Đang tải... (xem toàn văn)
dạng bài tập cấp số cộng và cấp số nhân (thích xuất ST) CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN 1. Cấp số cộng 1.1. Định nghĩa: Dãy số (un) được xác định bởi gọi là cấp số cộng; gọi là công sai. 2.1. Các tính chất: Số hạng thứ n được cho bởi công thức: . Ba số hạng là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi . Tổng số hạng đầu tiên được xác định bởi công thức : . 2. Cấp số nhân 1.2. Định nghĩa: Dãy số (un) được xác định bởi gọi là
CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Cấp số cộng 1.1 Định nghĩa: Dãy số (un) xác định u1 = a , n∈ N * un+1 = un + d Sn = u1 + u2 + + un = u1 Vấn đề Xác định cấp số xác yếu tố cấp số Phương pháp: d gọi cấp số cộng; gọi cơng sai 2.1 Các tính chất: • • Số hạng thứ n cho công thức: uk ,uk+1 ,uk+ ba số hạng liên tiếp cấp số cộng Tổng • xác định công thức : Sn = u1 + u2 + + un = n n u1 + un ) = 2u1 + ( n − 1) d ( 2 u1 = a , n∈ N * un+1 = un q • • • Cấp số nhân 1.2 Định nghĩa: Dãy số (un) xác định 2.2 Các tính chất: • không phụ thuộc công sai ⇔ Dãy số un+1 =q un cấp số nhân không phụ thuộc vào công bội ⇔ a+ c = 2b a, b,c Ba số theo thứ tự lập thành cấp số cộng ⇔ ac = b a, b,c Ba số theo thứ tự lập thành cấp số nhân Để xác định cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu u1 công sai Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết toán qua d q gọi cấp số cộng; gọi cơng bội • Để xác định cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu u1 n−1 un = u1q Số hạng thứ n cho công thức: uk ,uk+1 ,uk+ Ba số hạng q Ví dụ Tìm bốn số hạng liên tiếp cấp số cộng biết tổng chúng 20 1,5,6,8 Sn n Tổng cơng bội Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết toán qua ba số hạng liên tiếp cấp số cộng uk2+1 = uk.uk+ • cấp số cộng d (un ) n Sn số hạng Dãy số q n • ⇔ un+1 − un = d (un ) vào n uk+1 = ( uk + uk+2 ) • • un = u1 + (n − 1)d Ba số hạng qn − q− số hạng xác định cơng thức : A 120 tổng bình phương chúng 2,4,6,8 B C u2 − u3 + u5 = 10 u4 + u6 = 26 (un ) Ví dụ Cho CSC 1,4,6,9 thỏa : 1,4,7,8 D 1 Xác định công sai và; d= d= d= A B C công thức tổng quát cấp số un = 3n − A un = 3n − d= D un = 3n − B C un = 3n − D Ví dụ Cho cấp số cộng S = 673015 A S= S = 6734134 B S = 673044 C A u100 = −295 B u100 = −231 C A S15 = −274 B u100 = −294 A C S = −1242 C u1 = 1,u1 = B u1 = 1,u1 = C u1 = 1,u1 = D u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 11 82 u1 + u5 = 11 u1 = D 81 ,u1 = 11 11 A C S = 3028332 81 ,u1 = 12 12 u1 = 81 ,u1 = 11 11 D D d=4 S = 3028057 C u1 = B 81 u1 = ,u1 = 13 13 (un ) S = 3021233 B u1 = 1,u1 = S = −1222 S = u5 + u7 +…+ u2011 S = 3028123 D D Ví dụ Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn Xác định công sai? A.d=3 B d=5 C d=6 A S = 123 C 49 246 u1 + u2 + u3 + u4 = 15 2 2 u1 + u2 + u3 + u4 = 85 S15 = −285 u2 − u3 + u5 = 10 u4 + u6 = 26 Tính tổng S= S = −1276 B B A S15 = −253 S = −1286 23 Ví dụ Cho cấp số nhân (un) có số hạng khác khơng, tìm biết: D S = u4 + u5 + + u30 Tính S= u1 Tính tổng 15 số hạng đầu cấp số ; S15 = −244 246 D S = 141 Ví dụ Cho cấp số cộng thỏa: Tính số hạng thứ 100 cấp số ; u100 = −243 tổng 100 số hạng Tính A u5 + 3u3 − u2 = −21 3u7 − 2u4 = −34 (un ) có 1 S= + + + u49u50 u1u2 u2u3 24850 đầu S = u1 + u4 + u7 + + u2011 Tính u1 = (un ) u4 = 27 u3 = 243u8 Ví dụ Cho cấp số nhân thỏa: Viết năm số hạng đầu cấp số; u1 = 2,u2 = D A 2 2 ,u3 = ; u4 = ,u5 = 27 81 u1 = 1,u2 = d= ∅ 2 2 ,u3 = ;u4 = ,u5 = 27 81 A 2 2 ,u3 = ; u4 = ,u5 = 27 64 C u1 = 2,u2 = B d= d= ∅ 2 2 ,u3 = ;u4 = ,u5 = 27 81 A S10 = A 59123148 19683 d= −2 A d= B q= d= D d= −3 d= B C d= D q= ∅ q= C D q= q= A B q= ∅ q= C D Bài Xét xem dãy số sau có phải cấp số cộng hay khơng? Nếu phải xác định công sai un = 3n + 1 un = −3n + d= −2 D n d= C C B un = D.3 un = 2n + d= ∅ A d= −3 d= B C d= D un = 4− 5n 2 q= A Bài Dãy số có phải cấp số cộng khơng ? Nếu phải xác định số công sai ? Biết: un = n + B q= ∅ q= un = 4.3 (un ) A q= n D Số số hạng thứ cấp số ? A.41 B.12 C.9 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP q= A 6561 d= D un = 2n 59048 S10 = 19683 C d= −3 C Bài Dãy số có phải cấp số nhân không ? Nếu phải xác định số công bội ? Biết: B 1359048 S10 = 3319683 D (un ) Tính tổng 10 số hạng đầu cấp số; 59048 12383 B D S10 = C d= un = n B u1 = 2,u2 = d= −3 d= A d= ∅ d= −5 d= B C d= D un = 2n + un = d= d= ∅ A B d= −3 C d= A B un = d= −3 d= C d= D q= d= −3 d= B C d= ∅ d= số cộng B C d= D C có ba góc q= A B C D A = 15 B = 105 C = 600 un = − C A B q= ∅ q= C D 3+ tính góc tam giác 0 0 20 ,60 ,1000 30 ,60 ,90 B q= q= B q= ∅ q= C D 100 ,500 ,1200 C un = 32 400 ,600 ,800 D +1 Bài Cho dãy số với Tìm cơng bội dãy số (un) un = 3n − q= D Cho tam giác ABC biết ba góc tam giác lập thành cấp số cộng n q= A = 200 B = 60 C = 1000 B (un ) q= A = B = 60 C = 250 A A n−1 theo thứ tự lập thành cấp Xác định số đo góc A = 10 B = 120 C = 500 q= ∅ q= D A , B,C sin A + sin B + sin C = q= q= ∅ A , B,C D d= −3 d= D q= B C = 5A un = 2n A C Bài Bài Xét xem dãy số sau có phải cấp số nhân hay khơng? Nếu phải xác định công bội Tam giác A q= A un = n2 + 1 B ABC d= ∅ q= ∅ q= un = n n 2n A q= d= ∅ q= A D n+ un = n 2n − A q= q= B C q= D 3 Cho bốn số nguyên dương, ba số đầu lập thành cấp số cộng, ba số sau lập thành cấp số nhân Biết tổng số hạng đầu cuối 37, tổng hai số hạng 36, tìm bốn số S = u2 + u4 + u6 +…+ u20 Tính tổng S = (320 + 1) S = (320 − 1) A b = 15,c = 20, d = 25, a = 12 A B S = (310 − 1) S = (310 − 1) C b = 16, c = 20,d = 25, a = 12 B b = 15,c = 25,d = 25, a = 12 C Bài D u7 − u3 = u2.u7 = 75 19683 Số A.15 số hạng thứ dãy số B.16 C.19 D.17 Bài Cho cấp số nhân có số hạng, số hạng thứ tư số hạng thứ gấp 243 lần số hạng thứ hai Hãy tìm số hạng lại CSN Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn d = u1 = 2,u1 = −17 A B d = u1 = −3,u1 = −17 d = u1 = 3,u1 = −17 u1 = 2 ;u2 = ;u3 = 2;u5 = 18;u6 = 54;u7 = 162 u1 = 2 ; u2 = ;u3 = 2; u5 = 21;u6 = 54;u7 = 162 Cho cấp số cộng (un) có công sai số hạng tổng quát cấp số cộng u1 = 2 ;u2 = ;u3 = 2;u5 = 18;u6 = 54;u7 = 162 A C D u31 + u34 = 11 2 d> u31 + u34 = 101 B un = 3n − C un = 3n − B Gọi tổng B −2; −1;0 C −3; −2; −1 un = 3n − 66 D số hạng đầu cấp số cộng S S1 S n2 − n3 ) + ( n3 − n1 ) + ( n1 − n2 ) = ( n1 n2 n3 −9 −4; −3; −2 Hãy tìm n1; n2 ; n3 Tìm ba số hạng liên tiếp cấp số cộng biết tổng tổng bình phương chúng 29 ; un = 3n − 92 C S1;S2 ;S3 D 1;2;3 ? d = u1 = 3,u1 = −7 2 ;u2 = ;u3 = 2;u5 = 18;u6 = 54;u7 = 162 chúng u1 , d Tìm u1 = A A b = 16, c = 20,d = 25, a = 18 D Chứng minh rằng: u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 11 82 u1 + u5 = 11 D (un ) Bài Cho CSN thỏa: 2,3,5 Tìm công bội số hạng tổng quát cấp số q = 3;un = n−1 81 q = ;un = n−1 11 3 11 A C.Cả A, B (un ) B D Cả A, B sai Ví dụ Chứng minh dãy số là: un = an + b CSC S2011 un = aq n Tính tổng 243 q = ;S2011 = 1− 2011 ÷ 22 A C.Cả A, B 2011 q = 3;S2011 = −1 22 ( ) B D Cả A, B sai CSN Ví dụ Chứng minh : x3 − ax2 + bx − c = Nếu phương trình có ba nghiệm lập thành 9ab = 2a + 27c CSC 1 ;1÷ Trên khoảng A.1 thuộc CSN x3 − ax2 + bx − c = có số hạng cấp số B.2 C.3 D Nếu phương trình có ba nghiệm lập thành c(ca − b ) = 3 CSN X = { 1,2,3, ,9} Bài 10 (xn ) : xn = , n = 1,2,3 n Cho dãy số Chứng minh tồn CSC gồm 2011 số hạng mà số hạng thuộc dãy số Vấn đề Chứng minh tính chất cấp số Phương pháp: • Sử dụng cơng thức tổng quát cấp số, chuyển đại lượng qua số hạng đầu cơng sai, cơng bội • a, b, c Cho ba số ⇔ a+ c = 2b theo thứ tự lập thành CSC ii ) a, b, c ⇔ ac = b2 theo thứ tự lập thành CSN Các ví dụ Ví dụ Chứng minh số: 1, 3,3 thuộc CSC; lập thành cấp số cộng Chứng minh : a + 2bc = c + 2ab 2 Sử dụng tính chất cấp số: i ) a,b,c Ví dụ Chứng minh với cách chia tập thành hai tập rời ln có tập chứa ba số lập thành cấp số cộng CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài a, b, c > Cho lập thành cấp sô cộng.Chứng minh : a+ b + b+ c = c+ a Cho (un) cấp số cộng Chứng minh : un = (u +u ) n− k n+ k 1≤ k ≤ n − , Bài Các ví dụ tan A B ;tan ; 2 Ví dụ Tìm x + 1, x − 2,1− 3x ⇔ cos A ;cos B;cosC lập thành cấp số cộng số cộng lập thành cấp cot lập thành cấp số cộng lập thành cấp số nhân Chứng minh : ( a+ b+ c) ( a− b+ c) = a + b + c ( a + b ) ( b + c ) = ( ab+ bc) 2 2 ( ab+ bc + ca) B n n n n n n ( y + 1) , xy + 1,( x − 1) lập thành cấp số cộng ; số x, y lập thành cấp số nhân.Tính 10 3 (x; y) = ( 0;0) ; ; ÷; − ; − ÷ 3 10 2n B 11 3 (x; y) = ( 1;0) ; ; ÷; − ; − ÷ 3 10 + b2n + c2n ; n ∈ ¥ * C a1an = ak.an− k+1 , k = 1; n Sn ( S3n − S2n ) = ( S2n − Sn ) D 4 3 (x; y) = ( 0;0) ; ; ÷; − ; − ÷ 3 10 Bài Cho (un) cấp số nhân Chứng minh : C 5x − y, 2x + 3y, x + 2y Ví dụ Cho số x= ± x = ±2 x= ± A ( a +b +c ) ( a −b +c ) = a 10 13 13 (x; y) = ( 0;1) ; ; ÷; − ; − ÷ 3 10 D Vấn đề Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số Phương pháp: • a,b,c • a,b,c ⇔ a+ c = 2b theo thứ tự lập thành CSC theo thứ tự lập thành CSN CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP x ⇔ ac = b2 x = 2, x = D lập thành cấp số nhân A = abc( a+ b+ c) x = 2, x = C 1, x2 ,6 − x2 a, b,c Bài Cho x = 2, x = B x = ±1 lập ⇔ sin A ;sin B;sin C thành cấp số cộng lập thành cấp số cộng ; x = 4, x = A A B C ;cot ;cot 2 2 Cho tam giác ABC.Chứng minh biết : Cho tam giác ABC Chứng minh C tan x Bài Tìm để số sau lập thành cấp số cộng 1 (x; y) = ( 3;1) ; ; ÷ 8 1; x; x3 π 1;sin − x÷;4sin x 6 C b = 0, a < biết: x + 5y,5x + 2y,8x + y Các số , xy − 1,( x + 1) A lập thành cấp số cộng số b = 0, a = B m Bài Tìm có ba nghiệm b = 0, a > C b > 0, a < D để phương trình: mx − 2( m− 1) x2 + m− 1= lập thành cấp số nhân 3 3 (x; y) = − 3; ÷; 3; ÷ ÷ cấp số cộng m= − A m= −1 B m= − 12 D có ba nghiệm lập thành cấp số nhân m = − 27 m = C 10 m= m= A B Bài Xác định m để: 3 3 (x; y) = − 3; − ; 3; ÷ ÷ ÷ ÷ 2 10 m = − 27 m = m = −1 m= C D x3 − 3x2 − 9x + m= Phương trình thành cấp số cộng D m= 16 x + 6y,5x + 2y,8x + y A x + y, y − 1,2x − 3y lập thành cấp số nhân 1 (x; y) = ( −3; −1) ; ; ÷ 8 có ba nghiệm phân biệt lập m= 11 B lập thành cấp số cộng số B 16 C 3 3 (x; y) = 3; ; 3; ÷ ÷ ÷ ÷ 1 (x; y) = ( −3; −1) ; ; ÷ 8 m= − x3 − 3mx2 + 4mx + m− = B Các số có bốn nghiệm phân biệt lập thành 16 A 3 3 (x; y) = 3; − ; − 3; − ÷ ÷ ÷ ÷ A x3 + ax + b = Bài Xác định để phương trình phân biệt lập thành cấp số cộng x, y ( y − 1) D a,b Bài Tìm 12 (x; y) = ( −3; −1) ; ; ÷ 8 m= 13 m= 12 C D x4 − 2( m+ 1) x2 + 2m+ = Phương trình phân biệt lập thành cấp số cộng m= − m= A (1) có bốn nghiệm m= − m= B m= −2 m= C m= −1 m= D x3 + 2x2 + ( m+ 1) x + 2( m+ 1) = Phương trình thành cấp số nhân có ba nghiệm lập m = −1, m= −3, m= −4 A C m= 1, m= 3, m= m = −1, m= 13, m= −4 B D m= −1, m= 3, m= −4 ... a = 12 C Bài D u7 − u3 = u2.u7 = 75 19683 Số A.15 số hạng thứ dãy số B.16 C.19 D.17 Bài Cho cấp số nhân có số hạng, số hạng thứ tư số hạng thứ gấp 243 lần số hạng thứ hai Hãy tìm số hạng... thành cấp số cộng CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài a, b, c > Cho lập thành cấp sô cộng. Chứng minh : a+ b + b+ c = c+ a Cho (un) cấp số cộng Chứng minh : un = (u +u ) n− k n+ k 1≤ k ≤ n − , Bài Các... Ví dụ Tìm x + 1, x − 2,1− 3x ⇔ cos A ;cos B;cosC lập thành cấp số cộng số cộng lập thành cấp cot lập thành cấp số cộng lập thành cấp số nhân Chứng minh : ( a+ b+ c) ( a− b+ c) = a + b + c ( a