Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí Vũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng, quận Hồng Bàng, HP Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC CHỨNG MINH ĐIỂM CỐ ĐỊNH A/ CƠ SỞ LÝ LUẬN: * Trong chương trình hình học lớp 9, có số tốn chứng minh đường thẳng đường tròn qua điểm cố định Những tốn hình học chứng minh qua điểm cố định tốn khó Các toán dạng thường để bồi dưỡng thi học sinh giỏi * Trong toán chứng minh qua điểm cố định, dựa vào kiến thức tứ giác nội tiếp đường tròn để giải * Kiến thức tứ giác nội tiếp đường tròn kiến thức trọng tâm chương trình hình học lớp * Chuyên đề sử dụng cho học sinh lớp 9, bồi dưỡng học sinh giỏi Tuy học sinh tiếp cận làm B/ NỘI DUNG ĐỀ TÀI: I/ CÁC BƯỚC CỦA PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH + Bước 1: Xác định rõ yếu tố cố định biết + Bước 2: Xác định tứ giác nội tiếp liên quan đến điểm cố định + Bước 3: Chứng minh đường thẳng đường tròn qua điểm cố định II/ CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH Bài Cho đường tròn (O) bán kính R đường thẳng d cắt (O) C, D Một điểm M di động d cho MC > MD ngồi đường tròn (O) Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B tiếp điểm) Chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định F Giải: Gọi H trung điểm CD giao điểm AB với MO, OH E, F Có tam giác OBM vng B, đường cao BE A Suy OE OM = OB2 = R2 (1) � = FEM � = 900 Có FHM M H D C Suy tứ giác MEHF nội tiếp d Có hai tam giác vng OHM OEF đồng E dạng O OH OM OE.OM = � OF = Suy (2) OE OF OH B R2 Từ (1) (2) suy OF = OH Do đường tròn (O), đường thẳng d cho trước, nên OH khơng đổi Suy OF không đổi, điểm F cố định Do đường thẳng AB qua điểm F cố định Vũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng, quận Hồng Bàng, HP Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí Trang * Nhận xét: + Do đường thẳng OH cho trước, nên dự đoán AB cắt OH điểm cố định + Vận dụng tứ giác nội tiếp để khẳng định đường thẳng qua điểm cố định + Vận dụng hệ thức luợng tam giác vuông để giải + Bài toán trường hợp điểm M nằm tia đối tia CD Khi đường thẳng AB qua điểm F cố định Bài Cho đoạn thẳng AC cố định, điểm B cố định nằm A C Đường tròn (O) thay đổi qua A B Gọi PQ đường kính đường tròn (O), PQ vng góc AB, (P thuộc cung lớn AB) Gọi CP cắt đường tròn (O) điểm thứ hai I Chứng minh QI ln qua điểm cố định đường tròn (O) thay đổi Giải: Gọi IQ cắt AB K Ta có tứ giác PDKI nội tiếp P Tam giác CIK đồng dạng tam giác CDP CI CK = � CI.CP = CD.CK (1) Suy CD CP Có hai tam giác CIB CAP đồng dạng I CI CA O = � CI.CP = CA.CB (2) Suy CB CP Từ (1) (2) suy A D B K C CA.CB CK.CD = CA.CB � CK = CD Do A, B, C cố định nên CA, CB, CD khơng đổi Q (D trung điểm AB) Khi độ dài CK không đổi; nên K cố định Suy IQ qua điểm K cố định * Nhận xét: + Do điểm A, B, C cố định, nên dự đoán đường thẳng IQ cắt AB điểm cố định + Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp Dựa vào tứ giác nội tiếp, tam giác đồng dạng ta chứng minh đường thẳng cho qua điểm cố định Bài Cho đường tròn tâm O hai điểm A, B cố định thuộc đường tròn (AB � Trên đoạn AB khơng phải đường kính) Gọi M trung điểm cung nhỏ AB lấy hai điểm C, D phân biệt không nằm đường tròn Các đường thẳng MC, MD cắt đường tròn cho tương ứng E, F khác M 1) Chứng minh bốn điểm C, D, E, F nằm đường tròn 2) Gọi O1, O2 tương ứng tâm đường tròn ngoại tiếp M tam giác ACE BDF Chứng minh C, D thay đổi đoạn AB đường thẳng AO1 BO2 cắt điểm cố định C D Giải: 1) Xét trường hợp C nằm A D A B H �  (sđ MB �  sđ AE � ) Có MCB O O1 O2 �  (sđ � + sđ � ) MFE MA AE �  MFE � � = sđ MA � � MCB Mà sđ MB E F N Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí � � = 1800 Có MCB = BCE � + MFE � Suy BCE = 1800 � , MFE � Có BCE góc đối tứ giác CDFE Trang Vũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng, quận Hồng Bàng, HP Suy tứ giác CDFE nội tiếp * Xét trường hợp D nằm A C Ta chứng minh C, D, F, E nằm đường tròn Vậy C, D, F, E nằm đường tròn 2) Hạ O1H  AC , có O1A = O1C �  O1AC cân O1 � C � AO � C = AO � H � O1H vừa tia phân giác AO 1 � � (góc tâm góc nội tiếp .) Mà AO1C = AEC = � ( ) Suy AO � H = AEC � H = MAB � Mà AEC � � � AO MAB 1 � H + HAO � Xét  AO1H vuông H � AO = 900 1 � � + HAO = 90 � MAO = 90 � � MAB 1 Do MA tiếp tuyến (O1) Kéo dài AO1 cắt (O) N � � Suy MON = MAN = 900 = 1800 � � M, O, N thẳng hàng, có MN  AB Suy N điểm cung lớn AB � Lập luận tương tự BO2 qua N điểm cung lớn AB � Do AO1, BO2 qua N điểm cung lớn AB Lập luận tương tự D nằm A C AO1 BO2 qua N Vậy AO1 , BO2 qua điểm cố định * Nhận xét: + Đường tròn (O) cho trước, nên dự đốn AO1 qua điểm cung lớn AB + Vận dụng tứ giác nội tiếp, ta chứng minh hai đường thẳng qua điểm cố định, điểm cung Bài Cho tam giác ABC điểm D di chuyển cạnh BC (D khác B C) Đường tròn (O1) qua D tiếp xúc AB B Đường tròn (O2) qua D tiếp xúc AC C Gọi E giao điểm thứ hai (O1) (O2) a) Chứng minh D di động đoạn BC đường thẳng ED ln qua điểm cố định b) Kết khơng trường hợp D di động đoạn BC Giải: a) Gọi (O) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A S � � � � Có ABC = BED; ACB = CED Suy � + BED � + CED � = BAC � + ABC � + ACB � = 1800 BAC 0 Do tứ giác ABEC nội tiếp Gọi DE cắt đường tròn (O) điểm thứ hai S � = BED; � Từ ABC nên hai cung AC SB Do S điểm cố định b) Trường hợp điểm D nằm đoạn BC Chẳng hạn D nằm tia đối tia CB O D B C O1 O2 E Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí (trường hợp D thuộc tia đối tia BC chứng minh tương tự) Ta chứng minh bốn điểm A, B, C, E nằm đường tròn (O) Gọi DE cắt (O) điểm thứ hai S Trang Vũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng, quận Hồng Bàng, HP Kẻ tia Cy tia đối tia CA A S Khi đường tròn (O2) ta có � = DCy; � DCy � = ACB � CED E � = ACB � Suy CED (không đổi) O2 � = 1800 - CED � (không đổi) Suy SEC Nên góc SEC khơng đổi O Vậy điểm S cố định B * Nhận xét: C + Chứng minh A, B, C, E nằm đường tròn + Đường thẳng DE qua điểm cố định S y O1 S khơng điểm cung khác với toán Bài Cho góc vng xAy, điểm B cố định Ay, điểm C di chuyển Ax Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AC, BC theo thứ tự M, N Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Giải: y Gọi H giao điểm AI với MN Từ CM = CN, nên tam giác CMN B � = 900 - 1.C � cân C Suy CNM N � = 900 + 1.C � Do BNH H I Do I giao điểm đường phân x giác tam giác ABC, A M C � = 900 + 1.C � nên BIA � � Do BIA = BNH Suy tứ giác BIHN nội tiếp � = 900 � BHI � = 900 Do tam giác ABH vng H, Lại có BNI � = 450 Suy tam giác ABH vuông cân H lại có BAH Do A, B cố định, nên điểm H cố định Vậy MN qua điểm H cố định * Nhận xét: + Chứng minh tứ giác BIHN nội tiếp, dựa vào tứ giác nội tiếp để chứng minh MN qua điểm cố định D Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí � =a tam giác ABH vuông H, AB cho trước, + Trường hợp tổng quát xAy � = a Suy điểm H cố định BAH Bài Cho đường tròn tâm O, dây AB Điểm M di chuyển cung lớn AB Các đường cao AE, BF tam giác ABM cắt H Đường tròn tâm H bán kính HM cắt MA, MB theo thứ tự C, D a) Chứng minh đường thẳng kẻ từ M vuông góc với CD ln qua điểm cố định Trang Vũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng, quận Hồng Bàng, HP b) Chứng minh đường thẳng kẻ từ H vng góc với CD qua điểm cố định Giải: a) Kẻ tiếp tuyến Mx với đường tròn (O) � = MAB � x Ta có M (góc nội tiếp góc tạo bởi…) M Có tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn � = MAB � đường kính AB, nên MEF E � � Do MEF = M , suy Mx//EF D F Do OM^EF H Ta có H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD, HE^MD, C O nên E trung điểm MD A Tương tự F trung điểm MC Suy EF đường trung bình tam giác MCD K Do EF//CD, mà OM^EF Suy OM^CD Do điểm cố định O b) Gọi K điểm đối xứng với O qua AB, ta có OK^AB, mà MH^AB Suy MH//OK Lại có tam giác khoảng cách từ trực tâm tam giác đến đỉnh lần khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến cạnh tương ứng Do MH = OK Vậy tứ giác MHKO hình bình hành Suy HK//OM, mà OM^CD, nên HK^CD Vậy đường thẳng kẻ từ H vng góc CD qua điểm K Do O, AB cho trước, nên K điểm cố định D H * Nhận xét: + Trong phần a) dựa vào tứ giác ABEF nội tiếp đường A tròn, dự đốn đường thẳng cho qua điểm O cố M định + Trong phần b) dựa vào tính chất tam giác I khoảng cách từ trực tâm tam giác đến đỉnh N O lần khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến 1 cạnh tương ứng Bài Cho tam giác ABC, M điểm thuộc B K đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác Gọi D điểm đối xứng với M qua AB, E điểm đối xứng với M F E B C Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí qua BC Chứng minh điểm M di chuyển đường tròn (O) DE ln qua điểm cố định Giải: Gọi H, I, K theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ M đến AB, AC, BC Ta có H, I, K thẳng hàng (đường thẳng Xim- xơn) Gọi N trực tâm tam giác ABC � = BCF � , AN cắt (O) F Ta có BCN suy BC trung trực NF, mà BC trung trực �=F �= N � ME Suy E 1 � � � =C � (tứ giác MCKI nội tiếp) Có F = C (góc nội tiếp) Có K 1 � =E � , NE//HK Suy K Chứng minh tương tự có ND//HK Trang Vũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng, quận Hồng Bàng, HP Vậy D, N, E thẳng hàng Vậy DE qua trực tâm N tam giác ABC, nên DE qua điểm cố định * Nhận xét: + Dựa vào tứ giác nội tiếp, ta chứng minh H, I, K thẳng hàng ; đường thẳng Xim – xơn + Dự đoán đường thẳng DE qua trực tâm tam giác ABC cố định + Chứng minh đường thẳng DE qua trực tâm tam giác ABC Bài Cho đường tròn tâm (O) Từ điểm A cố định (O) kẻ tiếp tuyến AB, AC tới (O) (B, C tiếp điểm) Lấyđiểm M cung nhỏ BC Gọi D, E, F thứ tự hình chiếu từ M đến BC, AC, AB Gọi MB cắt DF P, MC cắt DE Q Chứng minh đường thẳng nối giao điểm hai đường tròn ngoại tiếp tam giác MPF MQE qua điểm cố định Giải : A Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác MPF MQE cắt M, N Đường thẳng MN cắt PQ, BC thứ tự K I Ta có tứ giác MDCE, MDBF nội tiếp Từ tứ giác nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung E � = MDE � = MBC � Suy MCE N � = MDF � = MCB � F MBF M � + PDQ � = PMQ � + PDM � + QDM � Suy PMQ � + MCB � + MBC � = 1800 = PMQ Do MPDQ tứ giác nội tiếp B � = MDP � = MCB � Suy MQP Do PQ//BC � = MCB � = MEQ � Từ MQP Suy KQ tiếp tuyến đường tròn (MQE) P K Q C D I O Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí Chứng minh tương tự KP tiếp tuyến đường tròn (MPF) Ta có KM KN = KQ2, KM KN = KP2 Suy KP = KQ Xét tam giác MBC, PQ//BC, KP = KQ Theo định lí Ta lét, suy I trung điểm BC Vậy MN qua điểm cố định I trung điểm BC * Nhận xét: + Cạnh BC cố định cho trước, nên dự đoán đường thẳng MN qua điểm cố định thuộc cạnh BC + Chứng minh tứ giác MPDQ nội tiếp, từ suy MN qua trung điểm PQ + Vận dụng định lí Talét để suy MN qua trung điểm BC III/ CHỨNG MINH ĐƯỜNG TRÒN ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH Bài Cho tam giác ABC cân A Gọi M, N thứ tự điểm di động đường thẳng AB, AC cho trung điểm I MN nằm cạnh BC Chứng minh đường tròn qua điểm A, M, N qua điểm cố định khác A (Đề thi HSG thành phố năm học 2009 – 2010) Trang Vũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng, quận Hồng Bàng, HP Giải: Xét trường hợp M thuộc cạnh AB N thuộc tia đối tia CA A (trường hợp N thuộc cạnh AC chứng minh tương tự) Gọi giao điểm đường cao AH tam giác ABC với đường tròn qua điểm A, M, N G M � Vì  ABC cân A, nên AH phân giác BAC Vậy GM = GN, hay  GMN cân G I C � GI  MN (1) H B Lại có  GIM đồng dạng CHA (g.g) �  ACB �  ABC � nên IGM Có B, G nằm nửa mặt phẳng bờ MI �  900 Suy tứ giác MBIG nội tiếp Suy GBM G Suy GB  AB B Do G giao điểm AH đường thẳng qua B vng góc AB Suy G cố định Vậy đường tròn qua A, M, N qua điểm cố định khác A * Nhận xét: + Do đường cao AH tam giác ABC cân cho trước, nên dự đốn đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt AH G, G điểm cố định + Chứng minh tứ giác MBIG nội tiếp Vận dụng tứ giác nội tiếp, để chứng minh đường tròn qua điểm cố định � Bài 10 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), I điểm BC khơng chứa A Vẽ đường tròn (O1) qua I tiếp xúc với AB B, vẽ đường tròn (O2) qua I tiếp xúc với AC C Gọi K giao điểm thứ hai hai đường tròn (O1), (O2) a) Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng b) Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc tia đối tia CA cho N Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí BD = CE Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE ln qua điểm cố định khác A A Giải: a) Tứ giác ABIC nội tiếp, nên � + ACI � = 1800 � B � +C � = 1800 ABI D � � � � Có B = K ; C = K 1 2 � +K � = 1800 Do K Do B, K, C thẳng hàng B b) Có D IBD = D ICE (c g c) O1 � = IEC � Suy IDB x � + AEI � = 1800 Do ADI Suy tứ giác ADIC nội tiếp Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE qua điểm cố định I khác A O K C 2 E O2 y I Trang Vũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng, quận Hồng Bàng, HP Nhận xét: � , nên I điểm cố định + Có I điểm BC Để chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE qua điểm cố định, dự đoán điểm cố định I + Chứng minh tứ giác ADIE nội tiếp, suy đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE qua điểm I Bài 11 Cho đường tròn tâm O đường kính AB, điểm C cố định đường kính (C khác O) Điểm M chuyển động đường tròn Đường vng góc với AB C cắt MA, MB theo thứ tự E, F Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF ln qua qua điểm cố định khác A Giải: * Trường hợp điểm C thuộc đoạn OB E Gọi K giao điểm đường tròn ngoại tiếp tiếp tam giác AEF với cạnh AB �= A � (cùng phụ với góc B) Ta có F �= A � (cùng bù với EFK � ) có F � = F�, Suy F M FC trung trực BK, hay BC = CK Do B, C cố định, nên K điểm cố định Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF ln qua điểm K cố định * Tương tự trường hợp điểm C thuộc đoạn OA Ta có đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF qua điểm K cố định F A K O F C B M E K A C B O Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí * Nhận xét: + Đường tròn (O), đường kính AB cố định, + Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt AB K, dự đốn K điểm cố định Bài 12 Cho tam giác ABC, đường cao AH, (H nằm B C) Dựng phía � = CAF � =a < 900 , tam giác ABC tam giác BAE CAF cho BAE � = AFC � = 900 Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF AEB qua điểm cố định khác H góc a < 900 thay đổi A Giải:  Gọi M, N, P thứ tự trung điểm BC, AC, AB  Có tam giác AEB đồng dạng tam giác AFC Từ tứ giác AHBE, AHCF N P E nội tiếp Suy � = ABE � = ACF � = AHF � AHE Có EP = MN = AB F M Trang B H C Vũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng, quận Hồng Bàng, HP � = EPB � + BPM � = 2a + BAC � = 2a + MNC � = MNF � PM = FN = AC Có EPM � = MFN � Do D EPM = D MNF, suy EMP � = EMP � + PMN � + NMF � = MFN � + MNC � + NMF � Suy EMF � = 2.NCF � = 2.ACF � = 1800 - FNC � = 2.ACF � � EHF � = EMF � Mà EHF Có H, M nằm nửa mặt phẳng bờ EF Suy E, H, M, F nằm đường tròn Suy đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF ln qua điểm cố định M trung điểm BC (khác H) * Nhận xét: + Dự đoán đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF qua trung điểm BC + Chứng minh bốn điểm E, H, M, F nằm đường tròn Bài 13 Cho đường tròn (O) dây cung AB Lấy điểm E dây cung AB (E khác A B) Qua E vẽ dây cung CD đường tròn (O) Trên hai tia DA, DB lấy hai điểm P, Q đối xứng qua E Chứng minh đường tròn C (I) tiếp xúc với PQ E qua C qua điểm cố định P E di động dây cung AB Giải: I Gọi M giao điểm AB đường tròn (I), EP tiếp tuyến (I), nên A M � � � E (1) CMA = PEC = QED O � = BDC � (góc nội tiếp…) (2) Mặt khác BAC Từ (1) (2), suy tam giác CMA đồng dạng Q với tam giác QED (g g) D B Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí AM DE = (3) CM QE Chứng minh tương tự � = BMC; � � = ABC � , nên DEP ADC tam giác BMC đồng dạng tam giác DEP (g g) BM DE DE � = = (4) CM PE QE AM BM = � AM = BM Từ (3) (4) suy CM CM Do đường tròn (I) ln qua trung điểm M AB điểm cố định * Nhận xét: + Đoạn thẳng AB cố định, dự đốn đường tròn (I) qua điểm cố định thuộc đoạn AB, dự đốn điểm trung điểm AB + Chứng minh M trung điểm AB dựa vào tỉ số có mẫu số � C/ ĐỀ XUẤT MỘT SỐ BÀI TOÁN Bài 14 Cho góc vng xOy Các điểm A B theo thứ tự di chuyển tia Ox Oy cho OA + OB = k (k khơng đổi) Vẽ đường tròn (A; OB), (B; OA) Gọi M, N giao điểm (A) (B) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Trang Vũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng, quận Hồng Bàng, HP Bài 15 Cho đường tròn (O) cố định Tứ giác ABCD ln ln ngoại tiếp đường tròn (O) Gọi I, J thứ tự trung điểm AC BD Chứng minh đường thẳng IJ qua điểm cố định tứ giác ABCD thay đổi Bài 16 Cho đường tròn (O) dây BC cố định Tiếp B C với đường tròn (O) cắt N Điểm A di động cung lớn BC, vẽ dây AM đường tròn (O) cho AM//BC, MN cắt đường tròn (O) điểm thứ hai K Chứng minh đường thẳng AK qua điểm cố định Bài 17 Cho tam giác ABC góc nhọn, cạnh BC cố định Các đường cao tam giác ABC AD, BE, CF Đường thẳng EF cắt BC P Đường thẳng qua D song song EF cắt AC R cắt AB Q Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR ln qua điểm cố định điểm A thay đổi Bài 18 Cho đường tròn (O; R) cố định cho trước M ngồi đường tròn (O) Gọi MA, MB tiếp tuyến (O), (A, B tiếp điểm) Gọi C điểm cung nhỏ AB đường tròn tâm M bán kính MA (cung AB nằm đường tròn (O) ) Các tia AC, BC cắt đường tròn (O) P, Q (P khác A, Q khác B) Chứng minh đường thẳng PQ qua điểm cố định điểm C thay đổi Bài 19 Cho đường tròn (O) tâm O có đường kính AB cố định Một đường thẳng d tiếp xúc với (O) A Gọi M điểm thuộc đường tròn (O), M khác A, B Tiếp tuyến (O) M cắt d C Xét đường tròn (I) qua M tiếp xúc với d C Giả sử CD đường kính (I) Chứng minh đường thẳng qua D vng góc với BC qua điểm cố định M di động đường tròn (O) D/ KẾT LUẬN: Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí * Trong tốn học thực tế việc dự đốn đóng vai trò quan trọng hàng đầu Việc dự đốn xác đóng vai trò quan trọng hàng đầu tất cơng việc Trong khoa học việc dự đốn vấn đề gì, chun đề tốn học đóng vai trò hàng đầu kim nam cho người nghiên cứu Hàng năm hội nghị toán học đề đường lối, dự báo vấn đề toán học * Việc dự đoán tốn tìm điểm cố định chun đề giúp cho học sinh, có suy nghĩ dự đốn phù hợp dựa vào yếu tố biết tốn * Các tốn tìm điểm cố định có nét tương đồng với toán tập hợp điểm, toán tập hợp điểm, bước yêu cầu học sinh “Dự đoán tập hợp” * Các toán chứng minh qua điểm cố định lớp 9, chuyên đề sử dụng kiến thức tứ giác nội tiếp để giải Khi làm tập yêu cầu học sinh phải thành thạo việc chứng minh tứ giác nội tiếp, số tính chất liên quan tứ giác nội tiếp * Qua chuyên đề rèn luyện cho học sinh khả dự đoán, củng cố việc chứng minh tứ giác nội tiếp số tính chất tứ giác nội tiếp * Cuối xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp, cấp quản lí lãnh đạo ngành giáo dục giúp đỡ tơi hồn thành đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn! Hải Phòng, ngày 20 tháng năm 2011 Chủ đề tài: Vũ Hữu Chín ... điểm M AB điểm cố định * Nhận xét: + Đoạn thẳng AB cố định, dự đốn đường tròn (I) qua điểm cố định thuộc đoạn AB, dự đốn điểm trung điểm AB + Chứng minh M trung điểm AB dựa vào tỉ số có mẫu số. .. lại có BAH Do A, B cố định, nên điểm H cố định Vậy MN qua điểm H cố định * Nhận xét: + Chứng minh tứ giác BIHN nội tiếp, dựa vào tứ giác nội tiếp để chứng minh MN qua điểm cố định D Ket-noi.com... cắt AB điểm cố định + Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp Dựa vào tứ giác nội tiếp, tam giác đồng dạng ta chứng minh đường thẳng cho qua điểm cố định Bài Cho đường tròn tâm O hai điểm A, B cố định