SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ THI MƠN: TỐN (Dành cho học sinh THPT chun Vĩnh Phúc ) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Câu I (4 điểm) Giải phương trình:    cos x     sin x.cos x  sin x  cos x   �x  y  � 2 Giải hệ phương trình: �2 y  z  �xy  yz  zx  �  x, y, z �� Câu II (2 điểm) � ,� � , CDA � Giả sử A, B, C , D số đo góc DAB tứ giác lồi ABCD ABC , BCD A B C A Tìm giá trị lớn biểu thức P   sin  sin B  sin C  sin D Chứng minh sin A  sin B  sin C �3sin Câu III (1 điểm) Gọi A tập hợp số tự nhiên có tám chữ số đôi khác Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc vào tập A Tính xác suất để chọn số thuộc A số chia hết cho Câu IV (2,0 điểm) Cho tam giác ABC Phân giác góc A, B, C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm A1 , B1 , C1 Đường thẳng AA1 cắt đường thẳng CC1 điểm I ; đường thẳng AA1 cắt đường thẳng BC điểm N ; đường thẳng BB1 cắt đường thẳng A1C1 điểm P Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IPC1 Đường thẳng OP cắt �  2� đường thẳng BC điểm M Biết BM  MN BAC ABC Tính góc tam giác ABC Câu V (1 điểm) �1 � � � Cho hàm số f :  0; � �  0; � thỏa mãn điều kiện f  x  �f � f  x  � x với x  Chứng minh f  x  �x với x  -Hết Chú ý: Giám thị coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ……………………………………………SBD: ………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HSG LỚP 11 VÒNG TỈNH TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2010 – 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN (Dành cho học sinh trường THPT chuyên) Đáp án gồm trang Câu Nội dung I I.1 (2 điểm) 4điểm  cos x        sin x.cos x  sin x  cos x    � cos x   sin x.cos x  cos x  sin x.cos x  sin x  cos x  Điểm 0,5 �  sin x  sin x.cos x  cos x  sin x.cos x  sin x  cos x  �  sin x  sin x  cos x   cos x  sin x  cos x   sin x  cos x  �  sin x  cos x    sin x  cos x   � � � sin �x  � � sin x  cos x  � � 4� �� �� � � � sin x  cos x  � sin �x  � � � � 6� �  x   k �  � x   k � � �   � � x    k 2 � � x  k 2  k �� � 6 � 2 �   x  k 2 � � x   k 2 � � 6 I.2 (2 điểm) +) Nếu x  thay vào hệ ta có hệ vơ nghiệm +) Nếu x �0 ta đặt y  ax; z  bx thay vào hệ ta    �x  2a  � � � 4a  3b  1  2a  2a  3b �2 � � 2 ��  1 �x 2a  3b  � � 2a  a   b  a  1   2a  a  ab  b �2 � � x a  ab  b    � �  0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 � a  1 � � � b  �1 � � 4a  3b  � � �4a  3b  �� �� �� b   2a �  a  1  2a  1  b  a  1  � a  1  2a   b   � � � � � 2a  3a   � � �a  1 +) Nếu � thay vào (1) không thỏa mãn b  �1 � 2 2 � �a  � � b  1 � � b   2a � �a  �� +) Nếu � vào (1) không thỏa mãn, thay thay � � b  1 � �a  � �2a  3a   � � � � b0 � � � �a  � vào (1) ta có x  � Do nghiệm hệ � b0 � 1 � �� �  x; y; z   � 2; ;0 �, � 2;  ;0 � �� � � 0,5 0,25 0,25 II II.1 (1 điểm) x y 2điểm   Nhận xét Nếu  x,  y; x y x y x y sin x  sin y  2sin cos �2sin Dấu xảy x  y 2 0,25 Sử dụng nhận xét ta có A B C A B A  B  4C �2sin  2sin A  B A  B  4C  A BC �4sin  4sin A B C sin A  sin B  sin C �3sin Dấu xảy A  B  C sin A  sin B  sin C  sin 0,5 0,25 II.2 (1 điểm) Đặt t  BC  D  2 , ta có A  2  3t;  t  3  1 Khi theo phần II.1 ta có �2  3t � P � sin � cos t  sin t � 3sin t   2 � � 0,25 0,25 2� � � � �5 � �   � ��sin t  cos t  Khi P � � � � � � � � �2 �� � �   0,25 ; sin t   2 28 28 Vậy max P  � B  C  D  t , A  2  3t (với t xác định (1) (2)) Đẳng thức xảy cos t   +) Trước hết ta tính n(A) Với số tự nhiên có tám chữ số đơi khác chữ 1điểm số có cách chọn có A97 cho vị trí lại Vậy n  A   A97 0,25 III +) Giả sử B   0;1; 2; ;9 ta thấy tổng phần tử B 45M9 nên số có chín chữ số đôi khác chia hết cho tạo thành từ chữ số đôi khác tập B \  0; 9 ; B \  1; 8 ; B \  2; 7 ; B \  3; 6 ; B \  4; 5 nên số số loại A88  4.7 A77 A88  4.7 A77  Vậy xác suất cần tìm A97 0,5 0,25 �  900 , O trung điểm IC1 IV * Dễ thấy IPC 2điểm �  IC � P  CAB �  CC � B � BC // OP * IOP 1 * Do BM=MN; OI  OC1 � IN // C1B �  BAC � � �  BAC � , mà CIA ACB Do CIA 1 �  BAC � � � � ACB � BAC ACB Vậy BAC � � �  2� Cùng với BAC ACB  720 ; � ABC  360 ABC ta BAC   0,25   C 0,5 0,5 0,5 A1 N B1 I M 0,5 P B A O C1 V 1điểm �1 � f (3 x) �f � f (2 x) � x (1) �2 � �1 Từ (1) suy f ( x) �f � �2 Khi �1 f ( x) �f � �2 0,25 � 2x 2x �2 x � f� �  � f ( x)  , x  (2) � �3 � � � 2x �2 x � f� � �  �3 � � �2 x � x �2 x � x �4 � f � �  f � �  �  �x �3 � 3 �3 � �27 � 0,25 2 an 1  an2  3 * Ta chứng minh quy nạp theo n với n �� ln có Xét dãy (an ) , (n=1,2,…) xác định sau: a1  f ( x)  an x với x  (3) Thật vậy, n  theo (2), ta có (3) Giả sử mệnh đề (3) với n  k Khi �1 �2 x � � 2x 2x 2x �2 x � x f ( x) �f � f � �   a f � �  a a  � �2 �3 � � k �3 � k k a2   k x  ak 1.x 0,25 Vậy (3) với n  k  Tiếp theo ta chứng minh lim an  Thật vậy, ta thấy an  n ��* Do đó: an 1  an  (an  1)(an  2)  , suy dãy (an ) tăng ngặt 3 Dãy (an ) tăng bị chặn nên hội tụ Đặt lim an  l l  l  với l �1 , suy l  Vậy lim an  Do ®ã tõ (3) suy f ( x ) �x víi mäi x  (®pcm) 0,25 ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HSG LỚP 11 VÒNG TỈNH TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2010 – 2 011 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN (Dành cho học sinh trường THPT chuyên) Đáp án gồm trang Câu Nội dung