Đang tải... (xem toàn văn)
Bài tập nâng cao một số chuyên đề hình học 10
NGUYỄN MINH HÀ (Chủ biên) - NGUYỄN XUÂN BÌNH & Yen, sy Š § # SQ SN NN Ể on Xd Nà LOAN dt ` Yog OY TPS Yr wt WP xxx a Sow s*š8šÿsŸ WNP SV SN § Ley , GLAS BAI TAP NANG CAO VA MOT SO CHUYEN DE HÌM đọc 10 NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC xe SNE rg aay %SQV VY SQV WLLL wath BPH Se ANS SG TPP N SH g WH ề WESS SQ x WY ss g SQI sg SESS & AG Chương Ï VECTƠ §1 VECTƠ CÁC PHÉP TỐN VECTƠ A TOM TAT LÍ THUYẾT I - ĐẠI CƯƠNG VỀ VECTƠ Vectơ — Vectơ đoạn thẳng rõ điểm mút điểm đâu, điểm mút điểm cuối — Điểm đầu điểm cuối vectơ theo thứ tự gọi gốc vectơ — Hướng từ gốc tới vectơ gọi hướng vectơ — Vectơ có gốc A, B kí hiệu AB — Độ dài đoạn thẳng AB gọi độ dài vectơ AB vectơ AB), kí hiệu |ABI (hay mơđun — Vectơ có gốc trùng gọi vectơ-khơng, kí hiệu Vectơ Ư có hướng tuỳ ý có độ dài Vectơ - Giá vectơ AB (khác Ở) đường thẳng AB Giá vectơ-không AA đường thẳng qua A — Hai vectơ gọi phương (hay cộng tuyến) giá chúng song song trùng Nếu AB phương với CD, Hai vectơ phương hướng ta viết AB//CD ngược hướng Nếu hai vectơ AB CD hướng, ta kí hiệu AB Tt CD (h.1-1) Nếu hai vectơ AB CD ngược hướng, ta kí hiệu AB NY CD (h.1-2) Vecto phương hướng với vectơ Hình I-I Chú ý Khi nói hai vectơ hướng hay ngược hướng có nghĩa chúng phương Nếu giá a song song trùng với đường thẳng A, ta viết ä //A — Hai vectơ gọi nhưu chúng hướng độ dài Nếu hai vectơ AB, CD nhau, ta viết AB = CD Hình 1-2 Vectơ tự Có nhiều vectơ vectơ AB cho trước Tập hợp vectơ coi vectơ (vectơ tự do) Một vectơ tự hoàn toàn xác định biết hướng độ dài Vectơ tự thường kí hiệu đơn giản 1a 4, b, x, ÿ, Phép dựng vectơ Cho trước vectơ ä Với điểm M, tồn điểm N cho MN = ä II -CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ Phép cộng vectơ > A — Téng cia hai vectơ ä b xác định sau : Từ điểm O tuỳ ý, dựng a OA = a, tirA ta dựng tiếp AB = b Vecto OB gọi làveeto tổng hai vectơ ä b, kí hiệu ä + b (h.1-3) B Hinh 1-3 Từ định nghĩa, ta có quy tắc quan trọng sau e Quy tắc ba điểm : AC = AB + BC A Quy tắc mở rộng cho n điểm : e« Quy tắc hình bình hành (h.1-4).: ABCD hình bình hành AC = AB + AD D a | B ⁄ Hinh 1-4 — Tính chất phép cộng vectơ : ed+b=b+a ä+(B+€) (giao hoán) =(4+b6)42 (két hop) sa+0=ä ä+(-ä) =Ũ Chú ý Nhờ tính chất kết hợp, tổng ä +(B+), (3+B)+ viết đơn giản ä + b + ể Phép trừ hai vectơ — Hai vectơ gọi đối tổng chúng Vecto đối vectơ a kí hiệu —a Rõ ràng, hai vectơ đối chúng ngược hướng có độ dài Đặc biệt, BA = -AB — Hiệu vectơ ä vectơ b, kí hiệu ä — b,là tổng ä (—ð) Như VẬY : ä—-b=ä+(-8) Ta có hai quy tắc quan trọng phép trừ vectơ : AB = OB-OA (Ola điểm tuỳ ý) =b+£€©ä-—b= € (quy tắc chuyển vế) Phép nhân vectơ với số thực — Tích số thực k với vectơ ä vectơ, kí hiệu sau : e Nếu k=0 ä = kẩ = Ư « Nếu k >0 ä z kä †† ä |kä| = k.läl e Nếuk 0, [bl > o > lola †1 ä, läl.B †T B = lb|.a lãl.b Mặt khác ||B|.ä| = |äl.b| = lai lBl Theo định nghĩa hai vectơ nhau, ta có lola = lala Hiển nhiên có điều ngược lại b) Chứng minh tương tự câu a) Nhận xét Nếu b # Ư, ta có : anla | (1) (2) aNboea "- b Các điều kiện (1) (2) thường dùng để giải nhiều tốn khác Ví dụ 1.2 Cho ba điểm phân biệt A, B, C Chứng minh A, B, C thẳng hàng AB//AC Giải - Nếu A, B, C thang hang AB (dinh nghia) va AC cé cing gid => AB// AC - Nếu AB // AC đường thẳng AB AC song song trùng Vì hai đường thẳng có chung điểm A nên chúng trùng Vậy A, B, C thẳng hàng Ví dụ 1.3 Cho hai điểm A, B phân biệt hai số œ, khơng đồng thời Chứng minh : a) Nếu œ + B = khơng tồn điểm M cho œMA + BMB = b) Nếu œ + B # tồn điểm M cho œMA + BMB = Giải a) Giả sử œ + B = mà có điểm M:sao cho œMA + BMB = Ö Suy aMA — aMB = —> o(MA — MB) = > œ.BA = Vì BA z# ổ nênœ=0—B=0: mâu thuẫn Vậy khơng tồn điểm M b) Giả sử œ +B # 0, ta có œMA + BMB = © -œAM + B(AB - AM) = © (œ + B)AM = BAB ©œAM=-—È_^E œ+ Đẳng thức cuối chứng tỏ tồn điểm M, đông thời cách dựng điểm M Ví dụ 1.4 Cho tam A giác ABC Chứng minh : điểm M trung điểm BC ——— AM= (AB + AC) Giải (h.1-5) Với điểm M, ta có : AM=AB+BM _, _, _, _, _ AM = AC+CM Từ đó, M trung điểm BC BM + CM = Ö 2AM = AB+ AC AM = 5(AB + AC) —— ——> — — 2AM = AB+ AC + BM +€M Ví dụ 1.5 Cho tam giác ABC Chứng minh điểm G trọng tâm tam giác ABC GA + GB + GC = Ö Giải (h.1-6) Gọi M trung điểm cạnh BC, ta có — — — GA +GB+GC =0 GA + 2GM ¬ =0 G thuộc đoạn AM GA = 2GM Hinh 1-6 © G 1a tam AABC Hệ G trọng tâm AABC MG = (MA + MB + MC) với moi diém M Ví dụ 1.6 Các tam giác ABC A'BC Chứng minh : có trọng tâm G G' GG? = (AA' + BB' + CC) Giải Ta có GG' = GA + AA'+ AG GG' = GB + BB' + B'G' GG' - Bể + 0€ + €rG' Cộng vế ba đẳng thức ta có : — _————— 3GG' = (GA + GB + GC) + (AA' + BBỶ + CC') +(A'G + B'G' + C'G) = AA' + BB’ + CC’ oo: -= SIAA (Aaa + BB' eee vay GG' + CC)) Hệ Hai tam giác ABC AA' + BBÌ + CC' = Ư 10 A'BC có trọng tâm Ví dụ 1.7 Cho lục giác ABCDEF Goi M, N, P, Q, R, S trung điểm cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA Chứng minh hai tam giác MPR NQS có trọng tâm Giải (h.1-7) Cách Giả sử G trọng tâm AMPR, GN + 6g + Gề = „(G8 + GC) + (GD + GE) + (GF + GA) - MGA + GB) + (GE + GD) + (GE + = GM + GP + GR -6 | Vay G tam ANQS Cách Theo tính chất đường trung bình tam giác ta có MN +PQ + RŠ = AC + 7CE + 2.EA = (AC + CE + EA) Hình 1-7 =Ư Theo hệ VD 1.6, tam giác MPR NQS có trọng tâm Ví dụ 1.8 Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M điểm y Goi Ay, By, Cy điểm đối xứng M qua trung diém I, J, K cạnh BC, CA, AB A a) Chứng minh AA,, BB,, CC, déng quy trung điểm đoạn (gọi điểm O) b) Chứng minh M, O, G thẳng hàng town Gidi (h.1-8) a) Ta có B — — —— MA +MA; = MA + MB + MC — + MB, = MA + MB+MC Tuong tu, MB MC + MC, = MA + MB + MC a —— — ; | TS C Ay Hinh 1-8 11 Suyra MA + MA, = MB + MB, = MC + MC, Từ suy đoạn AA¡, BB¡, CC, đồng quy O trung điểm đoạn (bạn đọc tự kiểm tra) b) Từ kết vừa chứng minh ta có 2MO = MA + MA, = MA + MB+ MC = 3MG Suy MO //MG => M, 0, G thang hang Ví dụ 1.9 Cho tam giác ABC, M điểm cạnh BC Chứng minh AM = MC AB + MB XG BC BC Gidi Cách (h.1-9) Vẽ MN // AC (N € AB) Áp dụng định lí Ta-lét ta có AN = ON ap = MCR AB NM-— — > —x = AM BC MB-= N B NM = AG AC = Be AC ,xaz = AN + NM MC—— MB—— ÍMC.AM = MC.AB = =~ AB + A M C Hình 1-9 AC Cách AM = AB+BM AM=AC+CM - + MC.BM |MB.AM = MB.AC + MBCM Cộng vế hai đẳng thức, với ý hai vectơ MB.CM MC.BM hai vectơ đối (ngược hướng độ đài), ta có : BC.AM = MC.AB + MB.AC MC—= MB—= Ví dụ 1.10 Cho tam giác ABC điểm M thoả mãn BM = kBC Chứng minh rang AM 12 = (1— k)AB + kAC — CS ST Gidi SỐ TT ThS Ca MHẾ CÔ th I ER OE ST TU a i, BM = kBỂ = AM- AB =kÍAC - AB) kAC k)AB +~ =(1 => AM Nhận xét — Nếu M trung điểm BC k = > ta nhận kết VD 1.4 — Nếu M thuộc đoạn BC k = ae ta nhận kết VD 1.9 — Kết viết đưới dang sau : Néu MB = kMC (k #1) thi —=z_ AB-kAC AM = —T-K” (Sau ta thấy cách biểu diễn AM qua AB, AC nhất) Ví dụ 1.11 Cho tứ giác ABCD Cac diém M, N thuộc đoạn AD, BC cho MA NB_m MD Chứng minh MN NC _ nAB on + mDC m+n Giải (h.1-10) Ta có ses MN N x> eee B —_— = MD + DC + CN Đ Gee =4 nMN mMN => (m+ = nMA ma = mMD n)MN + nAB - + nBN Hình 1-10 + mDC + mCN = (nMA + mMD) + (nAB + mDC) © +(nBN + mCN) +6 = 0+(nAB+mDC) mtn Nhận xét — Khi A = D, ta nhận kết VD 1.10 (Lưu ý NB = —NG) n 13 ... Vay : 2ÌMA + MB + MC| = [MA + 2MB + 3MC e 6|MG| = 6ÌMI| eee B —_— = MD + DC + CN Đ Gee =4 nMN mMN => (m+ = nMA ma = mMD n)MN + nAB - + nBN Hình 1 -10 + mDC + mCN = (nMA + mMD) + (nAB + mDC)... độ dài Nếu hai vectơ AB, CD nhau, ta viết AB = CD Hình 1-2 Vectơ tự Có nhiều vectơ vectơ AB cho trước Tập hợp vectơ coi vectơ (vectơ tự do) Một vectơ tự hoàn toàn xác định biết hướng độ dài Vectơ