ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI NGỮ CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ NĂM 2009 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 07 - 06 – 2009 Đề thi gồm: 01 trang (Chú ý: Thí sinh không được sử dụng bất kì tài liêu nào, CBCT không giải thích gì thêm) Câu 1. (2đ) Cho biểu thức: : 2 2 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 8 x x 2 x x 4 A 2 x 2 x 2 x x 2 x 2 x     − − = + + +  ÷  ÷  ÷ + + − +     Với ; ;x 8 x 8 x 0≠ ≠ − ≠ . Chứng minh rằng giá trị của A không phụ thuộc vào x Câu 2. (2đ) Cho phương trình ( ) 2 2 x 2 m 1 x 4m m 0− + + − = , m là tham số 1. Chứng minh rằng phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. 2. Gọi ; 1 2 x x là các nghiệm của phương trình trên. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 1 2 A x x= − Câu 3. (2đ) Giải hệ phương trình: ( )    =+−++ =++++ 0424 02 22 22 yxyx yxxyyx Câu 4 (3đ). Trên đường tròn (O;R) ta lấy hai điểm A và B tuỳ ý. Giả sử C là một điểm nằm phía trong đoạn AB (C khác A, C khác B). Kẻ đường kính AD của (O). Cát tuyến đi qua C vuông góc với đường kính AD tại H, cắt (O) tại M và N. Đường thẳng qua M và D cắt AB tại E. Kẻ EG vuông góc với AD tại G. 1. Chứng minh BDHC và AMEG là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh AM 2 = AC.AB 3. Chứng minh AE.AB + DE.DM = 4R 2 Câu 5. (1đ) Với x; y là những số thực thoả mãn điều kiện x + y + xy = 8 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2 + y 2 -------------------------------- 1 Đáp án MÔN TOÁN THI VÀO THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ HÀ NỘI NĂM 2009 Thi ngày 07 – 06 – 2009 Người giải đề: Thầy giáo Nguyễn Cao Cường Giáo viên Toán – Trường THCS Thái Thịnh – Hà Nội Câu 1. (2đ) Cho biểu thức: : 2 2 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 8 x x 2 x x 4 A 2 x 2 x 2 x x 2 x 2 x     − − = + + +  ÷  ÷  ÷ + + − +     Với ; ;x 8 x 8 x 0≠ ≠ − ≠ . Chứng minh rằng giá trị của A không phụ thuộc vào x Giải: : 2 2 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 8 x x 2 x x 4 A 2 x 2 x 2 x x 2 x 2 x     − − = + + +  ÷  ÷  ÷ + + − +     Đặt 3 x t= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : : . 3 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 8 t t 2t t 4 A 2 t 2 t 2 t t 2 t 2t 2 t 4 2t t t 2 t 2 4 2t t t 2t 2t A 2 t 2 t t 2 t t 2 2 t 4 2t t 2 t t 2t 2t A 2 t 4 2t t t t 2t 2t 2t t t 2t 2t A 2 t t t 2t A 2 t − −     = + + +  ÷  ÷ + + − +     − + + − + + + − +     = +  ÷  ÷ + + − +     − + + + − + = + + + + − + − + − + = − + = = = Vậy giá trị của A = 2 không phụ thuộc vào x. Câu 2. (2đ) Cho phương trình ( ) 2 2 x 2 m 1 x 4m m 0− + + − = , m là tham số 1. Chứng minh rằng phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. 2. Gọi ; 1 2 x x là các nghiệm của phương trình trên. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 1 2 A x x= − Giải ( ) 2 2 x 2 m 1 x 4m m 0− + + − = (*) 1. Chứng minh rằng phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. Ta có ' ( ) ( ) ' 2 2 2 2 Δ m 1 4m m 1 1 Δ 2m 2m 1 2 m 0 m 2 4 = + − −     = − + = − + > ∀    ÷     Nên phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. 2 2. Gọi ; 1 2 x x là các nghiệm của phương trình trên. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 1 2 A x x= − Ta có ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 A x x x x 4x x= − = + − Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (*) ( ) . 1 2 2 1 2 x x 2 m 1 x x 4m m + = +    = −   Do đó ( ) ( ) min 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A 2 m 1 4 4m m A 4m 8m 4 16m 4m 1 1 A 8m 8m 4 8 m 2 4 1 A 8 m 2 2 A 2 1 A 2 m 2 = + − −     = + + − +     = − + = − +    ÷       = − +  ÷   ⇒ ≥ ⇒ = ⇔ = Câu 3. (2đ) Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y 2 xy x y 0 2 xy x y 4x 2 y 4 x y 4x 2 y 4 0 x y 4x 2 y 4 0 xy x 2 y 2 0 x 2 y 1 0 1 x y 4x 2 y 4 0 x y 4x 2 y 4 0 2 + + + + = + + = − +     ⇔   + + − + = + + − + =     − + − = + − =   ⇔ ⇔   + + − + = + + − + =   Từ (1) ta có x = -2 hoặc y = 1 Với x = -2 thay vào (2) ta có: 2 y 0 y 2 y 0 y 2 =  − = ⇔  =  Với y = 1 thay vào (2) ta có: 2 x 1 x 4x 3 0 x 3 = −  + + = ⇔  = −  Vậy hệ pt có nghiệm ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ; ) ; , ; , ; ; ;x y 2 0 2 2 1 1 3 1∈ − − − − Câu 4 (3đ). Trên đường tròn (O;R) ta lấy hai điểm A và B tuỳ ý. Giả sử C là một điểm nằm phía trong đoạn AB (C khác A, C khác B). Kẻ đường kính AD của (O). Cát tuyến đi qua C vuông góc với đường kính AD tại H, cắt (O) tại M và N. Đường thẳng qua M và D cắt AB tại E. Kẻ EG vuông góc với AD tại G. 1. Chứng minh BDHC và AMEG là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh AM 2 = AC.AB 3. Chứng minh AE.AB + DE.DM = 4R 2 Giải 1.Học sinh dễ dàng chứng minh dựa vào dấu hiệu tổng hai góc đối của tứ giác. 3 2. Xét (O): AD ⊥ MN (gt) ⇒H là trung điểm MN (qhệ vuông góc giữa đường kính và dây) ⇒AD là trung trực của MN ⇒AM= AN ⇒cungAM=cungAN (liên hệ giữa cung và dây) ⇒gócM 1 =gócB 1 (2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) Xét ∆AMC và ∆ABM Â chung gócM 1 =gócB 1 (cmt) ⇒∆AMC đồng dạng với ∆ABM (g_g) ⇒ AM AC AB AM = ⇒AM 2 = AB.AC (đpcm) 1 1 G E H M N D O A BC 3. Chứng minh AE.AB + DE.DM = 4R 2 Chứng minh ∆AGE đồng dạng với ∆ABD (g_g) ⇒ AE AG AD AB = ⇒AE.AB=AD.AG Chứng minh tương tự: DE.DM = AD.GD ⇒AE.AB + DE.DM = AD.AG + AD.GD= AD (AG + GD) = AD. AD = AD 2 ⇒AE.AB + DE.DM = 4R 2 Câu 5. (1đ) Với x; y là những số thực thoả mãn điều kiện x + y + xy = 8 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2 + y 2 Giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số 2x 2 và 4 ta có: . 2 2 2 x 4 2 x 4 x 4 4x+ ≥ ⇔ + ≥ Chứng minh tương tự: 2 y 4 4 y+ ≥ 2 2 2x 2 y 4xy+ ≥ ⇒ (x 2 + 4) + (y 2 + 4) + (2x 2 + 2y 2 ) ≥ (4x + 4y + 4xy) ⇔ 3(x 2 + y 2 ) + 8 ≥ 4(x + y + xy) (**) ⇔ 3P + 8 ≥ 4. 8 (vì x + y + xy = 8) ⇔ P ≥ 8 Vậy P min = 8 ⇔ 2 2 2 2 x 4 y 4 x y 2 2x 2 y x y xy 8 =   =  ⇔ = =  =   + + =  4 . -------------------------------- 1 Đáp án MÔN TOÁN THI VÀO THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ HÀ NỘI NĂM 2009 Thi ngày 07 – 06 – 2009 Người giải đề: Thầy giáo Nguyễn Cao Cường Giáo viên Toán – Trường. GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI NGỮ CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ NĂM 2009