Lê Trung – Uyên Vi Toán học đam mê TÀI LIỆU VỀ: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT, RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN PHẦN I LÝ THUYẾT Kiến thức 6, 7, quan trọng cần nhớ a Tính chất phân số ( phân thức): A.M A  ( M  0, B  0) B.M B b Những đẳng thức đáng nhớ      (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 A2 - B2 = (A - B)(A + B) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3  A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)  A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)  Chú ý: A  B  ( A  B )( A  B ) Các kiến thức bậc hai  Nếu a ≥ 0, x ≥ 0,  Để a = x  x2 = a A có nghĩa  A   A2  A  AB  A B ( với A  0; B  0) Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page Lê Trung – Uyên Vi  A  B  A2 B  A B ( với B  0) Toán học đam mê A ( với A  0; B  0) B  A B  A2 B ( với A  0; B  0)  A B   A2 B ( với A  0; B  0)  A  B  A A B ( với B  0)  B B  C C ( A B) ( với A  0; A  B )  A  B2 AB  C C( A B) ( với A  0; B  A  B)  A B A B AB ( với AB  0; B  0) B CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN CĨ LIÊN QUAN Xét biểu thức A với biến số x Dạng Rút gọn biểu thức - Ngoài việc rèn kỹ thực phép tính tốn rút gọn Học sinh hay quên thiếu điều kiện xác định biến x ( ĐKXĐ gồm điều kiện để thức bậc hai có nghĩa, mẫu thức khác biểu thức chia (nếu có) khác 0) Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page Lê Trung – Un Vi Tốn học đam mê Dạng Tính giá trị biểu thức A x = m ( với m số biểu thức chứa x) - Nếu m biểu thức chứa ( số), trước tiên phải rút gọn; m biểu thức có dạng thường đưa đẳng thức để rút gọn; m biểu thức ta phải giải phương trình tìm x - Trước tính giá trị biểu thức A, học sinh thường quên xét xem m có thỏa mãn ĐKXĐ hay không thay vào biểu thức dã rút gọn để tính Dạng Tìm giá trị biến x để A  k ( với k số biểu thức chứa x) - Thực chất việc giải phương trình - Học sinh thường qn tìm giá trị x khơng xét xem giá trị x dó có thảo mãn ĐKXĐ A hay khơng Dạng Tìm giá trị biến x để A  k ( A  k , A  k , A  k , Dạng 11 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức A - Học sinh cần biết cách tìm cực trị phân thức số dạng tổng quát - Học sinh cần đưa biểu thức rút gọn A dạng sau để tìm cực trị: + Tử thức mẫu thức số biểu thức có dấu xác định tập ĐKXĐ + Biến đổi biểu thức A thành đẳng thức có chứa biến x Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page Lê Trung – Uyên Vi Toán học đam mê + Biến đổi biểu thức A thành tổng hai (hoặc nhiều) số dương áp dụng bất đẳng thức Cô – si vài bất đẳng thức phụ - Học sinh thường mắc sai lầm chứng minh biểu thức A  k ( A  k ) chưa dấu kết luận cực trị biểu thức A PHẦN II VÍ DỤ MINH HỌA Bài Cho biểu thức : A  x B   x 1 x  x ( với x > 0; x  1) x 1 Tính giá trị biểu thức B x  Đặt C  A : B , rút gọn biểu thức C Tìm giá trị x để C  So sánh C với Chứng minh C  Tìm x ngun để biểu thức C có giá trị nguyên Tìm giá trị nhỏ biểu thức C Tìm giá trị m để nghiệm x thoản mãn bất phương trình :  x C  x  m  Hướng dẫn giải Với x  (thỏa mãn ĐKXĐ) thay vào biểu thức B, ta : B  Vậy x  giá trị biểu thức B  1  1 8 Đặt C  A : B , rút gọn biểu thức C Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page Lê Trung – Uyên Vi Toán học đam mê C ( x  ): x 1 x  x x 1 C ( x  ): x 1 x ( x  1) x 1 C ( x )2  x 1 x ( x  1) C ( x  2)( x  1) x ( x  1) C x2 x ĐKXĐ: x > 0; x  Để C   x2 3 x  x2 x  0 x x  x3 x   (*) Giải phương trình (*) ta suy : x  ( loại) x  ( thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy để C  x   127  2x     x  4x  x   4 16 Xét hiệu C      x 4 x x 1  Vì  x    với x nên 4  Vì x  nên  127  0  2x    4 16  x  suy x  Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page Lê Trung – Uyên Vi Toán học đam mê  127   2x    4 16 Suy   Do C  4 x Xét hiệu C   Vì     x  , suy   x 1  x2 x2 2 x x x   với x nên Vì x  nên x 2   x x 1    x 1 1 x  Do C  ĐKXĐ: x > 0; x  Ta có : C  x2  x x x Để giá trị biểu thức C nguyên x nguyên x Suy  Z  x ước x Từ x nhận giá trị ; nên x nhận giá trị x  (loại) x  ( TMĐK) Khi với x  C có giá trị Vậy với x  biểu thức C có giá trị nguyên Ta có : C  x2  x x x Áp dụng bất đẳng thức Cô – si với hai số dương x Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 x , ta : x 2 x Page Lê Trung – Uyên Vi Toán học đam mê  Amin  2 Dấu “ = ” xảy  x   x  ( thỏa mãn ĐKXĐ) x Vậy giá trị nhỏ Amin  2  x  Ta có :  x C  x  m  Suy :  x  x   m   x  x 1 m   x x  m  4 1    x   m  2  1   x    m 2  Vì x  nên 1  x  , suy  x    2   1 Suy   x     m    m  m   2 4 Vậy với m  x thoản mãn bất phương trình :  x C  x  m  Bài Cho biểu thức :  x 3 x   9 x x 8 x 3 x 2 M    1 :     N  x 3 x 3  x 9   x x 6 2 x (với x  0; x  4; x  9) Rút gọn biểu thức M Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page Lê Trung – Uyên Vi Tốn học đam mê Tìm x để M  M Đặt Q  M N , tìm giá trị x để biểu thức Q có giá trị nguyên Hướng dẫn giải Rút gọn biểu thức M  x 3 x   9 x x 3 x 2 M    1 :     x    x 9   x x 6 2 x M M M 3   x 3  9 x :  x  3 3  x   x  3 x 3   x  2 x 3     x  2 x  3 x 3  x 3  x 2  2 x 2 ĐKXĐ : x  0; x  4; x  Để M  M  M   0 x 2  x 20  x 2 x4 Kết hợp với ĐKXĐ: x  , suy  x  Vậy với  x  M  M ĐKXĐ : x  0; x  4; x  Q  M N  x 8  x 2 x 3 12 x 3 Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page Lê Trung – Uyên Vi Vì x   x   Tốn học đam mê 12 0 x 3 Vì x   x   x    1   x 3 12 4 x 3 Do đó:  Q  Mà Q  Z , suy Q 1; 2; 3; 4 TH1: Q   12   x   12  x   x  81 ( thỏa mãn ĐKXĐ) x 3 TH2: Q   12   x    x   x  ( loại) x 3 TH3: Q   12   x    x   x  ( thỏa mãn ĐKXĐ) x 3 TH4: Q   12   x    x   x  ( thỏa mãn ĐKXĐ) x 3 Vậy để biểu thức Q có giá trị nguyên x 0; 1; 81 Bài Cho biểu thức A  x 1 x 1 x 1 với x  0, x    x 1 x 1 x 1 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị A x  3) Tìm giá trị x để A  4) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên 5) Tìm m để phương trình mA  x  có hai nghiệm phân biệt 6) Tính giá trị x để A  7) Tính giá trị nhỏ biểu thức A Hướng dẫn giải Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 10 Lê Trung – Uyên Vi Với  x   x  Toán học đam mê   x  M  tồn 5 M Ta xét M  M  M  M  1        x 1 x  x   x   x  1 x   1   0 x 3  x 3 x 3 x 3  x 3    4 Vậy M  M   M  M  M  M với x  0;   5 Bài Cho biểu thức P  2x  x x 1 x2  x với x  0, x    x x x x x x 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tìm giá trị biểu thức P x   2 3) Chứng minh với giá trị x đề biểu thức P có nghĩa biểu thức P nhận giá trị nguyên Lời giải 1) Ta có  x    x  x x  1 2x  P  x x  x  1 x  x  1 x  x  1 x  x   x  1 x  x  1    x x  x  1 x  x  1  2x  x  x 1 x  x 1   x x x  2x   x  x 1  x  x 1 x  2x   x 2 x 2 x x Tài liệu tự học - luyện thi vào 10  x 1 Page 32 Lê Trung – Uyên Vi 2) Khi x   2   Toán học đam mê  2 1  x  Thay vào biểu thức ta được: P  3) Đưa  1   1  1 2  24 2 1 2 x Theo bất đẳng thức Cô-si: x    1 7 x  P 2x   x Trước hết đánh giá P  x  P2 x   2 x  x  4 x 26 x 7  P 0 7  P Do nhận giá trị nguyên P Vậy với giá trị x đề biểu thức P có nghĩa biểu thức nhận giá trị P nguyên  x3 x 2   Bài 10 Cho hai biểu thức U   với x  x   x   x  x x 8 1) Rút gọn biểu thức U 2) Tìm giá trị U x  14  3) Tìm tất giá trị x để biểu thức K  8U có giá trị số nguyên Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 33 Lê Trung – Uyên Vi Toán học đam mê Lời giải 1) Với x  0; x  , ta có:  x3 x 2  U      x x  x  x          x3 x 2  x 2 x2 x 4  x 2 x 2 x2 x 4       x x 2 x2 x 4   x2 x 4   x  x x2 x 4  2) x  14           x 3       Khi đó, ta có: U 3  3) K  8U  Ta có:   14       3 3   24  8     x x2 x 4 x2 x 4 x 1     2 K x x x 1   (theo bất đẳng thức Cô-si) x  K 0K  Mà K số nguyên  K  Với K  , ta có: Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 34 Lê Trung – Uyên Vi Toán học đam mê x 1 x  x   x  x  x   x2 x 4 * Giải phương trình * : Đặt x  t ( t  ) Phương trình * thành: t  6t   Ta có:  '     Phương trình có nghiệm phân biệt: t1   t2    Khi ta có: x1  t12      14  x2  t2     14  Vậy: x  14  x  14  thỏa mãn yêu cầu đề Bài 11 Cho hai biểu thức A  x B  x 3 x x  10 với x  0, x  4, x   x4 16 x 2 1) Tính giá trị biểu thức A x  25 2) Rút gọn biểu thức B 3) Tìm giá trị x để B  A Lời giải 1) Tính giá trị biểu thức A x  25 25 Thay x  25 vào A ta A   25  17 2) Rút gọn biểu thức B B        x  2 x  x   x  10 x 2  x  x  10  x   x   x 2  x  2 x  2 x 2 x 5 x 2 3) Tìm giá trị x để B  A  Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 35 Lê Trung – Un Vi Tốn học đam mê Ta có : B  2A    x 5 x 2 x 2 x 3    x  2  x  3 x 5 x 3 2 x x 2  0  x  17 x  15  x  x   x  13 x  15   x 1   x  (thỏa mãn điều kiện)  x  15 ( L)  Vậy x  B  A    x  Bài 12 : Cho biểu thức P      : 1   với x  , x  , x  x  x    1 x   x 1 x  1) Rút gọn P 2) Tính P biết x   2 3) Tìm x để P   Lời giải    x  1) P      : 1   x  x  x    1 x   x 1 x P P     x 1  :  x  1 x  x 1 x  2 x 2 2 x4 x 4  x 1 1 x P x 2 2 x   Tài liệu tự học - luyện thi vào 10  x 2  x 2  x 2  P x 2 x 2 Page 36 Lê Trung – Uyên Vi Toán học đam mê x 2 x 2 Vậy P  2) Ta có x   2 thỏa mãn điều kiện để P có nghĩa Mà x   2  x  Thay x    1  vào P , suy P  Vậy x   2 P   3) Ta có P    1      1 2 1  2 P 2 1 5 P 3 5 x 2   x 2 x 2 x 2  0   x 2 2 x 2   Do x   x  , x  , x  Suy x  x 20  kết hợp điều kiện suy x  Vậy P   0  x   x  0  x   x  Bài 13 Cho biểu thức A  x x3 với x  0, x  ,B    x 9 1 x x  3 x 1) Tính giá trị biểu thức A x  2) Rút gọn B B 3) Cho P  , tìm x để P  A Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 37 Lê Trung – Uyên Vi Toán học đam mê Lời giải 1) Khi x  x 2 A    3 2) Ta có: x3 x3 B      x 9 x 3 3 x x 9 x 3 x 3      x 3 x 3 x 3   x 9 x 9 x 9 x   x 3 x 3   x 3  x x 3 3) Ta có: P  P3  x x x 1 :  , x  1 x x 3   x 1 x 1 x  3   x 3 x 3 x 3 10   x 3  x  x 3 Kết hợp với điều kiện ban đầu ta suy  x  P   Bài 14 Cho biểu thức : A 1 x3 x 2 x x  B  ( với x  0; x  )  x 1 x 1 x 1 ( x  2)( x  1) 1) Rút gọn tính giá trị biểu thức A x   2) Rút gọn biểu thức B 3) Đặt M = B : A , tìm x để x 1  1 M Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 38 Lê Trung – Uyên Vi Toán học đam mê Lời giải 1) Rút gọn tính giá trị biểu thức A x   1 x 1  x  x    x 1 x  ( x  1)( x  1) ( x  1)( x  1) A +) Thay x       (  1)2 A x   vào biểu thức A ta được: 2(  1) 32 6    (   1)(   1) 3(  2) 2) Rút gọn biểu thức B B x3 x 2 x x  x 1 ( x  2)( x  1) B ( x  1)( x  2) x ( x  1)  ( x  2)( x  1) ( x  1)( x  1) B B B x 1 x  x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 3) Xét biểu thức: M  B : A M x :  x  ( x  1)( x  1) Xét biểu thức:  x 1  x 1 ( x  1)( x  1)  x 1 x x x 1  1 M x 1 x x 1 1  1 8 x 1 x Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 39 Lê Trung – Uyên Vi  Toán học đam mê 16 x  ( x  x  1)  x  14 x   x  1   0 8( x  1) 8( x  1) x  x  ( x  3)  0 0 8( x  1) 8( x  1)  16 x  ( x  x  1)  x  14 x   x  1   0 8( x  1) 8( x  1)  x  x  ( x  3) 0 0 8( x  1) 8( x  1) ( x  3)  0 8( x  1) Do x   x   với x  nên Vậy   x 3  ( x  3)2  x  8( x  1) Yêu cầu toán  Vậy x    x    x  9(TM ) x 1   M Bài 15 Cho biểu thức: P  x x 1 x x 1) Tính giá trị Q x  25 2) Rút gọn biểu thức A  P.Q  x x 1 x x  x Q  x 1 x 1 với x  0; x  3) Tìm giá trị x để A x  Lời giải 1) Với x  25 (thỏa mãn ĐK), ta có: 25   Q    25   2) Ta có:  x x 1 x x   x 1 A  P.Q      x x x  x   x x        x  x  1 x 1 x  x  Tài liệu tự học - luyện thi vào 10   x  x  1 x 1 x  x 1   x 1 x  x 1  Page 40 Lê Trung – Uyên Vi Toán học đam mê  x  x 1 x  x   x 1      x x x   x 1 2x  x 1 x x 1  x  1 x   x x 1     x 1  x 1 x  3) Ta có: A x       x 1 x 1 x 1 (với x  0; x  ) x   x 1  x x 8 (với x  0; x  ) x 1   x  x 1   x 2 x 3    x 1  x 3   x   ( x   )  x 3 0  x  Vì x  0; x  nên  x  0  x  Vậy: để A x   x   x 2 x 2  Bài 16 Cho biểu thức A    ; B   x  x  x 1  x 1 với x  0, x  x 1) Tính giá trị B x  36 2) Chứng minh A.B  x 1 3) Tìm x để A.B   A.B  Lời giải Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 41 Lê Trung – Uyên Vi Toán học đam mê 1) Tính giá trị B x  36 Ta có: x  36 (TMĐKXĐ)  x 6 x 1 1   6 x B x 1 2) Chứng minh A.B   x 2 x   x 1 Ta có: A.B     x  x  x  x    A.B      x 1  A.B        x  1  x 2    x 2   x 1 x x 1   x 2  x 1  x  1  x 1   x  1  x 2     x 1  x 1   x x 1   x x 2 x 2 x x 2 x 2 A.B    x 1 x 1    A.B      x  x 1 2 x 1 x   A.B   (ĐPCM) x 1      x 1  x x 1   A.B  x 1     x 1 3) Tìm x để A.B   A.B  Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 42 Lê Trung – Uyên Vi Toán học đam mê Ta có: A.B   A.B   A.B    1  x 1  1 x 0 x 1  x   (vì  x  0,  ĐKXĐ)  x  Kết hợp điều kiện xác định   x  Vậy  x  A.B   A.B  Bài 17 Cho hai biểu thức A  x  12    : B   với x  0, x   x 1  x 1 x 1  x 1 1) Tính giá trị biểu thức A x  2) Rút gọn biểu thức B 3) Tìm giá trị nhỏ biểu thức M  A B Lời giải Điều kiện: x  0, x  1) x  (tmđk) ⇒ A  2) B   3) M   x 1  x 1  x 1  12 21  1    x 1  x 2 x 1 A x  12 x  x  12 x   16 16 16  :    x 2  x  2 4 B x 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x 2 Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 43 Lê Trung – Uyên Vi Tốn học đam mê x 2 Theo BĐT Cơ – si:   x 2 16 x 2 16  8⇒ M  x 2 x 2 ⇒ 16  x 2 ⇒ GTNN M  16 ⇔ x 2 x 2 Bài 18 Cho hai biểu thức A   x 2  x   ⇔ x  (vì  16 ⇒ 2x  x  B  x 2 x   0) x3  x  x  với x  x  x 2 1) Tính giá trị A x   2) Tìm giá trị x để B  A  3) Tìm giá trị nhỏ biểu thức C  B  A Lời giải 1) Với x  0; x  , ta có: A     2 x  2 x 1  x 2  x3  x  x   x 2 B     2x  x  x  2 x 2x  x    x 2 x 2   x   x  1  x 2     x 2  x 2  x 2 x   x3  x   x   x 2  x  x  1   x  1 x 2  x 1  1 , thay vào A , ta  1    1 1  1 ) Khi x       A  x 1   2 Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 44 Lê Trung – Uyên Vi Toán học đam mê Vậy x   A   2) B  A   x   x    x 2 x 3       x  x  1   x  1    x  1 x  3   x x  x 3   x   (Vì x  0, x  0, x  nên  x  Vậy x  B  A   x 1  )     x 1 Với x  0; x   x  1  0, nên  x  1   3 Dấu xảy  x  1   x    x   x  3) C  B  A   x  1  x   x  x   x  x    3 2 Vậy giá trị nhỏ biểu thức C  B  A 3 x  Bài 19 Cho biểu thức: A  x 1 B   x 2 x4 x với x  x  x 2 1) Tính giá trị biểu thức A x  16 2) Rút gọn biểu thức M  A : B 3) Tìm giá trị thực x để M  Lời giải 1) Khi x  16 ta có A  16  1     16  16  4  2) Điều kiện: x  x   x 1  x  Ta có M  A : B    :  x 2 x4 x 2  x 1  x 2 M     x  x 2 x4 Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 45 Lê Trung – Uyên Vi Toán học đam mê  x 1 M    x 2   M    M M   x 2   x  2    x  2  x  2  x 1 x x  M Vậy M      x  x x 2    x 2 x   x 2   x 2 x x 2 x x 1 x 2  x x 1 x 2 x 1 x 2 3) Với x  x  M 1  x 1 1 x 2 x 1 1  x 2 x 1  x 2  0  x 1 x 2  0  x 2 x 2  0  x 20  x   x  x 2 x 2 Vậy  x  M  Tài liệu tự học - luyện thi vào 10 Page 46 ... ta được: 2(  1) 32 6    (   1 )(   1) 3(  2) 2) Rút gọn biểu thức B B x3 x 2 x x  x 1 ( x  2 )( x  1) B ( x  1 )( x  2) x ( x  1)  ( x  2 )( x  1) ( x  1 )( x  1) B B B... C( A B) ( với A  0; B  A  B)  A B A B AB ( với AB  0; B  0) B CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN CĨ LIÊN QUAN Xét biểu thức A với biến số x Dạng Rút gọn biểu thức. .. Vi Toán học đam mê Dạng Tính giá trị biểu thức A x = m ( với m số biểu thức chứa x) - Nếu m biểu thức chứa ( s? ?), trước tiên phải rút gọn; m biểu thức có dạng thường đưa đẳng thức để rút gọn;