1 x 3x 1 x y 1 Hệ có mợt cặp nghiệm: x; y 1; 2 3 51) Cộng theo vế pt hệ ta được: x y z (*) Từ suy số hạng tổng phải có số hạng khơng âm, khơng tính tổng qt ta giả sử: z z Thế phương trình thứ hệ tương đương: x3 16 12 z 12.22 x Thế phương trình thứ hai hệ tương đương: y3 16 12 x 12.22 y Do từ x y z * x y z thử lại thỏa mãn 3 Vậy x; y; z 4;4;4 nghiệm hệ 52) Phương trình (1) hệ có dạng: Do x2 y x2 y nên suy x2 y x2 y y x2 thay vào phương trình (2) ta có: ( x 2) ( x 2) ( x 2)2 x x x x x 1 y Vậy hệ có nghiệm x; y 1; x 2 53) Theo bất đẳng thức si ta có: x x x y 1 x x y x y x 3y x y x 3y x 3y y y 1 y x 3y x 3y x 3y Tương tự ta có: x y 1 x 3 x 3y x y x y 1 x 3 y 3x x y 1 x y Dấu xảy x y thay vào x 3y 3x y phương trình thứ ta được: x y Từ suy 2 y ( x 4) y y x x 1 x x y 4( x 1) y Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 106 “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 1 x 54) Điều kiện: x y Phương trình thứ hệ viết lại thành: x ( y 4) x y y y ( y 4)2 4(2 y y y) y y x 2y Từ ta tính được: x y 2y Vì x y y ( y 1) nên không thỏa mãn Thay x y vào phương trình thứ hai ta được: 1 x 2x 4x2 4x 2 5 Ta có: x x (2 x 1) ; 2 1 x 1 2x x x 1 x x 2 4 Vậy hệ có nghiệm dấu đồng thời xảy 1 Suy x ; y 55) Từ phương trình (2) ta suy x Phương trình (1) viết lại sau: x y y 1 x y y y y 1 y y y y 1 2 x y2 Từ tính được: x y 1 Thay y x 1 vào phương trình ta thu được: x( x 4) x x Chia phương trình cho x ta có: x 2x 1 x 4 x 4 t x ta có 2t 3t Đặt t t x2 2 Với t x x vô nghiệm Với t x y Vậy hệ có nghiệm x; y 2;1 56) Điều kiện: x Ta viết lại phương trình (1) thành: x ( y 2) x y y y Tính Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 107 “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 2 x 2y y y 16 y 16 y y y x y 2y x Thay y vào phương trình ta thu được: x x x x 9(*) Theo bất đẳng thức Cosi ta có: 3 3 x x 1.( x 1) 1 x 1 x 2 x 10 3 x 4.4.( x 2) x 2 x 10 2x Từ suy x x x 2 Mặt khác ta có: x2 x (2 x 5) x Từ suy phương trình (*) có nghiệm dấu đồng thời xảy x Suy hệ phương trình có nghiệm x; y 2;1 Mặt khác ta thấy x 2; y một nghiệm hệ Vậy x; y 2;3 nghiệm hệ 57) Đặt a x y ,b x y x y 3( x y ) 13 5 ( x y ) 2 ( x y) Hệ nên ta có: ( x y ) x y x y 5(a 2) 3b2 13 5a 3b2 23 a b a b a a Giải hệ ta tìm b b 1 11 ; Từ ta tìm nghiệm hệ: x; y , ; , ; 2 4 2 58) Từ phương trình (2) ta suy xy x, y dấu Từ phương trình (1) ta suy x, y Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: x y y x x2 y y x2 Dấu 2 xảy x y x y Bài tốn trở thành: Giải hệ phương trình: ( x y ) 12( x 1)( y 1) xy Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 108 “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 Ta có: ( x y)3 12( x 1)( y 1) xy ( x y)3 12( x y) 21 12xy xy Đặt t x y t x2 y ta thu x y 2xy x y t Ta có: ( x y)3 12( x y) 21 12xy xy ( x y) 12( x y) 21 12 x y x2 y x y t 6t 12t Ta có 2 t 6t 12t t Khi t x y nghiệm hệ 3 59) Từ phương trình hệ ta suy x, y Xét phương trình: x3 y3 x y xy 8xy x2 y Ta có: x3 y3 x y xy x y x2 y 6xy x y x y 4xy Theo bất đẳng thức Cơ si ta có: x y xy 2 x y x3 y3 x y xy xy x y x y x2 y xy x 2 xy Suy x y xy x y Ta có y xy Suy x3 y3 x y xy 8xy x2 y Dấu xảy x y Thay vào phương trình (2) ta thu được: x x x x x x 3 hoặc: x x x 3 2x x x 3 Suy x 3 Do x nên pt vơ nghiệm 2 Tóm lại: Hệ có nghiệm: x y Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 109 “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 IV HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN 1/ Lý thuyết Hệ phương trình bậc ẩn có dạng a1 x b1 y c1 z d1 a2 x b2 y c2 z d a x b y c z d 3 Bằng phương pháp cợng phương pháp ta giải hệ cách đưa hệ tương đương có phương trình có ẩn để giải Cuối ta tìm mợt hệ có mợt phương trình mợt ẩn, từ ta tìm giá trị mợt ẩn thay vào phương trình lại để tìm giá trị nghiệm hệ Ví dụ minh hoạ: Giải hệ phương trình sau 3x y 3z 110 (1) (2) 5 x y z 2 x y z (3) Hướng dẫn: Nhân hai vế phương trình (2) với 2 cợng với phương trình (1) ta 3x y 3z 110 10 x y z 7 x 11z 110 Nhân hai vế phương trình (2) với cợng với phương trình (3) ta 15 x y 12 z 2x y z 17 x 11z Hệ cho tương đương với hệ sau: 2 x y z 10 7 x 11z 110 17 x 11z (3) (4) đến dễ dàng giải hệ phương trình gồm phương trình (3) (5) (4) 2 x y z 10 2 x y z 10 y 13 7 x 11z 110 7 x 11z 110 z 17 Kết luận nghiệm HPT 17 x 11z 10 x 110 x 11 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 110 “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 Bài tập: Giải HPT sau x y z a) 2x 3y 5z 19 4x 9y 25z 97 x y z b) x 2y 2z x 3y 3z x 2y 3z c) x y 5z x 8y z Giải x y z 5y 7z 31 14z 42 z a) 2x 3y 5z 19 5y 21z 73 5y 7z 31 y 4x 9y 25z 97 x y z x y z x Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: x;y;z 1;2;3 x y z y z x b) x 2y 2z 2y 2z y R x 3y 3z x z y Vậy hệ phương trình cho có vơ số nghiệm thỏa mãn: x;y;z 1;y;1 y với y R 0y 14 VL x 2y 3z 3y 2z 4 6y 4z 8 c) x y 5z 6y 4z 6y 4z 6y 4z x 8y z x 8y z x 8y z x 8y z Vậy hệ phương trình cho vơ nghiệm CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN x y z a) 3x y z 4 7 x y z 16 3 Đ/S: ;1; 2 xy x y xz 3 b) x z zy z y 24 24 b) ; ; 24 xy yz 39 c) yz zx 16 zx xy 25 c) (5;3; 8) (5; 3;8) TÀI LIỆU ĐƯỢC TỔNG HỢP TỪ NHIỀU NGUỒN TRÊN INTERNET CHÚC CÁC EM HỌC SINH HỌC TẬP TỐT VÀ ĐẠT KẾT QUẢ CAO TRONG CÁC KỲ THI Sưu tầm – tổng hợp Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang 111 ... PHỤ 20 A MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 20 Dạng 1: Giải biện luận hệ phương trình theo tham số m 20 Dạng 2: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x; y thỏa điều kiện cho... 64 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HẰNG ĐẲNG THỨC: 72 KHI TRONG HỆ CĨ CHỨA PHƯƠNG TRÌNH BẬC THEO ẨN x, HOẶC y 75 PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 79 MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN PHẦN HỆ PHƯƠNG... phương trình : { 2