èấ ặ è ấổặ ầ ẻ ầè Ç ÉÍ ỈÀ Ỉ Å ÌÊ Ỉ Ë ÈÀ Ỉ èấỹ ỹặ ộặ ặ ẻ è ậ ẻ ặ ỗ ổặ ẫ ặ ặ ặ èốặ ậợ èầ ặ ỡặ ỹặ ặ ắẳẵ èấ ặ è ấổặ ầ ẻ ÇÌ Ç ÉÍ ỈÀ Ỉ Å ÌÊ Ỉ Ë ÈÀ Ỉ Á ÌÊü üỈÀ Ä ÁêÍ ÁéỈ Ỉ Ỵ Å è ậ ẻ ặ ỗ ổặ ẫ ặ íũề ề ề ậ ỉ íụỉ ì ì ẳẵẳ ẩ ề ữề ẵ ẩ ậ èậ ẩ ẹ è ụề ậ ề èệ ẩ ề ữề ắ ề ề ÷Ị ¿ Ä Ø Ì˺ À Å Ị ÌĨ Ị Ỵ ÷Ị ÌĨ Ị È Ì˺ Äò ÌƯ Ị ẻ ữề ề é ẹ ể è ể ề ẩ ũề ỡặ ỹặ ặ ắẳẵ ề ề ữ ẻ ữỉ ặ ẹ ẹ Ó Ò ÄÙ Ò Ò Ò Ý Ó Ò Ø ề ỉ èệ ề ẫí ặ ề ì ề ề Ì˺ Äò Ị ÌỊ Ú Ì˺ Ị ÌỨỊ À º Ì Ü Ị Đ Ĩ Ị Ý Ð Ị ØỊ Ị òỊ Ù Ø º ÕÙ ØƯĨỊ ÄÙ Ị Ị Ð ØỨỊ Ø ¸ Ị Ø ĨƠ Ơ× Ị Ú Ø Ị Ị ØƯ º Ìź Ì Ơ Ø Ì˺ Äò Ị Ị ÌỊ Ị Ì Ì À øỊ Ä Đ Ị ÄÙ Ị Ị Ị Ý Ĩ Ị Ø Ị ØƯĨỊ ÕÙ ØỊ Ø Ơ Ú Ị òỊ Ù Ø Ã Ĩ ÌĨ Ị¸ èệ ề ẫí ặ ề ì ề ề è ụề ×ú Äò Ị ÌỊ Ú Ì ơỊ ×ú Ị ÌỨỊ À º ÌƯ Ø òỊ¸ Ø Ü Ị Ý Ø Ð Ị Ị × Ù × ơỊ Ì ơỊ ×ú Äò Ị ÌỊ º Ì Ý û Ĩ Ø Ò ØøÒ Ú Ò ÒØ Ø Ò Ò Ù Ð Đ Ị òỊ Ùº Ì Ý Ø Ĩ Ĩ Ø Đ Ø Đ ØƯ Ị Ø Ơ Ú Ị òỊ ẹ ỉ ề ỉ ữề ề ề ề Ư Ø Ị òĐ Ø º Ì Ý ÐÙ Ị Ị Ú òỊ¸ Ơ Ø Ị Ø ơỊ ØƯĨỊ Ị òỊ Ù Ĩ º Ø Ơ¸ Ð Đ Ú ÷ Ú Ø Ý Ð óÙ Đ Ý Đ Ị Ú Ị Ơ Ú Ø º Ì ÜỊ ÝØ Ð Ị Ị × Ù × ơỊ Ì ơỊ ×ú Ị ÌỨỊ À º Ì Ý ÐÙ Ị Ị ũềá ự éữá ễ ỉ ể ì ỉ ÕÙ ØỊ Ị òỊ Ù Ø º Å Ø Ý Ị ØƯĨỊ Ị ¸ Ị Ị Ø Ý Ú Ị Ø Ị ÜÙÝòỊ ØƯ Ĩ Ĩ Ú Ø º Ø Ĩ Ĩ Ø Ý Ø Ơ Ø ØƯ Ị Ø Ị Ư Ø Ị óÙ Úó Ĩ Ð Ị Ù × Ị º Ì Ü Ị Đ Ị Ì ơỊ ×ú À Å Ị ÌĨ Ịº Đ Ị Ị Úø Ị ù Úó Ú Ị ó Ð òỊ ÕÙ Ị ơỊ Ị Ð õỊ Ị Ú Ị Ù Ø Ĩ ÐÙ Ị Ư Ø ØĨ Ị Đ Đ Ịº Ù Ì ÜỊ Ð Đ Ị Ị Ø ề ụề ề ẹ ữ èệ ề ẫí ặ ềá ẩ ề ểỉ ểì ỉ ể ú ữề ỉ Ø Ị Ø Ø Ø Ơ Ø ØƯ Ị ữỉá ỉ ĩề é ẹ ề ụề ề ề ÷Đ Ã Ĩ ÌĨ Ị Ị Ø Ý Ĩ¸ Ĩ ØƯĨỊ à Ĩ Ø Ĩ Ư Đ Ø Đ ỉệ ề ỉ ễ ỉ ề ỉ ữềá ẹ Ư Ø ÙÝòỊ Ị ÷Ơº óÙ Ị Ý Ờ Ị Ð Ơ Ø ØƯ ưỊ Ị Ø Ịº Ì ÜỊ Ð Đ Ị ơỊ Ị Đ ÷Ù ÌƯ Ị Ĩ Ị Ë Ơ Đ À Ì Ý¸ È Ị Ì Ị Ø Ĩ óÙ ÷Ị Ø Ø Ị Ø Ĩ Ø º Ì Ị Ü Ị Ð Đ Ị ơỊ Ị Ị ÷Đ Ã Ĩ Ì Ị òỊ ề ề ề ữễ é ề ề ề ũềá ì ề ữ ỉ Ø Ị Ø Ơ ØỨỊ Ị òỊ Ù Ø ÌƯ Ị ÉÙÝ Ỉ Ịº Ì Ü Ị Đ Ị Ị Ị òỊ Ù × Ị Ø ÌƯ Ị Ú ũềá ì ễ ỉ ỉệểề ế ỉệứề ỉ ễ ề Ì ÉÙÝ Ỉ òỊ Ùº Ị ÐÙ Ị Ị ÜỊ Ð Ị ơỊ øỊ òỊ Ị Ị Ĩ º Ỉ Ị Ị Ø Ị ÐÙ Ị Ị ¸ Ị Ú òỊ Ø º À Ð Ø Ị Ø Ị Ú Ị Ø ÝòỊ Ø Đ Ø Ơ ề ũề ĩ ề ữỉá ỉ ĩ Ị Ð Ị × Ù × ơỊ Ị Đđ Ø Ị ÝòÙ ĐøỊ º Đ Ị × Ý × Ị Ĩ Ị Ị ØøỊ ÝòÙ Ú Ị Đđ Ị Ĩ ĨỊº ÌøỊ Ø Ị Ĩ Ð Đđ ÐÙ Ị Đ ØƯ Ø Đ ĨỊº Ù Ị ¸ Ø Ü Ị Ị ØøỊ Đ Đ Ị Ị Ú ĨỊ ơỊ òỊ øỊ ÝòỊ Đº ÷Ø ơỊ Ị Ú ĨỊ Ø Đ¸ Ơ ¸ Ị Ú òỊ Đº Ị ÝòÙ ĐøỊ º øỊ ÐÙ Ị Ð Ị Å Ð Ị Đ ữ  ẵ ẵ ỉ ì ụỉ ế ề ẵẵ ậ ễ ẵắ ề ỉể ề ỉ ẵắẵ ẵắắ ẵ ữẹ ẵ ỉì ỉể ề Ø ÀÐ ØĨ Ị Ø Ù ÀÐ Ø Ị Ð õỊ Ị Ĩ Ø ½ ½ º º º º º º º º º º º º º ½ ØĨ Ị Đ Đ Ị º º º º º º º º º º º º º ắ ề ể ỉ ắ ẵắ ØĨ Ị Đ Đ Ị º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ắ ẵ èựề ĩ ì ỉ ề Ĩ Ị º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ỉ ề é ẵắ ệỉ ề º º º º º º º º º õÒ Ú Ù Ừ Ú ơỊ º º º º º º º º º º º º º º º º ØĨ Ị Ø ÀøỊ Ø Đ ØƯ Ị º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ø ¿¾ Đ ØƯ Ị Ú Ø ÙỊ Ị Ø Ị Ù Ị Đ ØƯ Ị º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ë Ơ Ị ØƯ Ư òỊ Ø Đ ØƯ Ị ¾º½ Ị Đ ØƯ Ị Ị Ð ¾º¾ Ù í ể ắ ẹ ỉ ệỉ ẹ ỉ ì ½ Ị Ð Ø ½º¿º½ ½º ½º Ị ½¾ Ị é ậể ì ề ề ề ìỉệÔểẹạ ỉ í º º º º º º º º º º º º º º º º º Đ ØƯ Ị º º º º º º º º º º º º º º º º Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Ị Ð õỊ Ị Ĩ Ø Đ ØƯ Ị ¿º½ Ị Đ ØƯ Ị Ị é ẩỉ ề ệạẻ ì é ì º º º º º º º º º º º º º º ¿º¾ Ị Đ ØƯ Ị Ị Ð ¿º¿ Ị Đ ØƯ Ị Ị Ð À Ị éẹ ề ềìểềạẩể º º º º º º º º º º º ¼ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ ¿º¿º½ Ị Đ ØƯ Ị Ị Ð ề éẹ ề ỉệũề nạ ắ ề ẹ ỉệ Ị Ị Ð À Ị ÐĐ Ị ØƯòỊ ¿º¿º¿ Ị øỊ Å Ø Ø Ù Ø ØĨ Ị ØøĐ õỊ Ị Ĩ Ø Đ ØƯ Ị Ị ØƯòỊ Đ Ø ÷Ị Ð ĨĐƠ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ị Đ ề ỉệứề ỉ ể ữề é ểẹễ ỉ ốè ặ è é ữ ỉ ẹ º º º º º º Ð òỊ ÕÙ Ị ơỊ ÄÙ Ị Ị ½ Ị Đ R R+ C N K Rn Cn Mt (R) Mt (C) St (R) X Xα C[z] R[X] R(X) Mt (R[X]) St (R[X]) AT A A≻0 ||A|| A2 ÌƯ Ị × Ø è ễ ễ ì ỉ èệ ữ ề ì Ơ Ị Đ Ì Ơ × Ø Ị òỊ R à à Ỵ Ỵ Ỵ Ĩ C Ị ỊØ n óÙ Ị ỊƠ n óÙ Ị Đ ØƯ Ị ÚÙ Ị Ơ t Ú Ơ Ị Ø ØƯòỊ R Ị Đ ØƯ Ị ÚÙ Ị Ơ t Ú Ơ Ị Ø ØƯòỊ C Ị Đ ØƯ Ị n ơỊ (X1 , , Xn ) X1α1 Xnαn , α Ü Ị Ơ t ØƯĨỊ Mt (R) = (α1 , , αn ) ∈ Nn ẻ ề ỉ ẹ ỉ ụề z ữì Ơ Ỵ Ị Ø n ơỊ X = (X1 , , Xn ) ữì ỉ èệ ề ỉ Ị Ú Ị Ø R[X] Ỵ Ị Đ ØƯ Ị Ơ t Ú Ơ Ị Ø ØƯòỊ R[X] Ỵ Ị Đ ØƯ Ị Ü Ị Ơ t ØƯĨỊ Mt (R[X]) Å ØƯ Ị ÙÝưỊ Ú Đ ØƯ Ò A ∈ Mt (R[X]) Å ØÖ Ò A Ò Ü Ị Ị Å ØƯ Ị A Ü Ị Ị Ù Ị ØĨ Ị Ø Đ ØƯ Ị A Ì Ô Ô Ø Ø Ø Ò øÒ Ô Ò Ù Ị Ơ Ị Ø ØƯĨỊ Đ Ø Ú Ị Ĩ Ĩ ỊA Å Ù Ø n à ÷Ù K[X] := K[X1 , · · · , Xn ] Ð Ú Ị Kº à ÷Ù Mt (K), Mt (K[X]) ÐỊ Ð Ø Ð Ú Ị Đ ØƯ ØƯĨỊ K Ú K[X]º Å Đ ØƯ Ị A ∈ Mt (K[X]) Ð Ø Đ ØƯ Ị¸ Úø Ị Ø ừề ề ẹ ữ ì ỉệũề Mt (K) ề × Ù ơỊ X1 , · · · , Xn ữ ì ỉệểề ề ề ễ t Ơ Ị Ø Đ Ø Đ ØƯ Ị Ø Ĩ Đ Ø Ø Ø n Ị X1 , · · · , Xn Ú d Aα X α , A= |α|=0 ØƯĨỊ ¸ α = (α1 , · · · , αn ) ∈ Nn ¸ |α| := α1 + · · · + αn ¸ X α := X1α1 · · · Xnαn ¸ Aα ∈ Mt (K)¸ dÐ Ĩ Ị Ø Ị Ø ØƯĨỊ Aº Ĩ ¸ Ø Ị Ị Ø ØƯĨỊ ØĨ Ị ÄÙ Ị Ị¸ Đ Đ ØƯ Ị ØƯĨỊ Mt (K[X]) Ð Đ Ø Ø Đ ØƯ Ịº Ø Ơ ểề ữỉ ề ẵ ề ề ũề ựề Ị Ị Ð Ø Đ ØƯ Ị¸ Ú Ú ẹ ỉệ ề ì ụềá ề ỉ ế ề ỉ Đ ơỊ ØĨ Ị Ị Ùº Ĩ ¸ ỉ ề ỉ ữề ề ỉ ỉ ØỊ Ý ØĨ Ị Ð òỊ ÕÙ Ị ØƯĨỊ Ơ Ị Ư òỊ × Ùº Ø Đ ØƯ Ị Đ Ø ơỊ ÌƯĨỊ Ơ Ị Ị Ý Ị Ø ơỊ¸ Ø Ð Ü Ø Ø ØỊ Ý Đ Ø × Ú Ị ó Ð òỊ ÕÙ Ị ơỊ Đ ØƯ Ị Ị Ø Đ ØƯ Ị Đ Ø P (z) = Ad z d + · · · + A1 z + A0 , ØƯĨỊ ¸z Ð ơỊ × Ú Ai ∈ Mt (C), ∀i = 0, , dº Đ Ư Ị Ø Ị òỊ Ø ØƯ Ị λIt − A It Ð Đ ØƯ Ị Ị Ú ØƯĨỊ Mt (C)º Ð Đ Ø Ỉ Ad = 0¸ Ø ø P (z) Ð Đ Ø Ø Đ ØƯ Ị ĐĨỊ º Ỉ Ø Ị Ø Đ Ø Ú Ø Ð Đ Ø ØƯ Ư òỊ P (z)¸ Ú Ú ØƯ Ư òỊ λº Ø Ø Đ ØƯ Ị Đ Ø ơỊ Ð × Đ Ø Đ ØƯ Ị A ∈ Mt (C)¸ ØƯĨỊ Đ ØƯ Ị dº à Ad = It ¸ P (z) Ị x ∈ Ct Ú λ ∈ C × Ĩ Ĩ P (λ)x = 0¸ Ø ø λ x Ð Đ Ø ỉ ệ ũề P (z) ỉ ặ íá Đ ØƯ Ư òỊ P (z) Ð Đ Ø Ị ÷Ù Ì Ơ Ơ ØƯ Ư òỊ P (z) Ø ẹ ỉệ ề P (z) ẵ ữẹ ỉ (P (z)) Ú Ị Ị ØƯ Ị Ø(P (z))º Ð Ơ Ø òĐ Ư Ị ØƯĨỊ A ∈ Mt (C)¸ Ø ø Đ ØƯ ØƯ Ị Aº Ĩ Ø ưỊ ØƯ Ư òỊ Đ Ø Đ ØƯ ØƯ Ị Ơ P (z) = zIt − A¸ Ø ØƯ Ị Đ ØƯ Ị Ư òỊ Ø Đ ØƯ Ị P (z) Ð Đ Ø ØƯ Ư òỊ Đ ØƯ Ư òỊ Ø Đ ØƯ Ị Ð Đ Ø Ị ÷Đ Đ Ư Ị Ịº ØĨ Ị ØƯ Ư òỊ Ø ´ÈĨÐÝỊĨĐ Ð ỊÚ ÐÙ ÈƯĨ Ð Đ ¹ È Èµ Ð ØøĐ Đ Ø t Ị x ∈ C × Ĩ Ĩ P (λ)x = 0º ÌƯĨỊ ØƯ Ị Ơd=1 ØƯ Ư òỊ λ Ú Đ Ø Ú Ø Ị Ø ØĨ Ị ØƯ Ư òỊ Ø Ị ÕÙ Ø Ax = λBx À ỊỊ ¸ Ị A1 = It Ø ø ØĨ Ị Ị Ø ØƯ Ư òỊ Ù Ị Ax = λx ØĨ Ị ØƯ Ư òỊ Ơ d = 2º ´ÉÙ Ư Ø ỊÚ ÐÙ ẩệể é ẹ ẫ ẩà ỉ ề ề ØƯ Ị Ø Đ ØƯ Ị Đ Ø ơỊ Ị óÙ Ị Ị ØƯĨỊ ÐúỊ Ú Ị Ơ Ị ỉệứề ễ ềá é ỉ íụỉ ữ ỉ ề ¸ Ø Ù Ø Ï Ị Ư¹ÀĨƠ ¸ Ú é ỉ íụỉ ệề ỉự ì ØĐ ÕÙ Ị ØƯ Ị Ø Đ ØƯ Ị Ð Ư Ư Ị Ị Ị Ø Ð ÷Ù Úó × ØÙÝơỊ ØùỊ Ú Ð Ø ÙÝ Đ ØƯ Ị ó Ơ Úó Ị Ị Ị óÙº À Ị ØỊ Ù Ø òỊ Ú Ý Ị Ø Úó Ø ẹ ỉệ ề é ệ ị ệá ề ề ĨÐÐ Ư ½ ℄ Ị Đ ½ Ú Ä Ị ìỉ ệ ắ ề ẹ ẵ ú ễ Ø ØƯ ưỊ Ð Ø ÙÝ Ø Đ ØƯ Ị Ø Ị ÕÙ Ð Ø ÙÝ ÷ ỨỊ º Ị Ø Ø Ơ Ø Đ ØƯ Ị Ị òỊ Ù ÷ Ơ Ị ØỊ Ú Ơ Ị ´ Ð ề ề ẵà ữì ề áỉ é ữ ề d Ai i=0 i d dt u(t) = Ỵ ÷ ØøĐ Ị ÷Đ Ĩ ÷ Ị u(t) = x0 eλ0 t ¸ Ú x0 , λ0 ØĨ Ị ØƯ Ư òỊ ¹ Ú Ø Ư òỊ Ø Đ ØƯ Ịº Ð ƠÚ t¸ ØƯ Ø ơƠ Ị ơỊ òỊ Ị ¸ ØĨ Ị ØƯ Ư òỊ É È Ị óÙ Ị Ị Ú Ĩ Ĩ Ú Ø Ù Øº Å Ø Ø Ị ÕÙ Ị Úó Ị Ị Ị Ị É È ØỊ Ý ØƯĨỊ Ù Ị × ể ệ ề ìỉ ệ ấể ẹ ề ẵ ẹ ệé ề ềệể è ìì ệ ẵ ề ậ Ư Ị Ị Ø Ù Ø ØĨ Ị ØĨ Ị É Èº Ú ØĨ Ị È È¸ Ú Ị òỊ Ù Úó Ị Ĩ ØƯ Ư òỊ Ø Đ ØƯ Ị Ø Ð Ơ Ø Ĩ Ù ề ữ ì ỉ ẹ ỉệ ề ể ề Ị Ị Ị ØỊ À Đ Ú Ì ×× ÙƯ ắắ èí ề ũềá ắ ữễ ề ỉệứề ỉệũề ỉ Ị Ị  Ỉ 11  B = −9 13 Ú Ý¸ à     X = 11λ0 + 72 λ1 + 3λ2 + 2λ3 = −9λ0 − 29 λ1 − λ2 Y    Z = 13λ0 + 7λ1 + λ2 + λ3 ÷Ù R[Y ] := R[Y1 , · · · , Ym ]¸ Ú Ü Ø ϕ : R[Y ] → R[X], ề ỉ ẵắà ỷ ệ ệ ề I := à Ư(ϕ) ×Ị   −1 0 1 −9 Ò ÙÚ Ò Yi −→ λi (X), ∀i = 1, · · · , m m i=1 Yi − ∈ à Ö(ϕ)º Ĩ ¸ Ị Ø Ø Ø r1 (Y ), · · · , rs (Y ) ∈ R[Y ]¸ × ò Ị I := à Ư(ϕ) = r1 (Y ), , rs (Y ) , m ØƯĨỊ i=1 Yi − Ð Đ Ø ØƯĨỊ ri Ị Ĩ Ò ÙÚ Ò Mϕ : Mt (R[Y ]) −→ Mt (R[X]), ú ẵ ệ ề ề ẹìề Ñ Ø G = (gij (Y )) −→ (ϕ(gij (Y ))) Ị Ù Mϕ Ð ØĨ Ị Ị ¸ Ú I := à Ö(Mϕ ) = r1 (Y )It , , rs (Y )It , Ú It Ð Đ ØƯ Ị Ị ĐỊ º Ỵ Ị Ú ØƯĨỊ Mt (R[Y ])º Đ g(X) = |α|≤d aα X α ∈ R[X]¸ ÷Ù m T α g(Y ) := |α|≤d aα (Y · B ) Ø Ø ÙÒ Ò Ø dº À Ị Ị õØ ÝgÐ óÙ Ị Ý Ĩ Ø Ĩ Mϕ Ị Ð Đ Ø ØĨ Ị Ùº Yi i=1 d|| R[Y ] ẵ (g(Y )) = g(X) ËÙÝ Ư ϕ Ð ØĨ Ị Ùº Å Ø Ĩ ¸Ú ¸ G = (gij (Y )) ∈ à Ö(Mϕ ) Ị Ú û Ị gij ∈ à Ư(ϕ) Ú Ñ i, j = 1, · · · , t Ø Ñ i, j = 1, · · · , tº s aijk (Y )rk (Y ), ØƯĨỊ gij (Y ) = k=1 ặ íá G ỉ Ị aijk (Y ) ∈ R[Y ] × Ù s G= s rk A k = (rk It )Ak , k=1 k=1 ݸ Ak = (aijk (Y )) ∈ Mt (R[Y ]) Ú Đ ó Ị ĐỊ º r1 I t , · · · , rs I t Ó F = (fij ) ∈ St (R[X]) Ð Đ Ø Ø Đ fij Ü Ị St (R[Y ])¸ ØƯĨỊ k = 1, · · · , sº óÙ Ị Ý û Ư Ư Ị G ∈ Đ ØƯ Ò d > 0º à ÷Ù F := (fij ) ẵ àá é ẹ ỉ ỉ ỉ ề ề Ø dº ØƯ Ư òỊ Fº Ì Ĩ ¸ Ì ểệ ẹ ẵá (F) é ẹ ỉ ẹ ì (F) Ð Đ Ø Đ Ð òỊ Ø ØƯòỊ fij (X)¸ i, j = 1, · · · , tº Ì Ð ¸ Ø Ị Ø Đ Ø Đ Ð òỊ Ø Λ : Rt×t → R × Ĩ Ĩ λ(F) = Λ(fij (X))º à ÷Ù λ(F)(Y ) := Λ(fij (Y ))á ỉ ì é ẹ ỉ ẹ ỉệ ệ ũề Ø Đ ØƯ Ị Fº s à ÷Ù r(Y ) := ú ắ ri2 (Y ) ẻ ữ ể ỉệũềá Ị Ø ó × Ùº i=1 Ø Đ ØƯ Ị d > 0º Ó λ(F) Ð Ó F = (fij ) ∈ St (R[X]) Ð Ñ Ø Ñ Ø Ñ ØƯ Ư òỊ Fº Ỉ λ(F) > ØƯòỊ P ¸ Ø ø Ø Ị Ø Đ Ø × Ø Ị òỊ Ð Ịc × Ĩ Ĩ λ(F) + cr > ØƯòỊ m¹ Ị øỊ Ø òÙ Ù Ị ∆m º Ê Ị¸ c > −m1 /m2 ¸ ØƯĨỊ m1 Ð ØƯ Ị Ị Ø λ(F) ØƯòỊ ∆m Ú m2 Ð ØƯ Ị Ị Ø r ØƯòỊ Ø Ơ ĨĐƠ Ø ∆m ∩ {y ∈ Rm |λ(F)(y) ≤ 0}º Ị ĐỊ º Ị ĐỊ Ú Ĩ ¿ ¸ Ä ÑÑ ℄º Ø U = ∆m ∩ {y ∈ Rm |λ(F)(y) ≤ 0}º Ì Ĩ ¸ Ë Ø ĨỊ ¿℄¸ r > ØƯòỊ ͺ Ĩ U ĨĐƠ Ø ỊòỊ Ø Ị Ø ØƯ Ị Ị Ø m2 r ØƯòỊ U º À Ị Ị ¸ m2 > 0º Å Ø ¸ Ĩ λ(F) Ð òỊ Ø ØƯòỊ Ø Ơ ĨĐƠ Ø ∆m ỊòỊ Ø Ị Ø ØƯ Ị Ị ỉ m1 ặ íá ỉệũề U ề Ø λ(F) + cr ≥ m1 + cm2 > 0; ØƯòỊ ∆m \ U ¸ Ị Ø λ(F) + cr ≥ λ(F) > Ơ Ị ó Ị ݸ Ø Ị ó ¿º¿º¿º Ị ÕÙ × Ùº Ĩ F = (fij ) ∈ St (R[X]) Ð Ñ Ø F := (fij ) ∈ St (R[Y ])º × F ≻ ØƯòỊ P º à Ĩ F + crIt ≻ ØƯòỊ m¹ Ị øỊ Ø òÙ Ù Ị ∆m º Ø Đ ØƯ Ị d > 0º à ÷Ù Ø Ị Ø Đ Ø × Ø Ị òỊ Ð Ịc× Ĩ Ị ĐỊ º ĨFÐ Ü Ị Ị ØƯòỊ P ¸ ỊòỊ Đ ØƯ Ư òỊ Ị λk (F), k = 1, · · · , t¸ é ề ỉệũề P è ể ú ắá ẹ k ỉ ề ỉ ẹ ỉ ì ỉ Ị òỊ Ð Ị ck × Ĩ Ĩ λk (F) + ck r Ð Ị ØƯòỊ ∆m º Ø c = max ck º Ã Ò λk (F) + cr Ð k=1,··· ,t ØƯ Ư òỊ ØƯòỊ ∆m Ú Đ k = 1, · · · , tº Ư Ò ¸ λk (F)¸ k = 1, · · · , t¸ Ð Ø Đ ØƯ Ị Fº Ĩ ¸ ØƯ Ư òỊ Ø Đ ØƯ Ị F + crIt Ð λk (F) + cr ¸ k = 1, · · · , tº óÙ Ị Ý Ị Ø Ư Ị F + crIt Ð Ü Ị Ị ØƯòỊ ∆m º ó Ị ĐỊ º Ư Ị F := F + crIt Ị Ơ m Ị Ø i=1 Fº Ú Yi ¸ F Ø ư¸ Ị Ị Ø Ị Ị Ø Ị Ð Đ Ø Đ Ø õỊ F Ị Ø Ø ÙỊ Ị غ ÌÙÝ Ị òỊ¸ Ø ÙỊ Đ ØƯ Ị Ø ÙỊ Ị Ø Ị × Ù Bβ Y β , F= Ø Bβ ∈ St (R), |β|≤d m Ø ø Ø ÙÒ Ò Ø Ò Yi Ð i=1 m h β F = i=1 |β|≤d h Ã Ü Ò F Ð Đ Ø Ø Ị ØƯòỊ ∆m º Ý Ư ØƯĨỊ Đ ØƯ Ị Ø ÙỊ Ị ØƯòỊ P º à ¸Ú Ø dº À Ị Ị Ị Ø Ø ư× Ị Ị Đ ØƯ Ị Ị Ð ℄ Ị Đ ØƯ Ị Ị Ð õỊ Ị Ð ắ ẵ Yi )d|| B Y ( h h ¸ Mϕ (F ) = F¸ Ú F Ð õỊ Ị È ÐÝ Ị À Ị ÐĐ Ị ề ì h ể P á M r ¸ F¸ F¸ F Ị ØƯòỊ¸ ØƯĨỊ ¸FÐ Ü Ị Ị h h × Ư Ị F λIt ØƯòỊ ∆m Ú λ > Ị Ĩ º Ø d := (F) Ú L := L(F )º d(d − 1) L − d¸ F Ø N> õỊ Ị λ F= |α|=N +d Cα λα1 · · ã mm , ẳ ẵ ỉệểề áẹ C St (R) Ð Ü Ị Đ Ị º ÌƯ Ë Ù ¸ Ị Ø Ø òỊ¸ Ơ Ị Ị Ø Ò º Ô h Ò d = deg(F )º m h ề ể M h ề é ẵ ẵắ ể F ỉệểề M (F ) = F Ú ϕ = 1º Yi i=1 Ì Ị Ø ĨỊ ề ề ậ ẹÔ ề ể ữ ế ỉ ề ỉ ỉ ữề é ểẹễ ỉ Ị Đ ØƯ Ị Ĩ Ị Ð õỊ h Ĩ P ¸ F¸ F¸ F Ĩ ØƯòỊ¸ Ú F Ü Ị Ị ØƯòỊ P º h h λIt ØƯòỊ ∆m Ú λ > Ị Ĩ º Ø d := (F) Ú L := L(F )º à ì F d(d 1) L dá F Ø õỊ N> Ị λ F= δi ∈{0,1} Cδ λδ11 · · · λδmm , ØƯĨỊ Đ Cδ ∈ St (R[X]) Ð Đ Ø Ø Ị AT Aá A Mt (R[X])á ẹ C ẵ µ Ù Ò Ò Ò Ò ÕÙ N + dº Ø Đ ØƯ Ị ¿º¿º¿ Å Ø Ø Ù Ø ØĨ Ị ØøĐ õỊ Ị Ĩ Ị ØƯòỊ Đ Ø ÷Ị Ð ĨĐƠ Ø ĨĐ Ø ÷Ị Ð ĨĐƠ Ø P Ú Ơ Ị ØƯĨỊ ØÙÝơỊ ØùỊ λ1 , · · · , λm ∈ R[X]¸ Ị Ị Ư Ị ¸ Ị Ø Đ ØƯ Ị Ị Ị Ị Ø P = {x ∈ Rn |λi (x) ≥ 0, i = 1, · · · , m} ĨĐ Ø Ø Đ ØƯ Ị F = (fij ) ∈ St (R[X]) d>0Ú Ü Ị Ị ØƯòỊ P º Ì ể ề ẹề ề é ắ ẵ ề Ø Ư ØøĐ õỊ ĨFỊ × Ù ẵà èứẹ ì ỉ ề ũề ci R ì ể ể ễ ề ỉệứề ỉíụề ỉựề ắà ữễ m i=1 ci i (X) = ẻ ữ ỉứẹ ci Ị ØỊ ØÙÝơỊ ØùỊ m Xi = bij λi (X), j=1 ØøĐ Đ ØƯ Ị B = (bij )i=1,··· ,n;j=1,··· ,m º ½ i = 1, · · ã , n, ề ụề ẹ ỉ ữ ậ ề ẵ ỉứẹ fij i, j = 1, · · · , tº ´ µ Ë Ị × Ù Ú Ị ϕº ´ µ ÌøĐ Đ Ø ì c ậ ệÔể ề ệ ỉứẹ Ñ Ø × {r1 , · · · , rs } Ĩ Ị à Ư(ϕ) Ị Ð Ị × Ĩ Ĩ F + crIt ≻ ØƯòỊ ∆m º Ị ẵ ĩ í ề ỉ h It ó ¿º¿º º Ĩ K ⊆ Rm Ð Đ Ø Ø Ơ ĨĐƠ Ø Đ Ø× Ø c∈R× Ĩ Ĩ G(y) ữỉá ềụ G(y) G(y) cIt Đ y ∈ K Đ h Đ ØƯ Ị Ø ề ề èứẹ ẹ ỉ ì ỉ ề òỊ λ × Ĩ Ĩ F (y) Ø ỊØ ØỊ cIt , Ú F := F + crIt º y ∈ ∆m º Ị Ư Ị ¸ Ú G ∈ St (R[Y ])º Ã Ñ y ∈ K Ø ø Đ ØF ¸ y ∈ K Ị Ø Ø Ị × c > × Ĩ Ĩ Ị ĐỊ º × λ1 (G), · · · , λt (G) Ð Ị Ị Đ ØƯ Ư òỊ Ø ¸ è ểệ ẹ ẵá i (G) é ẹ é ũề Ø º Ĩ K Ð Ø Ơ ØƯ Ị G ∈ St (R[Y ]) Ì Ĩ ỊòỊ Ø ci := λi (G)(y), i = 1, · · · , t ỉ ẹ ễ ểẹễ ỉá yK ữ c := maxi=1,··· ,t ci º Ỵø Ị Ị ỊòỊ Ø Ĩ Ị Ị ú c Ø ×ÙÝ Ư Đ ØƯ Ư òỊ G−cIt Ð λi (G)−c¸ i = 1, · · · , t¸ λi (G)(y) − c ≥ λi (G)(y) − ci ≥ Ú Đ ´ µ y∈K Ú Ú Ơ Ị Ị Ø Đ i = 1, · · · , tº Ã Ó Ø Ó G(y) ẹ y K h ẵẳà ỉứẹ L := L(F ) èứẹ ẹ ỉ ì ỉ ề òÒ N > d(d − 1) L − dº ẵẳà èứẹ ẹ ỉệ ề ữ ì ỉ λi (X)¸ Ị Ø Ị Ị Đ Ø Ị Ø cIt , Ú Đ Ø Úù h N Đ ØƯ Ò ( m i=1 Yi ) F ∈ St (R[Y ])á ỉ ừề ể F ì ửẹề ểề ¾ Ị Ø Ð Ơ ØƯòỊº Ý Yi Ú ể ẻự ắ ề ỉ ĩ ỉ ứề ề ÒÚ Ø ÑØ Ø P := {(x, y) ∈ R2 |λ′1 = + x ≥ 0, λ′2 = − x ≥ 0, λ′3 = + y ≥ 0, λ′4 = − y ≥ 0} Ò c1 = c2 = c3 = c4 = ¸ Ø λ1 := Ø õØ i=1 ′ i=1 ci λi (x, y) = 1º Ĩ ¸ Ø 1 1 1 1 + x, λ2 := − x, λ3 := + y, λ4 := − y ∈ R[x, y], 4 4 4 4 λi = º −2 0 0 −2 Ý Ư Ị Đ ØƯ Ị B = Ø Đ ỊƠ Ị ØỊ B · [λ1 λ2 λ3 λ4 ]T = [x y]T Ó ϕ : R[y1 , y2 , y3, y4 ] → R[x, y] Ð Đ Ø λi (x, y)¸ i = 1, 2, 3, ỉ ì ệÔể ề ệ ể Ò ÙÚ Ò Ü Ø Ò Ò Ã Ö(ϕ) ϕ Ð Ò ϕ(yi ) := 1 {r1 , r2 } := {y1 + y2 − , y3 + y4 − } 2 Ø r := r12 + r22 º Ị Ø Ü Ø Ø F := Ỉ Ị Đ Đ ØƯ Ị −4x2 y + 7x2 + y + x3 + 5xy − 3x x3 + 5xy − 3x x4 + x2 y + 3x2 − 4y + ØƯ Ư òỊ FÐ λ1 (F) = 6x2 − 4x2 y − 4y + 6; λ2 (F) = x4 + x2 y + 4x2 + y + Ỵ Đ (x, y) ∈ P Ø λi (F)(x, y) ≥ 2¸ i = 1, 2º ËÙÝ Ư F(x, y) 2I2 Ú Đ (x, y) ∈ P º Ỵ Đ ØƯ Ị B Ĩ ØƯòỊ¸ Ø F = (fij )¸ ØƯĨỊ f11 = −4(2y1 − 2y2 )2 (2y3 − 2y4)(y1 + y2 + y3 + y4 ) + 7(2y1 − 2y2 )2 (y1 + y2 + y3 + y4 )2 + (2y3 − 2y4 )(y1 + y2 + y3 + y4 )3 + 3(y1 + y2 + y3 + y4 )4 , f12 = f21 = (2y1 − 2y2 )3 (y1 + y2 + y3 + y4 ) + 5(2y1 − 2y2)(2y3 − 2y4 )(y1 + y2 + y3 + y4 )2 − 3(2y1 − 2y2 )(y1 + y2 + y3 + y4 )3 , f22 = (2y1 − 2y2 )4 + (2y1 − 2y2 )2 (2y3 − 2y4 )(y1 + y2 + y3 + y4 ) + 3(2y1 − 2y2 )2 (y1 + y2 + y3 + y4 )2 − 4(2y3 − 2y4 )(y1 + y2 + y3 + y4 )3 + 6(y1 + y2 + y3 + y4 )4 º Ỉ Ị Đ ØƯ Ư òỊ F Ð ¿ λ1 (F) = λ1 (F) = 35y14 − 52y13 y2 + 54y13y3 + 34y13y4 + 82y12 y22 + 2y12 y2 y3 + 6y12 y2 y4 + 48y12 y32 + 68y12y3 y4 + 20y12 y42 − 52y1 y23 + 2y1 y22y3 + 6y1 y22 y4 + 8y1 y2 y3 y4 + 8y1 y2 y42 + 18y1 y33 + 42y1 y32y4 + 30y1y3 y42 +6y1 y43 +35y24 +54y23y3 +34y23 y4 +48y22y32 +68y22 y3 y4 +20y22y42 +18y2 y33 +42y2 y32y4 + 30y2y3 y42 + 6y2 y43 + 5y34 + 16y33y4 + 18y32y42 + 8y3 y43 + y44¸ λ2 (F) = λ2 (F) = 30y14 + 24y13y2 + 32y13y3 + 112y13y4 −12y12 y22 + 32y12y2 y3 + 16y12y2 y4 + 4y12y32 + 120y12y3 y4 + 116y12y42 + 24y1 y23 + 32y1y22 y3 + 16y1y22 y4 + 40y1 y2 y32 + 48y1y2 y3 y4 + 8y1 y2 y42 + 48y1y32 y4 + 96y1 y3 y42 + 48y1 y43 + 30y24 + 32y23y3 + 112y23y4 + 4y22y32 + 120y22y3 y4 + 116y22y42 + 48y2y32 y4 + 96y2 y3 y42 + 48y2 y43 − 2y34 + 8y33y4 + 36y32y42 + 40y3 y43 + 14y44º Ì min∆4 λ1 (F) = 1, min∆4 λ2 (F) = −2 −2 = 16¸ Ø ư¸ À Ị Ị ¸ min∆4 ∩{λ2 (F)≤0} r = 0.125º Ĩ Ị Ø Ø Ịc>− 0.125 c = 17¸ F := F + crI2 ≻ ØƯòỊ ∆4 º Ì ÙỊ Ị h Ø F yi Ị Ø Ị Ị Đ Ø Ø Đ ØƯ Ị Ø ÙỊ Ị h ØF = i=1 ¸ (fij )¸ ØƯĨỊ h f11 = (3(y1 + y2 + y3 + y4 )2 + (2y1 − 2y2 )2 + (2y3 − 2y4 )(y1 + y2 + y3 + y4 ))(y1 + y2 + y3 + y4 )2 +(6(y1 +y2 +y3 +y4 )2 −(4(2y3 −2y4 ))(y1 +y2 +y3 +y4))(2y1 −2y2)2 +17(0.5y1 +0.5y2 − 0.5y3 − 0.5y4)2 (y1 + y2 + y3 + y4 )2 + 17(0.5y3 + 0.5y4 − 0.5y1 − 0.5y2 )2 (y1 + y2 + y3 + y4 )2 ¸ h h f12 = f21 = (y1 + y2 + y3 + y4 )(3(y1 + y2 + y3 + y4 )2 + (2y1 − 2y2 )2 + (2y3 − 2y4 )(y1 + y2 + y3 + y4 ))(2y1 − 2y2 ) + (2y1 − 2y2 )(6(y1 + y2 + y3 + y4 )2 − (8y3 − 8y4 )(y1 + y2 + y3 + y4 ))(−y1 − y2 − y3 − y4 )¸ h f22 = (3(y1 + y2 + y3 + y4 )2 + (2y1 − 2y2)2 + (2y3 − 2y4)(y1 + y2 + y3 + y4 ))(2y1 − 2y2 )2 + (6(y1 + y2 + y3 + y4 )2 −(8y3 −8y4 )(y1 + y2 + y3 + y4))(−y1 −y2 −y3 −y4 )2 + 17(0.5y1 + 0.5y2 − 0.5y3 − 0.5y4)2 (y1 + y2 + y3 + y4 )2 + 17(0.5y3 + 0.5y4 − 0.5y1 − 0.5y2 )2 (y1 + y2 + y3 + y4 )2 º h h Ị Ø Ø ØùỊ min∆4 λ1 (F ) = 1.9706, min∆4 λ2 (F ) = 1.5294 h óÙ Ị Ý û Ư Ư Ị F 1.5294I2 ØƯòỊ ∆4 ¸ Ú λ := 1.5294º 87 1044 h = ễ ề ề ỉ ẵẳàá ề ỉ ỉ ØøĐ × L := L(F ) = 24 167 h Ĩ ¸ Ị N = 167¸ Ø Đ ØƯ Ị (y1 + y2 + y3 + y4 ) F ẹ ỉệ ề ữ ì é ĩ ề ề h èứẹ ẹ ỉệ ề ữ ì Ø Đ ØƯ Ị (y1 + y2 + y3 + y4 )167 F ∈ St (R[y1 , y2 , y3 , y4])¸ Ø yi λi (x, y)¸ Ị Ø Ị Ị õỊ Ĩ Fº ÃèÌ ÄÍ Ỉ ÌƯĨỊ ÄÙ Ị Ị Ị Ø Ø ÕÙ ùỊ ì ẵà è ụỉ é ễ ẹ ỉ ì Ị ØƯòỊ Ú Ị Ĩ ØƯ Ư òỊ Ø Đ ØƯ Ị Đ Ø ơỊº Ø ư¸ Ị Ø ệ ề ẹ ỉệ ề ể ề é ề ìỉệÔ ểẹạ í ĩ ẹ ề é ắẵắá ắẵá ắẵ ề ỉ ề ỉ ệ ẹ ỉì ề Đ ØƯ Ị Ĩ Ị Ð Ị Ù Ý ĩ ẹ ề é ắắắá ắắ ắắ ắắ ắắẵẳá ắắẵắá ắắẵ ắắẵ ắắẵ ũề ề ề ỉ ìể ì ề ề Ø ØƯĨỊ ÄÙ Ị Ị Ú Ị Ư À ẹ è ìì ệ ắắ ĩ ẹ ắà ắà ệ ẹ é ũề ữ ề ề ỉ ÙỊ Ị ØùỊ Ø Ị Đ Ø Ø Đ ØƯ Ị ØƯòỊ Đ Ø Ø Ơ Ị Ị ´Ü ẹ ữề ú ẵ ẵá ẵ ắá ẵ ẵ à ệ ẹ ỉ ề ẹ ỉệ ề ể ề é ề é ẵắàá ỉ ×ÙÝ Ư Đ Ø Ị Đ ØƯ Ị ´Ü Đ ữ ế ẵà ệ ẹ ỉ é ắắà Ị Đ ØƯ Ị Ĩ ´ µ Ư Đ Ø Ị Ị Ị ØƯòỊ Đ Ð ¸ ĨĐƠ Ø ´Ü Đ Ĩ Ø Đ Ị Ð õỊ õỊ × ề ẩỉ ề ệạẻ ì é ì ĩ ẹ ề é ừề ề ấ ịề ề ềìểềạẩể ĩ Đ Ị Đ ØƯ Ị Ĩ Ị Ð À Ị ÐĐ Ị¸ õỊ Đ Ø Ø Đ ØƯ Ị ĩ ỉ ề ứề ĩ ẹ ề é ẵà ĩ ề ề ỉệũề ẹ ỉ ữề ề é ắà Ì ¸ Ị Ø ó ÜÙ Ø Đ Ø Ø Ø ØøĐ õỊ Ị Ý ØƯ Ị ´Ü Đ Å ¿º¿º¿µº ÕÙ ùỊ ØƯĨỊ ÄÙ Ị Ị Ø ề ỉệểề ẳắ ể ẵắá ẳ ỉ úề ề ễ ẹ ẵ ụỉ ế ỉệũề é ẹ Ú Ị Ơ Ø òĐ Ú Ĩ Ị Ị òỊ Ù Ị Ð õỊ Ị Ĩ Ø Ú Ø Đ ØƯ Ị¸ Ị Ị Ị Ị Ị ØƯĨỊ Ì Ù Ø ¸ Ä Ø ÙÝòØ óÙ ưỊ Ú ØĨ Ị Đ Đ Ịº Å Ø× Ú Ị óỊ òỊ Ù Ø ơƠ Ø Ĩ ½º ÌøĐ óÙ ÷Ị õỊ Ị ØƯĨỊ ÄÙ Ị Ị Ĩ Ị Ð õỊ Ị Ỉ ÙÝòỊ Ị Ị ÜÙ Ø ÷Ị Đ Ù Ø ØƯĨỊ Ị Ø Ø ể ậ ẹÔ ề áẹ ỉ ề ẹ õỊ Ø Ị × Ị ỊØ ÝØ Ĩ Ị Ø Ơ Ị òỊ Ùº Đ ÙØ ÈÙØ Ị Ú Đ ØƯ Ĩ ØƯĨỊ ề ẹ ỉệ ề ệ ệạẻ ì é ì ềìểềạẩể ừề ề ỉệũề é ể ề Ø Ơ Ø Đ ØƯ Ị ´ ó ½º º µº Ĩ Ị Ị ´ Ị е ØƯòỊ Đ Ø ỉ ễ ỉệũề í ậ ẹÔ ề é ề ¾º ÌøĐ Ị ØƯĨỊ Ä Ø ÙÝ Ø ÷Ịº Ị Ị Ð õỊ óÙ ưỊ Ú ØƯĨỊ ÐúỊ Ú Ị ¸ Ø Ø Ĩ Ø Đ ØƯ Ị Ị Ø Ị Ë Ư Ư¹ÀĨÐ ℄ Ị Đ Ị ØỊ Ø Ð òỊ ÕÙ ề ụề ề ề ẵà è ắẳẵ ặểỉ ểề ẩểì ỉ ìỉ éé ềìÔỉị ểệ ỉệ ĩ ẩểéíềểẹ éì ểệề é ể ỉ ẹ ỉ ìá ắàá ẵ ẵạẵ ắ ẵ ắà ìỉạẽ ìỉ è ũá è ắẳẵ ề éẹ ềì ẩểì ỉ ìỉ éé ềì ỉị ểệ ẩểéíềểẹ é ỉệ ì ẩểì ỉ ề ỉ ểề ẩểéí ệ ẩểì ỉ ỉíá ắàá ẳ ắắ è è ũá è ặ íừề ắẳẵ ầề ỉ ỉệ ĩ ẩểéíềểẹ éì ì ẹ ỉỉ ể ỉ ểề ể ề é ì ể è é ữ ỉ ẹ ẵ Ô ệ ệỉ ề ẵ ắ àá Í ƯÐ ÙỊ Ë Đº ÍỊ Úº À Đ ÙƯ ẵẳẳạẵẵ ề ỉ ệ ề ỉ ểề ề ề ẫ ắ ấ ắẳẳẵàá ỉệ ĩ ỉ ỉ àá ẩểéíềểẹ éì ề ẩểéíềểẹ é ề ế é ỉ ìá ậễệ ề ệạ ể ề èạ ẹ ẵ ẵạẵ àá ắẵ ĩỉệ ẹ é ễểì ỉ ì ẹ ẹễệ Đ ắẳẳ àá ệ ễệ ì ềỉ ỉ ểề ỉ ểệ ẹ ểệ ạệ ề ì ề ỉ éé ẵàá ắ ắ é ệ ỉ ề éíì ìá ậễệ ề ệá ặ ểệ ẩ ểệ ề ề è ệ éí ẵ ẻ ệé ặ ểệ ềề ể ẹễệ Đ ắẳẵắàá ấ é é ệ ạẵẳ ệ ệ ẹ ềỉ ề ế ểệẹìá ỉ ệ ỉ ĐĨ ÙÐ × ĨỊ ĨĐ ØƯÝ ĨƯ Đ ØƯ × ể ệ ểẹẹỉ ỉ ệ ề ìá ẹễệ Đ ề é ệ ắẳẵàá ểẹ ềỉ ễệể é ẹì ểệ ểễ ệ ỉểệ ễểéíềểẹ éìá ỉ ề é ễễé ẵàá ẳ ạẵ ẳẵ ỉỉ ề ặ ễễệểĩ è ểệí ắ ể é ẵ ắ ẹ ệ ắẳẳ àá ầề ỉ ễễé ỉ ẵàá ẵạẵ àá ầề ỉ éể ỉ ểề ể ỉ ị ệểì ể ễểéíềểẹ éá éể ỉ ểề ể ị ệểì ể ểẹễé ĩ ễểéíềểẹ éìá ề ế é ẩệ ẵẳ ẩ ềìểềá ẩể ắẳẵ àá ầề ề ÜØ Ị× ĨỊ Ĩ È ÐÝ ³× ÈĨ× Ø Ú×Ø éé ềì ỉịá ầễỉ ẹ àá ẵ ¾ º ½ ½½℄ º ƯƯ Ị Àº ú Ï ẹẹ ệ ắẳẳ àá ề ề ìỉệÔ ểẹạ í ỉ ểệ ẹ ểệ ềểẹ é ẹ ỉệ ìá èệ ềì ỉểẹ ỉ ểềỉệểé ắẵ ẵ ắẵ ắ éể é ệẹ ỉ ề ễểéíạ ẵắ è ỉ ẵ ắẳẵ àá ặểỉ ểề ẩểì ỉ ìỉ éé ềìÔỉị ểệ ỉệ ĩ ẩểéíềểẹ éìá ắàá ẵ ẵạẵ ắ ẵ è è ũá è ặ íừề ắẳẵ àá ầề ỉ ẩểéíềểẹ éì ì ẹ ỉỉ ẵ ểệ ẵ ấ é ệ ắẳẵẵàá ỉệ × Ị Ư Ơ × Ị ĨĐ ØƯݸ º Ư Þ Ư¸ Ϻ º ÙỊ Ị Ị º ʺ ĨÐÐ ệ ẵ ẹ ệ ề ẩệ ììá ểề ểề ề ặ ểệ ẵ ể ệ ¸ Ⱥ Ä Ị ×Ø Ư Ị ĺ ÊĨ Đ ề ẵ ặ ểệ ẵ ạẻ èạ ể ắẳẵ àá ẩểì ỉ é ệ ì ỉìá ề ì ề ểẹ ỉệíá ẵ ể ỉ ểề ể àá ìỉạẽ ìỉ ề é ì ể ỉệ ĩ ẹ ệ ề ẩệ ììá ặ é ẹ ềỉ ệí ẹ ỉệ ìá ắề ắàá ỉệ ĩ ẩểéíềểẹ éìá ễểéíềểẹ éì ểề ềểề àá ẵẳ ẹ ẩệ ììá ề ệ ỉ ì ì ẹạ ẵ ậ ẹ ệé ề ềệể ề è ìì ệ ắẳẵàá Ị Ð ĨƯ Ø Đ ĨƯ Ø ĨĐƠÐ Ø ×ĨÐÙØ ểề ể ế ệ ỉ ề é ễệể é ẹìá èệ ềìá ỉ ậể ỉ àá ệỉ Ð ½ º ¿ ½ ℄ º À Ị ÐĐ ề ẵ àá ấ ễệ ì ềỉ ề ễểéíềểẹ éì Ý ƠĨ× Ø Ú Ð Ị Ư ÙỊ Ø ĨỊ× ĨỊ ểẹạ ễ ỉ ểề ĩ ễểéí ệ ẩ ỉ ắ ắẳ é ề ẵ àá ầề ỉ ĐĨĐ ỊØÙĐ ƠƯĨ Ð Đ ĨƯ Ø Ị ĨỊ Đ ềì ểềá ẹ ệ ỉ ắạ ắ ẵắ ìỉệ ỉ ểề ề ỉ ểềì ề ẹểệ ắẵ ặ ẹ ề è ìì ệ ắẳẳẵàá ËØỨ ØÙƯ Ơ× Ù Ĩ×Ơ ØƯ ĨƯ ƠĨÐÝỊĨĐ Ð Ú ÐÙ ễệể é ẹìá ỉ ễễé ỉ ểềìá ậ ỉệ ĩ ề é ễễé ẵàá ẵ ạắẳ ắ ắắ ặ ẹ ề è ìì ệ ắẳẳàá ề ệ é ệ ễễé ạắắ ắ ắ Ô ệ é ệỉ ẵ àá ế ệ ỉ ềá ỉ ỊỊº º ÂĨÝ Ð¸ º Ä ÐÐ Ị º Å Ø º ÙÐк ¾ ℄ º ĺ ÃƯ Ú Ị ẵ ệìỉ éé ềì ỉị ắạ ẳ àá ẹ ề ẵ ề é ì ể ỉệ ĩ ẩểéíềểẹ éìá ề ỉ ệ ểệẹ ề éì ậẹẹ ểề ểệẹ ềạ ắ ề ẫ ấ ẵẳ ểề ì ểệ ềạ àá ầề ỉ ềề ĩ ễệ ểệ ểềề ìá éể ỉ ểề ể ị ệểì ể ễểéíềểẹ éìá ề éíì ỉ ẵắá ẳ ạắ ắ ẩ ề ìỉ ệ ẵ àá ẹ ạẹ ỉệ ì ề ệ ỉ ề ìíìỉ ẹìá ẩ ệ ẹểề ẩệ ììá ầĩ ểệ ắ ìì ệệ ắẳẳẵàá éể é ểễỉ ẹ ị ỉ ểề ỉ ễểéíềểẹ éì ề ỉ ẹ ềỉìá ậ ầễỉ ẹ àá ẵ ẵẵ ễệể é ẹ ể ẹểạ ắ ệ ềỉ ắẳẳ àá ậẹì Ĩ ×ÕÙ Ư × ĐĨĐ ỊØ Đ ØƯ × Ị ểễỉ ẹ ị ỉ ểề ể ệ ễểéíạ ềểẹ éìá Ị Đ Ư Ị ƠƠÐ Ø ĨỊ× Ĩ Ð Ư ểẹ ỉệíá ặ ểệ ậễệ ề ệá ẵ ạắ ẳ ẵ ắ ẳ è ũ ắẳẵ àá ậểẹ ẩểì ỉ ìỉ éé ềìÔỉị ẵạ ắ ểệ ễểéíềểẹ é ẹ ỉệ ìá ẩểì ỉ ỉí ẵ àá è ũá è ắẳẵ àá ề éẹ ềì ẩểì ỉ ìỉ éé ềì ỉị ĨƯ ÈĨÐÝỊĨĐ Ð Å ØƯ × ÈĨ× Ø Ú Ị ỉ ểề ẩểéí ệ ẩểì ỉ ỉí ắàá ẳ ắắ ẵ ệ ề ẵ àá ểẹ ỉệí ể ễểéíềểẹ éìá ỉ ẹ ỉ é ậệ íì ậể á ấ ể ìé ề ắ ệì ẹ ệ ỉ éé ắẳẵẳàá ÈĨ× Ø Ú ƠĨÐÝỊĨĐ Ð× Ị ×ÙĐ× Ĩ ×ÕÙ Ư ìá ậễệ ề ệ ẻ éể ềể ¡ ¸ º ˺ Å ØƯ ỊĨÚ Ị Ì º ź ấ ìì ì ẵ àá èểễ ì ề ễểéíềểẹ éìá ĩỉệ ẹ é ễệể é ẹìá ề ế é ỉ ׸ ƯĨ׸ ÏĨƯÐ Ë ỊØ ¸ Ë Ị ƠĨƯ º ¿ ℄ º Ỵº Å ÐĨÚ ỊĨÚ ¡ Ị Ì ấ ìì ì ắẳẳẳàá ề ế é ỉ ì ểệ ễểéíềểẹ é ị ệểìá ề ậệ í ểề Ð ×× Ð ÁỊ ÕÙ Ð Ø × ´Ì º ấ ìì ìá àá ỉ ẹ ỉ ì ề ỉì ễễé ỉ ểềì ẵ ạắẳắá é ệá ểệ ệ ỉ ẵ è ểỉị ề ẵ àá è àá ẩệể ậíẹễ ẽệ ắắ ệ Ø Đ Ø ¹ ĨĐ ØƯ Ị ÕÙ Ð Ø ìá ề ề ế é ỉ ì ẳ ậ ì ỉạẩ ỉỉ ệìểề ìỉ ẵ ạắ ẵ ẹ ẩệ ììá ắẳ ặ ìỉ ệể ắẳẳẳàá ậế ệ ề ỉ ểề é ìíìỉ ẹì ề ểễỉ ẹ ị ỉ ểề ễệể é ẹì ¸ Ị º º º Ư Ị ¸ º ÊĨĨ׸ è è ệé íá ề ậ ề ỉểệìá ẩ ệ ểệẹ ề ầễỉ ẹ ị ỉ ểềá ẳ ẳ é ệ ẹ ẩ é ì ệì Ô ệ ễểì ỉ ẩ éí ẵ ắ àá ì ệ ẵ ẵạẵ ệìỉ ééề ểề ẩểéíềểẹ ềá ẻ ệỉ é ì ệ ặ ỉệạ ểệì ẻ ẩể ệìá ấ ịề ắẳẳẵàá ề ểề ểệ ẩ éí ³× Ø ĨƯ Đ Û Ø ƠƠÐ Ø ĨỊ× ØĨ ễểéíềểẹ éì ễểì ỉ ểề ễểéí ệ ẩệ ễễé é ệ ắắẵạắắ ẵ ẳ ẩỉ ề ệ ẵ àá ẩểì ỉ Ú ƠĨÐÝỊĨĐ Ð× ĨỊ ĨĐƠ Ø × Đ Ð Å ỉ àá ệ ì ỉìá ề ẳ ẩỉ ề ệ ề ẻ ì é ì ẵ àá ậểé ề ẹểẹ ềỉ ễệể é ẹì í ỉ ềì ểềá ềề ể ỉ ắàá àá ẵẳ ạẵẵẳ ẹ ềì ểề é ĩạ ẵ ẵ ấ ịề ẵ ắắẳ àá ề ểệẹ ềểẹ ề ỉểệì ề é ệỉì × Ú ỊØ ỊØ ƠƯĨ Ð Đ¸ Å Ø º ệ ệ ắẳẳàá ậẹì ể ìế ệ ì ểề Ö Ð Ð ¾℄ º Ë ¿℄ º Ë Ö ệ ắẳẳ àá ìỉ ề ì é ệ ắ ề ề ệ ệ ׸ Å Ø º º Ư ƠƯ × ỊØ Ø ểềì ể ềểềạề ắ ắ ẳ ỉ ễểéíềểẹ éìá ẽ ậ ệ ệá ẽ ểé ắẳẳ àá ỉệ ĩ ìẹạể ạìế ệ ì Ư Ð Ü Ø ĨỊ× ĨƯ ƯĨ Ù×Ø × Đ ề ỉ ễệể ệ ẹìá ỉ ẩệể ệ ẹ ẵáắàá ẵ ạắẵẵ ẵẳ ậ ẹÔ ề ẵ ẳàá ề ểề ểễ ệ ỉểệ é Ư × Ị Ư ƠƯ × ỊØ Ø ĨỊ Ø ểệí ầễ ệạ ỉểệ è ểệí ề ì ề ễễé ỉ ểềìá ệ Ôì ệ ẻ ệé ì éạ ểìỉểềạ ệé ề ậ ẹÔ ề ẵ ẵàá è ềề ắẳạắẳ ạẹểẹ ềỉ ễệể é ẹ ểệ ểẹễ ỉ ì ẹ é ắ ậ ẹÔ ẵ ×ØƯ Ø ÈĨ× Ø Ú×Ø ÐÐ Ị× ØÞ ĨƯ Ø ề ắẳẳ àá ẽ íé é ệ ì ỉìá Å Ø º Ư ¸Å Ø º ỊỊº ℄ ú ậ ẹÔ ề ắẳẳ àá ặểề ểẹẹỉ ỉ ệ é é ệ ểẹ ỉệí ìểẹ ì ểề ễỉì Ị Ư×Ø ×º ÁỊ Đ Ư Ị ƠƠÐ Ø ĨỊ× ể é ệ ểẹ ỉệíá ẻểé ỉ ễễé ậễệ ề ệá ặ ểệ á ắ ẳ ẵ ậ ể ệ ắẳẳắàá º ÈÙƯ ƠƠк Ð Ư º ½ Ị Ð ĨƯ ỉ ẹ ễễệể ỉể ậ ẹÔ àáẳ ạẵ ềì ẩểì ỉ ìỉ éé ềì ỉịá ẳ ậ ể ệ ắẳẳ àá éể é ểễỉ ẹ ị Ø ĨỊ Ĩ ƠĨÐÝỊĨĐ Ð× Ù× Ị Ị ×ÙĐ× Ĩ ìế ệ ìá ậ ầễỉ ẹ àá ắẳạ ắ ẵ ẵ ặ ậ ểệ ẵ àá é ìì ể ề ỉ ì àá ẵạ ¾¿ Ư ỊØ Ø ỊØ Ð × ÐĨ Ð Đ ề ẹẹ ểề ì ể ễểéíềểẹ é ề ỉ ểềì í ệạ ắ ẻ ậ ẹểề ề ẩ ệểỉỉ ắẳẳ àá ầề ỉ ềẹ ệ é ìểéỉ ểề Ó (λ2 A + λB + C)x = b Ò ễễé ỉ ểề ỉể ìỉệ ỉệ é íề ẹ ìá ậ ậ ểẹễỉ ẵ ạẵ ắ ẵ ậề ề ẽ ậ ắẳẵẵàá ầề ỉ ểẹễ ỉ ẵàá ẵạẵẳ ể ỉ ểề ể ẵ ậỉ ề é ẵ àá ỉệíá ỉ ềề ắẳ ặééìỉ éé ềì ỉị ề ẩểì ỉ ìỉ éé ềì ỉị ề ì ẹ é ẵ àá ểềỉ ề ỉí ề ể ỉ ểề ể ềểẹ éìá ẩệể ẹ ệ ỉ ậể ẵ ề ề ậ ắẳẵ àá é ẹìá ậ ỉệ ĩ ề é ệểì ể ẩểéíềểẹ éìá ệ ìỉ é ễễé ắàá ắ ệểì ể ề ệ é ểệ ỉ ẹ ểệ ế ẵ º Ư Đ Ưº º ĨĐ ¹ ĨĐ Ị Ø ểềì ể ẩểéíạ ệ ỉ ề é ễệể ... 0, , d, é ì ỉ ề ữ := ề ắì ề ữẹ z C ai+1 f (z) Ø ai+1 , β := max 0≤i≤d−1 Đ Ị α ≤ |z| ≤ β ỉ ửề ì ỉ ề é ẵẵ ´ à ¸Đ Ị Ú M = max ÌƯĨỊ ỉệ ề ề ỉ ề ề ữ ế ẵẵ ễ íá ữẹ á ề é ề ẵá ẵá Ø dº º d Ó... à ÷Ù i=0 M := max à ÕÙ f (z) Ị Đ ØƯĨỊ ad ú K(0, r1 ) = {z ∈ C| |z| ≤ r1 }, ỉệểề r1 é ề ữẹ ề é ềề ỉ Ơ Ị ØỊ z d+1 − (1 + M)z d + M = Ơ Ị Ị Ð ½º½º Ĩ ữ ế ẵẵ ỉ (1 z)f (z)á M := max áẹ ề ữẹ ỉ z... i=1, ,d áẹ ề ỉ ì γ := max Ã Đ Ị 1+ Ị + 4α   Ó f (z) = ad z d + ad−1 z d−1 + · · · + a1 z + a0 Ð Đ Ø |z| ≥ Ơ ad−1 ad g(z) = z d f ( z1 )¸ i=2, ,d ¸Đ Ơ ad i=0, ,d−2 β := max ỉ ữẹ ễ ề ề é ẵẵ