Trường Đại học Hồng Đức Khoa Khoa học tự nhiên Lưu Văn Tiến đa tạp Riemann hai chiều Khóa luận tốt nghiệp đại học sư phạm toán chuyên nghành: hình học vi phân GVHD: TH.s gvc đồng khắc soạn đơn vị công tác: khoa khoa học tự nhiên Thanh hóa, tháng 5 năm 2009 Khóa luận được trình bày theo hệ thống từ khái niệm, mô tả, cách biểu thị về đa tạp Riemann hai chiều đến định tính của nó và được phân thành 2 phần: Phần I. Cơ sở lý thuyết Chương I. Đa tạp Riemann hai chiều Đ1. Đa tạp Riemann hai chiều Đ2. Dạng liên kết và độ cong Gauss của đa tạp Riemann hai chiều Đ3. Đạo hàm của trường véctơ dọc một cung tham số Chương II. Cung trắc địa trên đa tạp Riemann hai chiều Đ1. Độ cong trắc địa của một cung và cung trắc địa trên đa tạp Riemann hai chiều Đ2. Tính chất ngắn nhất của cung trắc địa Đ3. Định lí Gauss-Bonet Phần II. Một số bài tập minh họa PHầN I: CƠ Sở Lý THUYếT CHƯƠNG I Đa tạp Riemann hai chiều Đ1. Đa tạp Riemann hai chiều 1. Đa tạp hai chiều trong không gian Ơclít . 1.1 Định nghĩa. Cho S là một tập con khác rỗng của . Nếu với mỗi điểm đều tồn tại hình cầu mở sao cho là mảnh hình học thì S được gọi là đa tạp hai chiều. Khi đó, mỗi được gọi là một tham số hóa địa phương và được gọi là một bản đồ địa phương. Như vậy, đa tạp hai chiều S là hợp của các bản đồ địa phương (hay còn gọi đa tạp hai chiều S là hợp của ảnh các khoảng mở hai chiều mà mỗi tập ảnh là một bản đồ địa phương ). p r n E ( ) pp U,Ur,pBS = Sp ( ) 0r,r,pB > ( ) pp r,U n E Đ1. Đa tạp Riemann hai chiều 1. Đa tạp hai chiều trong không gian Ơclít . 1.1 Định nghĩa. Cho S là một tập con khác rỗng của . Nếu với mỗi điểm đều tồn tại hình cầu mở sao cho là mảnh hình học thì S được gọi là đa tạp hai chiều. Khi đó, mỗi được gọi là một tham số hóa địa phương và được gọi là một bản đồ địa phương. Như vậy, đa tạp hai chiều S là hợp của các bản đồ địa phương (hay còn gọi đa tạp hai chiều S là hợp của ảnh các khoảng mở hai chiều mà mỗi tập ảnh là một bản đồ địa phương ). p r n E ( ) pp U,Ur,pBS = Sp ( ) pp r,U n E Đ1. Đa tạp Riemann hai chiều 1. Đa tạp hai chiều trong không gian Ơclít . 1.1 Định nghĩa. Cho S là một tập con khác rỗng của . Nếu với mỗi điểm đều tồn tại hình cầu mở sao cho là mảnh hình học thì S được gọi là đa tạp hai chiều. Khi đó, mỗi được gọi là một tham số hóa địa phương và được gọi là một bản đồ địa phương. Như vậy, đa tạp hai chiều S là hợp của các bản đồ địa phương (hay còn gọi đa tạp hai chiều S là hợp của ảnh các khoảng mở hai chiều mà mỗi tập ảnh là một bản đồ địa phương ). n E Sp n E 1.2 Tiêu chuẩn nhận biết đa tạp hai chiều trong . * Tiêu chuẩn 1. S là đa tạp hai chiều khi và chỉ khi với mỗi điểm có một lân cận mở U của p trong S là một mảnh hình học với tham số hóa kiểu đồ thị : U là tập mở trong , là hàm khả vi trên U. * Tiêu chuẩn 2. Xét ánh xạ: Đặt . Nếu thì S là đa tạp hai chiều. 2 R ( ) ( ) ( ) )y,x(,y,xy,xry,x EU:r 3 = ( ) 3 EVRV:F ( ) ( ) z,y,xFz,y,x ( ) = pFS 1 ( ) 1F,F,Frank zyx = n E 2. Đa tạp Riemann hai chiều. 2.1. Các định nghĩa. a. Định nghĩa 1. Cho M là một đa tạp hai chiều và tích vô hướng < , >_cấu trúc Riemann thõa mãn hai điều kiện: i) là tích vô hướng trên ii) < , > là ánh xạ khả vi đối với mọi p. Khi đó (M,< , >) gọi là đa tạp Riemann hai chiều. Ví dụ. Khi xét < , > là tích vô hướng trên cảm sinh từ tích vô hướng trong , ta được đa tạp Riemann hai chiều với Metric chính tắc. p ,p:, ><>< Mp,MT p MT p n E p ,p:, ><>< Mp,MT p MT p n E b. Định nghĩa 2. ánh xạ khả vi giữa các đa tạp Riemann hai chiều gọi là ánh xạ đẳng cự nếu với ta có: ( ) [ ] ( ) ,,M,,M:f Mp ( ) ( ) MT,,,]fT,fT[ ppp >=< c. Định nghĩa3. ánh xạ (khả vi) gọi là bảo giác (bảo tồn góc giữa các đường) nếu với mọi là một ánh xạ tuyến tính đồng dạng từ đến Ví dụ. Phép biến đổi đồng nhất từ đến trong đó, và là một hàm số dương (khả vi) trên M, là một ánh xạ bảo giác. d.Định nghĩa 4: Đa tạp với cấu trúc Riemann . Trong đó: ( can là cấu trúc Riemann chính tắc xác định bởi tích vô hướng thông thường trên ). (H, < , > ) gọi là nửa phẳng Poincare ( ) [ ] ( ) ,,M ~ ,,M:f ( ) fT,Mp p ( ) pp ,,MT >< ( ) ( ) ( ) pfpf ],[,M ~ T ( ) ,,M [ ] ( ) ,,M [ ] ><= ,, ( ) { } 0yRy,xH 2 >= can, >=< RH: ( ) 2 y 1 y,x 2 R ( ) ( ) ( )( ) ty,xt,xtfRt ==∈  ( ) tty = ( ) 21 ]t,t[ tt 21 <ρ 1 2 t t t t ln t dt 2 1 = ∫ 2.2 VÝ dô vÒ ®a t¹p Riemann hai chiÒu. * ®é dµi cung ®o¹n. XÐt cung trong H x¸c ®Þnh bëi tham sè hãa víi §é dµi cña cung lµ : Đ2.Dạng liên kết và độ cong Gauss của đa tạp Riemann hai chiều 1. Trường mục tiêu và trường đối mục tiêu. a. Định nghĩa 1. Trường véctơ được gọi là trường véctơ song song. b. Định nghĩa 2. Giả sử là n trường véctơ khả vi trên , khi đó bộ { }được gọi là trường mục tiêu khả vi trên nếu : là mục tiêu trong . nn TEE:X constaEp p n == n21 X, .,X,X n21 X, .,X,X n E n E n E ( ) ( ) ( ){ } pX, .,pX,pX n21 c. Định nghĩa 3. Nếu mọi trường vectơ của trường mục tiêu trên là song song thì ta nói trường mục tiêu song song. Mỗi cơ sở trực chuẩn của xác định một trường mục tiêu trực chuẩn song song . d. Định nghĩa 4. Giả sử là trường mục tiêu tự nhiên trên và . Khi đó : Các 1- dạng trên xác định bởi với i, j = 1,2, .,n thì họ gọi là trường đối mục tiêu đối ngẫu của trường mục tiêu { } và khai triển 1- dạng vi phân là duy nhất. ( ) n, .,2,1iX i = { } n21 X, .,X,X n E n E { } n, .,2,1i,E i = { } i e { } n21 E, .,E,E n E ( ) ( ) == = = n 1i i i n 1i i i EEX ( ) n, ,2,1i i = n E ( ) = == jiue n0 jiue n1 E i ji i { } i n E [...]... vectơ X dọc là vi c đặt tương ứng với mỗi tI ta có vectơ tiếp xúc X( t ) T ( t ) M X được gọi là khả tại t 0 I nếu có khoảng mở J chứa t 0 , J I sao cho mọi ] số khả vi trên 1 tập mở chứa t0 t X( t ) [ hàm ( J ) , hàm số: t0 I { U , U } khả vi tại X được gọi khả vi X( t ) nó khảtvi tạimọi điểm ( t ) U ( (.t ) ) nếu = ( ) U ( ( t ) ) + ( I ) 1 Nếu 2 1 2 1 2 là một 1 , 2 mục tiêu khả vi trên một... vuông góc Oxyz , G = O(3,R) , 0 = ( 0,0,0 ) Ta thấy 0 thõa mãn các giả thiết của hệ quả 3 ( S2 , can ) Vậy O(3,R) là nhóm vi phôi đẳng cự của 2 3 Định lí gauss-bonet R,2 A 0 B 0 C 0 U ; r : U V là vi 1.Định lí 1 Cho U mở phôi với Vmở (M, < , >) Trên V chọn hướng để r là vi phôi bảo tồn hướng Đặt r ( A 0 ) = A , r ( B 0 ) = B , r ( C 0 ) = C Thu hẹp của A 0 B 0 C 0 r lên là ABC, thu hẹp của r theo... exp p : 0 p ( 0 ) ( ) gọi là ánh xạ mũ ( tại p) 1.2 ánh xạ cực trắc địa Chọn cơ sở trực chuẩn { e1 ,e 2 } của không gian véctơ tiếp xúc Tp M khả vi trên2 đa Riemann hai chiều (M,) Tồn tại ánh xạ tạp Tp M R ( u, v ) [ u ( cos ve và ánh xạ khả vi + sin ve 2 ) ] exp p : R 2 Tp M ( u, v ) exp p [ u ( cos ve1 + sin ve 2 ) ] 1 gọi là ánh xạ cực trắc địa Với V 0, ánh ,xạ) R 2 0 < u < exp p (... (M, ) là một đa tạp Riemann hai chiều Với mọi trường mục tiêu trực chuẩn{ U1 , U 2 } trên tập mở V của M, gọi { 1 , 2 } là trường đối mục tiêu của nó, tức các dạng vi phận bậc một trên V mà i U j = ij Ta có một và chỉ một dạng vi phân bậc một trên V thỏa 2 mãn: d1 = 1 2 , d 2 = 1 1 2 12 = 12 trong đó 1 Dạng 2 đó gọi là dạng liên kết của (M, < , > trong trư ờng mục tiêu đã cho ( ) 3 Độ cong... là phép biến đổi tham số : J X s ( s ) thì X là trường vécctơ dọc và ( X ) d X = ds ds dt 2 1.3.6 Cho U R là tập mở và cung r : U M ( u, v ) r( u, v ) Một trường vectơ X dọc r là vi c đặt tương ứng mỗi ( u , v ) U với véctơ X( u , v ) Tr ( u , v ) M Đạo hàm của X dọc các cung v r( u, v ) u r( u, v ) X , X cho các trường véctơ dọc r lần u và v lượt là E 3với cấu trúc 4 Ví... : các đường tọa độ luôn trực b) giao c) G ( u , v ) = 0 ( E 2 , can ) :p E 2 , coi Tp E = E 2 , Tp E 2 1.4 Ví dụ.Cho :J E t ( t ) = p + t 2 và cung trắc địa tối đại: exp p : Tp E E p + là một vi phôi 2 Ta có ánh xạ 2 2.Tính chất ngắn nhất của cung đoạn trắc địa 2.1 Định lí Với mọi điểm q trong lân cận chuẩn tắc exp p ( N ) của p trên đa tạp Riemann 2 chiều ( M , < , > ) với q p , tồn tại... 1 Độ cong trắc địa 1.1 Định nghĩa 1.1.1 Cung chính quy định hướng trên đa tạp Riemann hai chiều Cho cung và các tham số hóa của cung lần lượt là : ~:J M : I M , t ( t ) s ~( s ) Khi đó tồn tại vi phôi : I J sao cho = ~ và t s = ( t ) được gọi là cung định hướng nếu ( t ) > 0 1.1.2 Độ cong trắc địa a Định nghĩa: Mỗi cung chính quy định hướng trên đa tạp Riemann hai chiều có hướng (M,)... cầu bán kính R trong E với cấu trúc Riemann chính tắc thì 1 1 1 K = 2 Kà = 2 à = 2 s( M ) R R M R M với s( M ) là diện tích của (M, < , > ) Nếu s( M ) = 4R 2 1 1 2 ( M ) = 2 4R = 2 2 R ~ M trong E 3vi phôi với mặt cầu trong Lấy ellipsoid nên ta luôn có : 1 Kà = 2 ~ 2 M E 3 . Trường Đại học Hồng Đức Khoa Khoa học tự nhiên Lưu Văn Tiến đa tạp Riemann hai chiều Khóa luận tốt nghiệp đại học sư phạm toán chuyên nghành: hình học vi phân. khả vi tại . X được gọi khả vi nếu nó khả vi tại mọi điểm . Nếu là một trường mục tiêu khả vi trên một tập mở chứa của M thì: khả vi khi và chỉ khi khả vi.