Đang tải... (xem toàn văn)
Bộ tài liệu là các ví dụ và phương pháp để viết phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng trong không gian. Có các dạng cụ thể, mỗi dạng đều trình bày phương pháp giải, các ví dụ và lời giải giúp người học dễ hiểu.
1 Phương trình mặt phẳng trước P qua điểm M song song với mặt phẳng cho PP: Mặt phẳng P mặt phẳng Từ viết phương trình mặt phẳng P r uur n n song song với mặt phẳng Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng P qua nên VTPT P VTPT qua M có VTPT M 1;2;3 song song mặt phẳng Q : 2x 3y 2z Lời giải Vì mặt phẳng P r n 2; 3;2 song song với mặt phẳng Q nên VTPT mặt phẳng P � mp P : x 1 y z 3 � 2x 3y 2z Phương trình mặt phẳng phẳng P qua M vng góc với mặt phẳng Q mặt R PP: Mặt phẳng P vng góc với mặt phẳng Q mặt phẳng R nên r uu r r uu r uu r � �n n1 � � r uu � n n ,n r �r uu r uu r 2� � n n2 P , Q , R � n,n ,n VTPT mặt phẳng với r P n Từ viết phương trình mặt phẳng qua M có VTPT Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng P qua 1; 1;2 vng góc với mặt phẳng Q : x 3z 0; R : 2x y z Lời giải r uu r uu r P , Q , R n,n ,n VTPT mặt phẳng Gọi r uu r r uu r uu r � � mp P mp Q �n n1 � � �r uu n1 ,n 3; 5;1 � r�n� � � mp P mp R n n2 � � Vì Phương trình mặt phẳng P : 3 x 1 y 1 1 z � 3x 5y z 10 Phương trình mặt phẳng P qua hai điểm A, B vng góc với mặt phẳng Q r uu r Q P n,n VTPT mặt phẳng mặt phẳng PP: Gọi Vì mặt phẳng P qua A, B mp P vng góc với mặt phẳng Q nên r uu r uu r uuur � n n � � � � n r u u u r � ,AB � � P n AB � Từ viết phương trình mặt phẳng Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng vng góc với mặt phẳng P qua hai điểm A 0;1;0 B 1;2; 2 Q : 2x y 3x 13 Lời giải uu r r uu r P n 2; 1;3 n,n VTPT mặt phẳng Gọi mặt phẳng có uuur AB 1;1; 2 P Q P mặt phẳng qua AB nên vng góc với mặt phẳng mặt phẳng r uu r uuur � n� n �1 , AB � 1; 7; 3 � mp P : x y 1 3z � x 7y 3z Viết phương trình mặt phẳng P qua điểm A, B, C cho trước r P P n PP: Gọi VTPT mặt phẳng Vì mp qua A, B, C nên r uuur uuur uuur � �n AB r � � � n AB,AC r u u u r � � � P n AC � Từ viết phương trình mặt phẳng qua M có VTPT r n Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng P qua A 1;0;1 ,B 0;2;0 ,C 0;1;2 Lời giải r P P Gọi n VTPT mặt phẳng Vì mặt phẳng qua A, B, C nên r uuur uuur uuur � �n AB r � � � n AB,AC �r uuur � � n AC � uuur r AB 1;1;1 � n 3;2;1 � Ta có phương trình mặt phẳng uuur AC 1;1;1 P : 3 x 1 2y 1 z 1 � 3x 2y z Viết phương trình mặt phẳng P qua điểm M giao tuyến mặt phẳng Q , R PP: - Mọi điểm thuộc giao tuyến có tọa độ nghiệm phương trình gồm phương - trình mặt phẳng Từ hệ chọn điểm A, B thuộc giao tuyến sau viết phương trình mặt phẳng qua điểm A, B, M dạng P R Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng P qua M 2;0;1 giao tuyến mặt phẳng R : x 2y z 0; Q : 2x y z Lời giải Mọi điểm thuộc giao tuyến có tọa độ nghiệm hệ x 2y z � � 2x y z � �x 2y �x z 4�� �� � A 0;0;4 2x y �y � Cho thuộc giao tuyến �x 2y �y x 1� � � � � B 1;1;1 x y �z � Cho thuộc giao tuyến � mặt phẳng P qua M, A, B (dạng 4) uuuu r uuur r uuuu r uuur � 3; 3; 2 MA 2;0;3 ;MB 1;1;0 � VTPTn � MA,MB � � Mặt phẳng P qua M nên có phương trình: 3 x 3y z 1 � 3x 3y 2z Viết phương trình mặt phẳng trước P hợp với mặt phẳng Q góc cho PP: Gọi phương trình mặt phẳng P : ax+by +cz +d =0, a b2 c2 �0 Dựa vào giả thiết để tìm mối liên hệ a, b, c, d sau đưa mặt phẳng dạng có tham số (thơng thường chứa nhiều tham số tham số a, b, c, d) Giả sử mặt phẳng Q : kx my nz q Q P Vì tạo với góc phẳng r uu r cos n,n1 cos r uu r Với n,n1 VTPT mặt P mặt phẳng Q Từ giả thiết r uu r n.n1 � r uu r = cos n n1 Từ tìm giá trị tham số thay vào ta có phương trình mặt phẳng Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng Q : 2x y 11z P chứa trục Oz tạo với mặt phẳng góc 60� Lời giải P Vì mặt phẳng VTPT mặt phẳng P chứa Oz nên P : r n a;b;0 có dạng: ax by 0, a b c �0 VTPT mặt phẳng uu r Q : n1 2; 1; 11 r uu r � P , Q � � � 60�� cos n,n1 cos60� 2a b 11 � a b 22 1 11 Có � 2a b a2 b2 � 4a2 b2 4ab 4a2 b2 �b � 3b 4ab � � � b a � P :x TH1: b chọn a 1� mặt phẳng b a chọn a 3� b � mặt phẳng P : 2x 4y TH2: Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng phẳng P qua A 1;0;0 ,B 0; 2;0 Q : y z góc 60� Lời giải Mặt phẳng P có dạng: ax by cz d Mặt phẳng P qua A, B nên � a d � d �a d � � � d � mp P : dx y cz d � 2b d �b � � � tạo với mặt � 2dx dy 2cz 2d * , d2 c2 �0 r P : n 2d,d,2c VTPT mp uu r Q : n 0,1,1 VTPT mp Vì mặt phẳng P tạo với mặt phẳng Q r uu r � cos n,n1 cos60�� góc 60� d 2c 4d2 d2 4c2 12 1 � d 2c 5d2 4c2 Bình phương vế ta được: 2d2 8c2 8dc 5d2 4c � 4c2 8dc 3d2 coi c ẩn ta có: ' 4d 12d2 28d2 � 4d 7d �2 � c � d � � � � � � � � ' 7d � � 4d 7d �2 � � c � d � � � � � � � c TH1: 4d 7d �2 � � d � � � � � chọn d � c thay vào * có: Mặt phẳng P : 4x 2y 2 c TH2: z � 2x y z 4d 7d �2 � � d � � � � � chọn d � c thay vào * có: Mặt phẳng P : 2x y 2 Tìm hình chiếu vng góc M x0;y0;z0 lên mặt phẳng P : ax+by+cz+d=0 PP: Cách 1: Gọi H hình chiếu vng góc M lên mặt phẳng mặt phẳng P P � M giao điểm P với đường thẳng qua M vng góc với mặt phẳng Viết phương trình tham số Vì H thuộc mặt phẳng P �x x0 at y y0 bt � H x0 at;y0 bt;z0 ct : � � �z z ct � thay vào phương trình mặt phẳng P � t � H Cách 2: Vận dụng a,b,c �0 H hình chiếu vng góc M lên mặt phẳng uuuu r r P � MH phương với VTPT n a;b;c mặt phẳng P H x ;y ;z � ax1 by1 cz1 d 1 Giả sử 1 uuuu r � MH x1 x0;y1 y0;z1 z0 2 Có x1 x0 y1 y0 z1 z0 a b c a x1 x0 b y1 y0 c z1 z0 a.a b.b c.c x1 � d ax0 by0 cz0 � � �y1 a2 b2 c2 �z �1 Ví dụ: Tìm hình chiếu vng góc M 3;6;2 lên mặt phẳng P : 5x 2y z 25 Lời giải Cách 1: Gọi H hình chiếu vng góc M lên mp � quaA � mp P � đường thẳng P �mp r VTCP u VTCP P r u 5; 2;1 P � H giao điểm mp P qua �x 3 5t � M 3;6;2 � PTTS : � y 2t �z t � H � � H 3 5t;6 2t;2 t H �mp P � 5 3 5t 2 2t t 25 � 30t 30 � H 2;8;1 H x ;y ;z ,H � P Cách 2: Giả sử 1 nên 5x1 2y1 z1 25 uuuu r uuuu r r MH x1 3;y1 6;z1 2 ,MH phương với n � x1 y1 z1 5 x1 3 2 y1 6 z1 2 2 5.5 2. 2 1.1 5x1 2y1 z1 25 30 30 1 30 30 � x1 2;y1 8;z1 1� H 2;8;1 Tìm xứng với M qua mp PP: Tìm hình chiếu vng góc M lên mp P P điểm M đối H (dajng7) M đối xứng với M qua mp P � H trung điểm MM � xM1 2xH xM � � �� yM1 2yH yM � M � �zM1 2zH zM Viết phương trình mp P qua M chứa đường thẳng M �P PP: Trên chọn điểm r r P n,u Gọi VTPT mp VTCP r r r r � � n u � � �r � n � u,MM 0� � n MM � P Từ viết phương trình mp Ví dụ: Cho phẳng P M 2;3;1 chứa r n qua M có VTCP : đường thẳng x1 y z 1 Viết phương trình mặt qua M Lời giải r r P n,u Gọi VTCP , VTCP Dễ thấy M 1;2;0 � � M �P \ Ta có r MM 1; 1; 1 , u 2; 1;5 r r r r uuuuur � n � u � 6; 3; 3 u,MM �r uuuuur � n � 0� � n MM P Vì mp qua M chứa nên � � P : x y 3 z 1 � 2x y z 10 Viết phương trình đường thẳng qua điểm A, B �qua A r � r r uuu r VTCP u � PP: Gọi u VTCP � u AB Từ viết pt 11 Phương trình đường thẳng giao tuyến mp P , Q PP: - P , Q A x ; y ;z ,B x ; y ;z Chọn điểm A A A B B B thỏa mãn hệ � A,B thuộc giao Xét hệ gồm phương trình mp tuyến - Viết phương trình đường thẳng qua A, B Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng giao tuyến P : 3x y z 0, Q : x 2y z Lời giải Mọi điểm thuộc giao tuyến có tọa độ nghiệm hệ �3x y z � x 2y z � �y z �y 1 x 0�� �� � A 0;1;6 � 2y z z � � Cho giao tuyến �y z �y x 1� � �� � B 1;1;1 2y z �z � Cho giao tuyến � qua AB � A 0;1;6 � r uuur � : � � PTTS t �R VTCP u �AB 1;0; 5 � 12 Phương trình đường thẳng PP: mp P r VTCP u qua M vng góc với mp P r VTPT n mp P Từ viết pt �quaA r � VTCP u � Ví dụ: Cho A 1; 2;3 mp P : 3x y z Viết phương trình đường thẳng qua A vả vng góc với mp P Lời giải r r P u,n Gọi VTCP VTCP , r r mp P u n 3;1;1 �x 3t �quaA � r � PTTS �y 2 t t �R � VTCP u � �z t � 13 Phương trình đường thẳng qua M với đường thẳng 1 , cho trước Viết phương trình đường thẳng d vng góc với đường thẳng d đồng thời cắt hai đường thẳng d1;d A, B cho độ dài đoạn thẳng AB đạt giá trị nhỏ Lời giải Vì hai điểm A, B thuộc đường thẳng d1 ;d A a; 2a;1 a ,B b;3b; 1 2b uuur AB b a;3b 2a; 2 2b a Khi uu r u 2;1;1 Đường thẳng d có VTCP uuur uu r AB.u � b 2a 3b 2a 2 2b a � b a Ta có uuur AB 1; a; 2 a Khi đó: Nên AB a a a 1 � Ta có: Dấu “=” xảy a Khi Vậy d: uuur A 2; 2;2 , AB 1; 1; 1 x2 y2 z2 1 1 Ví dụ 11: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x y z 1 2 2 Xét hình bình hành ABCD có A 1;0;0 ,C 2;2;2 ,D �d Tìm tọa độ đỉnh B biết diện tích hình bình hành ABCD Lời giải Vì D thuộc đường thẳng d nên Ta có: D 2 t;3 2t;1 2t uuur uuur AC 1;2;2 , AD t 3; 2t 3; 2t 1 uuur uuur � �� AC, � AD � 4;4t 7; 4t Do đó: � SABCD � SACD � 2 uuur uuur � � AC,AD � � 32t 128t 146 � 32t 128t 128 � t 2 uuur uuur D 0; 1; 3 AB AD � B 3;3;5 Suy Vì ABCD hình bình hành nên Ví dụ 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho P : 2x y z 0;d : x4 y z x y z 1 , : 1 3 2 Tìm tọa độ điểm M nằm P , điểm N nằm đường thẳng d cho M N đối xứng với qua đường thẳng Lời giải Vì N nằm đường thẳng d nên N t;t; 3t Gọi I trung điểm MN Khi I nằm đường thẳng uur I m;2m; 2m u 1;2;2 Do Đường thẳng có VTCP uur uur NI.u � 1 m t 2m t 1 2m 3t Ta có: � 3 9m 3t � t 3m Suy N 3m,1 3m, 3 9m Vì M đối xứng với N qua I nên Ta có M 5m; 1 7m;1 5m M � P � 5m 1 7m 5m � m Từ suy M 1; 1;1 , N 5;1; 3 Ví dụ 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC vuông cân B Biết A 5;3; 1 ,C 2;3; 4 P : x y z Tìm tọa độ đỉnh B biết đỉnh B thuộc Lời giải Gọi B a;b;c Vì B � P nên a b c 1 Ta có BA = BC � a b 3 c 1 a b 3 c 2 2 2 � c a 2 Thay 2 vào Từ suy 1 ta b c a 2a B a;7 2a;1 a Ta lại có uuur uuu r AB.CB � a a 2a 2a a a � � B 2;3; 1 a2 � a 5a � � �� B 3;1; 2 a 3 � � Vậy có hai điểm thỏa mãn tốn B 2;3; 1 ,B 3;1; 2 Ví dụ 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho �x t �x 9t ' � P : x y 2z 0; : � �y 1 2t , : �y 10 2t ' � z 3 �z 1 t' � � / / P Viết phương trình đường thẳng cắt hai đường thẳng 1 , cho P khoảng cách từ đến Lời giải A a; 1 2a; 3 Giả sử đường thẳng cắt 1 A Khi Ta có d , P d A,P a0 a 2a � 3 � �� a6 6 � A 2; 1; 3 Giả sử cắt B Với a ta có B 9b;10 2b;1 b uuur uur AB.n P � 9b 11 2b b Ta có: uuur � b � B 5;10;1 � AB 3;11;4 Khi Từ ta có : x y 1 z 11 A 8;11; 3 Với a ta có Giả sử cắt B B 9b;10 2b;1 b uuur uur AB.n P � 3 9b 1 2b b Ta có: uuur � 69 17 26 � � b � AB � ; ; � 5 � � Khi Từ ta có : x y 11 z 69 17 26 Ví dụ 15: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x 1 y z 25 Viết phương trình P chứa đường thẳng 2 x y z5 1 4 cắt mặt cầu S theo đường thẳng có bán kính : Lời giải P khơng qua tâm I 1;2; 2 mặt cầu S cách tâm I khoảng d I P R r 52 Đường thẳng qua Gọi Vì M 0;0; 5 r n P a;b;c a b c2 �0 , có VTCP VTCP P qua M nên P :ax +by+c z Từ giả thiết ta có hệ phương trình: uur u 1;1; 4 P uur uur � � a b 4c 1 n � P u � �� � d I, P �a 2b 3c a b c � � Thế a 4c b từ phương trình vào phương trình ta được: 7c b 4c b b c � 104c2 86bc 17b � b 2c � a 2c � � 2c b 52c 17b � � 52 16 b c�a c � 17 � 17 Với b 2c � � �2 2c Khi a b c �0 chọn c 1, b � a P : 2x 2y z � 52 b c � � 17 � �a 16 c a b c �0 � 17 Với chọn c 17,b 52 � a 16 Khi P :16x 52y 17z 85 Ví dụ 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm P : x y z đường thẳng Tìm điểm A � P : M 3; 1;1 , mặt phẳng x y 1 z 1 cho AM khoảng cách từ A đến đường thẳng 66 Lời giải uuuu r A a;b;7 a b MA a 3;b 1;6 a b nên Khi uur I 5; 1;3 u có VTCP P 2; 1;1 Đường thẳng qua P Vì A nằm Vì AM nên uuuu r uur AM.u � a 3 b 1 a b � a 2b Do A 2b 1;b;6 3b uur uur � � IA.u � P� 66 uur u d A, 66 ۱ Ta có: � 2b 10 8b 4b 396 2 b 1 � � � 84b 192b 276 � 23 � b � �53 23 27 � A 1; 1;9 ,A � ; ; � �7 7 � Từ suy có hai điểm A thỏa mãn tốn Ví dụ 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 1;0;0 ,B 0;1;0 ,C 0;3;2 : x 2y Tìm tọa độ điểm M biết M cách điểm A, B, C mặt phẳng Lời giải Gọi M a;b;c Vì M cách điểm A, B, C nên � � a 1 b c a b 1 c MA MB � � �� � 2 MA MC a 1 b c a b 3 c � � � � a b0 �b a �� �� a 3b 2c 6 � c 3a � Từ suy M a;a;3 a Vì M cách điểm A � a 1 a a 2 nên MA d M, a 2a �a � 6a 52a 46 � � 23 � a � �23 23 14 � M 1;1;2 ,M � ; ; � 3� �3 Từ suy Ví dụ 18: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm : A 0;0;1 , đường thẳng x 1 y z 1 mặt phẳng P : x 2y z Tìm đường thẳng hai điểm B C cho tam giác ABC vng A có trọng tâm C nằm mặt phẳng Lời giải B b 1;b;b ,C c 1;c;c uuur uuur AB b 1;b;b 1 ,AC c 1,c,c 1 Ta có Giả sử �b c b c b c � G� ; ; � 3 � � Trọng tâm G tam giác ABC có tọa độ Tam giác ABC vuông A nên uuur uuur AB.AC � b 1 c 1 bc � 3bc b c 1 Trọng tâm G thuộc mp P nên: b c 2 b c b c � b c 2 3 � b c 1 � b �b � �� ;� � bc c 1 � c0 1 2 � � Từ ta có hệ Với b0 � � �c � B 1;0;0 ,C 0;1;1 P Với Vậy �b � B 0;1;1 ,C 1;0;0 � c0 � B 1;0;0 ,C 0;1;1 B 0;1;1 ,C 1;0;0 Ví dụ 19: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x y z , mặt phẳng P : z hai điểm A 1;1;0 ,B 0;0;2 Tìm tọa P độ điểm C thuộc mặt phẳng mặt cầu cho tam giác ABC cân C có trọng tâm G nằm S Lời giải C a;b;0 ta có: AC Giả sử a 1 b 1 ;BC a b �a b � G� ; ; � 3 3� � Trọng tâm G tam giác ABC có tọa độ Tam giác ABC cân C nên Trọng tâm G thuộc mặt cầu a 1 AC BC � a b 1 S nên b 1 2 � a a b 1 � �� a2 � � � a b 1 � � � a b 1 ��b � � � � 2 a 1 b 1 �b b � �a 1 � � � � b 2 1 2 � � � Từ ta có hệ Với a2 � � C 2;1;0 � b � Với �a 1 � C 1; 2;0 � b 2 � Vậy C 2;1;0 C 1; 2;0 Ví dụ 20: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng P : x y 2z 0, Q : 2x y z điểm I 1;1;1 Viết phương trình đường P , Q thẳng qua I vng góc với giao tuyến mặt phẳng đồng thời cắt hai mặt phẳng P , Q A, B cho I trung điểm AB Lời giải Gọi d Gọi B , , 2 � Q giao tuyến P Q VTCP d là: r uu r uu r � u� n ;n �1 � uu r uu r P Q n1 1;1;2 ,n 2; 1;1 Trong véc tơ pháp tuyến tính r r u 3;3; 3 / /u 1;1; 1 uuur � A ;2 ;2 2 � AB 2 2,2 2;2 4 Q P Vì đường thẳng qua A, B vng góc với đường thẳng giao tuyến nên uuur r AB.u � 2 2 2 4 �5 � � a � A� ;2 ; � 3 �3 � �5 � uur �2 � uur � A � ; ; �� IA � ; ; �/ /u 1;1;2 �3 3 � �3 3 � A � P � � PT : x 1 y 1 z 1 1 Ví dụ 21: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho P : 5x 3y 4z 25 Viết phương trình đường thẳng song song với mặt phẳng P cách gốc tọa độ khoảng cắt Ox mặt phẳng Oyz A, B cho AB Lời giải A a;0;0 cắt Oyz Giả sử cắt Ox Vì r uuur B 0;b;c � u AB a;b;c rr / / P � u.n � 5a 3b 4c 2 2 Theo giả thiết ta có: AB 50 � a b c 50 uuur uuur � � 0;ca; ab AB,OA � Ta có: � uuur uuur � � AB,OA � � d O;AB uuur AB Theo giả thiết ta có: � a b2 c2 a b2 c2 � 25 a b c2 2a b c 2 2 Thay a b c 50 vào ta có: �a 25.50 2a 50 a � a 25 � � a 5 � 5a 3b 4c � � 2 b c 25 Từ ta có hệ sau: � 25 4c � b 3b 4c 25 � c4 � � � a � �2 �� �� b3 �25 4c � �b c 25 � � c 25 � � � � � � Trường hợp 1: Trường hợp 2: a 5 � 25 4c � b � � 3b 4c 25 � c 4 � � �� �� �� 2 b 3 �25 4c � �b c 25 � c 25 � � � � � � � � � Có hai đoạn thẳng thỏa mãn điều kiện là: �x 5t �x 5 5t � � : � y 4t : � y 4t � z 3t � z 3t � � Ví dụ 22: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm 1 : A 1;0;1 hai đường thẳng x y z 1 x y2 z 2 : 1 1 2 Tìm M thuộc 1 N thuộc cho MN tam giác AMN vuông A Lời giải Do M � 1 nên ta gọi M a;a;a 1 , N � nên N b;b 2; 2b Mặt khác tam giác AMN vng A nên ta có: uuuu r uuur AM AN � a 1;a;a b 1;b 2, 2b 1 � a 1 b 1 a b a 2b 1 � 2a b � b 2a Thay vào tọa độ điểm ta N 2a 1; 2a 1;4a Ta lại có MN nên ta có phương trình sau: MN 3a 1 3a 1 3a 1 2 Ví dụ 23: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu S : x y z 8z 20 mặt phẳng P : 2x 2y z Viết phương P , M 1;4;1 trình đường thẳng nằm mặt phẳng qua điểm cắt mặt cầu Gọi Vì S hai điểm A, B cho AB r u a;b;c Lời giải véc tơ phương đường thẳng r uur � P � u.n P r � 2a 2b c � c 2a 2b � u a;b;2a 2b Mặt cầu S có tâm I 0;0;4 ,R Vì đường thẳng cắt mặt cầu S theo dây cung AB � d I/ d I/ Ta có AB2 R 36 27 r uuu r � � u,IM � � r u Ta có: uuu r r r uuu r � 8a 11b; 1 2b; b 4a IM 1;4; 3 ;u a, b,2 a b � � u,IM � � � d I/ 8a 11 2b a 4a b a b2 a b 2 81a 180ab 126b 5a 8ab 5b 81a 180ab 126b d 3� � 2a 3b � a b 2 5a 8ab 5b Vì r b � a 3 � u 3;2; 2 Suy phương trình đường thẳng cần tìm là: Chọn : x 1 y z 1 3 2 Ví dụ 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A 1;0;0 ,B 2; 1;0 ,C 0; 1;0 , mặt phẳng P : 2x 2y z Tìm điểm M 2 P thỏa mãn điều kiện MA MB MC khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng lớn Lời giải M x, y,z suy ra: uuuu r uuur uuur AM x 2; y 3;z 1 ,BM x 5; y 2;z ;CM x 1; y 8;z 1 Gọi 2 Vì điểm M thỏa mãn hệ thức MA MB MC nên ta có: S : x y z 4x 14y 18z 26 Suy điểm M thuộc mặt cầu tâm Ta có d I/ P I 2; 7;9 ;R 14 11 R Suy mặt cầu S không cắt mặt phẳng P P Xét đường thẳng qua I vng góc với mặt phẳng ta có PTTS �x 2t � : �y 7 2t �z t � M 2t; 7 2t;9 t Đường thẳng cắt mặt cầu điểm nên ta có: 2t 15 2t t 108 � t � Ta có điểm M tương ứng là: � � 10 12 35 12 15 45 15 � ; ; �M1 � � 5 � � � � � 10 12 15 35 12 15 45 15 � � M2 � ; ; � � 5 � � � P Tính khoảng cách từ điểm M1 , M đến mặt phẳng ta chọn điểm M1 điểm cần tìm Ví dụ 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm d : A 1;0;0 đường thẳng x y z 1 1 Viết phương trình mặt phẳng P qua A cắt trục tọa độ Oy, Oz B, C cho P song song với đường thẳng d khoảng cách từ gốc tọa độ O P đến mặt phẳng Lời giải Giả sử mặt phẳng P cắt Oy, Oz B 0;b;0 ,C 0;0;c với b,c �0 \ y z 1 P b c Phương trình mặt phẳng r P n bc;c;b Véc tơ pháp tuyến mặt phẳng :x Vì mặt phẳng P r rr u 1;1;1 song song với đường thẳng (d) nên n.u với Từ ta có: bc b c 1 Kẻ OM AB,OH CM � OH ABC � d O/ ABC OH 1 1 1 1 1 2 2 2 OM OC OA OB OC b c Ta có: OH Suy Từ 1 5 1 � b2 c2 bc b c 2 ta có: � � bc b c � bc b c � � �2 � 2 b c bc b c 2bc bc � � � b c bc � � b c bc � �� �� 2bc 2bc bc � � � � Như b,c nghiệm phương trình: � � b ;c � � x 1 2 x x 0� � 2�� 2 �x � b 1;c � � � Vậy có mặt phẳng thỏa mãn là: P : x 2y z P : x y 2z ... độ nghiệm phương trình gồm phương - trình mặt phẳng Từ hệ chọn điểm A, B thuộc giao tuyến sau viết phương trình mặt phẳng qua điểm A, B, M dạng P R Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng ... Vì Phương trình mặt phẳng P : 3 x 1 y 1 1 z � 3x 5y z 10 Phương trình mặt phẳng P qua hai điểm A, B vng góc với mặt phẳng Q r uu r Q P n,n VTPT mặt phẳng. .. Với n,n1 VTPT mặt P mặt phẳng Q Từ giả thiết r uu r n.n1 � r uu r = cos n n1 Từ tìm giá trị tham số thay vào ta có phương trình mặt phẳng Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng Q :