PHỊNG GD&ĐT CON CNG Đề thức Câu 1(5 điểm): Cho biểu thức A = a) Rút gọn A KÌ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN LỚP THCS NĂM HỌC: 2018 – 2019 Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) x +1 x 2+5 x + + 4− x x −2 x +2 với x ≥ x ≠ 4 b) Tính giá trị A x = c) Tìm giá trị x để A có giá trị nguyên Câu (4điểm): Giải phương trình sau: a) x − x + = x + b) x + + x − x = − − x Chứng minh với số nguyên n n3 + 3n2 + 2018n chia hết cho Câu (2,5 điểm): Cho đường thẳng (d) có phương trình: (m+1)x + (m-2)y = (d) (m tham số) a) Tìm giá trị m biết đường thẳng (d) qua điểm A (-1; -2) b) Tìm m để (d) cắt trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích Câu (7,0 điểm): Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ tiếp tuyến Ax, By Lấy điểm M thuộc nửa đường tròn ( M khác A B) Kẻ MH vng góc với AB H a) Tính MH biết AH = 3cm, HB = 5cm b) Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By C D Gọi I giao điểm AD BC Chứng minh M,I,H thẳng hàng c) Vẽ đường tròn tâm (O’) nội tiếp tam giác AMB tiếp xúc AB K Chứng minh diện tích S∆AMB = AK.KB Câu (1,5 điểm) Cho x; y số thực dương thỏa mãn (x+1)(y+1) = 4xy Chứng minh rằng: 3x + + y2 +1 ≤1 HẾT Đề có 01 trang Cán coi thi khơng giải thích thêm Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay PHỊNG GD&ĐT CON CNG Câu (5 điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP HUYỆN LỚP THCS NĂM HỌC: 2018 – 2019 Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Hướng dẫn giải, đáp án Điểm a) x +1 x 2+5 x + + 4− x x −2 x +2 A= b) = ( x + 1)( x + 2) + x ( x − 2) − (2 + x ) ( x − 2)( x + 2) = x + x + + 2x − x − − x ( x − 2)( x + 2) 0,5 = x ( x − 2) x = ( x − 2)( x + 2) x +2 1,0 Với x ≥ x ≠ , x = ( t/m đk ) 3 = A= +2 +2 0,25 0,75 = 4 0,5 c)Với x ≥ x ≠ 0,25 = 0,5 +2 = x x + có giá trị nguyên A nguyên x 6 = 3− 〈3 x +2 Mặt khác x + (vì x + > ) ⇔ Suy ≤ A < Vì A nguyên nên A = ; ; A = giải ta x = ( T/m đk ) A= giải ta x = ( T/m đk ) A = giải ta x = 16 ( T/m đk ) Vậy A nguyên x { ;1 ;16} 0,25 0,25 0,75 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Câu x2 − x + = x + (4,0 điểm) ⇔ 2x −1 = 2x + 1) a) b)Đk −1  x ≥  ⇔ 2x −1 = 2x +1  2 x − = −2 x − −1  x ≥  ⇔ x = 2(kt / m)   x = 0≤ x ≤ x + + x − 2x = − − x ⇔ x + + − x = 2( x − 1) + (1) 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 Vế trái (1) bé ; vế phải lớn  x + = − x ⇔ ⇔ x =1 x − = Dấu xẩy  (t/mđk) Vậy pt có nghiệm x = Câu (2,5 điểm) n3 + 3n2 + 2018 n = n.(n+1)(n+2) + 2016n n.(n+1)(n+2) tích số nguyên liên tiếp nên vừa chia hết cho vừa chia hết n.(n+1)(n+2) chia hết cho 2016n chia hết cho Vậy n3 + 3n2 + 2018 n chia hết cho với n € Z a) Đường thẳng (d) qua điểm A (-1; -2) nên ta có x = - 1; y = -2 thay vào giải ta m = Để d cắt trục tọa độ m ≠ -1 ; c) Giả sử (d) cắt trục tọa độ điểm A B ta tính 3 ;0 0; tọa độ A ( m + ) B ( m − ) Ta có tam giác OAB vuông O nên 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 S ∆OAB = 1 3 OA.OB = 2 m +1 m − S ∆OAB = 3 ⇔ = 2 m +1 m − 2  ± 13 m =   1± m = Giải ta có  (t/mđk)  ± 13 m =   1± m = Vậy  ……… 0,25 0,5 a) Tam giác AMC vng M có MH đường cao MH = AH BH ( hệ thức lượng… ) = 3.5 = 15 (cm) 0,5 0,5 AC AI CM = = a) Vì AC song song với BD nên ta có BD ID MD ( Vì 0,5 AC=CM; BD =MD) Suy MI// AC Mà MH//AC ( vng góc AB) Suy M, I, H thẳng hàng c)Đặt AB = a; AM = c; BM = b Ta có 0,5 0,5 0,5 1,0 0,5 a+c−b a+b−c ; BK = 2 a + c − b a + b − c  (a + c − b ).(a + b − c )  ⇒ AK BK = =   2   AK =  a − (b − c)   a − (b + c ) + 2bc   =   2 2  2  2bc = = bc 2 = AM BM = S∆AMB S ∆AMB = Vậy = AK.KB Từ (x+1)(y+1) = 4xy (1,5 điểm) x +1 y +1 =4 x y 1 ⇔ (1 + )(1 + ) = x y 1 Đặt a = x ; b = y 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ⇒ 0,5 Ta có (1+a)(1+b) = ⇒ = a + b + ab ⇔ ( a − b ) + ab + ab ≥ ab + ab Từ ab ≤ 0,5 Áp dụng AM – GM cho số thực dương ta có 3x + = x = 3+ x2 = a a + b + ab + a a a a ≤ ( + ) (a + b)(a + 1) a + b a + Tương tự ta có 3y2 +1 ≤ a b ( + ) a + b b +1 0,5 Cộng vế theo vế ta 3x + + 3y +1 ≤ a b a b ( + + + ) a + b a + b a +1 b +1 2ab + a + b ab + 1+ (1 + ) ≤ (1 + ) ≤ (1 + ) ( a + 1)(b + 1) 2 ≤1 a  a  a + b = b + ⇔ a = b =1   b = b Dấu xẩy  a + b b + ≤ x=y=1 UBND HUYỆN QUỲ HỢP PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP VỊNG - NĂM HỌC 2018 - 2019 Mơn thi: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút( khơng kể thời gian giao đề) Câu (5.0 điểm) a Cho số tự nhiên A biết A = 99 98 ( 2018 chữ số ) Tính tổng chữ số số A b Tìm số tự nhiên n cho n + 39 n − 25 hai số phương 2 c Với a, b số nguyên Chứng minh 4a + 3ab − 11b chia hết cho a − b chia hết cho Câu ( 4.0 điểm) a Cho < a < b thỏa mãn 3a + 3b = 10 ab Tính giá trị biểu thức: M= a+b a −b b Cho A = 2018 − 2017 B = 2019 − 2018 So sánh A B Câu ( 4.0 điểm) a ( Giải phương trình: )( ) x + − x + + x + 11x + = x − b Cho a, b, c > thỏa mãn ab + bc + ac ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2a + 3b3 2b + 3c 2c + 3a P= + + a + 4b b + 4c c + 4a Câu (6.0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn ; đường cao AK , BD , CE cắt H AC + BC − AB KC = 2 KB a Chứng minh rằng: CB + BA − AC b Giả sử AK = 3HK Chứng minh rằng: tanB.tan C = c Giả sử diện tích tam giác ABC S∆ABC = 240 cm số đo góc BAC 600 Hãy tính diện tích tam giác ADE ? Câu (1.0 điểm) 1; 2;3; ;100} Chứng minh rằng: Trong 51 số thuộc tập { chọn hai số mà số bội số -Hết -Lưu ý: - Học sinh bảng B làm câu 3b - Học sinh không sử dụng máy tính Họ tên thí sinh SBD UBND HUYỆN QUỲ HỢP PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP VÒNG - NĂM HỌC 2018 - 2019 ĐÁP ÁN MƠN THI: TỐN Câu Ý (5.0 điểm) Đáp án Ta có: a A = 10 2019 − ( ⇒ A = 10 2019 − ) = 104038 − 4.10 2019 = 102019 − 102019 + ( ) = 99 9600 04 ( 2018 chữ số Vậy tổng chữ số số A là: 2 Giả sử n + 39 = k , n − 25 = h (với ⇒ k − h = 64 ⇔ ( k − h ) ( k + h ) = Do k − h k + h số nguyên b k − h = k = 17 ⇔  h = 15 ⇒ n = TH1: k + h = 32 k − h =  k = 10 ⇔  h = ⇒ n = TH2: k + h = 16 k − h = k = ⇔  h = ⇒ n = 25 TH3: k + h = Vậy có số tự nhiên n thỏa mãn y ( ) Ta có: 2 Do 4a + 3ab − 11b M5 ⇒ 4a + 3ab a − b4 = a − b2 )(a + b2 = ⇒ ( a + b ) ( 4a − b ) M5 c  a + b M5 ⇒  4a − b M5 4 TH1: a + bM5 ⇒ a − b M5 TH2: 4a − b M5 ⇒ 5a − ( a + b ) M5 ⇒ a Ta có: 3a + 3b = 10 ab ⇔ 3a − ab ⇔ a (4.0 điểm) ( )( ) a −3 b a − b =  a =3 b  a = 9b ⇔ ⇔  b = a b = a Do b > a ⇒ b = 9a a + b a + 9a 10a M= = = =− a − b a − 9a −8a Vậy Xét hiệu: B − A = 2019 + 2017 − Đặt M = 2019 + 2017 N = b Ta có: M = 4036 + 2019.2017 , N ( )( ) Mà 2 Do đó: M < N ⇒ M < N (vì M , 2019.2017 = 2018 + 2018 −  x +91 ≥ ⇔x  x + ≥  Điều kiện xác định: Đặt a = x + 1, b = x + ( a, b ≥ Lưu ý: Học sinh làm cách khác chấm điểm tối đa cho câu 10 ... VÒNG - NĂM HỌC 2018 - 20 19 ĐÁP ÁN MÔN THI: TOÁN Câu Ý (5.0 điểm) Đáp án Ta có: a A = 10 20 19 − ( ⇒ A = 10 20 19 − ) = 104038 − 4.10 20 19 = 1020 19 − 1020 19 + ( ) = 99 96 00 04 ( 2018 chữ số Vậy... =3 b  a = 9b ⇔ ⇔  b = a b = a Do b > a ⇒ b = 9a a + b a + 9a 10a M= = = =− a − b a − 9a −8a Vậy Xét hiệu: B − A = 20 19 + 2017 − Đặt M = 20 19 + 2017 N = b Ta có: M = 4036 + 20 19. 2017 , N... SINH GIỎI LỚP VÒNG - NĂM HỌC 2018 - 20 19 Mơn thi: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút( không kể thời gian giao đề) Câu (5.0 điểm) a Cho số tự nhiên A biết A = 99 98 ( 2018 chữ số ) Tính tổng chữ