PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT CĨ CHỨA THAM SỐ ( m − ) x − ( m − ) 3x + m − = có nghiệm Bài Tìm m để phương trình: Giải Đặt: t = 3x ( t > 0) Phương trình thành: ( m − ) t − ( m − ) t + m − = (1) ⇔ mt − 2mt + m = 4t − 4t + ⇔ m ( t − 2t + 1) = 4t − 4t + ⇔m= 4t − 4t + t − 2t + ( t ≠ 1) t > t ≠ 4t − 4t + Xét hàm số: f (t ) = t − 2t + −4t + 6t − f '(t ) = (t − 2t + 1) với:  t = (loại) f '(t ) = ⇔ −4t + 6t − = ⇔  t =  Bảng biến thiên: t f '( t ) − f ( t) +∞ + +∞ +∞ − 4 4− + 4t − 4t + t t =4 lim f ( t ) = lim = lim t →+∞ t →+∞ t − 2t + t →+∞ 1− + t t Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đường thẳng y = m đồ thị hàm số f ( t ) Qua bảng biến thiên: Phương trình (1) có nghiệm ⇔ m ≥ x x Bài Tìm m để phương trình: − 4m ( − 1) = có nghiệm Giải x − 4m ( x − 1) = ⇔ x − 4m.2 x + 4m = Đặt: t = x ( t > ) Phương trình thành: t − 4mt + 4m = (1) ⇔ t = 4m ( t − 1) ⇔ 4m = t2 t −1 ( t ≠ 1) Xét hàm số: f (t ) = t2 t −1 t > t ≠ với:  f '(t ) = t = 0(loại) f '(t ) = ⇔ t − 2t = ⇔  t = t − 2t ; (t − 1) Bảng biến thiên: t f '( t ) − + − +∞ f ( t) +∞ +∞ −∞ t2 = lim = +∞ t →+∞ t − t →+∞ 1 − t t2 lim f ( t ) = lim t →+∞ Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đường thẳng y = 4m đồ thị hàm số f ( t ) Qua bảng biến thiên: Phương trình (1) có nghiệm ⇔ 4m < 4m ≥ ⇔ m < m ≥ Bài Tìm m để phương trình: m.2 x + 2− x − = có nghiệm Giải m.2 x + 2− x − = ⇔ m.2 x + ( t > 0) Đặt: t = x −5 = 2x t Phương trình thành: mt + − = (1) ⇔ mt − 5t + = ⇔ mt = 5t − ⇔ m = Xét hàm số: f (t ) = 5t − t2 5t − t2 ( t > 0) với: t ∈ ( 0; +∞ ) t = (loại) −5t + 2t f '(t ) = ; f '(t ) = ⇔ −5t + 2t = ⇔  t= t  Bảng biến thiên: t f '( t ) + 25 f ( t) +∞ − −∞ − 5t − t t =0 lim f ( t ) = lim = lim t →+∞ t →+∞ t t →+∞ Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đường thẳng y = m đồ thị hàm số f ( t ) Qua bảng biến thiên: Phương trình (1) có nghiệm ⇔ m ≤ 25 ( ) ( ) x x Bài Tìm m để phương trình: + 2 + − 2 − 2m = có nghiệm Giải ( + 2 ) + ( − 2 ) − 2m = Vì: ( + 2 ) ( − 2 ) = Đặt: t = ( + 2 ) ( t > ) ⇒ ( − 2 ) x x x x = t t2 +1 = 2m ( t > ) t t t2 +1 f ( t ) = Xét hàm số: với: t ∈ ( 0; +∞ ) t t = −1 (loại) t −1 f '(t ) = ; f '(t ) = ⇔ t − = ⇔  t t = Phương trình thành: t + = 2m ⇔ Bảng biến thiên: t f '( t ) f ( t) +∞ +∞ − + +∞ t −1 lim f ( t ) = lim = lim t →+∞ t →+∞ t →+∞ t t = +∞ t 1− Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đường thẳng y = 2m đồ thị hàm số f ( t ) Qua bảng biến thiên: Phương trình (1) có nghiệm ⇔ 2m ≥ ⇔ m ≥ Bài Tìm m để phương trình: 25 x +1 − x + + m = có nghiệm Giải 25 x +1 − 5x + + m = ⇔ 25.52 x − 25.5 x + m = Đặt: t = x ( t > ) Phương trình thành: 25t − 25t = − m (1) Xét hàm số: f (t ) = 25t − 25t với: t ∈ ( 0; +∞ ) f '(t ) = 50t − 25 ; Bảng biến thiên: f '(t ) = ⇔ 50t − 25 = ⇔ t = t f '( t ) f ( t) ∈ ( 0; +∞ ) 2 − − 25 +∞ + +∞ Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đường thẳng y = − m đồ thị hàm số f ( t ) Qua bảng biến thiên: Phương trình (1) có nghiệm ⇔ −m ≥ − x 25 25 ⇔m≤ 4 x 1 1 Bài Tìm m để phương trình:  ÷ − m  ÷ + 2m + = có nghiệm 9 3 Giải x 1 Đặt: t =  ÷ 3 ( t > 0) Phương trình thành: t − mt + 2m + = ⇔ t + = m ( t − ) ⇔ m = Xét hàm số: f (t ) = t − 4t − f '(t ) = ( t − 2) t > t ≠ t2 +1 t −2 t2 +1 (1) t−2 với:  t = + f '(t ) = ⇔ t − 4t − = ⇔  t = − ∉ ( 0; +∞ ) ; Bảng biến thiên: t f '( t ) 2− − − +∞ f ( t) − +∞ 2+ 0 − + +∞ 4+2 −∞ Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đường thẳng y = m đồ thị hàm số f ( t ) Qua bảng biến thiên: Phương trình (1) có nghiệm ⇔ m < − Bài Tìm m để phương trình: 91+ 1− x − ( m + ) 31+ 1− x + 2m + = có nghiệm Giải: Điều kiện: − x ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤ Đặt: t = 31+ 1− x ( t > ) ) (  −x  ln  ÷  1− x  t ' = ⇔ x = ; ta có: t ( −1) = ; t ( 1) = ; t ( ) = t ' = 31+ 1− x ' ln + − x = 31+ 1− x Do đó: x ∈ [ −1;1] ⇒ t ∈ [ 3;9] t − 2t + =m Phương trình thành: t − ( m + ) t + 2m + = ⇔ t − 2t + = m ( t − ) ⇔ t −2 t > t − 2t + Xét hàm số: f (t ) = với:  t −2 t ≠ 2 f '(t ) = t − 4t + ( t − 2) Bảng biến thiên: ; t = ∉ [ 3;9] f '(t ) = ⇔ t − 4t + = ⇔  t = t f '( t ) f ( t) + 01 03 + 64 – Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đường thẳng y = m đồ thị hàm số f ( t ) Qua bảng biến thiên: Phương trình (1) có nghiệm ⇔ ≤ m ≤ 64 Bài Tìm m để phương trình: log ( x + 2mx ) − log ( x − 1) = có nghiệm Giải log ( x + 2mx ) − log ( x − 1) = ⇔ log ( x + mx ) = log ( x − 1) (1) x > x −1 >  ⇔ ⇔  − x2 + x −1 = m (2)  x + 2mx = x −  2x  − x2 + x −1 −2 x + y'= Xét hàm số: y = với x > ; 2x 4x2  x = −1 ∉ ( 1; +∞ ) y ' = ⇔ −2 x + = ⇔  x = Bảng biến thiên: x y' − + -1 + − y − −∞ Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đường thẳng y = m đồ thị hàm số f ( t ) Qua bảng biến thiên: Phương trình (1) có nghiệm ⇔ m < − Bài Tìm m để phương trình: ( m − 1) log 32 ( x − ) − ( m + 1) log ( x − ) + m − = có nghiệm x thỏa mãn điều kiện x < x > ⇔2< x −4  x + >  = log ( mx ) ⇔  ⇔  ( x + 4) mx = x + ( ) =m     x Xét hàm số: f ( x) = f '( x ) = x2 − ; x2  x > −4 x ≠ x2 + 4x + x với:   x = −2 f '( x ) = ⇔ x − = ⇔  x = Bảng biến thiên: x -4 f '( x) + f ( x) -2 − − +∞ +∞ + +∞ -1 −∞ Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đường thẳng y = m đồ thị hàm số f ( t ) Qua bảng biến thiên: Phương trình (1) có nghiệm ⇔ m ≤ m ≥ x − 12 −3 x Bài 12 Tìm m để phương trình:  ÷  ÷ 4 3 Giải Điều kiện: 12 − x ≥ ⇔ −2 ≤ x ≤ x 3  ÷ 4 − 12 −3 x 4  ÷ 3 m x + 12 −3 x m 3 =  ÷ có nghiệm 4 m 3 3 3 = ÷ ⇔ ÷ =  ÷ ⇔ x + 12 − x = m (1) 4 4 4 Bảng biến thiên: Đặt: y = x + 12 − 3x , với x ∈ [ −2; 2] x −∞ −2 Trên khoảng ( −2; ) ta có: + y' 3x 12 − x − 3x y ' = 1− = y 12 − 3x 12 − 3x 0 ≤ x ≤ y ' = ⇔ 12 − x = x ⇔  2 −2 12 − x = x ⇔ x =1 Phương trình thành: y = m +∞ − Phương trình (1) có nghiệm ⇔ −2 ≤ m ≤