ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THANH DIỆU NHĨM LIE TUYẾN TÍNH VÀ BIỂU DIỄN Chun ngành: HÌNH HỌC VÀ TƠPƠ Mã số : 8460105 Demo Version - Select.Pdf SDK LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU Người hướng dẫn khoa học PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG Thừa Thiên Huế, năm 2018 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi, số liệu kết nghiên cứu nêu luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố cơng trình nghiên cứu khác Nguyễn Thị Thanh Diệu Demo Version - Select.Pdf SDK iii LỜI CẢM ƠN Hoàn thành luận văn tốt nghiệp này, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG Thầy tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi suốt q trình thực luận văn Ngồi ra, xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô giáo khoa Tốn học phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế; gia đình bạn học viên Cao học khóa 25, bạn bè động viên, góp ý, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tơi q trình học tập thực luận văn Huế, tháng năm 2018 Demo Version - Select.Pdf SDK Tác giả luận văn Nguyễn Thị Thanh Diệu v MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cam đoan iii Lời cảm ơn v Mục lục Lời mở đầu Chương NHĨM LIE TUYẾN TÍNH 1.1 Định nghĩa nhóm Lie tuyến tính ví dụ 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Ví dụ nhóm Lie tuyến tính Đại số Lie nhóm Lie tuyến tính 13 1.2.1 Phép toán exponent ma trận 13 1.2.2 Đại số Lie nhóm Lie tuyến tính 14 1.2.3 Ví dụ đại số Lie nhóm Lie tuyến tính 17 Chương BIỂU DIỄN CỦA NHĨM LIE TUYẾN TÍNH 22 2.1 Biểu diễn nhóm Lie tuyến tính 22 2.1.1 Định nghĩa tính chất 22 2.1.2 Biểu diễn unita 28 2.1.3 Biểu diễn bất khả quy 32 2.1.4 Biểu diễn liên hợp đối liên hợp 36 2.2 Biểu diễn nhóm SU(2) 42 2.3 Liên hệ nhóm Lie tuyến tính nhóm Lie 51 1.2 Demo Version - Select.Pdf SDK KẾT LUẬN 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 LỜI MỞ ĐẦU Cho nhóm tuyến tính tổng qt GL(n, C) tập gồm phần tử khả nghịch M (n, C) Khi đó, nhóm đẳng cấu với nhóm đóng GL(n, C) gọi nhóm Lie tuyến tính Các nhóm Lie tuyến tính đặc trưng chúng khảo sát Ben Said vào năm 2007 Trước đó, nhóm loại Baker A trình bày [3] Hall B.C trình bày [6] Cho G nhóm Lie tuyến tính V không gian vectơ phức hữu hạn chiều Một biểu diễn hữu hạn chiều G V đồng cấu nhóm liên tục từ G vào nhóm GL(V ) tập hợp tự đẳng cấu V Việc khảo sát phân lớp biểu diễn nhóm Lie tuyến tính tốn thú vị thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu Được gợi ý thầy giáo hướng dẫn, PGS.TS Trần Đạo Dõng, với mong muốn tìm hiểu thêm nhóm Lie tuyến tính, đại số Lie tương ứng biểu diễn chúng, chọn đề tài "Nhóm Lie tuyến tính biểu diễn" để Demo Version - Select.Pdf SDK làm đề tài nghiên cứu cho luận văn Trong luận văn này, tìm hiểu nhóm Lie tuyến tính, đại số Lie nhóm Lie tuyến tính biểu diễn chúng Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương Chương trình bày nhóm Lie tuyến tính, đại số Lie nhóm Lie tuyến tính thể qua số ví dụ minh họa cụ thể Chương trình bày biểu diễn nhóm Lie tuyến tính, biểu diễn đại số Lie tương ứng Thể mối quan hệ biểu diễn bất khả quy, biểu diễn unita, biểu diễn liên hợp đối liên hợp nhóm Lie tuyến tính Từ đó, minh họa cụ thể cho nhóm unita đặc biệt SU (2) Chương NHĨM LIE TUYẾN TÍNH Trong chương này, chúng tơi trình bày nhóm Lie tuyến tính, đại số Lie nhóm Lie tuyến tính thể qua số ví dụ minh họa cụ thể Các kiến thức trình bày tham khảo từ tài liệu [1], [3], [5], [6], [7], [9] 1.1 Định nghĩa nhóm Lie tuyến tính ví dụ 1.1.1 Định nghĩa Xét không gian vectơ M (n, C) ma trận vuông phức cấp n, ma trận X ∈ M (n, C) ứng với n2 số phức a11 , a12 , , a1n , a21 , , a2n , , an1 , , ann nên ta đồng M (n, C) với Cn Qua đó, M (n, C) trở thành không gian tôpô với tôpô cảm sinh từ Cn Trong không gian tôpô này, ta có khái niệm sau Demo Version - Select.Pdf SDK Định nghĩa 1.1.1 Cho (Am )m∈N dãy phần tử M (n, C), Am hội tụ tới ma trận A lim |(Am )kl − Akl | = 0, ∀ ≤ k, l ≤ n m→∞ Trong không gian vectơ M (n, C), tập hợp ma trận vuông phức cấp n khả nghịch nhóm với phép nhân ma trận (xem [1, p.82]), gọi nhóm tuyến tính tổng qt, kí hiệu GL(n, C) Định nghĩa 1.1.2 Một nhóm G gọi nhóm Lie tuyến tính tồn n ∈ N cho G đẳng cấu với nhóm đóng GL(n, C) Nhận xét 1.1.1 Cho nhóm G GL(n, C) thỏa mãn tính chất: Nếu (Am )m∈N dãy ma trận G Am hội tụ tới ma trận A M (n, C) A ∈ G A khơng khả nghịch Khi đó, G nhóm đóng GL(n, C) ... 13 1.2.2 Đại số Lie nhóm Lie tuyến tính 14 1.2.3 Ví dụ đại số Lie nhóm Lie tuyến tính 17 Chương BIỂU DIỄN CỦA NHĨM LIE TUYẾN TÍNH 22 2.1 Biểu diễn nhóm Lie tuyến tính ... NHĨM LIE TUYẾN TÍNH 1.1 Định nghĩa nhóm Lie tuyến tính ví dụ 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Ví dụ nhóm Lie tuyến tính Đại số Lie nhóm Lie. .. chương Chương trình bày nhóm Lie tuyến tính, đại số Lie nhóm Lie tuyến tính thể qua số ví dụ minh họa cụ thể Chương trình bày biểu diễn nhóm Lie tuyến tính, biểu diễn đại số Lie tương ứng Thể mối quan