Bài toán xác đ ịnh một Đa Thức Việc tìm tòi lời giảI bài toán xác định một đa thức th ờng gây lúng túng cho HS . Nguyên nhân chính là hs đ ợc trang bị đầy đủ các kiến thức cần thiêt nh ng rời rạc ởcác khối lớp và th ờng thiếu bài tập áp dụng . Bài viết này nhằm củng cố kiến thức về đa thức về đa thức trong ch ơng trình toán từ lớp 7 đến lớp 9 đặc biêt ch ơng trình HSG lớp 8 1, Một vài kiến thức cơ bản để giảI loại toán này : Định lý Bơ-du : phần d của phép chia đa thức f(x) cho nhị thc x a bằng giá trị của đa thức tại x = a , tức là f(x) = (x a)g(x) + f(a) Thực vậy , giả sử f(x) = (x a)g(x) + r thì f(a) = r Phơng Pháp hệ số bất định Giả sử f(x) = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 g(x) = b 3 x 3 + b 2 x 2 + b 1 x + b 0 Nếu f(x) = g(x) với ít nhất 4 giá trị phân biệt của x thì a 3 =b 3 , a 2 =b 2 , a 1 =b 1 , a 0 =b 0 . Chứng minh : giả sử với 4 giá trị phân biệt x 1 , x 2 , x 3 , x 4 có : f(x 1 )=g(x 1 ) (1) f(x 2 )=g(x 2 ) (2) f(x 3 )=g(x 3 ) (3) f(x 4 )=g(x 4 ) (4) Đặt c 3 =a 3 b 3 , c 2 =a 2 b 2 , c 1 =a 1 b 1 , c 0 =a 0 b 0 . Trừ theo vế của (1) và (2) đợc : C 3 (x 3 1 x 3 2 ) + C 2 (x 1 2 x 2 2 ) + C 1 (x 1 x 2 ) = 0 Vì x 1 x 2 0 nên C 3 (x 1 3 +x 1 x 3 +x 3 2 ) + C 2 (x 1 + x 2 ) + C 1 = 0 (5) Tơng tự từ (1) và (3) có C 3 (x 1 2 + x 1 x 3 + x 3 2 ) + c 2 (x 1 +x 3 )+c 1 = 0 (6) Trừ theo tong vế của (5) và (6) rồi chia cho x 2 x 3 0 đợc c 2 +c 3 (x 1 +x 2 +x 3 )=0 (7) Tơng tự từ (1) , (2) , (4) có : C 2 +c 3 (x 1 + x 2 + x 4 ) = 0 (8) Trừ theo từng vế của (7) và (8) đợc c 3 (x 3 x 4 ) = 0 c 3 =0 vì x 3 x 4 0 . Thay c 3 =0 vào (8) đợc c 2 = 0 . Từ đó và (6) đợc c 1 =0 . Thay vào (1) đợc a 0 = b 0 suy ra đpcm . 2. Một số dạng toán thờng gặp Dạng 1 : Xác định đa thức bậc n ( n = 2,3) khi biết (n + 1) giá trị của đa thức Bài toán 1 : Xác định đa thức bậc ba biết f(0) =1 ; f(1) = 0 ; f(2) = 5;f(3)= 22 Lời giải : Gọi đa thức cần tìm là : F(x) = ax 3 + b 2 + cx + d Theo bài ra ta có : f(0) = 1 d=1 f(1) = 0 a+b+c = -1 (1) f(2) = 5 4a+2b+c=2 (2) f(3) = 22 9a + 3b +c =7 (3) Giải hệ phơng trình (1) , (2) , (3) đợc a=1, b=0, c=-2 . Vậy f(x)=x 3 -2x+1 Chú ý rằng để xác định đa thức bậc n thì cần biết n+1 giá trị đa thức , còn nếu chỉ biết n giá trị thì đa thức tìm đợc có hệ số phụ thuộc một tham số . Chẳng hạn ở bài toán 1 nếu bỏ đi điều kiện f(3) = 22 thì khi giải hệ phơng trình (1) (2) và d =1 ta đợc f(x) =ax 3 +(3-3a)x 2 +(2a- 4)x+1 với a tham số . Dạng 2 : Xác định đa thức d khi biết một số phép chia khác Bài toán 2 : Đa thức f(x) khi chia cho x+1 d 4 , khi chia cho x 2 +1 d 2x+3 . Tìm đa thức d khi chia f(x) cho (x+1)(x 2 +1) . Lời giải : Theo định lí Bơ-du ta có f(-1) = 4 (4) . Do bậc của đa thức chia (x+1)(x 2 +1) là 3 nên đa thức d có dạng bậc hai ax 2 +bx+c . Giả sử f(x) = (x+1)(x 2 +1).q(x)+ax 2 +bx+c = [(x+1).q(x)+a].(x 2 +1)+bx+c-a (5) Mà f(x) chia cho (x 2 +1) d 2x+3 (6) Từ (4) , (5), (6) có b=2 (7) , c - a =3 (8), a b + c =4 (9). Giải hệ phơng trình (7)(8)(9) suy ra đa thức d cần tìm là 2 9 2 2 3 2 ++ xx . Chú ý rằng để tìm đa thức d khi chia f(x) cho g(x) ở điều kiện để bài ta biết phép chia f(x) cho các đa thức thơng của g(x) . Dạng 3: Xác định đa thức khi biết điều kiện của các hệ số Bài toán 3 : Tìm các đa thức f(x) có tất cả các hệ số đều là số nguyên không âm nhỏ hơn 8 và thoả mãn : f(x) =2003. Lời giải : Xét đa thức F(x) = a n x n +a n-1 x n-1 ++a 1 x+a 0 với a 0 ,a 1 ,,a n-1 ,a n đều là các số nguyên không âm và nhỏ hơn 8. Do f(8) = 2003 nên a n 8 n +a n-1 8 n-1 ++a 1 8+a 0 = 2003. ở đây a 0 , a 1 , ., a n-1 , a n là các chữ số của năm 2003 cho 8 đợc d a 0 =3 , lại lấy thơng chia cho 8 , liên tiếp nh thế , ta đợc đa thức cần tìm là : F(x) = 3x 3 +7x 2 +2x+3 Bài toán tổng quát là : Tìm các đa thức f(x) sao cho tất cả các hệ số đều là số nguyên không âm nhỏ hơn a và biết f(a) = b , trong đó a,b là các số đã cho. Dạng 4: Xác định đa thức thoả mãn một hệ thức đối với f(x) Bài toán 4 : Tìm các đa thức f(x) bậc nhỏ hơn 4 và thoả mãn hệ thức sau với ít nhất 4 giá trị phân biệt của x : 3f(x) f(1-x) = x 2 +1 (10) Lời giải : Giả sử f(x) = a 3 x 3 +a 2 x 2 +a 1 x + a 0 Sử dụng phơng pháp hệ số bất định ta có : 4a 3 x 3 =0 a 3 =0 suy ra 2a 2 x 2 =x 2 a 2 = 2 1 , từ đó có (4a 1 +1)x = 0 a 1 =- 4 1 và 2a 0 - 4 1 = 1 a 0 = 8 5 . Vậy f(x) 8 5 4 1 2 1 2 + x Các bạn hãy chứng minh phơng pháp hệ số bất định đối với hai đa thức có bậc 4 , bậc 5 và tìm thêm các dạng khác của bài toán xác định đa thức . Dạng 5: Tìm giá trị của một đa thức Bài toán 5: Đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất là 1 và thoả mãn f(1) = 5 , f(2)=11, f(3) =21 .Tính f(-1) + f(5) Lời giảI : Nhận xét g(x) = 2x 2 + 3 thoả mãn f(1) =5 , f(2) = 11 , f(3) =21 Q(x) = f(x) g(x) là đa thức bậc 4 có 3 nghiệm x=1, x=2 , x=3. Vậy Q(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-a) ta có : f(-1) = Q(-1) + 2.(-1) 2 + 3 = 29 + 24a f(5) = Q(5) + 2,(5) 2 +3 =173 +24a Suy ra f(-1) + f(5) = 202 Bài toán 6 : Đa thức P(x) bậc 4 có hệ số cao nhất là 1 Giả sử P( 1) = 0 , P (3) = 0 , P (5) = 0 , Hãy tính giá trị cúa biểu thức Q = P(-2) +7 P(6) ( Trích đề thi Olympic lớp 8 (08-09) Hơng Sơn Hà Tĩnh Lời giảI : Vì P(1) = 0 , P(3) = 0, P(5) = 0 nên đa thức P(x) nhận 1; 3 ; 5 làm nghiệm . VậyP(x) = (x-1)(x-3)(x-5)(x-a). Từ đó suy ra P(-2) = 210 + 105a và 7P(6) = 630 105a vậy Q = P(-2) + 7P(6) = 840 Các bạn có thể giảI thêm các bài tập sau : Đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất là 1 và thoả mãn g(-1) = 5 ; g(2) = 11 ; g (4) = 35 . Tính P = G(-1) +4G(5) Chúc các bạn thành công và học thật giỏi Hơng Sơn ngày 10-5-2009