Chuyên đề Điểm cực trị của hàm số Biên soạn: Vũ Văn Đoàn trung tâm BDVH hè việt anh Nội dung  Tóm tắt lý thuyết  Một số chú ý  Ví dụ minh hoạ  Bài tập tự giải Tóm tắt lý thuyết  Cho hàm số y = f(x); Tìm điểm cực trị của hàm số. • Cách 1: - Tìm f’(x) - Tìm các điểm tới hạn. - Xét dấu f’(x) suy ra các điểm cực trị. • Cách 2: - Tìm f’(x); f’’(x) - Tìm các điểm tới hạn, giả sử là x 0 . là điểm cực tiểu. là điểm cực đại. 0 0 0 f '(x ) 0 x f ''(x ) 0 =  ⇔  >  0 0 0 f '(x ) 0 x f ''(x ) 0 =  ⇔  <  Điểm cực trị của hàm số  Một số chú ý: Đối với cách 1 • Nếu tại x 0 mà từ trái qua phải đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì x 0 là điểm cực đại. • Nếu tại x 0 mà từ trái qua phải đạo hàm đổi dấu từ âm qua dương thì x 0 là điểm cực tiểu. • Đạo hàm y’ không đổi dấu qua nghiệm kép • Nếu x 0 là điểm cực trị của hàm số thì f(x 0 ) là giá trị cực trị, M(x 0 ; f(x 0 )) là điểm cực trị của đồ thị hàm số. Điểm cực trị của hàm số Ví dụ minh họa - Ví dụ 1 Tìm m để hàm số y = mx 3 + 3mx 2 – (m - 1)x - 1 có cực trị. Lời giải  y’ = 3mx 2 + 6mx – (m – 1) = 0  m = 0 ⇒ 1 = 0 (Vô lý) ⇒ Hàm số không có cực trị.  m ≠ 0. Để hàm số có cực trị thì y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt  Kết luận: Vậy thì hàm số có cực trị.  Chú ý: Một số học sinh thường mắc sai lầm chỉ có điều kiện ∆’ ≥ 0 vì: • Hệ số a = 3m chứa tham số nên cần phải xét a = 0 hoặc a ≠ 0. • Nếu a ≠ 0, khi tính ∆’≥ 0 là sai vì ∆ = 0 thì y’ = 0 có nghiệm kép mà qua nghiệm kép thì y’ không đổi dấu nên chỉ có điều kiện: ∆’ > 0. ( ) ( ) 2 1 ' 9m 3m m 1 0 3m 4m 1 0 m 0 ho c m 4 ⇔ ∆ = + − > ⇔ − > ⇔ < >Æ 1 m 0 ho c m 4 < >Æ Điểm cực trị của hàm số Ví dụ minh họa (tt) - Ví dụ 2 Cho hàm số Giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x = 0. Lời giải Hàm số đạt cực đại tại Vậy m = 2 thì hàm số đạt cực đại tại x = 0. ( ) ( ) 3 2 1 1 y x m 1 x 3 m 2 x . 3 3 = − − + − + f '(0) 0 x 0 f ''(0) 0 =  = ⇔  <  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Ta có f '(x) x 2 m 1 x 3 m 2 f ''(x) 2x 2 m 1) f '(0) 3 m 2 ; f " 0 2 m 1 3 m 2 0 m 2 Thay v o h m 1 2 m 1 0 = − − + − = − − = − = − −  − = =   ⇔   > − − <    µ Ö : Điểm cực trị của hàm số Ví dụ minh họa (tt) – Ví dụ 3 Tìm m để hàm số y = x 4 + 4mx 3 + 3(m + 1)x 2 + 1 chỉ có một cực trị. Lời giải Để hàm số chỉ có 1 cực trị ⇔ (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 0. (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ⇔ ∆’ ≤ 0 ( ) 3 2 2 Ta có: y ' 4x 12mx 6 m 1 x 0 (1) x 0 2x 6mx 3(m 1) 0 (2) = + + + = =  ⇔  + + + =  2 1 7 1 7 9m 6(m 1) 0 m 3 3 − + ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤ Điểm cực trị của hàm số Ví dụ minh họa (tt) – Ví dụ 3 (2) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 0. Vậy với thì hàm số chỉ có một điểm cực trị. 1 7 1 7 ' 0 m m m 1 3 3 3(m 1) 0 m 1  − + ∆ >  < ∪ >  ⇔ ⇔ ⇔ = −   + =   = −  { } 1 7 1 7 m ; 1 3 3   − + ∈ ∪ −       Điểm cực trị của hàm số Ví dụ minh họa (tt) – Ví dụ 4 Cho hàm số . Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x 1 ; x 2 thỏa mãn x 1 + x 2 = 4x 1 .x 2 Lời giải Để hàm số có cực đại, cực tiểu tại 2 x 2mx 2 y mx 1 + − = + 2 2 2 mx 2x 4m Ta có: y ' 0 f(x) mx 2x 4m 0 (mx 1) − + = = ⇔ = − + = + 2 1 2 2 m 0 m 0 x ;x ' 0 1 4m 0 1 4m 3 f 0 0 m m     ≠ ≠    ⇔ ∆ > ⇔ − >     − +     ≠ ≠  ÷      Điểm cực trị của hàm số [...]... 3 + mx 2 − 4x + 1 đạt cực đại, cực tiểu tại x 1; Bài 3: Tìm m để hàm số 3 x2 thỏa mãn: x1 + 2x2 = 1 x 2 + 2mx − m y= Bài 4: Cho hàm số x+m xác định m để a) Hàm số không có cực trị b) Hàm số có cực trị c) Hàm số có 2 điểm cực trị có hoành độ dương d) Hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của oy 2 x1 + x 2 = 3 2 e) Hàm số có 2 điểm cực trị có hoành độ thỏa mãn f) Hàm số có điểm cực tiểu thuộc khoảng... để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về 2 x +1 phía đối với Oy Lời giải x 2 + 2x + 1 − m Ta có y ' = = 0 ⇔ f(x) = x 2 + 2x + 1 − m = 0 để hàm số có cực 2 (x + 1) đại, cực tiểu nằm về 2 phía đối với Oy  x1 < 0 < x 2 f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn  x ≠ −1  1 af(0) < 0 1 − m < 0 ⇔ ⇔ ⇔ m >1 f( −1) ≠ 0 1− m ≠ 0   Điểm cực trị của hàm số Bài tập tự giải Bài 1: Tìm các điểm cực trị (nếu...Điểm cực trị của hàm số Ví dụ minh họa – Ví dụ 4 (tt) m ≠ 0  1 1   1 1 − < m < ⇔ m ∈  − ; ÷ \ { 0} (*)  2  2 2  2 ∀m  2  x1 + x 2 = 2 1  Theo Vi-ét ta có:  ⇒ x1 + x 2 = 4x1.x 2 ⇔ = 16 ⇔ m = m m 8  x1.x 2 = 4  Tho¶ mãn (*) 1 thì hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x 1; x2 thỏa mãn 8 x1 + x2 = 4x1.x2 Vậy m = Điểm cực trị của hàm số Ví dụ minh họa (tt) – Ví dụ 5 x2 + x + m Cho hàm số y =... trị (nếu có) của các hàm số sau: a y = 2x 3 − 3x + 1 c y = x 4 − 4x 3 + 3x 2 + 2 x +1 x −3 x2 − x + 1 g y = x −1 x −1 i y = 2 x e y= b y = − x 3 + x 2 + 3x + 1 d y = − x 4 + 2x 2 − 1 x −1 3−x x 2 − 3x + 2 h y = 2x 2 + x − 1 x 3 + x 2 − 2x + 4 j y = x +1 f y= Bài 2: (ĐH Huế Khối A - 98) Tìm m để hàm số y = x3 – 3mx2 + (m - 1)x +2 đạt cực tiểu tại x = 2 Điểm cực trị của hàm số Bài tập tự giải (tt) 1 . Hàm số không có cực trị b) Hàm số có cực trị c) Hàm số có 2 điểm cực trị có hoành độ dương d) Hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của oy e) Hàm số có. ⇒ Hàm số không có cực trị.  m ≠ 0. Để hàm số có cực trị thì y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt  Kết luận: Vậy thì hàm số có cực trị.  Chú ý: Một số học