20 bài đầu tiên download here Bài 21: (LHP 2003 - 2004) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH và trung tuyến AM. Vẽ đường tròn tâm H bán kính AH, cắt AB tại D, cắt AC tại E (D khác E và khác điểm A). a) Chứng minh D, E, H thẳng hàng. b) Chứng mình và c) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn (O). Tứ giá AMOH là hình gì? d) Cho . Tính diện tích tam giác HEC theo a. Hướng dẫn giài a) Ta có nên DE là đường kính của đường tròn (H; HA). Suy ra D, H, E thẳng hàng. b) Tam giác HAD cân tại H nên Trong tam giác vuông ABC có AM là đường trung tuyến nên , suy ra tam giác MAC cân tại M, từ đó . Hơn nữa ( cùng phụ với góc ABC) Từ đó ta có: Suy ra . c) Theo câu b thì ta có Suy ra tứ giác BECD nội tiếp (hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới một góc vuông) Gọi O là tâm đường tròn đi qua 4 điểm B, E, C, D. Vì M, H là lần lượt là trung điểm của DE và BC nên . Mà Suy ra AM // OH và OM // AH, suy ra tứ giác OMAH là hình bình hành. d) Trong tam giác vuông AHC có: Tam giác AHE cân tại H có nên là tam giác đều, suy ra AE = AH = a, suy ra EC = AC - AE = a. Vậy Bài 22 (LHP 2003 - 2004) Cho hình thang ABCD có hai đường chéo AC và BD cùng bằng đáy lớn AB. M là trung điểm của CD. Cho biết . Tính các góc của hình thang. Hướng dẫn giải Ta có AC = BD nên ABCD là hình thang cân, suy ra $latex \widehat{DAB} =\widehat{ABC}. Mà Nên ta có: Gọi N là trung điểm của AD, ta có MN là đường trung bình của tam giác DAC, suy ra Từ đó ta có tứ giác NABM là tứ giác nội tiếp, suy ra Mặt khác tam giác ADB cân tại B có BN là đường trung tuyến nên cũng là đường cao, do đó: Suy ra Tam giác AMN vuông tại M có MA = MB (t/c đối xứng trục của hình thang) nên là tam giác vuông cân, suy ra Tam giác ABC cân tại A, suy ra $latex =\widehat{MBC} + 2 \widehat{MBC} + 2 \widehat{ABM}$ Suy ra Từ đó ta có Và Bài 13:(LHP 2004 - 2005) Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O; R). Về phía ngoài tam giác dựng tam giác đều ACD. BD cắt đường tròn tại E và cắt đường cao AH của tam giác ABC tại M. a) Chứng minh tứ giác ADCM nội tiếp. b) Tính DE theo R. Hướng dẫn giải a) Ta có AB = AC, OB = OC nên AO là đường trung trực của BC nên cũng là đường cao và là đường phân giác góc A. Ta có (c.g.c) Suy ra Ta có AD = AC (tam giác ACD đều) và AC = AB (tam giác ABC cân) suy ra AD = AB, tam giác ABD cân tại A, do đó: Từ (1) và (2) ta có: tứ giác ADMC nội tiếp ( 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau) b) Ta có Xét tam giác AOC và tam giác DEC có: + (ADCM là tứ giác nội tiếp) + (cmt) Suy ra Bài 14: (PTNK AB 2006 - 2007) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, có và AC cắt BD tại I. Biết rằng IA = 6cm, IB = 8cm, ID = 3cm. a) Chứng minh tam giác ABC cân. ) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính độ dài đoạn MN. c) Gọi P là giao điểm của IO và MN. Tính độ dài đoạn PN. Hướng dẫn giải a) Xét và có: + (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC) + (đối đỉnh) Do đó: Vậy Khi đó AC = IA + IC = 10cm. Tam giác IAB vuông tại I, theo định lý Pytagore ta có: Tam giác ABC có AB = AC (=10cm) nên là tam giác cân tại A. b) Gọi E là trung điểm của BC. Vì M, E lần lượt là trung điểm của AB, BC nên ME là đường trung bình của tam giác ABC. Vì N, E lần lượt là trung điểm của CD, BC nên NE là đường trung bình của tam giác BCD. Ta có: Và Tam giác MEN vuông tại E, theo định lý Pytagore ta có: c) IN cắt AB tại S. Tam giác ICD vuông tại I, IN là đường trung tuyến nên IN = DN, cân tại N Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC) Suy ra Mặt khác Do đó: cân tại S. Ta có (liên hệ giữa đường kính và dây cung) và Chứng minh tương tự ta cũng có NO // IM. Tứ giác IMON có NO // IM, MO // IN nên là hình bình hành P là trung điểm của MN. Do đó Bài 15 (LHP 2002 - 2003 đề chung) Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng (d) không qua O cắt đường tròn tại A và B. Từ một điểm M di động trên đường thằng (d) và nằm ngoài (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MN, MP với (O) (N, P là hai tiếp điểm) a) Chứng minh b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua một điểm cố định khi M lưu động trên đường thẳng (d). c) Xác định vị trí điểm M trên đường thẳng (d) sao cho tứ giác MNOP là một hình vuông. d) Chứng minh rằng tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MNP luôn di động trên một đường cố định khi M lưu động trên (d). Hướng dẫn giài a) Ta có (MN là tiếp tuyến của (O)) Và (MP là tiếp tuyến của (O)) Suy ra tứ giác ONMP nội tiếp, khi đó ta có b) Vì tứ giác ONMP nội tiếp nên O thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP. Vậy khi M thay đổi thì đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP luôn đi qua O cố định. c) Ta có MN = MP (t/ tiếp tuyến) và ON = OP (1) suy ra OM là đường trung trực của NP, do đó . Tứ giác ONMP có hai đường chéo vuông góc nhau nên để là hình vuông khi và chỉ khi nó là hình thôi, do (1) nên điều này tương đương với MN = OM tam giác MON vuông cân tại N d) Gọi I là giao điểm của OM và (O). Ta có MI là phân giác của (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau). Vì I thuộc OM đường trung trực của NP nên ta có IN = IP, suy ra tam giác INP cân tại I Mặt khác (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung đó) Do đó NI là phân giác góc MNP. Vậy I là giao điểm hai đường phân giác của tam giác NMP nên là tâm đường tròn nội tiếp tam giác và I thuộc (O) cố định. Bài 16 (LHP 04 - 05 Đề chung) Cho tam giác ABC cân tại B nội tiếp trong đường tròn tâm O. Trên cung AC không chứa B lấy hai điểm M và K theo thứ tự A, K, M, C. Các đoạn thẳng AM và BK cắt nhau tại E, các đoạn thẳng KC và BM cắt nhau tại D. Chứng minh ED song song với AC. Bài 16 (LHP 04 - 05 Đề chung) Cho tam giác ABC cân tại B nội tiếp trong đường tròn tâm O. Trên cung AC không chứa B lấy hai điểm M và K theo thứ tự A, K, M, C. Các đoạn thẳng AM và BK cắt nhau tại E, các đoạn thẳng KC và BM cắt nhau tại D. Chứng minh ED song song với AC. Hướng dẫn giải Ta có (góc nội tiếp cùng chắn cung AC) và (góc nội tiếp cùng chắn cung AB) Mà (tam giác ABC cân tại B). Do đó suy ra tứ giác DEMK nội tiếp Mặt khác (góc nội tiếp cùng chắn cung AK) Nên ta có mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên . vuông góc nhau nên để là hình vuông khi và chỉ khi nó là hình thôi, do (1) nên điều này tương đương với MN = OM tam giác MON vuông cân tại N d) Gọi I là. Do đó: Vậy Khi đó AC = IA + IC = 10cm. Tam giác IAB vuông tại I, theo định lý Pytagore ta có: Tam giác ABC có AB = AC (=10cm) nên là tam giác cân tại A.