CHƯƠNG XÁC XUẤT Dạng 1 : Tìm không gian mẫu Ω Bài 1 : gieo một con súc sắc cân đối, đồng chất và quan sát số chấm xuất hiện. Hãy mô tảkhông gian mẫu. Trả lời : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, } Ω = C 1 6 Bài 2 : Từ một hộp chứa 3 bi trắng, 2 bi đỏ, lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 bi. Tìm không gian mẫu. Trả lời : B1 : - Bi trắng đánh số  1, 2, 3 - Bi đỏ đánh số  4, 5 B2 : Ω = { 1, 2 }; {1, 3 }; {1, 4 }; { 1, 5 }; {2, 3 }; { 2,4 }; { 2,5 }; {3,4 }; { 3,5 } ; {4,5 } Ω = C 2 5 số Bài 3 : Gieo đồng thời hai con súc sắc, đồng chất và quan sát số chấm xuất hiện. Hãy mô tả bằng không gian mẫu. Trả lời : Ω = {1,2 } ; {1,3 } ; { 1,4 } ; {1,5 } ; {1,6 } {2,1 } ; {2,2 } ; { 2,3 } ; {2,4 } ; {2,5 } ; {2, 6 } {3,1 } ; {3,2 } ; { 3,3 } ; {3,4 } ; {3,5 } ; {3, 6 } {4,1 } ; {4,2 } ; { 4,3 } ; {4,4 } ; {4,5 } ; {4, 6 } {5,1 } ; {5,2 } ; { 5,3 } ; {5,4 } ; {5,5 } ; {5, 6 } {6,1 } ; {6,2 } ; { 6,3 } ; {6,4 } ; {6,5 } ; {6, 6 }  Ω = C 1 6 x C 1 6 = 36 số Bài 4 : Một số đa giác đều 8 cạnh. Chọn ngẫu nhiên một đường chéo của đa giác. Hãy dựng không gian mẫu. Bài 5 : Ba cửa hàng bán xe hon đa như nhau. Có ba người khách A, B, C độc lập chọn ngẫu nhiên một cửa hàng để mua xe. Xây dựng không gian mẫu. Bài 6 : Công ty tin học cần tuyển 2 nhân viên. Có 6 người nộp đơn. Xây dựng không gian mẫu. Bài 7 : Có 6 quả cầu giống hệt nhau được đánh số từ 1 đến 6 và đựng trong một hộp. Xây dựng không gian mẫu khi lấy ngẫu nhiên 4 quả. Bài 8 : Gọi M là tập hợp các số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau được thành lập từ 1, 2, 3, 4, 5, 6. xây dựng không gian mẫu. Bài 9 : Trong 100 vésố. Một người mua ngẫu nhiên 3 vé. Xây dựng không gian mẫu. Bài 10 : Cho tập hợp các số nguyên dương ≤ 100. chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương. Tìm không gian mẫu. Bài 11 : Xếp ngẫu nhiên 5 người vào một bàn có 5 chỗ ngồi. Xây dựng không gian mẫu. Bài 12 : Bỏ ngẫu nhiên 5 lá thư vào 5 phong bì. Xây dưng không gian mẫu. Bài 13 : Gieo 3 con súc sắc cân đối một cách độc lập. Xây dưng không gian mẫu. Bài 14 : Có 12 sản phẩm được xếp vào 3 hộp một cách nhẫu nhiên. Xây dưng không gian mẫu. Bài 15 : Có 12 hành khách lên 4 toa tầu một cách ngẫu nhiên. Xây dưng không gian mẫu. Bài 16 : Một tổ có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Xây dưng không gian mẫu. Bài 17 : Một hộp chứa 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1  10 . 20 quả cầu xanh được đánh số từ {11, 30 } . lấy ngẫu nhiên 1 quả. Xây dưng không gian mẫu. Bài 18 : Có 5 bạn nam và 5 bạn nữ, xếp ngồi ngẫu nhiên quanh bàn dài. Xây dưng không gian mẫu. Bài 19 : Có 5 bạn nam và 5 bạn nữ, xếp ngồi ngẫu nhiên quanh bàn tròn. Xây dưng không gian mẫu. Dạng 2 : CÁC PHÉP TOÁN VỀ PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ Bài 1 : Gieo một con súc sắc cân đối, đồng chất và quan sát số chấm xuất hiện. Xác đònh biến cố. - A : “ Xuất hiện mặt chẵn chấm ” - B : “ Xuất hiện mặt lẽ chấm ” - C : “ Xuất hiện mặt có số chấm khôngn hỏ hơn 3 ” A ∩ B : A ∪ B Biến cố nào xung khắc. Trả lời : * Ω A = { 2,4 ,6 } * Ω (A ∩ B ) = ∅  Biến cố A và B xung khắc * Ω B = {1, 3, 5 } * Ω (A ∪ B) = {1,2, 3, 4, 5, 6 }= Ω * Ω C = { 3, 4, 5, 6 } Bài 2 : từ một hộp 3 bi trắng, 2 bi đỏ, lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 bi. Xác đònh biến cố - A : “ Hai bi cùng màu trắng” - B : “ Hai bi cùng màu đỏ” - C : “ Hai bi cùng màu ” - D : “ Hai bi khác màu ” - Tím càc biến cố xung khắc, các biến cố đối nhau Trả lời: - các bi trắng đánh số :1, 2, 3 - các bi đỏ đánh số : 4, 5 * Ω A = { (1, 2 ) ; (1,3 ) ; ( 2,3 )} * Ω B = { (4,5 ) } * Ω C = Ω (A ∪ B) = {( 1,2 ) ; ( 2,3 ) ; ( 3,4 ) ; ( 4,5 ) } * Ω D = Ω _ Ω (A ∪ B) Với Ω = {( 1,2 ) ; ( 1, 3 ) ; ( 2,3 ) ; ( 3,4 ) ; ( 4,5 ) ;( 1,4 ) ; ( 1,5 ) ; ( 2,4 ) ; ( 2,5 ) ; (3,4 ) ( 3,5 )  Ω D = {( 1,4 ) ; ( 1,5 ) ; ( 2,4 ) ; ( 2,5 ) ; (3,4 ) ( 3,5 )} * A ∩ B = ∅  A và B là hai biến cố xung khắc Bài 3 : Gieo 1 đồng tiền 3 lần và quan sát sự xuất hiện mặt sấp (S) và mặt ngữa (N). xác đònh các biến cố : - A 1 : “ Lần gieo ít nhất xuất hiện mặt sấp ” - A 2 : “ Lần gieo ít nhất xuất hiện mặt ngữa ” - B 1 : “ Lần gieo không xuất hiện mặt sấp” - B 2 : “ Lần gieo không xuất hiện mặt ngữa ” - A 3 : “ Lần gieo đầu tiên xuất hiện mặt sấp” - A 4 : “ Lần gieo đầu tiên và thứ nhì xuất hiện mặt sấp” - B 3 : “ Lần gieo đầu tiên xuất hiện mặt ngữa” - B 4 : “ Lần gieo đầu tiên và thứ hai xuất hiện mặt ngữa” - C 1 : “ 3 lần xuất hiện mặt như sau ” - C 2 : “ đúng 2 lần xuất hiện mặt sấp ” Trả lời : Ω A1 = {SSS, SSN, SNS, NSS} ( 3 chữ S, 2 chữ S ) = {SNN, NSN, NNS } (1 chữ S ) Ω A2 = { NNN, NNS, NSN, SNN} ( 3 chữ N, 2 chữ N ) = { NSS, SNS, SSN } (1 chữ N ) Ω B1 = { NNN } Ω B2 = {SSS } Ω A3 = {SSS, SNS, SSN, SNN } Ω A4 = {SSN } Ω B3 = {NNN, NSN, NNS, NSS } Ω B4 = {NNS } Ω C1 = {SSS, NNN } Ω C2 = {SSN, SNS, NSS } Ω = { SSS, SSN, SNS, NSS, SNN, NSN, NNS, NNN }  Ω = Ω (A1 ∪ B1) = Ω (A2 ∪ B2) Ω C1 = Ω B1 ∪ B2 Bài 4 : Gieo một đồng tiền, sau đó gieo một con súc sắc. Quan sát sự suất hiện mặt sấp (S), mặt ngữa (N) của đồng tiền và số chấm suất hiện trên con súc sắc. Xác đònh biến cố. - A : “ Đồng tiền xuất hiện mặt sấp và con súc sắc suất hiện mặt chẵn chấm” - B : “ Đồng tiền xuất hiện mặt ngữa và con súc sắc suất hiện mặt lẽ chấm” - C : “Mặt 6 chấm xuất hiện” Bài 5 : Một con súc sắc được gieo 3 lần. Quan sát số chấm xuất hiện. Xác đònh biến cố. - A : “ Tổng số chấm 3 lần gieo là 6” - B : “ Số chấm trong lần gieo thứ nhất bằng tổng số chấm của lần gieo thứ hai và thứ 3” Dạng 3 : CÁC PHÉP TOÁN VỀ XÁC XUẤT CỔ ĐIỂN Bài 1 : gieo đồng thời 2 súc sắc. Tính xác xuất dễ: 1/ A : “ Tổng số nút xuất hiện trên hai con là 8 ” 2/ B : “Tổng số nút xuất hiện trên hai con có tổng là mặt số chẵn ” Trả lời : * B1 Ω = {1,2 } ; {1,3 } ; { 1,4 } ; {1,5 } ; {1,6 } {2,1 } ; {2,2 } ; { 2,3 } ; {2,4 } ; {2,5 } ; {2, 6 } {3,1 } ; {3,2 } ; { 3,3 } ; {3,4 } ; {3,5 } ; {3, 6 } {4,1 } ; {4,2 } ; { 4,3 } ; {4,4 } ; {4,5 } ; {4, 6 } {5,1 } ; {5,2 } ; { 5,3 } ; {5,4 } ; {5,5 } ; {5, 6 } {6,1 } ; {6,2 } ; { 6,3 } ; {6,4 } ; {6,5 } ; {6, 6 }  n ( Ω ) = C 1 6 x C 1 6 = 36 * B2 : A = {( 2,6 ) ; ( 3,5 ) ; ( 4, 4 ) ; ( 6, 2 ) ; ( 5,3 )}  n ( A ) = 5 * B3 : vậy P (A) = n ( A ) = 5 n (Ω ) = 36 2/ • B1 : B = { (1,3 ) ; (1,5 ) ; (3, 1 ) ; ( 5,1 ) ; ( 2,2 ) ; (2, 4 ) ; ( 2,6 ) ; ( 4, 2 ) ; (6, 2 ) ; (3,3 ) ; ( 3,5 ) ; (5, 3 ) ; ( 4,4 ) ; ( 4,6 ) ; (6,6 ) } •  n (B) = 16 • P (B) = 16 = 4 = 36 = 9 Bài 2 : gieo đồng thời 3 con súc sắc. Tính xác xuất dễ 1/ A : “ Tổng số nút xuất hiện của 3 con là 8 ” 2/ B : “ Tổng số nút xuất hiện của 3 con là 10 ” Trả lời : 1/ • B1 : Ω = C 1 6 x C 1 6 x C 1 6 x C 1 6 = 216 • B2 : Bộ (1, 3, 4 ) có 3 ! = 6 cách = A 3 3 = P 3 Bộ ( 1,1 6 ) có 3! = 3 cách = A 2 3 2! Bộ ( 2, 2, 4 ) có 3 ! = 3 cách ( A 1 3 = 3! 2! ) Bộ ( 2,3, 5 ) có 3 ! = 6 cách = A 3 3 = P 3 Bộ (3, 3,4 ) có 3! 2! = 3 cách = A 2 3 Bộ (4, 4,2 ) có 3! 2! = 3 cách = A 2 3  n ( B ) = 27 * B2 : n ( B ) 27 1 P (B) = = = n ( Ω ) 216 8 Bài 3 : cho 1 đa giác đều 8 cạnh. Chon ngẫu nhiên một đường chéo của đa giác. Tìm xác xuất để 1 đường chéo có độ dài nhỏ nhất Trả lời : • B1 : Số cách chọn hai đỉn trong 8 đỉnh của đa giác là số cạnh đa giác C 2 8 = 28 cạnh • B2 : Số đường chéo của đa giác 8 cạnh là : C 2 8 – 8 cạnh= 20 đường chéo  n (Ω) = 20 • B3 : Số đường chéo có độ dài là số các cạnh của hình vuông ( có 2 hình vuông ) 4 + 4 = 8 ( Hoặc C 1 4 + C 1 4 = 8 cạnh )  n ( A ) = 8 • B4 : Xác suất cần tìm n( A ) 8 2 P (A = = = N(Ω) 20 5 Bài 4 : Ba cửa hàng bán xe honđa như nhau. Có 3 người khách A, B, C độc lập nhau, chọn ngẫu ngiên một cửa hàng đề mua xe. Tính xác suất các biến cố sau : 1/ A : “ 3 người khách vào cùng một cửa hàng” 2/ B : “ 2 người khách vào cùng một cửa hàng, người kia vào cửa hàng kia”. - Biết các cửa hàng đánh số 1,2,3 Bài 5 : Công ty tin học cần tuyển 2 nhân viên. Có 6 người nộp đơn. Trong đó có 4 nam và 2 nữ. Giả sử khả năng ứng cử của 6 người là như nhau. Tính xác suất của các biến cố sau: 1/ A : “ Hai người trúng tuyển đều là nam” 2/ B : “ Hai người trúng tuyển đều là nữ” 3/ C : “ Hai người trúng tuyển có ít nhất 1 nữ” Bài 6 : Có 6 quả cầu giống hệt nhau được đánh số từ 1 đến 6 và đựng trong 1 hộp. Sau đósáo trộn, người ta lấy ra ngẫu nhiên lân lượt 4 quả. 1/ Sắp sếp chúng theo thứ tự lấy ra thành 1 hàng ngang từ trái qua phải “ TÌm xác suất đew63 có được số 1,2,3,4 ?”  A 2/ Tìm xác suất để tổng các chữ số = 10” B Bài 7 : Gọi M là tập hợp các số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau được thành lập từ các số 1, 2,3,4,5, 6. lấy ngẫu nhiên 2 phần tử của M. tính xác suất “ để 1 trong 2 phần tử đó chia hết cho 6 ?”  A Bài 8 : Trong 100 vé số có 1 vé trúng 10 triệu đồng 5 vé trúng 5 triệu đồng 10 vé trúng 3 triệu đồng. Tính xác suất các biến cố. 1/ “ người ta trúng đúng 3 triệu đồng”  A 2/ “ người ta trúng ít nhất 3 triệu đồng”  B  B “ có thể trúng 3 triệu, hoặc 10 triệu, hoặc 5 triệu” Bài 9 : Có 12 sản phẩm được xếp vàp 3 hộp một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất để “ Hộp thứ nhất có chứa 3 sản phẩm”  biến cố A thuận lợi Bài 10 : Có 12 hành khách lên 4 toa tàu một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất “ Một toa tàucó 6 hành khách, 2 toa còn lại mỗi toa có 6 hành khách” Biến cố thuận lợi A . Dạng 4 : TÍNH CHẤT XÁC SUẤT A/ Tóm tắt lý thuyết * Tính chất 1 : P ( ∅ ) = 0 ; P ( Ω ) = 1 * tính chất 2 : 0 ≤ P (A) ≤ 1 ; biến cốA * Tính chất 3 : A và B là 2 biến cố bất kỳ P A ∪ B = P (A) + P (B) - P A ∪ B * Tính chất 4 : Nếu A và B là 2 biến cố xung khắc P A ∪ B = ∅  P A ∪ B = P (A) + P (B *Tính chất 5 : Nếu A và B là 2 biến cố độc lập ( Sự sảy ra biến cố này không ảnh hưởng biến cố kia ) P A ∪ B = P (A) . P (B) * Tính chất 6 : A và B là hai biến cố độc lập  A và B cũng là hai biến cố độc lập  A và B cũng là hai biến cố độc lập * Tính chất 7 : ( xác suất có điều kiện )  xác suất của biến có B được tính trong điều kiện biến cố A đã sảy ra P (B/A) = P (A/B) / P (A) * Tính chất 8 : P (A) = 1 - P (A) ; thuộc biến cố A Bài 1 : Một lớp có 60 sinh viên trong đó có 40 sinh viên học tiếng Anh, 30 sinh viên học tiếng Pháp và 20 sinh viên học cả tiêng Anh và Pháp. Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên. Tính xác suất các biến cố sau : 1/ A : “ Sinh viên được chọn học tiếng Anh” 2/ B : “ Sinh viên được chọn chỉ học tiếng Pháp” 3/ C : “ Sinh viên được chọn học cả tiêng Anh lẫn tiếng Pháp” 4/ D : “ Sinh viên được chọn không học tiêng Anh và tiếng Pháp” Trả lời : * B1: Tìm không gian mẫu Ω  n ( Ω ) Ω = {(sinh viên 1 )… (sinh viên 60)}n( Ω ) = 60 * B2: Tìm biến cố thuận lợi A  n( A ) P (A) A = {(sinh viên 1 )… (sinh viên 40)}n( A ) = 40  P (A) = n( A )/ n( B ) = 40/60 = 2/3 * B3: Tìm biến cố thuận lợi B  n( B ) P (B) B = {(sinh viên 21 )… (sinh viên 40)} U {(sinh viên 51 )… (sinh viên 60)}  n( B ) = 30  P (B) = n( B )/ n( Ω ) = 30/60 = ½ * B4 : Tìm biến cố thuận lợi C  n( C ) P (C) <-------20--------<->------20----<->--------10--------<->-----------10--------> Sinh viên chỉ sinh viên học sinh viên không học sinh chỉ học Học tiếng Anh Anh lẫn Pháp Anh lẫn Pháp Tiếng Pháp C = {(sinh viên 21)…… (sinh viên 40)} n( C ) = 20  P (C) = n( C )/ n( Ω ) = 20/60 = 1/3 * B5 Tìm biến cố thuận lợi D  n( Ω D ) P (D) P (D) = 1 – P (A ∪ B) = 1 – [ P (A) + P (B) – P (A ∩ B ) ] = 1- ( 2/3 + 1/2 - 1/3 ) = 1/6 Bài 2 : Gieo con súc sắc cân đối và đồng chất 2 lần tính xác suất sao cho tổng số chấm trong 2lần gieo là số chẵn. Trả lời : * B1 : Tìm không gian mẫu Ω  n ( Ω ) Ω = {{1,1 } ;{1,2 } ; {1,3 } ; { 1,4 } ; {1,5 } ; {1,6 } {2,1 } ; {2,2 } ; { 2,3 } ; {2,4 } ; {2,5 } ; {2, 6 } {3,1 } ; {3,2 } ; { 3,3 } ; {3,4 } ; {3,5 } ; {3, 6 } {4,1 } ; {4,2 } ; { 4,3 } ; {4,4 } ; {4,5 } ; {4, 6 } {5,1 } ; {5,2 } ; { 5,3 } ; {5,4 } ; {5,5 } ; {5, 6 } {6,1 } ; {6,2 } ; { 6,3 } ; {6,4 } ; {6,5 } ; {6, 6 }}  n( Ω ) = C 1 6 . C 1 6 = 6.6 = 36 cách * B2 : Ký hiệu biến cố A : “Lần đầu tiên xuất hiệnmặt chẵn chấm”  n( A )- P (A) Ω A = { (2,1);…… (2,6) (4,1);…… (4,6) (6,1);………(6,6) } P (A)  n( A ) = 36/2 = 18 cách  P (A) = n( A )/ n( Ω ) = 18/36 = ½ *B3 : Ký hiệu biến cố B “ lần thứ 2 suất hiện mặt chẵn chấm  n( Ω B )  P (B) Ω B = [{1,2 } ; {1,4 } ; {1,6 } {3,2 } ; {2,4 } ; {2,6 } {4,2 } ; {3,4 } ; {3,6 } {5,2 } ; {4,4 } ; {4,6 } {6,2 } ; {5,4 } ; {5,6 } {2,2 } ; {6,4 } ; {6,6 }  n B = 36/2 = 18 cách  P (B) = n( B )/ n( Ω ) = 18/36 = ½ * B4 : Ký hiệu C : “ Tổng số chấm 2 lần gieo là chẵn ”  n( C ) - P (C) Chấm chẵn + Chấm chẵn = Chấm chẵn  A . B = [{2,2 } ; {2,4 } ; {2,6 } {3,2 } ; {4,4 } ; {4,6 } {6,2 } ; {6,4 } ; {6,6 }]  n( AB ) = 9 P (AB) = n( AB )/ n( Ω ) = 9/36 = ¼ Hoặc P (A.B) = P (A) + P (B) = ½ + ½ = ¼ Vì A và B là hai biến cố độc lập Chấm lẽ + chấm lẽ = chấm chẵn  A . B = { (1,1 ) ; (1,3 ) ; (1,5 ) (3,1 ) ; (3,3 ) ; (3,5 ) (5,1 ) ; (5,3 ) ; (5,5 )  n( A.B) = 9 cách  P (A.B) = n( A.B) / n( Ω ) = 9/36 = ¼ Hoặc P (A.B) = P (A) + P (B) = [1- P (A) ] [ 1 - P (B) ] = (1- ½ ) (1- ½ ) = ½ . ½ = ¼  P (C) = P (A.B) + P (A.B) = ¼ + ¼ = ½ Bài 3 : Một tổ có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tìm xác suất các biến cố. a)A : “cả hai đều là nữ” . nguyên dương ≤ 100. chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương. Tìm không gian mẫu. Bài 11 : Xếp ngẫu nhiên 5 người vào một bàn có 5 chỗ ngồi. Xây dựng không gian mẫu chứa 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1  10 . 20 quả cầu xanh được đánh số từ {11, 30 } . lấy ngẫu nhiên 1 quả. Xây dưng không gian mẫu. Bài 18 : Có 5 bạn