TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 MỤC LỤC PHẦN I KHỐI ĐA DIỆN 54 KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP 54 KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN 54 2.1 Khái niệm hình đa diện 54 2.2 Khái niệm khối đa diện 54 HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU 55 3.1 Phép dời hình khơng gian 55 3.2 Hai hình 56 PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN 56 KHỐI ĐA DIỆN LỒI 56 5.1 Khối đa diện lồi 56 5.2 Khối đa diện 57 5.3 Một số kết quan trọng khối đa diện lồi 58 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 58 6.1 Thể tích khối chóp 58 6.2 Thể tích khối lăng trụ 58 6.3 Thể tích khối hộp chữ nhật 59 6.4 Thể tích khối lập phương 59 6.5 Tỉ số thể tích 59 6.6 Một số ý độ dài đường đặc biệt 59 CÁC CƠNG THỨC HÌNH PHẲNG 60 7.1 Hệ thức lượng tam giác 60 7.2 Các công thức tính diện tích 60 MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHĨP THƯỜNG GẶP 61 CÁC CƠNG THỨC ĐẶC BIỆT THỂ TÍCH TỨ DIỆN 63 PHẦN II MẶT NÓN - MẶT TRỤ - MẶT CẦU 64 MẶT NĨN TRỊN XOAY VÀ KHỐI NÓN 64 1.1 Mặt nón tròn xoay 64 1.2 Khối nón 64 1.3 Thiết diện cắt mặt phẳng 65 MẶT TRỤ TRÒN XOAY 65 2.1 Mặt trụ 65 2.2 Hình trụ tròn xoay khối trụ tròn xoay 65 MẶT CẦU – KHỐI CẦU 66 Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 51 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 3.1 Mặt cầu 66 3.2 Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng 66 3.3 Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng 67 3.4 Đường kinh tuyến vĩ tuyến mặt cầu 67 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI 68 4.1 Bài tốn mặt nón 68 4.2 Một số dạng tốn cơng thức giải tốn mặt trụ 71 MỘT SỐ DẠNG TỐN VÀ CƠNG THỨC GIẢI BÀI TỐN MẶT CẦU 72 5.1 Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện 72 5.2 Kỹ thuật xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 75 5.3 Kỹ xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy 75 5.4 Kỹ thuật sử dụng hai trục xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện 76 5.5 Tổng kết dạng tìm tâm bán kính mặt cầu 77 TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRÒN XOAY 78 6.1 Chỏm cầu 78 6.2 Hình trụ cụt 78 6.3 Hình nêm loại 79 6.4 Hình nêm loại 79 6.5 Parabol bậc hai-Paraboloid tròn xoay 79 6.6 Diện tích Elip Thể tích khối tròn xoay sinh Elip 79 6.7 Diện tích hình vành khăn 79 6.8 Thể tích hình xuyến (phao) 79 PHẦN HỆ TRỤC TỌA ÐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ 80 HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN 80 1.1 Các khái niệm tính chất 80 1.2 Phương pháp giải số toán thường gặp 82 MẶT PHẲNG 82 2.1 Các khái niệm tính chất 82 2.2 Viết phương trình mặt phẳng 83 2.3 Vị trí tương đối hai mặt phẳng 85 2.4 Khoảng cách hình chiếu 85 2.5 Góc hai mặt phẳng 86 2.6 Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu 86 ĐƯỜNG THẲNG 87 3.1 Phương trình đường thẳng 87 Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 52 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 3.2 Vị trí tương đối 87 3.3 Góc khơng gian 90 3.4 Khoảng cách 90 3.5 Lập phương trình đường thẳng 91 3.6 Vị trí tương đối 94 3.7 Khoảng cách 94 3.8 Góc 95 MẶT CẦU 95 4.1 Phương trình mặt cầu 95 4.2 Giao mặt cầu mặt phẳng 96 4.3 Một số toán liên quan 96 MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN 99 5.1 Dạng 99 5.2 Dạng 99 5.3 Dạng 99 5.4 Dạng 99 5.5 Dạng 99 5.6 Dạng 99 5.7 Dạng 100 5.8 Dạng 100 5.9 Dạng 100 5.10 Dạng 10 100 Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 53 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 PHẦN I KHỐI ĐA DIỆN KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHĨP  Khối lăng trụ (chóp) phần khơng gian giới hạn hình lăng trụ (chóp) kể hình lăng trụ (chóp) Khối chóp cụt phần khơng gian giới hạn hình chóp cụt kể hình chóp cụt  Điểm khơng thuộc khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) gọi điểm ngồi khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) Điểm thuộc khối lăng trụ khơng thuộc hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) gọi điểm khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) B' S C' D' A' F' N E' A B B C D M A F E D C KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN 2.1 Khái niệm hình đa diện  Hình đa diện (gọi tắt đa diện) hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất:  Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung  Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác  Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện 2.2 Khái niệm khối đa diện  Khối đa diện phần khơng gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 54 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12  Những điểm khơng thuộc khối đa diện gọi điểm khối đa diện Những điểm thuộc khối đa diện khơng thuộc hình đa diện gọi điểm khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền trong, tập hợp điểm gọi miền khối đa diện  Mỗi hình đa diện chia điểm lại không gian thành hai miền không giao miền miền ngồi hình đa diện, có miền ngồi chứa hồn tồn đường thẳng d Miền Điểm N Điểm ngoaøi M HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU 3.1 Phép dời hình khơng gian Trong khơng gian, quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M ' xác định gọi phép biến hình khơng gian Phép biến hình khơng gian gọi phép dời hình bảo tồn khoảng cách hai điểm tùy ý * Một số phép dời hình khơng gian:  3.1.1 Phép tịnh tiến theo vectơ v Nội dung Hình vẽ Là phép biến hình biến điểm M thành M ' cho   MM '  v M' v M   3.1.2 Phép đối xứng qua mặt phẳng P Nội dung Hình vẽ   Là phép biến hình biến điểm thuộc P   biến điểm M khơng thuộc P M thành nó, thành điểm M ' cho P  mặt phẳng trung trực MM ' Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng  P  biến hình  H  thành  P  gọi mặt phẳng đối xứng  H  I P M' Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 55 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 3.1.3 Phép đối xứng qua tâm O Nội dung Hình vẽ Là phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điểm M khác O thành điểm M ' cho O trung điểm MM ' M' O   Nếu phép đối xứng tâm O biến hình H thành M O gọi tâm đối xứng  H  3.1.4 Phép đối xứng qua đường thẳng  (phép đối xứng trục  ) Nội dung Hình vẽ Là phép biến hình biến điểm thuộc đường thẳng  thành nó, biến điểm M khơng thuộc  thành điểm M ' cho  đường trung trực MM ' M' I   Nếu phép đối xứng trục  biến hình H thành M  gọi trục đối xứng  H  * Nhận xét:  Thực liên tiếp phép dời hình phép dời hình   thành đa diện H '  , biến đỉnh, cạnh, mặt H  thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng  H '   Phép dời hình biến đa diện H 3.2 Hai hình Hai hình đa diện gọi có phép dời hình biến hình thành hình PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN Nội dung Hình vẽ     H  cho H  H  khơng có chung điểm ta nói chia khối đa diện  H  thành hai khối đa diện  H   H  , hay lắp ghép hai khối đa diện H  H  với để khối đa diện H  Nếu khối đa diện H hợp hai khối đa diện H , 1 (H1) 2 (H) (H2) KHỐI ĐA DIỆN LỒI 5.1 Khối đa diện lồi Một khối đa diện gọi khối đa diện lồi với hai điểm A B điểm đoạn AB thuộc khối Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 56 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi 5.2 Khối đa diện 5.2.1 Định nghĩa  Khối đa diện khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:  Các mặt đa giác n cạnh  Mỗi đỉnh đỉnh chung p cạnh    Khối đa diện gọi khối đa diện loại n, p 5.2.2 Định lí           Chỉ có loại khối đa diện Đó loại 3; , loại 4; , loại 3; , loại 5;3 , loại 3;5 Tùy theo số mặt chúng, khối đa diện có tên gọi là: Khối tứ diện đều; khối lập phương; khối bát diện đều; khối mười hai mặt đều; khối hai mươi mặt 5.2.3 Bảng tóm tắt năm loại khối đa diện Khối đa diện Số Số Số Loại Số MPĐX đỉnh cạnh mặt Tứ diện 3; 3 Khối lập phương 12 4; 3 Bát diện 12 3; 4 Mười hai mặt 20 30 12 5; 3 15 Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 57 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Hai mươi mặt 12 30 3;5 20 15   Chú ý: Giả sử khối đa diện loại n, p có Đ đỉnh, C cạnh M mặt Khi đó: p Đ  2C  nM 5.3 Một số kết quan trọng khối đa diện lồi 5.3.1 Kết Cho khối tứ diện Khi đó:  Các trọng tâm mặt đỉnh khối tứ diện đều;  Các trung điểm cạnh đỉnh khối bát diện (khối tám mặt đều) 5.3.2 Kết Tâm mặt khối lập phương đỉnh khối bát diện 5.3.3 Kết Tâm mặt khối bát diện đỉnh khối lập phương 5.3.4 Kết Hai đỉnh khối bát diện gọi hai đỉnh đối diện chúng không thuộc cạnh khối Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi đường chéo khối bát diện Khi đó:  Ba đường chéo cắt trung điểm đường  Ba đường chéo đôi vng góc với nhau;  Ba đường chéo THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 6.1 Thể tích khối chóp Nội dung V  Hình vẽ S h đáy  S đáy : Diện tích mặt đáy  h : Độ dài chiều cao khối chóp VS.ABCD  d S S,ABCD  ABCD 6.2 Thể tích khối lăng trụ Nội dung Hình vẽ Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 58 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 V  S đáy h  S đáy : Diện tích mặt đáy  h : Chiều cao khối chóp Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cạnh bên 6.3 Thể tích khối hộp chữ nhật Nội dung Hình vẽ V  a.b.c 6.4 Thể tích khối lập phương Nội dung Hình vẽ V  a3 6.5 Tỉ số thể tích Nội dung VS AB C  VS ABC  Hình vẽ SA SB  SC  SA SB SC S V  h B  B   BB   B’ A’ Thể tích hình chóp cụt ABC AB C  C’ A  B C Với B, B , h diện tích hai đáy chiều cao 6.6 Một số ý độ dài đường đặc biệt  Đường chéo hình vng cạnh a a  Đường chéo hình lập phương cạnh a : a  Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c : a  b  c  Đường cao tam giác cạnh a là: a Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 59 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 CÁC CƠNG THỨC HÌNH PHẲNG 7.1 Hệ thức lượng tam giác 7.1.1 Cho ABC vuông A , đường cao AH 2  AB  AC  BC  AB  BH BC  AC  CH BC  AH BC  AB.AC  AH  BH HC 1   2 AH AB AC  AB  BC sin C  BC cos B  AC tan C  AC cot B 7.1.2 Cho ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c độ dài trung tuyến ma , mb , mc bán kính  đường tròn ngoại tiếp R ; bán kính đường tròn nội tiếp r nửa chu vi p  Định lí hàm số cosin: a  b  c - 2bc.cos A; b  c  a  2ca.cos B; c  a  b  2ab.cos C  Định lí hàm số sin: a b c    2R sin A sin B sin C  Độ dài trung tuyến: ma2  b2  c2 a c2  a b2 a  b2 c2  ; mb2   ; mc2   4 7.2 Các công thức tính diện tích 7.2.1 Tam giác 1  S  a.ha  b.hb  c.hc 2 1  S  bc sin A  ca.sin B  ab sin C 2 abc 4R  S  pr  S      S  p p a p b p c  ABC vuông A : S   AB.AC BC AH  2  ABC đều, cạnh a : AH  a a2 , S  7.2.2 Hình vng  S a ( a : cạnh hình vng) Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 60 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12  Khoảng cách từ điểm M x ; y ; z  đến mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  Ax  By0  Cz  D d  M ,( )  A2  B  C 2.4.2 Khoảng cách mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng 2.4.3 Hình chiếu điểm lên mặt phẳng  MH , n cung phuong Điểm H hình chiếu điểm M P   H  ( P )  2.4.4 Điểm đối xứng điểm qua mặt phẳng     Điểm M ' đối xứng với điểm M qua  P   MM   2MH 2.5 Góc hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng   ,    có phương   : A x  B y  C z  D  Góc   ,    bù với góc hai VTPT 2   : A x  B y  C z  D trình: 1 1 0   n1, n2   n1.n2 A1A2  B1B2  C1C cos ( ),( )     n1 n2 A12  B12  C12 A22  B22  C 22 Chú ý:   00     ,    90 ; ( )  ( )  A1A2  B1B2  C 1C  2.6 Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu      S  khơng có điểm chung  d (I ,( ))  R   tiếp xúc với S   d(I ,( ))  R với   tiếp diện Cho mặt phẳng  : Ax  By Cz  D  mặt cầu S : (x  a)2  (y  b)2  (z  c)2  R2 có tâm I   Để tìm toạ độ tiếp điểm ta thực sau:      Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I S vng góc với         Tìm toạ độ giao điểm H d  H tiếp điểm S với     cắt S  theo đường tròn  d(I ,( ))  R Để xác định tâm H bán kính r đường tròn giao tuyến ta thực sau:      Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I S vng góc với     Tìm toạ độ giao điểm H d  Với H tâm đường tròn giao tuyến     S với   Bán kính r đường tròn giao tuyến: r  R  IH Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 86 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 ĐƯỜNG THẲNG 3.1 Phương trình đường thẳng 3.1.1 Vectơ phương đường thẳng 3.1.1.1 Ðịnh nghĩa   Cho đường thẳng d Nếu vectơ a  có giá song song trùng với đường phẳng d   a gọi vectơ phương đường phẳng d Kí hiệu: a  (a1; a2 ;a ) 3.1.1.2 Chú ý    a VTCP d k a (k  0) VTCP d   Nếu d qua hai điểm A, B AB VTCP d    Trục Ox có vectơ phương a  i  (1; 0; 0)    Trục Oy có vectơ phương a  j  (0;1; 0)    Trục Oz có vectơ phương a  k  (0; 0;1) 3.1.2 Phương trình tham số đường thẳng Phương trình tham số đường thẳng () qua điểm M (x ; y0 ; z ) nhận  a  (a1 ; a ; a ) làm VTCP : z  a ( ) M0 M ( x, y , z ) y x  x  ta  () : y  y  ta2 z  z  ta  t    O x 3.1.3 Phương trình tắc đường thẳng Phương trình tắc đường thẳng () qua điểm M (x ; y0 ; z ) nhận  x  x y  y0 z  z   a1, a2, a  a  (a1 ; a ; a ) làm VTCP () : a1 a2 a3   3.2 Vị trí tương đối 3.2.1 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng  M a ( )  ( ) a n  n a M a  n a M  a ( ) 3.2.1.1 Phương pháp hình học Định lý Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 87 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 x  x  a t (1)   Trong không gian Oxyz  cho đường thẳng () : y  y  a2t (2) có VTCP a  (a1 ; a ; a ) z  z  a t (3)   qua M (x ; y ; z ) mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  có VTPT n  (A; B;C ) Khi :        a.n   Aa1  Ba2  Ca3     a n    Aa1  Ba2  Ca3     / /        Ax0  By0  Cz0   M   P       a.n   Aa1  Ba2  Ca3              Ax0  By0  Cz0  M   P     a  n a Đặc biệt   (  )  (  )  a n phương  a1 : a : a  A : B : C 3.2.1.1 Phương pháp đại số pt() Muốn tìm giao điểm M   ta giải hệ phương trình:  tìm x, y, z Suy ra: pt( )       Thế 1 ,   ,   vào phương trình mp  P  rút gọn dưa dạng: at  b  (*) M x , y, z    d cắt mp  P  điểm  pt * có nghiệm t  d song song với  P   pt * vô nghiệm       d nằm P  Pt * có vơ số nghiệm t    d vng góc P  a n phương 3.2.2 Vị trí tương đối hai đường thẳng M '  a  b  u M0  u' 2 1 2 ' 1 M M  u  u' M0 2 M M 0' M0  u 1 3.2.2.1 Phương pháp hình học ' 1  u' 2  Cho hai đường thẳng: 1 qua M có vectơ phương u1   qua N có vectơ phương u2  1  2  1 // 2        u1 , u2    u1 , MN       u , u            u1 , MN   Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 88 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12  u , u    2  1 cắt       u1 , u2  MN      1  chéo  u1 , u2  MN  3.2.2.2 Phương pháp đại số  pt (1 ) Muốn tìm giao điểm M (1 ) va ( 2 ) ta giải hệ phương trình :  tìm x, y, z Suy  pt ( )   ra: M x , y, z   3.2.3 Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu x  x  a t (1)  Cho đường thẳng d : y  y0  a2t (2) mặt cầu S : (x  a )2  (y  b)2  (z  c)2  R2 có tâm z  z  a t (3)    I (a;b; c) , bán kính R 3.2.3.1 Phương pháp hình học  Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I   IM a    h  d (I , d )   a mặt cầu S  đến đường thẳng d  Bước 2: So sánh d (I , d ) với bán kính R mặt cầu:      Nếu d (I , d )  R d tiếp xúc S  Nếu d (I , d )  R d cắt S  hai điểm phân biệt M , Nếu d (I , d )  R d khơng cắt S N MN vng góc với đường kính (bán kính) mặt cầu 3.2.2.2 Phương pháp đại số   2  ,   Thế , t   vào phương trình S rút gọn đưa phương trình bậc hai theo *  Nếu phương trình * vơ nghiệm d khơng cắt  S     Nếu phương trình  *  có hai nghiệm d cắt S  hai điểm phân biệt M ,  Nếu phương trình * có nghiệm d tiếp xúc S  N Chú ý: Ðể tìm tọa độ M , N ta thay giá trị t vào phương trình đường thẳng d Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 89 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 3.3 Góc khơng gian 3.3.1 Góc hai mặt phẳng Nội dung Hình vẽ Định lý Trong không gian Oxyz  cho hai mặt phẳng  ,  xác định phương trình : ( ) : A1x  B1y  C 1z  D1  ( ) : A2x  B2y  C 2z  D2  Gọi  góc hai mặt phẳng ( ) & ( ) ta có cơng thức: cos   A1A2  B1B2  C 1C A12  B12  C 12 A22  B22  C 22 3.3.2 Góc đường thẳng mặt phẳng Nội dung Cho đường thẳng () : x  x0  y  y0 a b mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  Hình vẽ  z  z0 c Gọi  góc hai mặt phẳng () & ( ) ta có cơng thức: sin   Aa  Bb  Cc A2  B  C a  b  c 3.3.3 Góc hai đường thẳng Nội dung Hình vẽ Cho hai đường thẳng : x  x y  y0 z  z   a b c x  x 0 y  y 0 z  z 0 ( ) :   a' b' c' (1 ) : Gọi  góc hai mặt phẳng (1 ) & (2 ) ta có cơng thức: cos   aa '  bb '  cc ' a  b  c a '2  b '2  c '2 3.4 Khoảng cách 3.4.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Nội dung Hình vẽ Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 90 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Cho mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  điểm M (x ; y ; z ) Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ) tính : d(M ; )  Ax  By0  Cz  D A2  B  C 3.4.2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Nội dung Hình vẽ Cho đường thẳng () qua điểm M (x ; y ; z ) có  VTCP u  (a;b;c) Khi khoảng cách từ điểm M1 đến () tính cơng thức:   M M ; u    d (M 1, )   u 3.4.3 Khoảng cách đường thẳng chéo Nội dung Hình vẽ Định lý: Trong không gian :  Oxyz  cho hai đường thẳng chéo  (1) co VTCP u  (a;b;c) va qua M0 (x0; y0; z0 )  (2 ) co VTCP u'  (a ' ;b' ;c' ) va qua M0' (x0' ; y0' ; z 0' ) Khi khoảng cách (1 ) va ( 2 ) tính    u, u '  M M '   0 công thức d (1, 2 )    u; u '    3.5 Lập phương trình đường thẳng Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định điểm thuộc d VTCP 3.5.1 Dạng x  x  a t o   d qua điểm M (x ; y ; z ) có VTCP a  (a1; a2 ; a ) (d) : y  yo  a2t z  z  a t o  (t  R) 3.5.2 Dạng  d qua hai điểm A, B : Một VTCP d AB 3.5.3 Dạng Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 91 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 d qua điểm M (x ; y ; z ) song song với đường thẳng  cho trước: Vì d / / nên VTCP  VTCP d 3.5.4 Dạng     d qua điểm M (x ; y ; z ) vng góc với mặt phẳng P cho trước: Vì d  P nên   VTPT P VTCP d 3.5.5 Dạng d giao tuyến hai mặt phẳng  P  , Q :  Cách 1: Tìm điểm VTCP (P )  Tìm toạ độ điểm A  d : cách giải hệ phương trình  (với việc chọn (Q ) giá trị cho ẩn)     Tìm VTCP d : a  n P , nQ   Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d , viết phương trình đường thẳng qua hai điểm 3.5.6 Dạng d qua điểm M (x ; y ; z ) vng góc với hai đường thẳng d1, d2 :    Vì d  d1, d  d2 nên VTCP d là: a  ad , ad   2 3.5.7 Dạng d qua điểm M (x ; y ; z ) , vng góc cắt đường thẳng   Cách 1: H   Gọi H hình chiếu vng góc M đường thẳng  Thì    Khi M 0H  u đường thẳng d đường thẳng qua M , H  Cách 2:     Gọi P mặt phẳng qua A vuông góc với d ; Q mặt phẳng qua A     chứa d Khi d    P  Q 3.5.8 Dạng d qua điểm M (x ; y ; z ) cắt hai đường thẳng d1, d2 :  Cách 1: Gọi M  d1, M  d2 Từ điều kiện M , M 1, M thẳng hàng ta tìm M 1, M Từ suy phương trình đường thẳng d  Cách 2:         Gọi P  (M , d1 ) , Q  (M , d2 ) Khi d  P  Q Do đó, VTCP d có    thể chọn a  n P , nQ  Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 92 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 3.5.9 Dạng d nằm mặt phẳng  P  cắt hai đường thẳng d1, d2 :     Tìm giao điểm A  d1  P , B  d2  P Khi d đường thẳng AB 3.5.10 Dạng 10     Viết phương trình mặt phẳng P chứa  d1, mặt phẳng Q chứa  d2     Khi d  P  Q 3.5.11 Dạng 11 d đường vng góc chung hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau:  Cách 1: MN  d1 Gọi M  d1, M  d2 Từ điều kiện  , ta tìm M , N Khi đó, d MN  d2 đường thẳng MN  Cách 2:     Vì d  d1 d  d2 nên VTCP d là: a  ad , ad   2  Lập phương trình mặt phẳng  P  chứa d d1, cách:  Lấy điểm A d1     Một VTPT  P  là: n P  a , ad     Tương tự lập phương trình mặt phẳng Q  chứa d d2 Khi d   P   Q  3.5.12 Dạng 12 d hình chiếu đường thẳng  lên mặt phẳng  P  ta Lập phương trình mặt phẳng Q  chứa  vng góc với mặt phẳng P  cách:  Lấy M       Vì Q  chứa  vng góc với  P  nên nQ  a  , n P   Khi d   P   Q  3.5.13 Dạng 13 d qua điểm M , vng góc với d1 cắt d2 :  Cách 1: Gọi N giao điểm d d2 Từ điều kiện MN  d1, ta tìm N Khi đó, d đường thẳng MN  Cách 2:   Viết phương trình mặt phẳng Q  chứa M  Viết phương trình mặt phẳng P qua M vng góc với d1  d2 Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 93 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12  Khi d   P   Q  3.6 Vị trí tương đối 3.6.1 Vị trí tương đối hai đường thẳng Để xét VTTĐ hai đường thẳng, ta sử dụng phương pháp sau:  Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP điểm thuộc đường thẳng  Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng 3.6.2 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Để xét VTTĐ đường thẳng mặt phẳng, ta sử dụng phương pháp sau:  Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP đường thẳng VTPT mặt phẳng  Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt phẳng 3.6.3 Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Để xét VTTĐ đường thẳng mặt cầu ta sử dụng phương pháp sau:  Phương pháp hình học: Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng bán kính  Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt cầu 3.7 Khoảng cách 3.7.1 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d  Cách 1:  M M , a     Cho đường thẳng d qua M có VTCP a d (M , d )   a  Cách 2:  Tìm hình chiếu vng góc H M đường thẳng d    d M , d  MH  Cách 3:  Gọi N x ; y; z  d Tính MN theo t (t tham số phương trình đường thẳng   d)  Tìm t để MN nhỏ  Khi N  H Do d  M , d   MH 3.7.2 Khoảng cách hai đường thẳng chéo Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 94 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12  Cho hai đường thẳng chéo d1 d2 Biết d1 qua điểm M1 có VTCP a , d2     a   1, a2  M1M qua điểm M có VTCP a d(d1, d2 )    a1, a2  Chú ý: Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1, d2 khoảng cách d1 với mặt phẳng   chứa d2 song song với d1 3.7.3 Khoảng cách hai đường thẳng song song Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng 3.7.4 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song   Khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng  song song với khoảng cách   từ điểm M d đến mặt phẳng  3.8 Góc 3.8.1 Góc hai đường thẳng   Cho hai đường thẳng d1, d2 có VTCP a1, a2   a1.a2     Góc d1, d2 bù với góc a1, a2 là: cos a1, a2     a1 a2 3.8.2 Góc đường thẳng mặt phẳng   Cho đường thẳng d có VTCP a  (a1; a2 ;a ) mặt phẳng  có VTPT n  (A; B;C )   Góc đường thẳng d mặt phẳng   góc đường thẳng d với hình chiếu   d '   là: sin d ,    Aa1  Ba2  Ca3 A2  B  C a12  a2  a32 MẶT CẦU 4.1 Phương trình mặt cầu 4.1.1 Phương trình tắc     Phương trình mặt cầu S tâm I a ; b; c , bán kính R là:  (S ) : (x  a )2  (y  b)2  (z  c )2  R  Phương trình gọi phương trình tắc mặt cầu Đặc biệt: Khi I  O (C ) : x  y  z  R 4.1.2 Phương trình tổng quát Phương trình : x  y  z  2ax  2by  2cz  d  với a  b  c  d  phương trình mặt cầu S có tâm I a ; b; c , bán kính R  a  b  c  d     Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 95 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 4.2 Giao mặt cầu mặt phẳng   Cho mặt phẳng ( ) mặt cầu S có phương trình : ( ) : Ax  By  Cz  D  (S ) : (x  a )2  (y  b)2  (z  c)2  R2   Gọi d (I ;  ) khoảng cách từ tâm mặt cầu S đến mặt phẳng  Cho mặt cầu S  I ; R  mặt phẳng  P   Gọi H hình chiếu vng góc I lên  P  d  IH  d I ,  P  d R Mặt cầu mặt phẳng d R Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu: d R Mặt phẳng cắt mặt cầu P  khơng có điểm chung mặt phẳng tiếp diện theo thiết diện đường tròn có tâm I  bán kính mặt cầu H : tiếp điểm r  R  IH 4.3 Một số toán liên quan 4.3.1 Dạng S  có tâm I a;b;c  bán kính R   S : (x  a )2  (y  b)2  (z  c)2  R 4.3.2 Dạng S  có tâm I a;b;c  qua điểm A bán kính R  IA 4.3.3 Dạng S  nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính:  Tâm I trung điểm đoạn thẳng AB : x I  xA  xB  Bán kính R  IA  ; yI  y A  yB ; zI  zA  zB AB 4.3.4 Dạng S  qua bốn điểm A, B,C , D ( mặt cầu ngoại tiếp tứ diện)  Giả sử phương trình mặt cầu S  có dạng: x  y  z  2ax  2by  2cz  d   *   Thay toạ độ điểm A, B,C , D vào  *  , ta phương trình 2 Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 96 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12  Giải hệ phương trình đó, ta tìm a, b, c, d  Phương trình mặt cầu S  4.3.5 Dạng S  qua ba điểm A, B,C   có tâm I nằm mặt phẳng P cho trước giải tương tự dạng 4.3.6 Dạng S  có tâm I   tiếp xúc với mặt cầu T cho trước:    Xác định tâm I bán kính R ' mặt cầu T  Sử dụng điều kiện tiếp xúc hai mặt cầu để tính bán kính R mặt cầu S  (Xét hai trường hợp tiếp xúc ngoài) Chú ý:    d  S  có tâm I  –a; –b; –c  bán kính R  Với phương trình mặt cầu S : x  y  z  2ax  2by  2cz  d  với a  b  c a  b2  c2  d Đặc biệt:     I I  R  R  S  , S  I I  R  R  S  , S  I I  R  R  S  , S  tiếp xúc I I  R  R  S  , S  tiếp xúc R  R  I I  R  R  S  , S  cắt Cho hai mặt cầu S I 1, R1 S I , R2      2 2 1 2 2 2 1 2 theo đường tròn (đường tròn giao tuyến) 4.3.7 Dạng       Viết phương trình mặt cầu S có tâm I a ;b; c , tiếp xúc với mặt phẳng P cho trước    bán kính mặt cầu R  d I ; P 4.3.8 Dạng       Viết phương trình mặt cầu S có tâm I a;b; c , cắt mặt phẳng P cho trước theo giao tuyến đường tròn thoả điều kiện  Đường tròn cho trước (bán kính diện tích chu vi) từ cơng thức diện tích đường tròn S   r chu vi đường tròn P  2 r ta tìm bán kính đường tròn giao tuyến r     Tính d  d I , P  Tính bán kính mặt cầu R  d  r  Kết luận phương trình mặt cầu 4.3.9 Dạng Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 97 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12   Viết phương trình mặt cầu S  tiếp xúc với đường thẳng  cho trước có tâm      I a ;b; c cho trước đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu S ta có R  d I,  4.3.10 Dạng 10    Viết phương trình mặt cầu S tiếp xúc với đường thẳng  tiếp điểm M x o , yo , z o  thuộc  có tâm I thuộc đường thẳng d cho trước ta làm sau:    Viết phương trình mặt phẳng P qua điểm M vng góc với đường thẳng     Toạ độ tâm I  P   nghiệm phương trình   Kết luận phương trình mặt cầu S   Bán kính mặt cầu R  IM  d I,   4.3.10 Dạng 10   có tâm I a;b;c  Viết phương trình mặt cầu S cắt đường thẳng  hai điểm A, B thoả mãn điều kiện:  Độ dài AB số  Tam giác IAB tam giác vuông  Tam giác IAB tam giác   Thì ta xác định d I ,   IH , IAB cân I nên HB  AB bán kính mặt cầu R tính sau:  R  IH  HB  R IH sin 45o  R IH sin 60o 4.3.11 Dạng 11   Tập hợp điểm mặt cầu Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất P  Tìm hệ thức toạ độ x , y, z điểm M (x  a )2  (y  b )2  (z  c )2  R hoặc: x  y  z  2ax  2by  2cz  d   Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có) 4.3.12 Dạng 12 Tìm tập hợp tâm mặt cầu x  f (t )   Tìm toạ độ tâm I , chẳng hạn: y  g(t )  * z  h (t )     Khử t * ta có phương trình tập hợp điểm  Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có) Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 98 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN 5.1 Dạng Cho  P  hai điểm A, B Tìm M   P  để  MA  MB  ? Phương pháp  Nếu A B trái phía so với  P   M , A, B thẳng hàng  M  AB   P   Nếu A B phía so với  P  tìm B ' đối xứng B qua  P  5.2 Dạng   Cho  P  hai điểm A, B Tìm M  P để MA  MB max ? Phương pháp  Nếu A B phía so với  P   M , A, B thẳng hàng  M  AB   P   Nếu A B trái phía so với  P  tìm B ' đối xứng B qua  P   MA  MB '  AB ' 5.3 Dạng  Cho điểm M x M ; yM ; z M P  qua M  không thuộc trục mặt phẳng tọa độ Viết phương trình cắt tia Ox ,Oy,Oz A, B,C cho VO ABC nhỏ nhất? Phương pháp P  : 3xx M  y z  1 3yM 3z M 5.4 Dạng   Viết phương trình mặt phẳng P chứa đường thẳng d , cho khoảng cách từ điểm M  d đến  P  lớn nhất? Phương pháp Qua  A  d     P :   u d , AM  , u d  n P          5.5 Dạng   Viết phương trình mặt phẳng P qua A cách M khảng lớn ? Phương pháp Qua  A  P :  n P   AM     5.6 Dạng     Viết phương trình mặt phẳng P chứa đường thẳng d , cho P tạo với  (  không song song với d ) góc lớn lớn ? Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 99 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Phương pháp Qua  A  d     P :      n  u , u , u  P    d   d    5.7 Dạng   Cho  / / P Viết phương trình đường thẳng d nằm (P) song song với  cách  khoảng nhỏ ? Phương pháp Qua  A  Lấy A   , gọi A hình chiếu vng góc A P d :   u  u d     5.8 Dạng   Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A cho trước nằm mặt phẳng P cho trước cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d lớn ( AM khơng vng   góc với P ) ? Phương pháp Qua  A  d    d :    u d  n  P  , AM    5.9 Dạng   Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A cho trước nằm mặt phẳng P cho trước cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d nhỏ ( AM khơng vng   góc với P ) ? Phương pháp Qua  A  d     d :   n P  , AM  , n P   u d       5.10 Dạng 10   Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A  P cho trước, cho d nằm P  tạo với đường thẳng    góc nhỏ (  cắt khơng vng góc với P )? Phương pháp Qua  A  d     d :      u  n  d   P  , AM  , n P   Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 100 ... Thi THPTQG – 0907822142 Page 67 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện tất đỉnh hình đa diện nằm mặt cầu Còn nói hình đa diện nội tiếp mặt cầu Mặt... Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 55 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 3.1.3 Phép đối xứng qua tâm O Nội dung Hình vẽ Là phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điểm M... 7.2.2 Hình vng  S a ( a : cạnh hình vng) Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 60 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 7.2.3 Hình