PHÒNG GD&ĐT NAM ĐÀN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Bài (5 điểm ): Cho biểu thức: A = a, Rút gọn biểu thức A b, Tính giá trị A c, Tìm giá trị x để A có giá trị nguyên Bài (4,5 điểm ): a, Chứng minh b, Giải phương trình c, Tìm số tự nhiên có chữ số vừa số phương vừa lập phương Bài (4 điểm ): a, Tìm số thực x để đồng thời số nguyên b, Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn: a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức +3 Bài (6,5 điểm ): 1, Cho ABC vuông A, có trung tuyến AM, đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A vẽ tia Bx, Cy vng góc với BC Qua A kẻ đường thẳng vng góc với AM, cắt Bx Cy P Q Chứng minh: a, AP = BP AQ = CQ b, PC qua trung điểm AH c, Khi BC cố định, BC = 2a, điểm A chuyển động cho góc BAC 90 Tìm vị trí điểm H đoạn thẳng BC để diện tích ABH đạt giá trị lớn nhất.Tìm giá trị lớn 2, Chứng minh rằng: Nếu tất cạnh tam giác nhỏ diện tích tam giác nhỏ Họ tên thí sinh SBD https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN NĂM HỌC: 2018-2019 THỨ TỰ Ý NỘI DUNG ĐKXĐ: 0,5đ , a (2đ) Rút gọn được: Bài (5đ) 1,5đ 0,5đ thỏa mãn ĐK b (1,5đ) Thay vào A tính  c (1,5đ) 1đ (1) Bài (4,5đ) b (1,5đ) c (1,5đ) 0,5đ 0,5đ  Mà 0,5đ  Thay A vào (1) tìm a (1,5đ) ĐIỂM   Lập luận  Mà hai số nguyên tố  Vậy  ĐK Chuyển vế, vế không âm bình phương ta có   Để PT có nghiệm  Đối chiếu ĐK => x = thỏa mãn tốn  Gọi số phương cần tìm Vì vừa số phương vừa lập phương => với  Vì => y số phương Mà 1000 9999  10 y phương  Tìm y=16 => = 4096 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ  Đặt Từ (1) => Bài (4đ) Thay vào (2) => a (2đ)  Biến đổi đưa Vì => =>  Với m = n =4 =>  m=n= https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ => m = n 0,5đ 0,5đ 0,5đ  Vì a,b,c số thực dương a + b + c =   Áp dụng BĐT Cô-si ta có: 0,5đ 1đ +3 b (2đ) ( Do a + b + c = )  => 0,5đ 1a (2đ) Bài (6,5đ) 1b (1,5đ) 0,5đ 0,5đ Vẽ hình  Do ABC vng A nên MA=MB=MC  Từ cặp tam giác vng sau nhau: (cạnh huyền-cạnh góc vng)  => PA=PB; QA=QC Gọi giao điểm PC AH I  Vì IA//QC QA=QC nên ta có: 0,5đ 1đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ  Mặt khác ta có: ( Vì AI//QC );  Từ ta có: https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ ( Vì IH//PB) , suy IH=IA (vì PA=PB) 0,5đ 0,25đ  Ta có   Lại có  vng A có AH đường cao ( Hệ thức tam giác vuông ) 0,25đ  => 0,5đ 1c (1,5đ)  0,25đ 0,25đ  Suy  Giá trị lớn BH = 3HC hay 2, (1đ)  Vẽ tam giác ABC đường cao BH  Gọi A góc nhỏ =>  Ta có  Do Chú ý: Thí sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 1đ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN Ý YÊN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN : TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Đề gồm 01 trang) Câu (6,0 điểm) Rút gọn biểu thức:    Cho ba số a, b, c khác a + b + c = Chứng minh rằng: 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c � xy  x �� x 1   1�� : 1 Cho biểu thức A  � � xy  1  xy �� � �� a) Rút gọn biểu thức A b) Cho xy  x xy   x 1 � �với x, y > 0; xy≠ xy  � �  6 Tìm giá trị lớn biểu thức A x y Câu (5,0 điểm) Giải phương trình: 12x  3x   3x  2 � �x  xy  2y  Giải hệ phương trình: � �x  5y   Câu (2,0 điểm) Tìm tất giá trị x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức: 2x  4x  19  3y Câu (5,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính BC Một điểm A nằm đường tròn (A khơng trùng với B C) Kẻ AH  BC (H �BC);HM  AB (M� AB); HN  AC (N�AC) �  cos2OAC �  CN  �AC � Chứng minh: sin AMN � � BM �AB � 2 Gọi D điểm nằm O C;Kẻ DE  AB (E�AB);DF  AC (F �AC) Chứng minh: DB.DC = EA.EB + FA.FC Xác định vị trí điểm A đường tròn (O) để diện tích tứ giác AMHN đạt giá trị lớn Khi tính diện tích tứ giác AMHN theo R https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 1 Câu (2,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương thoả mãn:  x   y   z  xyz Chứng minhrằng: x  y  z � …………….Hết …….…… Họ tên thí sinh:……………………………… ………………… Số báo danh:………………………………… ………………… https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: HƯỚNG DẪN CHẤMKHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN TỐN NĂM HỌC 2018 - 2019 Nội dung Điểm Câu ( 6, 0điểm) (1,0 đ).Rút gọn    Ta có 2  2  42  42  2 (  1)  (  1) 2 (    1)   � 2  2  2  0,5 0,5 ( 2,0 đ) Cho ba số a, b, c khác a + b + c = Chứng minh rằng: 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c 0,5 1 1 � �1 1 � �1    �   � �   � a b c �a b c � �ab bc ca � Ta có 0,5 0,5 �1 1 � �a  b  c �  �   � � � �a b c � � abc � �1 1 �  �   � (do a  b  c  ) �a b c � 0,5 1   a b c = � x 1 �� xy  x xy  x   1�� : 1  3.(3,0 đ) Cho biểu thức A  � � �� � xy  1  xy xy  �� x 1 � � xy  � � với x, y > 0; xy ≠ a) Rút gọn biểu thức A b) Cho  6 Tìm giá trị lớn A x y a)(2,0đ)Với x, y > 0; xy ≠ 1có: A  x  1   xy    xy  x   xy  1   xy  1   xy       xy  1   xy  : xy  1   xy    xy  x   xy  1   x  1   xy   xy  1   xy  x  1   xy    xy  x   xy  1   xy  1   xy  xy  1   xy    xy  x   xy  1   x  1   xy  https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/  0,5  0,5  22 x  2x y  xy xy 1,0 b) (1,0đ) Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương  �1 x y xy ; x y , ta có: (do   ) x y xy 0,5 �1  � y �x Dấu xảy  �  x = y = (thỏa mãn) �1   x y � � Vậy giá trị lớn A x = y = 0,5 Câu 2.( 5,0 điểm) 1.(2,5đ) Giải phương trình 12x  3x   3x  Đ: x � 0,25 0,5 12x  3x   3x    � 12x  3x   x  1( ÐK :12x  3x  �0) � 144 x  x   72 x3  24 x  x  x  � 144 x  72 x3  15 x  x    0,5 � x 144 x3  72 x  15 x   x  0(ktm) � �� 144 x  72 x  15 x   0(1) �   (1) �  x  1 36 x  27 x   0,5đ � x   (tm) � � � 36 x  27 x   0(2) � Giải (2) tìm hai nghiệm x1  27  297 27  297 (tm); x2  (ktm) 72 72 KL nghiệm pt… 0,5 0,25 2 � �x  xy  2y  2.(2,5 đ) Giải hệ phương trình � �x  5y    * x  xy  y  �  x  y   x  y   ta x = y x = -2y Với x = y thay vào phương trình (*) ta pt y2 +5 y +4 = Giải phương trình, tìm y = -1; y = -4 Từ tìm x https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 0,5 0,5 0,5 0,25 Với x = -2y thay vào phương trình (*) ta 4y + 5y + = Chứng minh 0,5đ phương trình vơ nghiệm KL nghiệm hệ 0,25đ Câu (2,0 điểm) Tìm tất giá trị x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức: x  x  19  y 0,5 x  x  19  y x  x   21  y � 2( x  1)  3(7  y ) (1) Với x, y nguyên vế trái (1) chia hết từ (1) có: 3(7  y )M2 �  y M2 � y lẻ 0,5 Ta lại có  y �0 nên y  Khi 2( x  1)  18 0,5 Ta được: x + = �3 , đó: x1  2; x2  4 Các cặp số (2 ; 1), ; -1), (-4 ; 1), (-4 ; -1) thỏa mãn (1) KL …… 0,25 0,25 Câu (5,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính BC Một điểm A nằm đường tròn (A khơng trùng với B C) Kẻ AH  BC (H �BC);HM  AB (M �AB); HN  AC (N �AC) �  cos2OAC �  CN  �AC � Chứng minh: sin AMN � BM � �AB � 2 Gọi D điểm nằm O C; Kẻ DE  AB (E �AB);DF  AC (F � AC) Chứng minh: DB.DC = EA.EB + FA.FC Xác định vị trí điểm A đường tròn (O) để diện tích tứ giác AMHN đạt giá trị lớn Khi tính diện tích tứ giác AMHN theo R 1.(2đ) Chứng minh Do sin2 + cos2 = = sin2 (= 0,5 ) + cos2 CM AC2 = CH.BC ; AB2 = BH.BC Do 0,25 =1 ⇒ CM CH =CN.AC ; BH = BM AB Kết hợp với (1) ⇒ 2 (1) 0,5 0,5 0,25 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ ⇒ (đpcm) 2.(1,5đ) Xét tam giác ABC với DF // AB( DF ⊥ AC, DE ⊥ AB), theo định lí Talet ta có 0,5 ( CM DF = AE)(2) CM tương tự có: (3) 0,5 Nhân vế (2) (3) ta có Áp dụng tính chất dãy tỉ số có: 0,25 Từ CM DB.DC = EA.EB + FA.FC.(đpcm) 0,25 3.(1,5đ) CM AMHN hình chữ nhật ⇒ SAMHN = AM.AN (4) 0,25 CM AH = AM.AB ⇒ AM = CM tương tự có AN= 0,5 (5) (6) 0,5 Từ (4),(5),(6) có SAMHN = Vậy giá trị lớn diện tích tứ giác AMHN đường tròn (O), cho ABC vng cân A Khi điểm A thuộc Câu (2,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương thoả mãn: 0,25 1   1 1 x 1 y 1 z xyz Chứng minhrằng: x  y  z � Ta đặt �x 1  a,  b,  c (ĐK: a, b, c  ) 1 x 1 y 1 z 0,5 1 a b  c 1 b a  c 1 c a  b  ,y  ,z   a a b b c c xyz � Do x  y  z � CM : a b b c c a   � (*) bc ca ca ab ab bc a b 1� a b � � �  � b  c c  a �a  c b  c � b c 1� b c � � �  � c  a a  b �b  a c  a � https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 0,5 0,5 c a 1�c a � � �  � a  b b  c �c  b a  b � Do a b b c c a 1�a b b c c a �   � �      � bc ca c  a a b a  b b  c �a  c b  c b  a c  a c  b a  b � Vậy BĐT(*) ln đúng, suy đpcm https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 0,5 ... phương cần tìm Vì vừa số phương vừa lập phương => với  Vì => y số phương Mà 1000 99 99  10 y phương  Tìm y=16 => = 4 096 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ  Đặt Từ (1) => Bài (4đ)...HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN NĂM HỌC: 2018- 20 19 THỨ TỰ Ý NỘI DUNG ĐKXĐ: 0,5đ , a (2đ) Rút gọn được: Bài (5đ) 1,5đ 0,5đ thỏa mãn ĐK... 1đ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN Ý YÊN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2018 - 20 19 MƠN : TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (Đề gồm 01 trang) Câu (6,0 điểm) Rút gọn biểu thức: