Đang tải... (xem toàn văn)
I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG 1. Chuyển số phức về dạng lượng giác Dạng lượng giác của số phức : Cho số phức z có dạng z rcos isin thì ta luôn có : cos sin n n z r n i n Lệnh chuyển số phức z a bi về dạng lượng giác : Lệnh SHIFT 2 3 Bước 1: Nhập số phức z a bi vào màn hình rồi dùng lệnh SHIFT 2 3 (Ví dụ z 1 3i ) 1+s3bq23= Bước 2: Từ bảng kết quả ta đọc hiểu r 2 và 3 II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1. Gọi 1 2 z ,z là hai nghiệm phức của phương trình 2 z z 1 0 . Giá trị của 1 2 z z bằng : A. 0 B.1 C. 2 D. 4 (Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1 năm 2017) Lời giải: Cách Casio Tính nghiệm của phương trình bậc hai 2 z z 1 0 bằng chức năng MODE 5 3 w531=p1=1== Vậy ta được hai nghiệm 1 1 3 2 2 z i và 2 1 3 2 2 z i . Tính tổng Môđun của hai số phức trên ta lại dùng chức năng SHIFT HYP w2qca1R2+as3R2b +qca1R2pas3R2b= 1 2 z z 2 ta thấy B là đáp án chính xác Trang 211 VD2. Gọi 1 2 z ,z là hai nghiệm phức của phương trình 2 z 2z 2 0 . Tính giá trị của biểu thức 2016 2016 P 1 2 z z : A. 1009 2 B. 0 C. 2017 2 D. 1008 2 (Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 2 năm 2017) Lời giải: Cách Casio 1 Tính nghiệm của phương trình bậc hai 2 z 2z 2 0 bằng chức năng MODE 5 3 w531=2=2== Ta thu được hai nghiệm 1z 1 i và 2 z 1 i . Với các cụm đặc biệt 1 i , 1i ta có điều đặc biệt sau: 4 1 i 4 , 4 1 i 4 w2(p1+b)4= Vậy 504 504 2016 2016 4 4 2016 2016 1 2 P z z 1 i 1 i 1 i 1 i 504 504 504 504 1008 1008 1008 1009 4 4 4 4 2 2 2.2 2 2016 2016 1009 1 2 P z z 2 ta thấy A là đáp án chính xác Cách Casio 2 Ngoài cách sử dụng tính chất đặc biệt của cụm 4 1 i ta có thể xử lý 1 i bằng cách đưa về dạng lượng giác bằng lệnh SHIFT 2 3 Với z1 1 i rcos isin p1+bq23= Ta nhận được r 2 và góc 3 4 2016 2016 1 1 3 3 3 3 2 cos sin 2 cos 2016. sin 2016. 4 4 4 4 z i z i Tính 3 3 cos 2016. .sin 2016. 4 4 i k2016Oa3qKR4+bOj2016 Oa3qKR4))o= Trang 311 2016 2016 1008 1z 2 2 Tương tự 2016 1008 1009
PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 33 PHƯƠNG TRÌNH SỐ PHỨC I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG Chuyển số phức dạng lượng giác Dạng lượng giác số phức : Cho số phức z có dạng z r cos i sin ta ln có : z n r n cos n i sin n Lệnh chuyển số phức z a bi dạng lượng giác : Lệnh SHIFT Bước 1: Nhập số phức z a bi vào hình dùng lệnh SHIFT (Ví dụ z 3i ) 1+s3$bq23= Bước 2: Từ bảng kết ta đọc hiểu r II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z z Giá trị z1 z2 : A B C D (Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017) Lời giải: Cách Casio Tính nghiệm phương trình bậc hai z z chức MODE w531=p1=1== 3 i z2 i Tính tổng Mơđun hai số 2 2 phức ta lại dùng chức SHIFT HYP w2qca1R2$+as3R2$b$ Vậy ta hai nghiệm z1 +qca1R2$pas3R2$b= z1 z2 ta thấy B đáp án xác Trang 1/11 VD2 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z z Tính giá trị biểu thức P z12016 z22016 : A 21009 C 22017 D 21008 (Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017) Lời giải: B Cách Casio Tính nghiệm phương trình bậc hai z z chức MODE w531=2=2== Ta thu hai nghiệm z1 1 i z2 1 i Với cụm đặc biệt 1 i , 1 i 4 ta có điều đặc biệt sau: 1 i 4 , 1 i 4 w2(p1+b)^4= Vậy P z12016 z22016 1 i 4 504 4 504 2016 1 i 2016 1 i 504 1 i 504 4504 4504 21008 21008 2.21008 21009 P z12016 z22016 21009 ta thấy A đáp án xác Cách Casio Ngồi cách sử dụng tính chất đặc biệt cụm 1 i ta xử lý 1 i cách đưa dạng lượng giác lệnh SHIFT Với z1 1 i r cos i sin p1+bq23= Ta nhận r góc 3 2016 3 3 3 3 2016 z1 cos i sin z i sin 2016 cos 2016 4 4 3 3 Tính cos 2016 i.sin 2016 k2016Oa3qKR4$+bOj2016 Oa3qKR4$))o= Trang 2/11 z12016 2 2016 21008 Tương tự z22016 21008 T 21009 VD3 Kí hiệu z1 , z2 , z3 z4 bốn nghiệm phức phương trình z z 12 Tính tổng : T z1 z2 z3 z4 A T B T C T D T (Đề minh họa GD-ĐT lần năm 2017) Lời giải: Cách Casio Để tính nghiệm phương trình ta dùng chức MODE Tuy nhiên máy tính tính phương trình bậc nên để tính phương trình bậc trùng phương z z 12 ta coi z t phương trình trở thành t t 12 w531=p1=p12== z2 t Vậy hay t 3 z 3 Với z z 2 Với z 3 ta đưa z 3i z 3i với i 1 Hoặc ta tiếp tục sử dụng chức MODE cho phương trình z 3 z w531=0=3== Tóm lại ta có nghiệm z 1, z 3i Tính T ta lại sử dụng chức tính mơđun SHIFT HYP w2qc2$+qcp2$+qcs3$b $+qcps3$b= Đáp án xác C VD4- Giải phương trình sau tập số phức : z i 1 z i 1 z i Trang 3/11 A z i i B z 2 i C z D.Cả A, B, C 2 (Thi thử nhóm tốn Đồn Trí Dũng lần năm 2017) Lời giải: Cách Casio Để kiểm tra nghiệm phương trình ta sử dụng chức CALC Q)^3$+(b+1)Q)d+(b+1)Q)+brpb= Vậy z i nghiệm Tiếp tục kiểm tra z i giá trị nghiệm đáp án A B 2 có nghĩa đáp án D xác Nếu giá trị khơng nghiệm có đáp án A rp(1P2)+(s3)P2)b= i tiếp tục nghiệm có nghĩa đáp án A B Vậy z 2 Đáp án xác D Cách tự luận Để giải phương trình số phức xuất số i ta khơng thể sử dụng chức MODE mà phải tiến hành nhóm nhân tử chung Phương trình z z z z z 1 i z i z i z z 1 z z 1 Phương trình z z không chứa số i nên ta sử dụng máy tính Casio với chức giải phương trình MODE w531=1=1== 3 Tóm lại phương trình có nghiệm z i ; z i; z i 2 2 D đáp án xác VD5 Trong phương trình đây, phương trình có hai nghiệm z1 ; z2 A z i z B z 2z C z 2z D z 2z (Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần năm 2017) Trang 4/11 Lời giải: Ta hiểu phương trình bậc hai ax bx c có hai nghiệm tuân theo định lý Vi-et (kể tập số thực hay tập số phức ) b z z a z z c a Tính z1 z2 2 w21+s3$b+1ps3$b= Tính z1 z2 (1+s3$b)(1ps3$b)= Rõ ràng có phương trình z 2z có b c a a Đáp số xác C VD6 Phương trình z iz có nghiệm tập số phức : A B C D.Vô số (Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017) Lời giải: Ta phân biệt : Trên tập số thực phương trình bậc hai ax bx c có hai nghiệm phân biệt , có hai nghiệm kép , vô nghiệm Tuy nhiên tập số phức phương trình bậc hai ax bx c có nghiệm , có hai nghiệm phân biệt Vậy ta cần tính xong Với phương trình z iz i 5 đại lượng phương trình có nghiệm phân biệt Đáp số xác A 10 VD7 Phần thực số phức z biết z 3i 10 1 i C 2i D 25 i Lời giải: Để xử lý số phức bậc cao 3 ta sử đưa số phức dạng lượng giác sử dụng công A 1 i 1 i B thức Moa-vơ Và để dễ nhìn ta đặt z z110 z25 z310 Trang 5/11 Tính z1 i r cos i sin Để tính r ta lại sử dụng chức SHIF 1pbq23= 10 10 Vậy z1 cos i sin z i sin10 cos10 4 4 Tính cos10 i sin10 4 k10OapqKR4$)+bj10Oap qKR4$)= Vậy z110 10 2 i 25.i Tương tự z25 25 cos i sin 25 i 6 2 2 10 z310 210 cos10 i sin10 i 3 2 Tổng hợp 5 i i 2 z110 z25 z 10 z3 210 i 2 a2^5$bO2^5$(pas3R2$+a1 R2$b)R2^10$(pa1R2$pas3 R2$b)= Vậy z Đáp số xác B III) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho phương trình z 2z 17 có hai nghiệm phức z1 z2 Giá trị z1 z2 : A 17 B 13 C 10 D 15 (Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần năm 2017) Trang 6/11 Bài Gọi z1 , z hai nghiệm phương trình z 2z 10 Tính giá trị biểu thức A z1 z2 A 10 B 20 C D.10 (Đề thi toán Đại học – Cao đẳng khối A năm 2009) Bài Kí hiệu z1 , z2 , z3 nghiệm phương trình z 27 Tính tổng T z1 z2 z3 A T B T 3 C T D T (Thi thử Group Nhóm toán lần năm 2017) Bài Gọi z1 , z2 , z3 , z4 bốn nghiệm phức phương trình 2z 3z Tính tổng sau T z1 z2 z3 z4 A B C D (Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần năm 2017) Bài Xét phương trình z tập số phức Tập nghiệm phương trình : 1 A S 1 B S 1; i D S i C S 1; 2 2 (Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần năm 2017) 1 Bài Biết z nghiệm phương trình z Tính giá trị biểu thức P z 2009 2009 z z A P B P C P D P LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho phương trình z 2z 17 có hai nghiệm phức z1 z2 Giá trị z1 z2 : A 17 B 13 C 10 D 15 (Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần năm 2017) Lời giải: Cách Casio Tìm hai nghiệm phương trình z 2z 17 w531=p2=17== Tính tổng hai mơđun lệnh SHIFT HYP w2qc1+4b$+qc1p4b= Vậy z1 z2 17 Đáp số xác A Trang 7/11 Bài Gọi z1 , z hai nghiệm phương trình z 2z 10 Tính giá trị biểu thức A z1 z2 A 10 B 20 C D.10 (Đề thi toán Đại học – Cao đẳng khối A năm 2009) Lời giải: Cách Casio Tìm hai nghiệm phương trình z 2z 10 w531=2=10== Tính tổng bình phương hai mơđun lệnh SHIFT HYP w2qcp1+3b$d+qcp1p3b$d= 2 Vậy A z1 z2 20 Đáp số xác B Bài Kí hiệu z1 , z2 , z3 nghiệm phương trình z 27 Tính tổng T z1 z2 z3 A T B T 3 C T D T (Thi thử Group Nhóm tốn lần năm 2017) Lời giải: Cách Casio Tính nghiệm phương trình z 27 chức MODE w541=0=0=27== 3 3 3 i , z3 i 2 2 Tính tổng mơđun T z1 z2 z3 Vậy z1 3, z2 w541=0=0=27====w1w2 qcp3$+qca3R2$+a3s3R2 $b$+qca3R2$pa3s3R2$b= Trang 8/11 Vậy T Đáp số xác C Bài Gọi z1 , z2 , z3 , z4 bốn nghiệm phức phương trình 2z 3z Tính tổng sau T z1 z2 z3 z4 A B C D (Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần năm 2017) Lời giải: Cách Casio Đặt t z Tìm nghiệm phương trình 2t 3t w532=p3=p2== z2 t Vậy z t 2 Với z z 1 i2 i z z Với z 2 2 Tính tổng mơđun T z1 z2 z3 z4 w2qcs2$$+qcps2$$+qcab Rs2$$$+qcapbRs2= Vậy T Đáp số xác C Bài Xét phương trình z tập số phức Tập nghiệm phương trình : 1 A S 1 B S 1; i D S i C S 1; 2 2 (Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần năm 2017) Lời giải: Cách Casio Giải phương trình bậc ba z với chức MODE 54 w541=0=0=p1== Trang 9/11 3 Phương trình có nghiệm x1 1, x2 i, x3 i 2 2 Đáp số xác C 1 Bài Biết z nghiệm phương trình z Tính giá trị biểu thức P z 2009 2009 z z A P B P C P D P Lời giải: Cách Casio Quy đồng phương trình z ta phương trình bậc hai z z Tính nghiệm z phương trình với chức MODE w531=p1=1== Ta thu hai nghiệm z hai nghiệm có vai trị nên cần lấy nghiệm z đại diện Với z i ta chuyển dạng lượng giác z 1 cos i sin 2 3 a1R2$+as3R2$bq23= Vậy z 2009 12009 cos 2009 i sin 2009 cos 2009 i sin 2009 3 3 2009 Tính z lưu biến A Wk2009OaqKR3$)+bj2009 OaqKR3$)=qJz Tổng kết P A 1 A Trang 10/11 Qz+a1RQz= Đáp số xác A Trang 11/11 ... Đáp số xác C 1 Bài Biết z nghiệm phương trình z Tính giá trị biểu thức P z 2009 2009 z z A P B P C P D P Lời giải: Cách Casio Quy đồng phương trình z ta phương trình. .. z1 z2 (1+s3$b)(1ps3$b)= Rõ ràng có phương trình z 2z có b c a a Đáp số xác C VD6 Phương trình z iz có nghiệm tập số phức : A B C D.Vô số (Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên... Với phương trình z iz i 5 đại lượng phương trình có nghiệm phân biệt Đáp số xác A 10 VD7 Phần thực số phức z biết z 3i 10 1 i C 2i D 25 i Lời giải: Để xử lý số