ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HỌC KÌ MƠN TỐN A PHẦN ĐẠI SỐ I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT : CHƯƠNG I: PHÉP NHÂN – PHẾP CHIA ĐA THỨC Phép nhân: a)Nhân đơn thức với đa thức: A.(B + C) = A.B + A.C b)Nhân đa thức với đa thức: (A + B)(C + D) = A.B + A.C +B.C + B.D Các đẳng thức đáng nhớ: 1) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 2) (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 3) A2 – B2 = (A – B)(A + B) 4) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 5) (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 6) A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) 7) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) * Mở rộng: (A + B – C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB – 2AC – 2BC b) Chia đa thức cho đơn thức: - Điều kiện chia hết: Đa thức A chia hết cho đơn thức B hạng tử A chia hết cho B - Qui tắc: Muốn chia đa thức A cho đơn thúc B(trường hợp chia hết) ta chia hạng tử A cho B , cộng kết với : (M + N) : B = M : B + N : B c) Chia hai đa thức biến xếp : - Với hai đa thức A B(B ≠ 0), tồn hai đa thức Q R cho : A = B.Q + R ( R = 0), bậc R bé bậc B R ≠ - Nếu R = A chia chia hết cho B Phân tích đa thức thành nhân tử: a) Phân tích đa thức thành nhân tử biến đổi đa thức thành tích đơn thức đa thức b) Các phương pháp : - Phương pháp đặt nhân tử chung - Phương pháp dùng đẳng thức - Phương pháp nhóm hạng tử * Chú ý: Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta thường phối hợp phương pháp Phép chia: a) Chia đơn thức cho đơn thức: - Đơn thức A chia hết cho đơn thức B bíến B biến A với số mũ bé số mũ A - Qui tắc: Muốn chia đơn thức A cho đơn thúc B(trường hợp chia hết) : +Chia hệ số A cho hệ số B +Chia lũy thừa biến A cho lũy thừa biến B +Nhân kết với CHƯƠNG II :PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Định nghĩa: Phân thức đại số biểu thức Trừ phân thức đại số : a) Hai phân thức gọi đối tổng A có dang (A, B đa thức, B ≠ 0) A A B chúng ( - hai phân thức đối Phân thức nhau: B B nhau) A C = A.D = B.C A −A A B D = b) Qui tắc đổi dấu : − = Tính chất bản: B B −B A A.M A C A C = *Nếu đa thức M ≠ c) Phép trừ : − = + (− ) B B.M B D B D *Nếu đa thức N nhân tử chung Nhân phân thức đại số : a) Nhân PTĐS ta nhân tử thức với A A: N = nhau, nhân mẫu thức với , rút gọn B B:N PTĐS tìm : A −A *Quy tắc đổi dấu : = A C A.C B −B = B D B.D Rút gọn phân thức : Gồm bước b)Phép nhân PTĐS có tính chất : + Phân tích tử mẫu thành nhân tử(nếu có A C C A thể) để tìm nhân tử chung + Giao hốn : = + Chia tử mẫu cho nhân tử chung B D D B Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức: + Phân tích mẫu thành nhân tử tìm A C E A C E + Kết hợp : ( ) = ( ) MTC B D F B D F + Tìm nhân tử phụ mẫu thức + Phân phối phép cộng : + Nhân tử mẫu phân thức với A C E A C A E ( + ) = + nhân tử phụ tương ứng B D F B D B F Cộng phân thức đại số : Chia phân thức đại số : a) Cộng PTĐS mẫu : Ta cộng tử a) Hai phân thức gọi nghịch đảo lẫn thức với nhau, giữ nguyên mẫu thức rút gọn tích chúng PTĐS vừa tìm A B b) Cộng PTĐS không mẫu : Ta qui hai phân thức nghịch đảo lẫn B A đồng mẫu thức, cộng PTĐS mẫu nhau, tìm A c) Phép cộng PTĐS có tính chất : (với ≠ ) B A C C A + Giao hoán : + = + b) Chia hai phân thức : B D D B A C A D A.D C A C E A C E : = = ≠ 0) (Với + Kết hợp : ( + ) + = + ( + ) B D B C B.C D B D F B D F 10 Biểu thức hữu tỉ : * Biểu thức chứa phép toán cộng, trừ , nhân , chia chứa biến mẫu gọi biểu thức phân * Một đa thức gọi biểu thức nguyên * Biểu thức phân biểu thức nguyên gọi chung biểu thức hữu tỉ * Giá trị biểu thức phân xác định giá trị mẫu thức khác II BÀI TẬP : Bài tập nhân đơn thức với đa thức Bài 1: Thực phép nhân ( )( Giải: ) a ( − x ).( x − 3x − x + 1) = − x + x + x − x a − x x − 3x − x +       3 b  − 10 x + y − z . − xy  b  − 10 x + y − z . − xy  = x y − xy + xyz       Bài 2: Chứng tỏ đa thức không phụ Giải: thuộc vào biến a x( x + 1) − x ( x + 2) + x − x + = a x( x + 1) − x ( x + 2) + x − x + = 2x + x − x3 − 2x + x − x + = ( ( ) b 4( x − ) − x ( + x ) + x( x − 4) + x ( x − 1) ) Vậy đa thức không phụ thuộc vào biến x b 4( x − ) − x ( + x ) + x( x − 4) + x ( x − 1) = = x − 24 − x + x + x − x + x − x = −24 Vậy đa thức không phụ thuộc vào biến x Bài 3: Tính giá trị biểu thức sau thực Giải: phép toán a x 10 x − x + − x x − x − = a x 10 x − x + − x x − x − = 30 x − x + 3x − 30 x + x + 12 x = 15 x ( ) ( ( ) với x = 15 1 b x( x − y ) − y ( y − x ) với x = − ; y = − ) ( ) Thay x = 15 ta có: 15 x = 15.15 = 225 b x( x − y ) − y ( y − x ) = x − 20 xy − y + 20 xy = 5x − y 2 Thay x = Bài 4: Chứng minh đẳng thức sau: a a.(b - c) - b.(a + c) + c.(a - b) = -2ac b a(1 - b) + a(a2 - 1) = a.(a2 - b) c a.(b - x) + x.(a + b) = b.(a + x) Bài 5: Tìm x biết a 5x.(12x + 7) - 3x(20x - 5) = - 100 b 0,6x(x - 0,5) - 0,3x(2x + 1,3) = 0,138 ; y = tacó: 2  1  1 5. −  − 4 −  = − = − 5  5  2 Giải: a VT = a.(b - c) - b.(a + c) + c.(a - b) = ab - ac - ab - bc + ac - bc = -2bc = VP ⇒ đpcm b VT = a.(1 - b) + a.(a2 - 1) = a - ab + a3 - a = a3 - ab = a.(a2 - b) = VP ⇒ đpcm c VT = a.(b - x) + x.(a + b) = ab - ax + ax + xb = ab + xb = b(x + a) = VP ⇒ đpcm Giải: a 5x.(12x + 7) - 3x(20x - 5) = - 100 ⇔ 60x2 + 35x - 60x2 + 15x = - 100 ⇔ 50x = - 100 ⇔ x=-2 b 0,6x(x - 0,5) - 0,3x(2x + 1,3) = 0,138 ⇔ 0,6x2 - 0,3x - 0,6x2 - 0,39x = 0,138 ⇔ - 0,6x = 0,138 ⇔ x = 0,138 : (- 0,6) ⇔ - 0,2 Bài tập nhân đa thức với đa thức Bài 1: Làm tính nhân a (x2 + 2)(x2 + x+ 1) b (2a3 - + 3a)(a2 - + 2a) Giải: a (x2 + 2)(x2 + x+ 1) = x4 + x3 + x2 + 2x2 + 2x + = x4 + x3 + 3x2 + 2x + b (2a3 - + 3a)(a2 - + 2a) = 2a5 - 10a3 + 4a4 - a2 + - 2a + 3a3 - 15a + 6a2 = 2a5 + 4a4 - 7a3 + 5a2 - 17a + Bài 2: Chứng tỏ đa thức sau không phụ thuộc vào biến (x2 + 2x + 3)(3x2 - 2x + 1) - 3x2(x2 + 2) - 4x(x2 - 1) Giải: (x2 + 2x + 3)(3x2 - 2x + 1) - 3x2(x2 + 2) - 4x(x2 - 1) = 3x4 - 2x3 + x2 + 6x3 - 4x2 + 2x + 9x2 - 6x + - 3x4 - 6x2 - 4x3 + 4x = Kết số Vậy đa thức không phụ thuộc vào biến Bài 3: Cho x = y + Tính Giải: a x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 65 a x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 65 b x + y(y - 2x) + 75 Từ giả thiết x = y + ⇒ x - y = Ta có: x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 65 = x2 + 2x + y2 - 2y - 2xy + 65 = x2- xy + y2 - xy + 2x - 2y + 65 =x(x - y) - y(x - y) + 2(x - y) + 65 = (x - y)(x - y) + 2(x - y) + 65 = (x - y)2 + 2(x - y) + 65 = 52 - 2.5 + 65 = 100 b x2 + y(y - 2x) + 75 = x2 + y2 - 2xy + 75 = x(x - y) - y(x - y) + 75 = (x - y) (x - y) + 75 = 5.5 + 75 = 100 Bài 4: Tính giá trị biểu thức a A = x3 - 30x2 - 31x + x = 31 b B = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13x x = 14 Giải: a Với x = 31 A = x3 - 30x2 - 31x + = x3 - (x - 1)x2 - x.x +1 = x - x3 + x + = b Với x = 14 B = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13 = x5 - (x + 1)x4 + (x + 2)x3 - (2x + 1)x2 + x(x - 1) = x5 - x5 - x4 + x4 + 2x3 - 2x3 - x2 + x2 - x = -x = - 14 Bài 5: CMR với số nguyên n Giải: a (n + 3n - 1)(n + 2) - n + chia hết cho a Ta có: (n2 + 3n - 1)(n + 2) - n3 + b (6n + 1)(n + 5) - (3n + 5)(2n - 1) chia hết = n3 + 3n2 - n + 2n2 + 6n - - n3 + cho = 5n2+ 5n = 5(n2 + n)  n ∀ n b (6n + 1)(n + 5) - (3n + 5)(2n - 1) = 6n2 + n + 30n + - 6n2 - 10n + 3n + = 24n + 10 = 2(12n + 5) 2 ∀ n Bài tập đẳng thức đáng nhớ Bài 1: Rút gọn biểu thức: a (a - b + c + d)(a - b - c - d) b (x + 2y + 3z)(x - 2y + 3z) c (x - 1)(x2 - x - 1)(x + 1)(x2 + x + 1) d (x + y)3 - (x - y)3 e (x2 + 3x + 1)2 + (3x + 1)2- 2(x2+3x+1)(3x- 1) Giải: a (a - b + c + d)(a - b - c - d) = [ ( a − b ) + ( c + d ) ].[ ( a − b ) − ( c + d ) ] = (a - b)2 - (c + d)2 = a2 - 2ab + b2 - c2 - 2cd - d2 = a2 + b2 - c2 - d2 - 2ab - 2cd Bài 2: Trong hai số sau, số lớn a A = 1632 + 74 163 + 372 b (x + 2y + 3z)(x - 2y + 3z) = [ ( x + 3z ) + y ].[ ( x + 3z ) − y ] = (x + 2z)2 - (2y)2 = x2 + 6xz + 9z2 - 4y2 c (x - 1)(x2 - x - 1)(x + 1)(x2 + x + 1) = (x3 - 1) (x3 + 1) = x6 - d (x + y)3 - (x - y)3 = (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) - (x3 - 3x2y + 3xy2 - y3) = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 - x3 + 3x2y - 3xy2 + y3 = 6x2y + 2y3 = 2y(3x2 + y2) e (x2 + 3x + 1)2 + (3x + 1)2 - 2(x2 + 3x + 1)(3x - 1) [( ) = x + x + ( x − 1) ] = (x2 + 3x + - 3x + 1)2 = (x2 + 2)2 Giải: a A = (163 + 37)2 = 2002 = 40000 B = 1472 - 94 147 + 472 b C = (22 + 42 + + 1002) - (12 + 32 + + 992) D = 38 78 - (214 + 1) Bài 3: Tìm giá trị lớn đa thức: a C = - 8x - x2 b D = - 3x(x + 3) - Giải: a C = - 8x - x2 = - x2 - 8x - 16 + 16 + = - (x2 + 8x + 16) + 21 = - (x + 4)2 + 21 Vì (x + 4)2 ≥ ∀ x ⇒ - (x + 4)2 ≤ 0∀x B = (147 - 47)2 = 1002 = 10000 Vậy A > B b C = (22 - 12) + (42 - 32) + + (1002 - 992) (3 + 199).50 = 5050 = + + + 199 = D = (3 7)8 - (218 - 1) = Vậy D < C b D = - 3x(x + 3) - = - 3x2 - 9x - 9 = - 3(x2 + 2x + − ) - 4 3 27  = - 3 x −  + −7 2  3  = - 3 x +  − 2  Do đó: - (x + 4)2 + 21 ≤ 21 Vậy giá trị lớn C 21 x + = ⇒ x=- 2 3 3   Vì  x +  ≥ 0∀x ⇒ −3 x +  ≤ 0∀x 2 2   3 1  Do đó: − 3 x +  − ≤ − 2 4  Vậy giá trị lớn D − x+ Bài 4: Tìm giá trị nhỏ đa thức a A = x2 + 5x + b B = x(x - 6) 3 =0⇒ x =− 2 Giải: A = x2 + 5x + 25 25 = x2 + 2.x + − + 4 5  = x +  + 2  2 5 5 7   Vì  x +  ≥ 0∀x nên  x +  + ≥ 2 2 4   Vậy A có giá trị nhỏ x+ 5 =0⇒ x =− 2 b B = x(x - 6) = x2 - 6x = x2 + 6x + - = (x - 3)2 - Vì (x - 3)2 ≥ 6∀x nên (x - 2)2 - ≥ −9 Vậy B có giá trị nhỏ - x - = ⇒ x = Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tư phương pháp đặt nhân tư chung a 12xy - 4x2y + 8xy2 b 4x(x - 2y) - 8y(x - 2y) c 25x2(y - 1) - 5x3(1 - y) Giải: a 12xy - 4x2y + 8xy2 = 4xy(3 - x + 2y) b 4x(x - 2y) - 8y(x - 2y) = (x - 2y) (4x - 8y) = 4(x - 2y) (x - 2y) = 4(x - 2y)2 d 3x(a - x) + 4a(a - x) Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tư phương pháp dùng đẳng thức 2 a − b a 36 b (x + a) - 25 c x2 + 2x + - y2 + 2y - d - 125a3 + 75a2 - 15a + c 25x2(y - 1) - 5x3(1 - y) = 25x2(y - 1) + 5x3(y - 1) = (y - 1) (25x2 + 5x3) = 5x2(y - 1) (5 - x) d 3x(a - x) + 4a(a - x) = (a - x) (3x + 4a) Giải: 2 a − b = a 36 2 1  1  1  1  a  −  b  =  a + b . a − b  6  6  2  6 b (x + a)2 - 25 = (x + a)2 - 52 = (x + a + 5) (x + a - 5) c x2 + 2x + - y2 + 2y - = (x + 2x + 1) - (y2 - 2y + 1) = (x + 1)2 - (y - 1)2 = (x + + y - 1) (x + - y + 1) = (x + y) (x - y + 2) d - 125a3 + 75a2 - 15a + = (1 - 5a)3 Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tư b x3 + y(1 - 3x2) + x(3y2 - 1) - y3 phương pháp nhóm hạng tư = x3 + y - 3x2y + 3xy2 - x - y3 a 4x2 - 9y2 + 4x - 6y = (x3 - 3x2y + 3xy2 - y3) - (x - y) b x3 + y(1 - 3x2) + x(3y2 - 1) - y3 = (x - y)3 - (x - y) c a2x + a2y - 7x - 7y = (x - y) ( x − y ) − = (x - y) (x - y + 1) (x - y - 1) d x(x + 1)2 + x(x - 5) - 5(x + 1)2 c a2x + a2y - 7x - 7y Giải: = (a2x + a2y) - (7x + 7y) = a2(x + y) - 7(x + y) 2 a 4x - 9y + 4x - 6y = (x + y) (a2 - 7) 2 = (4x - 9y )+ (4x - 6y) = (2x + 3y) (2x - 3y) d x(x + 1)2 + x(x - 5) - 5(x + 1)2 + 2(2x - 3y) = x( x + 1) − 5( x + 1) + x( x − 5) = (2x - 3y) (2x + 3y + 2) = (x + 1)2 (x - 5) + x(x - 5) [ ] [ Bài 4: Phân tích đa thức thnµh nhân tư cách phối hợp nhiều phương pháp a x4 + x2y2 + y4 b x3 + 3x - c x3 - 3x2 + d 2x3 + x2 - 4x - 12 Giải: a x4 + x2y2 + y4 = x4 + 2x2y2 + y4 - x2y2 = (x2 + y2)2 - x2y2 = (x2 + y2 )2 - (xy)2 = (x2 + y2 + xy) (x2 + y2 - xy) Bài 5: Tính cách hợp lý giá trị biểu thức a 5   + 3,8  19  3  b a2 - 86a + 13 với a = 87 ] [ ] = (x - 5) ( x + 1) + x = (x - 5) (x2 + 3x + 1) b x3 + 3x - = x3 - 3x2 + 3x - + 3x2 - = (x - 1)3 + 3(x2 - 1) = (x - 1)3 + 3(x + 1) (x - 1) [ ] = (x - 1) ( x − 1) + 3( x + 1) = (x - 1) (x2 + x + 4) c x3 - 3x2 + = x3 - 3x2 + 3x - - 3x + [ ] = (x - 1)3 - 3(x - 1) = (x - 1) ( x − 1) − = (x - 1) (x - 2x - 2) d 2x3 + x2 - 4x - 12 = (x2 - 4x + 4) + (2x3 - 16) = (x - 2)2 + 2(x3 - 8) = (x- 2)2 + 2(x - 2) (x2 + 2x + 4) [ ( )] = (x - 2) ( x − ) + x + x + = (x - 2) (2x2 + 5x + 6) Giải: a 5 19  2   + + +  = 10  + 3,8  = 19  3 3  19  b a2 - 86a + 13 = 87(87 - 86) + 13 = 87 + 13 = 100 c a2 + 32a - 300 = 68(68 + 32) - 300 c a2 + 32a - 300 với a = 68 d a3 - b - 3ab(a - b) với a = - 27, b = - 33 Bài 6: Tìm x biết: a (x - 2) (x - 3) + (x - 2) - = b (x + 2)2 - 2x(2x + 3) = (x + 1)2 Giải: a (x - 2) (x - 3) + (x - 2) - = ⇔ (x - 2) (x - + 1) - = ⇔ (x - 2)2 - = ⇔ (x - + 1) (x - - 1) = ⇔ (x - 1) (x - 3) = ⇔ x = x = Vậy nghiệm phương trình: x1 = 1, x2 =3 = 68 100 - 300 = 6500 d a3 - b - 3ab(a - b) = (a - b) (a2 + ab + b2 - 3ab) = (a - b)3 = (- 27 + 33)3 = 63 = 216 b (x + 2)2 - 2x(2x + 3) = (x + 1)2 ⇔ (x + 2)2 - (x + 1)2 - 2x(2x + 3) = ⇔ (x + + x + 1) (x + - x - 1) - 2x(2x + 3) = ⇔ (2x + 3) - 2x(2x + 3) = ⇔ (2x + 3) (1 - 2x) = ⇔ x = - x = 2 Vậy nghiệm PT: x1 = - , x2 = 2 Bài tập phân thức Dạng tốn tìm điều kiện biến để phân thức xác định: -Với phân thức mà mẫu đa thức dạng (ax+b) em cần cho mẫu thức khác 0,rồi tìm kết Ví dụ 1:Tìm điều kiện x để phân thức sau có nghĩa: 2x − x−2 a) b) x+4 x−5 c) − x − 10 Giải:a) x − ≠ ⇒ x ≠ 1 b) x + ≠ ⇒ x ≠ −4 ⇒ x ≠ −8 2 c) x ≠ −5 -Với phân thức mà mẫu lại phân thức khác cần ý tới tử phân thức mẫu,ví dụ: Ví dụ 2:Tìm điều kiện x để phân thức xác định: x−4 a) x − b) x −1 −5 x−2 +1 3x + Giải : a)Điều kiện:  2 x − ≠  x ≠ 2x − ≠0⇒ ⇒ x −1 x − ≠  x ≠ Ví dụ 2:Rút gọn phân thức sau: 20 x − 45 80 x − 125 x a) b) 3( x − 3) − ( x − 3)( − x ) ( x + 3) c) x − 3x − x + x + x + 12 d) x − 3x x + 5x + HD: a) 20 x − 45 = x − = 5( x − 3)( x + 3) 5( x − 3) Từ suy kết quả: 2x + 3 b) 80 x − 125 x = x 16 x − 25 = x( x − 5)( x + 5) 3( x − 3) − ( x − 3)( − x ) = 3( x − 3) + ( x − 3)( x − 8) = ( x − 3)( x x ( x + 5) Từ kết là: x−3 c) x − x − x + = x ( x − 3) − ( x − 3) = ( x − 3) x − = ( x − 3) x x − x = x( x − 3) ( ) ( ) ( ) x2 −1 x d) x + x + 12 = ( x + 3)( x + ) x + x + = ( x + 2)( x + 3) x+4 Từ có kết quả: x+2 Với học sinh khá,giỏi giáo viên linh hoạt cho em làm rút gọn có biểu thức phức tạp hơn,chẳng hạn: Ví dụ 3:Rút gọn phân thức: 5.415.9 − 4.3 20.8 a) A = b) 5.2 9.619 − 7.2 29.27 Từ ta có kết quả: ( b) x + y + z − xyz ( x − yx) 2≠+1( x − z ) + ( y − z ) x−2 x − + 3x + 4x −  +1 ≠ ⇒ ≠0⇒ ≠0⇒ x3 − 7x − − 3x + 3x + 3x + c) 2 2 x ( x −≠ 3) + x( x − 3) + 4( x − 3)  HD: -Với phân thức mà có bậc biến a)đưa lũy thừa số số nguyên tố,sau phân trở lên cần phân tích mẫu thành nhân tích thành nhân tử,cụ thể sau: tử,rồi làm tương tự trên.Ví dụ: 15 20 30 18 29 20 29 18 Ví dụ 3:Tìm điều kiện x để phân thức 5.4 − 4.3 = 5.2 − = (10 − ) 5.2 9.619 − 7.2 29.27 = 5.2 28.319 − 7.2 29.318 = 28.318 (15 − 14 ) sau xác định: x + Từ rút gọn ta kết quả: A = x + x + 12 x + 2x + a) b) c) x − b)phân tích tử thành nhân tử mẫu biến đổi ta có: x −8 x + 5x + x + y + z − xyz = ( x + y + z ) x + y + z − xy − yz − zx Giải : a)Phân tích mẫu thành nhân tử ta có: ( x − y ) + ( x − z ) + ( y − z ) = x + y + z − xy − yz − zx x − = ( x − ) x + x + ,với x+ y+z Từ suy kết quả: 2 ý: x + x + = ( x + 1) + > nên suy điều kiện để phân thức có nghĩa là: c)Phân tích tử mẫu thành nhân tử ta có: x−2≠ 0⇒ x ≠ x − x − = x − x + x − = x x − + 2( x − 3) = x( x − 3)( x b)Ta có: = ( x − 3) x + x + = ( x − 3)( x + )( x + 1) 2 2x + 5x + = 2x + 2x + ( 3x + 3) Mẫu= ( x − 3) ( x + ) −3 x +1 = ( x + 1) ( 2x + 3) ≠ ⇒ x ≠ −1;x ≠ Vậy ta có kết quả: ( x − 3)( x + 2) c)Ta có: Vẫn tốn rút gọn tồn tên x − = ( x − )( x + ) ≠ ⇒ x ≠ 2; x ≠ −2 khác “Chứng minh đẳng thức” thơng thường Với phân thức nhiều ẩn học sinh hướng dẫn học sinh biến đổi vế phức tạp hơn,sau rút vận dụng làm tương tự,ví dụ: gọn vế kia.Chẳng hạn ví dụ sau: Ví dụ 4:Tìm điều kiện biến để phân Ví dụ 4:Chứng minh đẳng thức: thức sau xác định: x y + xy + y xy + y 2 2 = a) b) x x y 2x − y x + xy − y a) b) ( x + y )(1 − y ) (1 + x )(1 − y ) x + xy + y = xy 2 x− y x + x y − xy − y c) x − y ( x + y) HD:thực rút gọn vế trái,cuối kết vế 2.Dạng toán rút gọn phân thức: phải *Phương pháp chung: x + 4x + -Phân tích tử thức mẫu thức thành Ví dụ 5:Cho phân thức: x+2 nhân tử -Chia tử mẫu cho nhân tử chung a)Với điều kiện x giá trị phân thức xác Đây dạng toán phân thức đại số 8,với tập mà tử thức mẫu định? thức có sẵn nhân tử chung (hoặc cần b)Rút gọn phân thức đổi dấu phân thức có nhân tử chung)thì ta vận dụng tính chất phân thức c)Tìm giá trị x để phân thức có giá trị 1? chia tử mẫu cho nhân tử chung d)Có giá trị để phân thức hay khơng? đó,ví dụ: Giải: Ví dụ 1:Rút gọn phân thức sau: 14 xy ( x − y ) xy ( x − 1) a) x ≠ −2 a) b) 2 21x y ( x − y ) 12 x (1 − x ) b)Rút gọn phân thức ta được: x + ( ( ( c) ( ( ) ( ) ) ) ) ( ) ) 15 x y ( x − y ) 35 x y ( y − x ) d) c) x = −1 d)Khơng có giá trị x thỏa mãn để phân thức có giá trị 10 xy ( x − 1) 12 x ( x − 1) -Với phân thức mà khơng có sẵn nhân tử chúng thực theo bước tốn rút gọn,ví dụ: B PHẦN HÌNH HỌC I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT : CHƯƠNG I: TỨ GIÁC Tứ giác:Tổng góc giác 3600 Hình thang: M B A N E H G // P F // C Q D + Tứ giác có cạnh đối song song + Tứ giác có cạnh đối + Tứ giác có hai cạnh đối vừa song song vừa + Tứ giác có góc đối + Tứ giác có hai đường chéo cắt A' trung điểm đường A Đối xứng tâm: O *Hai điểm A A’ gọi đối xứng qua điểm O O trung điểm AA’ *Đường thẳng, góc, tam giác đối xứng qua điểm chúng *Hình bình hành nhận giao điểm hai đường chéo làm tâm đối xứng Hình chữ nhật: *Hình chữ nhật tứ giác A B có góc vng O *Trong hình chữ nhật : Hai đường chéo D C *Dấu hiệu nhận biết : + Tứ giác có góc vng + Hình thang cân có góc vng + Hình bình hành có góc vng + Hình bình hành có hai đường chéo Trung tuyến tam A giác vuông *Trong tam giác vuông , trung tuyến ứng B với cạnh huyền M C cạnh huyền *Nếu tam giác có trung tuyến ứng với cạnh cạnh tam giác tam giác vng Hình thoi: B *Hình thoi tứ giác A O C có cạnh *Trong hình thoi : + Hai đường chéo D vng góc + Hai đường chéo phân giác góc hình thoi a) Hình thang tứ giác có hai cạnh đối song song b) Hình thang có góc vng hình thang vng c) Hình thang cân hình thang có hai góc kề đáy *Trong hình thang cân : -Hai cạnh bên -Hai đường chéo *Dấu hiệu nhận biết : -Hình thang có hai đường chéo -Hình thang có hai góc kề đáy Đường trung bình tam giác, hình A A B thang: \ \ B // \ // // // \ C C D = = *Đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba cạnh *Đường trung bình hình thang song song với hai đáy d tổng hai đáy 4.Đối xứng trục: A' A / / *Hai điểm A A’ đối xứng qua đường thẳng d d trung trực A / M / B AA’ *Đường thẳng, góc, tam giác đối xứng qua N C D đường thẳng chúng *Hình thang cân nhận đường thẳng qua trung điểm hai đáylàm trục đối xứng Hình bình hành: A B *Hình bình hành tứ giác có cạnh đối song song O (hay hình bình hành hình D C thang có hai cạnh bên song song) *Trong hình bình hành : + Các cạnh đối + Các góc đối + Hai đường chéo cắt trung điểm đường *Dấu hiệu nhận biết : + Hình chữ nhật có cạnh kề + Hình chữ nhật có đường chéo vng góc + Hình chữ nhật có đường chéo phân giác góc + Hình thoi có góc vng + Hình thoi có đường chéo *Dấu hiệu nhận biết : + Tứ giác có cạnh + Hình bình hành có cạnh kề + Hình bình hành có đường chéo vng góc + Hình bình hành có đường chéo phân giác A B góc 10 Hình vng: *Hình vng tứ giác có góc vng cạnh D C *Hình vng có tất tính chất hình chữ nhật hình thoi CHƯƠNG II: ĐA GIÁC • Đa giác lồi đa giác nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng chứa cạnh đa giác • Đa giác đa giác có tất cạnh tất góc Một số kết • Tổng góc đa giác n cạnh (n − 2).1800 • Mỗi góc đa giác n cạnh (n − 2).1800 n • Số đường chéo đa giác n cạnh n(n − 3) Diện tích • Diện tích tam giác nửa tích cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó: S = ah • Diện tích tam giác vng nửa tích hai cạnh góc vng: S = ab • Diện tích hình chữ nhật tích hai kích thước nó: S = ab • Diện tích hình vng bình phương cạnh nó: S = a2 • Diện tích hình thang nửa tích tổng hai đáy với chiều cao: S = (a + b)h • Diện tích hình bình hành tích cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó: S = ah • Diện tích hình thoi nửa tích hai đường chéo: S = dd 12 II BÀI TẬP : Bài tập tứ giác Bài 1: Cho tứ giác ABCD, đường chéo AC cạnh AD Chứng minh cạnh BC nhỏ đường chéo BD Giải: C 10 x x − 21 = 1,2 18 20 Giải PT tìm x = 324 Vậy số thảm xí nghiệp làm 18 ngày 324 Bài 10: Một lớp học tham gia trồng lâm trường thời gian định với suất 300 ngày Nhưng thực tế người trồng thêm 100 nên trồng thêm tất 600 hoàn thành kế hoạch trước ngày Tính số dù định trồng Giải: Gọi số dù định trồng x (x nguyên dương) Khi số ngày dự định để trồng : x ngày 300 Nhưng thực tế ngày trồng 400 (vì thêm 100 cây) Nên số trồng tất x + 600 số ngày là: x + 600 400 Theo ta có phương trình: x x + 600 = +1 300 400 Giải ta được: x = 3000 Vậy số dù định trồng 3000 Chủ đề 10: Tam giác đồng dạng A Mục tiêu: - Học sinh hiểu biết vận dụng định lý Ta lét, định lý Ta lét đảo hệ định lý ta lét vào giải toán - Nắm trường hợp đồng dạng tam giác vận dụng tốn thực tế B Thời lượng: tiết (tiết 39, 30, 31, 32, 33, 34) C Thực hiện: Tiết 29: Câu hỏi: Hãy phát biểu định lý Ta lét, định lý Ta lét đảo, hệ định lý Ta lét Thế hai tam giác đồng dạng, tính chất hai tam giác đồng dạng Nêu trường hợp đồng dạng hai tam giác Bài 1: Cho hình thang ABCD, có đáy lớn CD, đáy nhỏ AB Qua A kẻ đường thẳng song song vi BC căt ng chộo BD E, qua B k ng thng song song vi 30 AD căt ng chéo AC F a Chứng minh tứ giác DEFC hình thang cân b Tính độ dài đoạn EF biết AB = 5cm, CD = 10cm Giải: a Do AE // BC (gt) Theo định lý TalÐt ta có: OE OA = (1) OE OC Do BF // AD (gt) Theo định lý ta lét ta có: OB OF = (2) OD OA OE OB OA OF OE OF = = Từ (1) (2) ⇒ hay OB OD OC OA OD OC Theo định lý đảo định lý TalÐt ta lại có: EF // DC ⇒ Tứ giác DEFC hình thnag (dấu hiệu nhận biết) Xét tam giác ABC tam giác BAD có: AB cạnh chung BC = AD (gt); AC = BD (gt) ⇒ ∆ABC = ∆BAD (c.c.c) ⇒ góc 0 x+2 x+2 x+2 −3 >0 ⇔x+2 b x −3 >2 x+2 Giải: 43 a 3x3 + 4x2 + 5x + > ⇔ 3x3 - 2x2 + 6x2 - 4x + 9x - > ⇔ x2(3x - 2) + 2x(3x - 2) + 3(3x - 2) >0 ⇔ (3x - 2)(x2 + 2x + 3) > ⇔ Ta thấy x2 + 2x + > nên 3x - > ⇔ x > b x −3 >2 x+2 ⇔ x −3 x − − 2x − − x−7 −2>0⇔ >0⇔ >0 x+2 x+2 x+2  x + <  x < −7   x+7 x + >  x > −2   x > −7 x+2    x + <  x < −2 Vậy bất phương trình cho có nghiệm - < x < - Bài 11: Tìm giá trị x để biểu thức sau đạt giá trị lớn x A(x) = ( x + 1999) với x > Tìm giá trị lớn Giải: Đặt a = 1999 x ( x + x) − ( x + a ) − 4· = Khi đó: A(x) = ( x + a) 4a ( x + a ) ( x + a) − ( x − a) ( x − a) = − ≤ = (với a> 0, x > 0) 2 4a 4a ( x + a ) 4a 4a ( x + a ) ( x − a) ≤ 0∀x Vì a > nên 4a(x +a) ≥ ⇒ 4a ( x + a ) 2 A(x) = ⇔x=a 4a Thay x = 1999 ta có giá trị lớn A(x) = 44 ⇔ x = 1999 4.1999 ... = 10 = 22 11 5 11  Vậy S =   e x + 5( x − 1) = §KX§: x ≠ ± x 1 x +1 ⇔ (2 x + 1) ( x + 1) 5( x − 1) ( x − 1) = ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) ⇔ (2x + 1) (x + 1) = (5x - 5)(x - 1) ⇔ 2x2 +... tương tự trên.Ví dụ: 15 20 30 18 29 20 29 18 Ví dụ 3:Tìm điều ki n x để phân thức 5.4 − 4.3 = 5.2 − = (10 − ) 5.2 9. 619 − 7.2 29.27 = 5.2 28. 319 − 7.2 29.3 18 = 28. 3 18 (15 − 14 ) sau xác định: x... 1) (1 − x) 2 (1 − x _ − 2( x + x − 3) = 2 (1 − x) 2 (1 − x) ⇔ 5x - + 2x - 2x2 - 1+ x = - 2x - 2x2 - 2x + 27 ⇔ 12 x = 11 ⇔ x = 11 (thoả mãn ®kx®) 12 11  12  Vậy S =   d − x ( x − 1) ( x + 1) (