Tuyn thi HSG Toỏn Đề Bài 1: (3đ) Chứng minh rầng: a) 85 + 211 chia hÕt cho 17 b) 1919 + 6919 chia hÕt cho 44 Bµi 2: a) Rót gän biĨu thøc: 1 x2 + x − x − x − 18 x + yz xz xy b) Cho x + y + z = 0( x, y, z ≠ 0) TÝnh + + x y z Bài 3:(3đ) Cho tam giác ABC Lấy điểm D,E theo thứ tự thuộc tia ®èi cđa c¸c tia BA, CA cho BD = CE = BC Gọi O giao điểm BE CD Qua O vẽ đờng thẳng song song với tia phân giác góc A, đờng thẳmg cắt AC ë K Chøng minh r»ng AB = CK Bµi (1đ) Tìm giá trị lớn nhỏ cđa biĨu thøc sau (nÕu cã): M = 4x2 + 4x + Đáp án Bài : (3đ) a) (1,5®) Ta cã: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 + 1)=211.17 Râ rµng kÕt chia hết cho 17 b) (1,5đ) áp dụng đẳng thức: an + bn = (a+b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - …- abn-2 + bn-1) víi mäi n lÏ Ta cã: 1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 – 1917.69 +…+ 6918) = 88(1918 – 1917.69 + …+ 6918) chia hết cho 44 Bài : (3đ) a) (1,5®) Ta cã: x2 + x – = x2 + 3x -2x -6 = x(x+3) – 2(x+3) = (x+3)(x-2) 3 x – 4x – 18 x + = x – 7x + 3x2 - 21x + 3x + =(x3 + 3x2) – (7x2 +21x) +(3x+9) =x2(x+3) -7x(x+3) +3(x+3) =(x+3)(x2 –7x +3) => (x+3)(x-2) ( x − 2) x2 + x − = (x+3)(x -7x +3) = x -7x +3 Víi ®iỊu kiÖn x ≠ -1 ; x2 -7x x − x − 18 x + +3 ≠ b) (1,5đ) Vì Gv: Nguyn Vn Tỳ Trng THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán 1 1 1 1 + + = ⇒ = − + ÷ x y z z x y 1 1  1 1 1 1  ⇒ = −  + ÷ ⇒ = −  + + + ÷ z z x y x y y  x y x ⇒ 1 1 1 1 1 1 + + = −3  + ÷⇒ + + = 3 x y z x y x y x y z xyz Do ®ã : xyz( xyz xyz xyz yz zx xy 1 ⇔ + + =3⇔ + + =3 + + )= y x y z x y z x z Bài : (3đ) Chứng minh : Vẽ hình bình hành ABMC ta có AB = CM Để chứng minh AB = KC ta cần chứng minh KC = CM ThËt vËy xÐt tam gi¸c BCE cã BC = CE (gt) => tam gi¸c A K B C =E CBE cân C => B gãc C1 lµ gãc ngoµi cđa tam giác BCE => =B +E B = 1C µ C 1 1 BM (ta E D mµ AC // vÏ) M => µ = CBM · µ = CBM · · C B nên BO tia phân giác CBM Hoàn toàn t1 ơng tự ta có CD tia phân giác góc BCM Trong tam giác BCM, OB, CO, MO đồng quy O => MO phân tia phân giác góc CMB ã ã Mà : BAC hai góc đối hình bình hành BMCA => MO // , BMC với tia phân giác góc A theo gt tia phân giác cđa gãc A cßn song song víi OK => K,O,M thẳng hàng ả = BMC ã ả M ả = ảA mà (cmt ); àA = M Ta lại cã : M 1 2 ¶A = K (hai góc đồng vị) ả =M ả CKM cân C => CK = CM Kết hỵp AB = CM => AB = => K 1 CK (đpcm) Bài 4: (1đ) Gv: Nguyn Vn Tỳ Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán Ta cã M= 4x2 + 4x + =[(2x)2 + 2.2x.1 + 1] +4 = (2x + 1)2 + V× (2x + 1)2 ≥ =>(2x + 1)2 + ≥  M ≥ VËy giá trị nhỏ M = x = - ®Ị Câu Tìm số có chữ số: a1a a tho· m·n ®iỊu kiƯn a vµ b sau: a) a1a 2a = ( a a ) b) ( a a 5a a a = a a ) C©u Chøng minh r»ng: ( xm + xn + ) chia hÕt cho x2 + x + vµ chØ ( mn 2) áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử: x7 + x2 + Câu Giải phơng trình: 1   + + + 2005 2006 2007   x = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 2006.2007) C©u Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD) Gọi O giao điểm AC BD; đờng kẻ từ A B lần lợt song song với BC AD cắt đờng chéo BD AC tơng ứng ë F vµ E Chøng minh: EF // AB b) AB2 = EF.CD c) Gäi S1 , S2, S3 vµ S4 theo thứ tự diện tích tam giác OAB; OCD; OAD Và OBC Chứng minh: S1 S2 = S3 S4 Câu Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x - 2xy + 6y2 12x + 2y + 45 Đáp án C©u Ta cã a1a2a3 = (a7a8)2 (1) a4a5a6a7a8 = ( a7a8)3 (2) Tõ (1) vµ (2) => 22 ≤ a7 a8 ≤ 31 => ( a7a8)3 = a4a5a600 + a7a8  ( a7a8 )3 – a7a8 = a4a5a600  ( a7a8 – 1) a7a8 ( a7a8 + 1) = 25 a4a5a6 ( a7a8 – 1) ; a7a8 ; ( a7a8 + 1) lµ số tự nhiên liên tiếp nên có khả năng: a) a7a8 = 24 => a1a2a3 a8 lµ sè 57613824 b) a7a8 – = 24 => a7a8 = 25 => số 62515625 Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán c) a7a8 = 26 => không thoả mãn câu Đặt m = 3k + r víi ≤ r ≤ n = 3t + s víi 0≤s≤2  xm + xn + = x3k+r + x3t+s + = x3k xr – xr + x3t xs – xs + xr + xs + = xr( x3k –1) + xs ( x3t –1) + xr + xs +1 ta thÊy: ( x 3k – 1)  ( x2 + x + 1) vµ ( x3t –1 )  ( x2 + x + 1) vËy: ( xm + xn + 1)  ( x2 + x + 1) ( xr + xs + 1)  ( x2 + x + 1) víi ≤ r ; s ≤ r = vµ s =1 => m = 3k + vµ n = 3t + r = vµ s = m = 3k + vµ n = 3t + 3kt + k + 2t) mn – = ( 3k + 2) ( 3t + 1) – = 9kt + 3k + 6t = 3( mn – = ( 3k + 1) ( 3t + 2) – = 9kt + 6k + 3t = 3( 3kt + 2k + t) => (mn – 2)  §iỊu phải chứng minh áp dụng: m = 7; n = => mn – = 12   ( x7 + x2 + 1)  ( x2 + x + 1)  ( x7 + x2 + 1) : ( x2 + x + 1) = x5 + x4 + x2 + x + C©u Gi¶i PT: 1   + +  +   x = (1.2 + 2.3 +  + 2006.2007 ) 2005.2006.2007   1.2.3 2.3.4 Nh©n vế với ta đợc: 2 3 + + +  x = 2[ (1.2( − 0) + 2.3( − 1) +  + 2006.2007( 2008 − 2005) ) ] 2005.2006.2007   1`.2.3 2.3.4 1 1   3 − + − +− x 2006.2007   1.2 2.3 2.3 3.4 = (1.2.3 + 2.3.4 −1.2.3 +  + 2006.2007.2008 − 2005.2006.2007 ) 1003.1004.669   ⇔ 3 −  x = 2.2006.2007.2008 ⇔ x = 5.100.651  1.2 2006.2007  C©u a) Do BF// AD Gv: Nguyễn Văn Tú OE OA = OB OC O F OB = OA OD AE// BC => A B O K E H Thanh Mỹ Trường THCS F Tuyn thi HSG Toỏn MặT khác AB// CD ta l¹i cã D OA OB = OC OD b) AB nªn OE OF = OB OA => EF // AB ABCA ABB1D hình bình hành => A 1C = DB1 = V× EF // AB // CD nªn c) Ta cã: A1B1 S1 = EF AB = AB DC AH.OB; => AB = EF.CD CK.OD; S3 = AH OD S3 = = AH CK S2 CK OD => S2 = AH.OD; S4 = OK.OD AH OB S1 AH = = => ; S4 CK OB CK S1 S3 = => S1.S2 = S4 S2 S3.S4 C©u A = x2- 2xy+ 6y2- 12x+ 2y + 45 = x2+ y2+ 36- 2xy- 12x+ 12y + 5y2- 10y+ 5+ = ( x- y- 6)2 + 5( y- 1)2 + Giá trị nhỏ A = Khi: y- = => =1 x- y- = x=7 đề Câu 1: a Rót gän biĨu thøc: A= (2+1)(22+1)(24+1) .( 2256 + 1) + b NÕu x2=y2 + z2 Chøng minh r»ng: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (3x –5y)2 C©u 2: a Cho x y z + + = (1) vµ a b c y a b c + + = (2) x y z x2 y z Tính giá trị biểu thức A= + + a b c b Biết a + b + c = TÝnh : B = ab bc ca + + 2 2 a +b −c b +c −a c + a b2 Câu 3: Tìm x , biÕt : x·−1 x − 10 x − 19 + + = (1) 2006 1997 1988 C©u 4: Cho hình vuông ABCD, M đơng chéo AC Gọi E,F theo thứ tự hình chiếu M AD, CD Chøng minh r»ng: Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán a.BM EF b Các đờng thẳng BM, EF, CE đồng quy Câu 5: Cho a,b, c, số dơng Tìm giá trị nhỏ a b c P= (a+ b+ c) ( + + ) Đáp án Câu 1: a ( 1,25 điểm) Ta cã: A= (2-1) (2+1) (22+1) + = (22-1)(22+1) (2256+1) = (24-1) (24+ 1) (2256+1) = [(2256)2 –1] + = 2512 b, ( ®iĨm) Ta cã: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (5x – 3y ) –16z2= 25x2 –30xy + 9y2 – 16 z2 (*) V× x2=y2 + z2 ⇒ (*) = 25x2 –30xy + 9y2 –16 (x2 –y2) = (3x –5y)2 C©u 2: ( 1,25 ®iĨm) a Tõ (1) ⇒ bcx +acy + abz =0  ab ac bc   abz + acy + bcx  x2 y z x2 y z     = + + + + + = ⇒ + + = − Tõ (2) ⇒ 2  2  a b c xy xz yz a b c xyz     b ( 1,25 ®iĨm) Tõ a + b + c = ⇒ a + b = - c ⇒ a2 + b2 –c2 = - 2ab T¬ng tù b2 + c2 – a2 = - 2bc; c2+a2-b2 = -2ac ⇒B= ab bc ca + + =− − 2ab − 2bc − 2ca C©u 3: ( 1,25 ®iĨm) (1) ⇔ x·−2007 x − 2007 x − 2007 + + =0 2006 1997 1988 ⇒ x= 2007 A Câu 4: a ( 1,25 điểm) Gọi K giao điểm CB với EM; H giao điểm EF vµ BM ⇒ ∆ EMB =∆BKM ( gcg) ⇒ Gãc MFE =KMB ⇒ BH ⊥ EF E K b ( 1,25 ®iĨm) ∆ ADF = ∆BAE (cgc) ⇒AF H T¬ng tù: CE ⊥ BF ⇒ BM; AF; CE Gv: Nguyễn Văn Tú B M ⊥ BE Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Tốn lµ đờng cao BEF đpcm Câu 5: ( 1,5 ®iĨm) Ta cã: P=1+ D F C a a b b c c a b a c  b c + + +1+ + + +1 = +  +  +  +  +  +  b c a c a b b a c a c b x y Mặt khác y + x ≥ víi mäi x, y d¬ng ⇒ P / 3+2+2+2 =9 VËy P = a=b=c ®Ị Bài (3đ): 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2 + 7x + 12 b) a10 + a5 + 2) Giải phơng trình: x + x + x +6 x +8 + = + 98 96 94 92 Bài (2đ): Tìm giá trị nguyên x để biểu thức P = x + 3x + có giá trị 2x nguyên Bài (4đ): Cho tam giác ABC ( AB > AC ) 1) Kẻ đờng cao BM; CN tam giác Chứng minh rằng: a) ABM đồng dạng ACN b) góc AMN góc ABC 2) Trên cạnh AB lấy điểm K cho BK = AC Gọi E trung điểm BC; F trung ®iĨm cđa AK Chøng minh r»ng: EF song song víi tia phân giác Ax góc BAC Bài (1đ): Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= x − x + 2007 , ( x kh¸c 0) 2007 x Đáp án Bài (3đ): 1) a) x2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4) (1®) b) a10 + a5 + = (a10 + a9 + a8 ) - (a9 + a8 + a7 ) + (a7 + a6 + a5 ) - (a6 + a5 + a4 ) + (a5 + a4 + a3 ) - (a3 + a2 + a ) + (a2 + a + ) = (a2 + a + )( a8 - a7 + a5 - a4 + + a3 - a+ ) (1®) 2) Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán x +2 x + x +6 x +8 + = + 98 96 94 92 x+2 x+4 x+6 x +8 ⇔( +1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) (0,5®) 98 96 94 92 1 1 ⇔ ( x + 100 )( + )=0 (0,25®) 98 96 94 92 1 1 ≠ V×: + 98 96 94 92 Do ®ã : x + 100 = x = -100 Vậy phơng trình có nghiệm: x = -100 (0,25đ) Bài (2đ): P= x + x + ( x − x ) + (4 x − 2) + 5 = = x+2+ 2x − 2x − 2x (0,5đ) x nguyên x + có giá trị nguyên để P có giá trị nguyên phải nguyên hay 2x - ớc 2x nguyên (0,5đ) => * 2x - = => x = * 2x - = -1 => x = * 2x - = => x = * 2x - = -5 => x = -2 (0,5®) VËy x = {1;0;3;2} P có giá trị nguyên Khi giá trị nguyên P là: x = => P = x = => P = -3 x = => P = x = -2 => P = -1 (0,5đ) Bài (4đ): 1) a) chứng minh ABM đồng dạng CAN (1đ) b) Từ câu a suy ra: AB AM AMN đồng dạng ABC = AC AN ∠ AMN = ∠ ABC ( hai gãc t¬ng øng) (1,25đ) 2) Kẻ Cy // AB cắt tia Ax H (0,25®) ∠ BAH = ∠ CHA ( so le trong, AB // CH) mµ ∠ CAH = ∠ BAH ( Ax tia phân giác) Gv: Nguyn Vn Tú (0,5®) Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán Suy ra: ∠ CHA = ∠ CAH nên CAH cân C : CH = CA => CH = BK vµ CH // BK (0,5đ) BK = CA Vậy tứ giác KCHB hình bình hành suy ra: E trung điểm KH Do F trung điểm AK nên EF đờng trung bình tam giác KHA Do EF // AH hay EF // Ax ( đfcm)(0,5đ) Bài (1®): 2007 x − x.2007 + 2007 x − x.2007 + 2007 2006 x A= = + 2007 x 2007 x 2007 x ( x − 2007) 2006 2006 + ≥ = 2007 2007 2007 x 2006 A = x - 2007 = hay x = 2007 (0,5đ) 2007 Câu ( -®Ị ®iĨm ) Cho biÓu thøc A =  x2   10 − x    :  x − +  + + − x x + x + x − x a, Tìm điều kiện x để A xác định b, Rút gọn biểu thức A c, Tìm giá trị x ®Ĩ A > O C©u ( 1,5 ®iĨm ) Giải phơng trình sau : x 4x + x − 5x + +2=− x +1 2x + Câu ( 3,5 điểm): Cho hình vuông ABCD Qua A kẽ hai đờng thẳng vuông góc với lần lợt cắt BC tai P R, cắt CD Q S 1, Chứng minh AQR APS tam giác cân 2, QR cắt PS H; M, N trung điểm QR PS Chứng minh tứ giác AMHN hình chữ nhật 3, Chứng minh P trực tâm SQR 4, MN trung trực AC 5, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng Câu ( điểm): x + 3x + Cho biÓu thøc A = 2x + Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Gv: Nguyn Vn Tỳ Trng THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán Câu ( điểm) a, Chứng minh x + y + z = ( x + y ) − 3xy.( x + y ) + z 1 + + = x y z b, Cho TÝnh A= yz xz xy + + x2 y2 z2 Đáp án Câu a, x # , x # -2 , x #   x + + :  x −4 2− x x + 2 x +2 b, A=  = x − 2( x + ) + x − : ( x − 2)( x + 2) x+2 = −6 x+2 = ( x − 2)( x + 2) − x >0 ⇔ 2−x >0 ⇔ x < 2−x x ≠ −1; x ≠ − c, Để A > Câu PT ⇔ ( §KX§ : x − 4x + x − 5x + x − 3x + x − 3x + +1+ +1 = ⇔ + =0 x +1 2x + x +1 2x + ) ( )   ⇔ x − 3x +  +  = ⇔ x − x + ( x + 2) = ⇔ ( x − 1)( x − )( x + ) = x + x +   ⇔ x =1 ; x = ; x = - 2/ C¶ giá trị thỏa mãn ĐKXĐ 2 3 VËy PT ®· cho cã tËp nghiƯm S = 1;2;−  C©u 3: 1, ∆ ADQ = ∆ ABR chúng hai tam giác vuông (để ý góc có cạnh vuông góc) DA=BD ( cạnh hình vuông) Suy AQ=AR, nên AQR tam giác vuông cân Chứng minh tợng tự ta có: ARP= ADS AP = AS APS tam giác cân A 2, AM AN đờng trung tuyến tam giác vuông cân AQR APS nên AN SP AM RQ PAN = PAM = 450 nên góc MAN vuông Vậy tứ giác Mặt khác : AHMN có ba góc vuông, nên hình chữ nhật Gv: Nguyn Vn Tỳ 10 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán = x(x + 1)(4x2 - 1) = x(x + 1)(2x - 1)(2x + 1) 0.25đ Bài 2: (2.5đ) Câu a: 1đ x ( x + 3)   6x + − :   ( x + 9)( x + 3) x +   x − ( x − 3)( x + 9)  P=  x+3 x + − 6x : = x + ( x − 3) x + = = ( x + ( x − 3) ( x x2 +9 0.25® 0.25® ) + 9) 0.25đ ( x 3) x+3 x3 0.25đ Câu b: (0.75®) P= x+3 ⇔ Px - 3P = x + x −3 0.25® (P – 1)x = 3(P + 1) x= Ta cã: x > ⇔ x = 3( P + 1) P −1 3( P + 1) P +1 >0⇒ >0 P −1 P −1  P + >  P − > P > ⇒ ⇒  P + <  P <   P − < Vậy không nhận giá trị từ -1 đến Câu c: 0.75đ P= 0.25đ ĐKXĐ: x ±3 x+3 x −3+6 = 1+ = x−3 x x3 0.25đ P nhận giá trị nguyên x - 30 Ư (6) = Từ tìm đợc x { 4;2;5;1;6;0;9;3} { 1;2;3;6} 0.25đ Kết hợp víi §/C x ≠ ±3 ; x ∈ z ta ®ỵc x ∈ { 4;2;5;1;6;0;9} 0.25® VËy x ∈ { 4;2;5;1;6;0;9} P nguyên Bài 3: Giải phơng trình (1.5đ) Gv: Nguyễn Văn Tú 120 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển thi HSG Toỏn Câu a: (0.75đ) - Đa đợc dạng tích: (x + 1)(x - 2)2 = 0.50®  x =1 ⇒ x = Vậy phơng trình có nghiệm: x = 1; x = ĐK: x N*n Câu b: (0.75đ) - Đa dạng 0.25đ 2 ( x + 1) 31 = 1.3 2.4 3.5 x ( x + 2) 16 ⇔ 0.25® 2( x + 1) 31 = x+2 16 0.25® (t/m x N*) Từ tìm đợc x = 30 Vậy phơng trình có nghiệm: x = 30 0.25đ Bài 4: (1đ) Giả sử a(2 b) > 1; b.(2 – c) >1; C(2 – a) > ⇒ abc (2 – b)(2 – c)(2 – a) > (1) 0.25đ < a < nên – a > Do a + (2 – a) = không đổi, suy a(2 a) lớn nhÊt ⇔ a=2–a ⇔ a=1 T¬ng tù b(2 – b) lín nhÊt ⇔ b = c(2 – c) lín nhÊt ⇔ c = VËy a (2 - a) b(2 – b) c(2 – c) ≤ 1.1.1 = (2) Dấu = xảy a = b = c =1 0.25đ (1)và (2) mâu thuẩn Do ®ã sè a(2 – b); b(2 – c); c(2 a) đồng thời lớn 0.25đ C Bài 5: (3.5đ) K H M O Gv: Nguyễn Văn Tú A B 121 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Tốn C©u a: (1®) Chøng minh: ∆ B0H ⇒ ∆ C0A (g.g) 0.5® 0B 0H = ⇔ 0A.0B = 0C.0H 0C A 0.25đ Câu b: (1.25đ) 0B 0H = 0C A ⇒ (suy tõ ∆ B0H ∆ C0A) A 0H = 0C B 0.25® - Chøng minh ∆ 0HA OHA = OBC 0BC (c.g.c) 0.25đ (không ®ỉi) C©u c: (1.25®) VÏ MK ⊥ BC - ∆ BKM ∆ BHC (g.g) ⇒ BM BK = BC BH ⇒ BM.BH = BC.BK (1) 0.5® ∆ CKM ⇒ ∆ CAB (g.g) 0.25® CM CK = ⇒ CM.CA = BC.CK CB CA (2) 0.25® - Céng tõng vÕ cđa (1) (2) ta đợc: - BM BH + CM CA = BC BK + BC CK = BC (BK + CK) = BC (kh«ng ®æi) 0.25® ĐỀ THI SỐ 46 Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : Gv: Nguyễn Văn Tú 122 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán A =( +x x2 −x x −3 x − − ):( ) −x x −4 + x x −x d) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? e) Tìm giá trị x để A > 0? f) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| = Câu 3: (5,0 điểm) c) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = a b c x y z x2 y z + + = + + = d) Cho x y z Chứng minh : + + = a b c a b c Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD d) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? e) Chứng minh : CH.CD = CB.CK f) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Điểm Bài a 2,0 1,0 0,5 0,5 2,0 1,0 0,5 0,5 5,0 3,0 1,0 3x – 7x + = 3x – 6x – x + = = 3x(x -2) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1) b a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = = ax(x - a) – (x - a) = = (x - a)(ax - 1) Bài 2: a ĐKXĐ : Gv: Nguyễn Văn Tú 123 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán 2 − x ≠  x ≠ x − ≠   ⇔  x ≠ ±2 2 + x ≠  x − 3x ≠ x ≠    x − x3 ≠ + x x2 2− x x − 3x (2 + x) + x − (2 − x) x (2 − x) A=( − − ):( ) = = − x x − + x x − x3 (2 − x)(2 + x) x ( x − 3) x2 + 8x x (2 − x ) = (2 − x )(2 + x) x − 0,5 x( x + 2) x(2 − x) 4x2 = = (2 − x)(2 + x)( x − 3) x − Vậy với x ≠ 0, x ≠ ±2, x ≠ A = 1,0 0,25 4x x −3 0,25 b 1,0 Với x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ ±2 : A > ⇔ ⇔ x −3 > ⇔ x > 3(TMDKXD ) 4x >0 x −3 0,25 0,25 0,25 1,0 Vậy với x > A > c x − = x−7 = ⇔   x − = −4  x = 11(TMDKXD ) ⇔  x = 3( KTMDKXD ) Với x = 11 A = 0,25 0,5 0,25 121 0,25 Bài a 5,0 2,5 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = ⇔ (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = ⇔ 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = (*) Do : ( x − 1) ≥ 0;( y − 3) ≥ 0;( z + 1) ≥ Nên : (*) ⇔ x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1) b Từ : Ta có : Gv: Nguyễn Văn Tú a b c ayz+bxz+cxy + + =0 ⇔ =0 x y z xyz ⇔ ayz + bxz + cxy = x y z x y z + + = ⇔ ( + + )2 = a b c a b c 2 x y z xy xz yz ⇔ + + + 2( + + ) = a b c ab ac bc 124 Trường THCS Thanh Mỹ 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,5 0,5 0,25 0,5 0,5 Tuyển tập đề thi HSG Toán x2 y2 z cxy + bxz + ayz ⇔ + + +2 =1 a b c abc x2 y z ⇔ + + = 1(dfcm) a b c 0,5 0,25 Bài 6,0 H C B 0,25 F O E A D K a 2,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,0 0,5 1,0 Ta có : BE ⊥ AC (gt); DF ⊥ AC (gt) => BE // DF Chứng minh : ∆BEO = ∆DFO( g − c − g ) => BE = DF Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành b · · Ta có: ·ABC = ·ADC ⇒ HBC = KDC Chứng minh : ∆CBH : ∆CDK ( g − g ) ⇒ b, CH CK = ⇒ CH CD = CK CB CB CD 0,5 1,75 0,25 Chứng minh : ∆AFD : ∆AKC ( g − g ) AF AK ⇒ = ⇒ AD AK = AF AC AD AC Chứng minh : ∆CFD : ∆AHC ( g − g ) CF AH ⇒ = CD AC CF AH = ⇒ AB AH = CF AC Mà : CD = AB ⇒ AB AC 0,25 0,25 0,25 0,5 Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm) 0,25 ĐỀ THI SỐ 47 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + = 25 Gv: Nguyễn Văn Tú 125 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán x − 17 x − 21 x + + + =4 b) 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 1 + + = x y z yz xz xy + + Tính giá trị biểu thức: A = x + yz y + xz z + xy Bài (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực HA' HB' HC' + + AA' BB' CC' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM (AB + BC + CA ) ≥ c) Chứng minh rằng: AA'2 + BB'2 + CC'2 tâm a) Tính tổng ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI • Bài 1(3 điểm): a) Tính x = 7; x = -3 b) Tính x = 2007 c) 4x – 12.2x +32 = ⇔ 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = ⇔ 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = ⇔ (2x – 8)(2x – 4) = ⇔ (2x – 23)(2x –22) = ⇔ 2x –23 = 2x –22 = ⇔ 2x = 23 2x = 22 ⇔ x = 3; x = ( điểm ) ( điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) • Bài 2(1,5 điểm): xy + yz + xz 1 + + =0⇒ = ⇒ xy + yz + xz = ⇒ yz = –xy–xz x y z xyz x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) Do đó: A = yz xz xy + + ( x − y)( x − z ) ( y − x )( y − z ) ( z − x )(z − y) Gv: Nguyễn Văn Tú 126 ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Tốn Tính A = ( 0,5 điểm ) • Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d ∈ N, ≤ a , b, c, d ≤ 9, a ≠ (0,25điểm) Ta có: abcd = k với k, m ∈ N, 31 < k < m < 100 (a + 1)(b + 3)(c + 5)(d + 3) = m (0,25điểm) abcd = k ⇔ ⇔ abcd + 1353 = m (0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353 ⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123hoặc m+k = 41 ⇒ m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37 ⇔ k = 56 k= Kết luận abcd = 3136 (0,25điểm) (0,25điểm) • Bài (4 điểm): Vẽ hình (0,25điểm) HA'.BC S HBC HA' = = a) ; S ABC AA' AA'.BC (0,25điểm) Tương tự: S HAB HC' S HAC HB' = = ; S ABC CC' SABC BB' (0,25điểm) HA' HB' HC' SHBC S HAB S HAC + + = + + =1 AA' BB' CC' S ABC S ABC S ABC (0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC = ; = ; = IC AC NB BI MA AI (0,5điểm ) Gv: Nguyễn Văn Tú 127 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán BI AN CM AB AI IC AB IC = = =1 IC NB MA AC BI AI AC BI ⇒ BI AN.CM = BN.IC.AM (0,5điểm ) (0,5điểm ) c)Vẽ Cx ⊥ CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét điểm B, C, D ta có: BD ≤ BC + CD (0,25điểm) - ∆ BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2 ⇒ AB2 + AD2 ≤ (BC+CD)2 (0,25điểm) AB2 + 4CC’2 ≤ (BC+AC)2 4CC’2 ≤ (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 ≤ (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 ≤ (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm) -Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) ≤ (AB+BC+AC)2 (AB + BC + CA ) ≥4 ⇔ AA'2 + BB'2 + CC'2 (0,25điểm) (Đẳng thức xảy ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ AB = AC =BC ⇔ ∆ ABC đều) *Chú ý :Học sinh giải cách khác, xác hưởng trọn số điểm cõu ú Bài 1: (6 điểm) Giải phơng trình sau: a, 2(x + 5) - x2 - 5x = b, ĐỀ THI SỐ 48 2x − +2= x −1 1− x c, |x - 4| + |x - 9| = Bài 2: (4 điểm) Giải bất phơng trình x + x x +1 < − (m − 2) x víi m lµ h»ng sè m m Bài 3: (3 điểm) Gv: Nguyn Vn Tỳ 128 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toỏn Hai cạnh hình bình hành có độ dài 6cm 8cm Một đờng cao có độ dài 5cm Tính độ dài đờng cao thứ hai Bài 4: (3 điểm) Một vòi nớc chảy vào bể nớc Cùng lúc vòi nớc khác chảy từ bể Mỗi lợng nớc chảy vào Sau nớc bể đạt tới lợng nớc chảy dung tÝch bĨ Hái nÕu bĨ kh«ng cã níc mà mở vòi chảy vào bể đầy? Bài 5: (4 điểm) = 2B Gäi BC = a, AC = b, AB = c Chøng minh Cho tam gi¸c ABC cã A 2 hƯ thøc a = b + bc ĐÁP ÁN Bµi Sơ lợc lời giải Điể m Bài a, Đa phơng trình tích (6 Giải đợc x = -5 x = điểm b, ĐKXĐ: x ≠ 0,5 ) Víi x ≠ ta cã − 2x +2= ⇔ + 2( x − 1) = − x ⇔ x = ⇔ x = x −1 x −1 0,5 Ta thÊy x = kh«ng tháa m·n ĐKXĐ Vậy phơng trình vô nghiệm c, Nhận xét |x - 4| =  x − ví i x ≥  9 − x ví i x m - > Khi (1) ⇔ x < m( m − 1) - NÕu m = th× m - = Khi ®ã (1) ⇔ 0x < (lu«n ®óng víi mäi x) KÕt ln: - Víi m < vµ m tập nghiệm S = x | x >  m(m − 1)   0,5 0,5 0,25 - Víi m = th× biĨu thøc v« nghÜa   - Víi m > tập nghiệm S = x | x <  m(m − 1)   Bµi (3 ®iĨm ) 0,5 0,5 0,25 - Víi m = th× S = R - VÏ h×nh: A 0,5 B 8cm 6cm K D C H Gi¶ sư ABCD hình bình hành có AB = 8cm, AD = 6cm có đờng cao dài 5cm Vì < < nên xảy hai trờng hợp: AH = 5cm Khi ®ã S = AB.AH = BC.AK hay 8.5 = 6.AK => AK = 20 (cm) AK = 5cm Khi ®ã S = AB.AH = BC.AK hay 8.AH = 6.5 => AH = 15 (cm) VËy ®êng cao thø hai có độ dài 1 0,5 20 15 cm cm Bài Gọi thời gian vòi nớc chảy đầy bể x(giờ) ĐK: x > (3 Khi vòi chảy đợc bể x điểm ) vòi khác chảy lợng nớc bể 5x 1 Theo đề ta có phơng trình ữ.5 = x 5x Giải phơng trình tìm đợc x = (TMĐK x>0) Vậy thời gian để vòi chảy đầy bể Gv: Nguyn Văn Tú 130 0,5 0,5 0,5 0,5 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Tốn Bµi - Vẽ hình (4 E điểm ) 0,5 HÖ thøc a = b + bc a = 0,25 b (b + c) 2 Trªn tia ®èi cđa tia AC lÊy ®iĨm0,25 E cho AE = c, suy CE = b + c c A c b B a ã (do tam giác ABE Khi ABE =E 0,5 cân A) ã ã (góc tam giác) BAC = ABE +E 0,5 = 2E nên A = ABC · µ = 2B µ VËy E Theo giả thiết A Chứng minh đợc BCE (g.g) C suy ∆ ACB BC CE = ⇒ BC2 = AC.CE AC BC 0,25 0,25 hay a2 = b (b + c) ĐỀ THI SỐ 49 Baøi 1: ( điểm ) Rút gọn biểu thức A= x− y 3x + y y − x − g xy + y x − xy x + y Baøi 2: ( điểm ) Giải phương trình 3x x 3x + + =0 x − − x ( x − 2) ( x − 5) Baøi 3: ( điểm ) Tìm giá trị ngun x để phân thức có giá trị số nguyên A= x − x − 11x + x −5 Bài 4: ( điểm ) Số học sinh tiên tiến hai khối 270 học sinh Biết số học sinh tiên tiến khối 60% số học sinh tiên tiến khối Tính số học sinh tiên tiến khối? Bài 5: ( điểm ) Cho tam giác ABC Gọi D, E, F theo thứ tự trung điểm AB, BC, CA Gọi M, N, P, Q theo thứ tự trung điểm AD, AF, EF, ED a/ Tứ giác MNPQ hình gì? Tại sao? b/ Tam giác ABC có điều kiện MNPQ hình chử nhật? c/ Tam giác ABC có điều kiện MNPQ hình thoi? Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 131 Tuyển tập đề thi HSG Tốn Bài 6: ( điểm ) Hình thang ABCD có AB//CD, đường cao 12(m), AC ⊥ BD, BD=15(m) a/ Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC E Chứng minh BD = DE.DH Từ tính độ dài DE b/ Tính diện tích hình thang ABCD Ba øi (3 đ) ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM CHẤM Đáp aùn x− y 3x + y y − x − g xy + y x − xy x + y * Điều kiện: x ≠ 0; y ≠ 0; x ≠ ± y A= A= (3 đ) Ñie åm x− y 3x + y y − x x− y 3x + y x − y − g = + g xy + y x − xy x + y y ( x + y ) x ( x − y ) x + y = ( x − y ) x + ( 3x + y ) y x− y 3x + y + = y ( x + y) x ( x + y) xy ( x + y ) = x − xy + xy + y xy ( x + y ) 2 1 ( x + y) = ( x + y) = xy ( x + y ) xy 3x x 3x + + =0 x − − x ( x − 2) ( x − 5) * Tập xác định: x ≠ 2; x ≠ 3x x 3x 3x x 3x + + = 0⇔ − + =0 x − 5− x ( x − 2) ( x − 5) x − x − ( x − 2) ( x − 5) ⇔ 3x( x − 5) − x( x − 2) + 3x = ⇔ 3x2 − 15x − x2 + 2x + 3x =  x = 0∈ TXÑ ⇔ 2x2 − 10x = ⇔ 2x( x − 5) = ⇔   x − = ⇔ x = 5∉ TXÑ Vậy S = { 0} (3 đ) A = x3 − 3x − 11x + = x + x − + 0,5 1 0,5 x−5 x −5 A∈ Ζ ⇔ ∈ Ζ ⇔ x − = ±1; ± x −5 *x − = ±1 ⇔ x ∈ { 6; 4} *x − = ±3 ⇔ x ∈ { 8; 2} 0,5 0,5 x ∈ { 2; 4;6;8} Gv: Nguyễn Văn Tú 132 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán (3 đ) Gọi số học sinh tiên tiến khối x (học sinh) (x > 0) số học sinh tiên tiến khối 270 - x (học sinh) 0,25 0,25 Ta có phương trình: 60 3 x = 270 − x) ⇔ x = ( 270 − x) ( 100 810 − 3x ⇔ x = ⇔ 15x = 3240 − 12x ⇔ 27x = 3240 ⇔ x = 120 (Nhậ n) 0,25 0,25 Vậy số học sinh khối 120 học sinh, khối 270 – 120 = 150 học sinh (4 ñ) a/  DF    ⇒ MN / / PQ; MN = PQ Vậy MNPQlà PQ / / DF ; PQ = DF   MN / / DF ; MN = hình bình hành b/ Giả sử MNPQ hình chử nhật MP = NQ Mà AC   ⇒ AC = AB  AB  NQ = AD =  MP = AF = 0,5 Vậy tam giác ABC cân A MNPQ hình chử nhật ** Hoặc: MN ⊥ MQ  MN / / BC  ⇒ AE ⊥ BC; đồ ngthờ i EB = EC  MQ / / AE  0,5 Nê ntamgiá c ABC câ ntại A c/ Giả sử MNPQ hình thoi MN = MQ Gv: Nguyễn Văn Tú 133 Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán MN = MQ ⇔ BC AE = ⇔ AE = BC 2 Vậy tam giác ABC vuông A MNPQ hình thoi MP ⊥ NQ ⇔ AC ⊥ AB ** Hoặc: Vậ ytamgiá c ABC vuô ngtại A (4 đ a/ Kẻ BH ⊥ DC DH = BD2 − BH = 152 − 122 = 92 ⇒ DH = 9( m) Xét tam giác BDH tam giác EDB · · BHD = DBE = 1v  ⇒ ∆BDH # ∆EDB · BDE chung  BD DH BD2 ⇒ = ⇔ DE = = 25( m) DE BD DH 1 b/ ( AB + DC ) BH 1 = ×DE ×BH = ×25×12 = 150( m) 2 SABCD = Gv: Nguyễn Văn Tú 0,5 0,5 134 Trường THCS Thanh Mỹ ... (a7a8)2 (1) a4a5a6a7a8 = ( a7a8)3 (2) Tõ (1) vµ (2) => 22 ≤ a7 a8 ≤ 31 => ( a7a8)3 = a4a5a600 + a7a8  ( a7a8 )3 – a7a8 = a4a5a600  ( a7a8 – 1) a7a8 ( a7a8 + 1) = 25 a4a5a6 ( a7a8 – 1) ; a7a8... a7a8 + 1) số tự nhiên liên tiếp nên có khả năng: a) a7a8 = 24 => a1a2a3 a8 lµ sè 5761 382 4 b) a7a8 – = 24 => a7a8 = 25 => số 62515625 Gv: Nguyn Vn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG. .. Trường THCS Thanh Mỹ Tuyển tập đề thi HSG Toán x +2 x + x +6 x +8 + = + 98 96 94 92 x+2 x+4 x+6 x +8 ⇔( +1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) (0,5®) 98 96 94 92 1 1 ⇔ ( x + 100 )( + )=0 (0,25®) 98 96 94 92