UBND HUYỆN QUỲ HỢP PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP VỊNG - NĂM HỌC 2018 - 2019 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút( khơng kể thời gian giao đề) Câu (5.0 điểm) a Cho số tự nhiên A biết A  99 98 ( 2018 chữ số ) Tính tổng chữ số số A b Tìm số tự nhiên n cho n  39 n  25 hai số phương c Với a, b số nguyên Chứng minh 4a  3ab  11b chia hết cho a  b chia hết cho Câu ( 4.0 điểm) a Cho  a  b thỏa mãn 3a  3b  10 ab Tính giá trị biểu thức: M  ab ab b Cho A  2018  2017 B  2019  2018 So sánh A B Câu ( 4.0 điểm) a Giải phương trình:    x   x   x  11x   x  b Cho a, b, c  thỏa mãn ab  bc  ac �6 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 2a  3b3 2b3  3c 2c3  3a3   a  4b b  4c c  4a Câu (6.0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn ; đường cao AK , BD , CE cắt H AC  BC  AB KC  a Chứng minh rằng: CB  BA2  AC KB b Giả sử AK  3HK Chứng minh rằng: tanB tan C  c Giả sử diện tích tam giác ABC S ABC  240 cm số đo góc BAC 600 Hãy tính diện tích tam giác ADE ? Câu (1.0 điểm) Chứng minh rằng: Trong 51 số thuộc tập  1; 2;3; ;100 ln chọn hai số mà số bội số -Hết -Lưu ý: - Học sinh bảng B làm câu 3b - Học sinh khơng sử dụng máy tính Họ tên thí sinh SBD UBND HUYỆN QUỲ HỢP https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO VÒNG - NĂM HỌC 2018 - 2019 ĐÁP ÁN MƠN THI: TỐN Câu Ý (5.0 điể m) Đáp án Bảng A Bảng B 0,5 0,5 0,5 0,5  102019  102019  0,25 0,5  99 9600 04 ( 2018 chữ số 2018 chữ số ) Vậy tổng chữ số số A là: 9.2018    18172 Giả sử n  39  k , n  25  h (với k , h �N k  h ) � k  h  64 �  k  h   k  h   64 0.25 0,5 0,25 0,25 0.5 0,5 0,5 0,5 Do k  h k  h số nguyên dương chẵn lẻ nên ta có trường hợp 0,25 0,25 k h  k  17 � � �� � n  250 k  h  32 h  15 � � k  10 �k  h  � �� � n  61 TH2: � h6 �k  h  16 � 0,25 0,25 0,25 0,25 k 8 �k  h  � �� � n  25 h0 �k  h  � Vậy có số tự nhiên n thỏa mãn yêu cầu 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Ta có: a b A  10  � A  102019    2 2019   104038  4.102019  TH1: � TH3: � 4 2 2 2 Ta có: a  b   a  b   a  b    a  b   a  b   a  b  Do 4a  3ab  11b M5 � 4a  3ab  b M5 �  a  b   4a  b  M5 c (4.0 điể m) a  bM5 � �� 4a  bM5 � TH1: a  b M5 � a  b M5 TH2: 4a  b M5 � 5a   a  b  M5 � a  b M5 � a  b M5 Ta �3 a � a b Điểm   có:  3a  3b  10 ab � 3a  ab  ab  3b  a 3 b  b    a 3 b   a 3 b a  b  �a  b a  9b � �� �� b  9a � �b  a Do b  a � b  9a a  b a  9a 10a    Vậy M  a  b a  9a 8a Xét hiệu: B  A  2019  2017  2018 Đặt M  2019  2017 N  2018 Ta có: M  4036  2019.2017 , N  4.2018  4036  2.2018 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Mà 2019.2017   2018  1  2018  1  2018  � 2019.2017  2018 Do đó: M  N � M  N (vì M , N  ) � B  A 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 Đặt a  x  1, b  x  ( a, b �0 ) � a  b  x  0,25 0,25 0,5 0,25 �  a  b    ab  a  b   0,25 0,25 ab � � �  a  b   a  1  b  1  � � a 1 � b 1 � 0,25 0,25 TH1: a  b � x   x  � x  ( thỏa mãn ) TH2: a  � x   � x  ( thỏa mãn ) TH3: b  � x   � x  4 (loại) Vậy phương trình có nghiệm : x  0; x  0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x  �0 � ۳ x �x  �0 Điều kiện xác định: �  2 Phương trình cho trở thành:  a  b    ab   a  b a Ta chứng minh bất đẳng thức: (4.0 điể m)  1 � x3  y �xy  x  y  x3  y �xy  1 với x, y  x  4y 0,25 0,5 � x  y  x y  xy �0 � x3  x y  x y  xy  xy  y �0 � x  x  y   xy  x  y   y  x  y  �0  0,25  �  x  y  x  xy  y �0 �  x  y b  x  y  �0 Bất đẳng thức Vậy bất đẳng thức  1 Dấu "  " xảy x  y 0,25 2a  3b3 �ab , a  4b 0,25 Áp dụng bất đẳng thức  1 ta được: 2b3  3c3 2c  3a �bc , �ac b  4c c  4a 2a  3b3 2b3  3c 2c3  3a �ab  bc  ac �6   Do : P  a  4b b  4c c  4a a b c � Dấu "  " xảy � � abc ab  bc  ac  � Vậy GTNN P a  b  c  https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 a Ta có: AC  BC  AB AK  KC   BK  KC   AB  CB  BA2  AC  BK  KC   BK  AK  AC 2  (6.0 điể m)  2 2 BK KC  KC 2 BK KC  BK 2CK  CK  BK  BK  BK  CK   CK (đpcm) BK AK AK AK � tan B.tan C  ; tan C   1 BK KC BK CK �  KHC � � ) khác: B (cùng bù với góc KHE tan B  Mặt KC KC � tan B  HK HK KB KB.KC � tan B.tan C  Tương tự tan C  KH KH mà �  tan KHC b Từ  1 ,   �  tan B.tan C   2 �AK �  � �  � tan B.tan C  (vì �KH � tan B  0, tan C  ) � đpcm Chứng minh: ADE : ABC � c S ABC �AB �  � � 3 S ADE �AD � �  600 � AB  AD   ABD vuông D có BAD S ABC  � S ADE  60 cm Từ  3 ,   � S ADE Viết 51 số cho dạng: a1  2k b1 ; a2  2k b2 ; … a51  2k b51 b1 ; b2 ; ; b51 số lẻ Ta có: �b1 ; b2 ; ; b51 �99 Mặt khác số tự nhiên từ (1.0 điể đến 99 có 50 số lẻ m) �  m, n � 1; 2; ;51 cho bm  bn ( m �n ) � am an có số bội số Lưu ý: Học sinh làm cách khác chấm điểm tối đa cho câu 51 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ PHỊNG GD&ĐT CON CNG KÌ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN LỚP THCS NĂM HỌC: 2018 – 2019 Môn thi: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút ( khơng kể thời gian giao đề) Đề thức Câu 1(5 điểm): Cho biểu thức A = x 1 x 25 x   với x ≥ x ≠ 4 x x 2 x 2 a) Rút gọn A b) Tính giá trị A x = c) Tìm giá trị x để A có giá trị nguyên Câu (4điểm): Giải phương trình sau: a) x  x   x  b) x   x  x    x Chứng minh với số nguyên n n3 + 3n2 + 2018n chia hết cho Câu (2,5 điểm): Cho đường thẳng (d) có phương trình: (m+1)x + (m-2)y = (d) (m tham số) a) Tìm giá trị m biết đường thẳng (d) qua điểm A (-1; -2) b) Tìm m để (d) cắt trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích Câu (7,0 điểm): Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ tiếp tuyến Ax, By Lấy điểm M thuộc nửa đường tròn ( M khác A B) Kẻ MH vng góc với AB H a) Tính MH biết AH = 3cm, HB = 5cm b) Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By C D Gọi I giao điểm AD BC Chứng minh M,I,H thẳng hàng c) Vẽ đường tròn tâm (O’) nội tiếp tam giác AMB tiếp xúc AB K Chứng minh diện tích S AMB = AK.KB Câu (1,5 điểm) Cho x; y số thực dương thỏa mãn (x+1)(y+1) = 4xy Chứng minh rằng: 3x   3y2 1 �1 HẾT Đề có 01 trang Cán coi thi khơng giải thích thêm Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ PHỊNG GD&ĐT CON CNG Câu a) (5 điểm) b) HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP HUYỆN LỚP THCS NĂM HỌC: 2018 – 2019 Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Hướng dẫn giải, đáp án x 1 x 25 x   4 x x 2 x 2 ( x  1)( x  2)  x ( x  2)  (2  x )  ( x  2)( x  2) Điểm A=  x  x   2x  x   x ( x  2)( x  2) 0,5  x ( x  2) x  ( x  2)( x  2) x 2 1,0 Với x ≥ x ≠ , x = ( t/m đk ) 9  2 2 A 0,5 0,75  4 0,5 c)Với x ≥ x ≠ 0,25  0,25 2 A nguyên � Mặt khác  x có giá trị nguyên x 2 x  3 � x 2 x 2 (vì >0) x 2 Suy ≤ A < Vì A nguyên nên A = ; ; A = giải ta x = ( T/m đk ) A= giải ta x = ( T/m đk ) A = giải ta x = 16 ( T/m đk ) Vậy A nguyên x { ;1 ;16} https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 0,25 0,25 0,75 Câu 4x2  4x   2x  (4,0 điểm) 0,5 � 2x 1  2x 1 1) b)Đk � 1 �x � � �� 2x 1  2x  � a) �� � x   2 x  �� 0,5 � 1 �x � � �� x  2(kt / m) �� � � ��x  0,5 0≤ x ≤ 0,25 x   x  2x    x � x    x  2( x  1)  (1) 0,25 Vế trái (1) bé ; vế phải lớn � x 3  5 x � Dấu xẩy � � � x 1  � x 1 (t/mđk) Vậy pt có nghiệm x = Câu (2,5 điểm) n3 + 3n2 + 2018 n = n.(n+1)(n+2) + 2016n n.(n+1)(n+2) tích số ngun liên tiếp nên vừa chia hết cho vừa chia hết n.(n+1)(n+2) chia hết cho 2016n chia hết cho Vậy n3 + 3n2 + 2018 n chia hết cho với n € Z a) Đường thẳng (d) qua điểm A (-1; -2) nên ta có x = - 1; y = -2 thay vào giải ta m = Để d cắt trục tọa độ m ≠ -1 ; c) Giả sử (d) cắt trục tọa độ điểm A B ta tính tọa độ A ( 3 ; ) B ( 0; ) m 1 m2 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 Ta có tam giác OAB vng O nên 1 3 S OAB  OA.OB  2 m 1 m  S OAB  3 �  2 m 1 m  2 � � 13 m � Giải ta có � (t/mđk) � 1� m � � https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 0,25 0,25 � � 13 m � � Vậy ……… � 1� m � � 0,5 a) Tam giác AMC vuông M có MH đường cao MH = AH BH ( hệ thức lượng… ) = 3.5  15 (cm) 0,5 0,5 0,5 0,5 AC AI CM   BD ID MD 0,5 ( Vì AC=CM; BD =MD) Suy MI// AC Mà MH//AC ( vng góc AB) Suy M, I, H thẳng hàng c)Đặt AB = a; AM = c; BM = b Ta có 0,5 1,0 0,5 a) Vì AC song song với BD nên ta có a cb abc ; BK  2 a c b a b c � (a  c  b).(a  b  c ) � � AK BK   � � 2 � � AK   1� a  (b  c) � � a  (b  c )  2bc �  � � � � 2� 2 � 2� � 2bc   bc 2  AM BM  S AMB Vậy SAMB = AK.KB (1,5 điểm) Từ (x+1)(y+1) = 4xy https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 x 1 y 1 4 x y 1 � (1  )(1  )  x y 1 Đặt a = ; b = y x 0,5 � 0,5 Ta có (1+a)(1+b) = �  a  b  ab � ( a  b )  ab  ab �2 ab  ab Từ ab �1 Áp dụng AM – GM cho số thực dương ta có 3x    x 3 x2  a a  b  ab  a a a a � (  ) (a  b)(a  1) a  b a  Tương tự ta có 1 a b � (  ) 3y2 1 a  b b 1 Cộng vế theo vế ta 3x   1 a b a b � (    ) 3y2 1 a  b a  b a 1 b 1 2ab  a  b ab  1 � (1  ) � (1  ) � (1  ) (a  1)(b  1) 2 �1 a �a  � �a  b b  � a  b 1 Dấu xẩy � b b �  �a  b b  x=y=1 Từ (x+1)(y+1) = 4xy https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 0,5 x 1 y 1 4 x y 1 � (1  )(1  )  x y 1 Đặt a = ; b = y x (1,5 điểm) � 0,5 Ta có (1+a)(1+b) = �  a  b  ab � ( a  b )  ab  ab �2 ab  ab Từ ab �1 0,5 Áp dụng AM – GM cho số thực dương ta có 3x    x 3 x2  a a  b  ab  a a a a � (  ) (a  b)(a  1) a  b a  Tương tự ta có 1 a b � (  ) 3y2 1 a  b b 1 Cộng vế theo vế ta 3x   1 a b a b � (    ) 3y2 1 a  b a  b a 1 b 1 2ab  a  b ab  1 � (1  ) � (1  ) � (1  ) ( a  1)(b  1) 2 �1 a �a  � �a  b b  � a  b 1 Dấu xẩy � b b �  �a  b b  x=y=1 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 0,5 ... HỌC 2018 - 20 19 ĐÁP ÁN MƠN THI: TỐN Câu Ý (5.0 điể m) Đáp án Bảng A Bảng B 0,5 0,5 0,5 0,5  1020 19  1020 19  0,25 0,5  99 96 00 04 ( 2018 chữ số 2018 chữ số ) Vậy tổng chữ số số A là: 9. 2018. .. a  9b � �� �� b  9a � �b  a Do b  a � b  9a a  b a  9a 10a    Vậy M  a  b a  9a 8a Xét hiệu: B  A  20 19  2017  2018 Đặt M  20 19  2017 N  2018 Ta có: M  4036  20 19. 2017... Ta có: M  4036  20 19. 2017 , N  4 .2018  4036  2 .2018 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Mà 20 19. 2017   2018  1  2018  1  2018  � 20 19. 2017  2018 Do đó: M  N � M  N (vì M ,