Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu giúp thầy cô giáo giảng dạy trên lớp bằng cách trình chiếu. Nội dung đầy đủ. chi tiết có đầy đủ ví dụ. Tài liệu tham khảo ở nhiều giáo trình hiện tại đang áp dụng cho giảng dạy cho sinh viên cao đẳng.
Bổ trợ Tập hợp, Giải tích tổ hợp I – Tập hợp II – Ánh xạ III – Giải tích tổ hợp 22/01/2017 Tốn rời rạc I - TẬP HỢP Khái niệm tập hợp - Tập hợp (tập) khái niệm nguyên thủy (khái niệm Tốn học), khơng định nghĩa mà mơ tả qua ví dụ tập hợp học sinh lớp học, tập hợp cầu thủ đội bóng… vv Một cách trực quan, tập hợp để đối tượng nhóm lại theo tính chất - Một tập hợp ký hiệu chữ in hoa A, B, C, X, Y, Z…; phần tử ký hiệu a, b, c, x, y, z… - Nếu a đối tượng tập hợp A (phần tử tập hợp A) ta viết a ∈ A, (đọc a thuộc tập A) không, ta viết a ∉ A, (đọc a không thuộc tập A) - Tập không chứa phần tử gọi tập rỗng (trống) Ký hiệu ∅ 22/01/2017 Toán rời rạc I - TẬP HỢP Các cách biểu diễn tập hợp a Liệt kê tất phần tử tập hợp Ví dụ: A = 1, 3, 5, b Mô tả tập hợp (Chỉ tính chất đặc trưng phần tử tập hợp) A = x ∈ U|p(x) - U gọi tập vũ trụ Ví dụ: B = x ∈ ℕ|x ⋮ - tập hợp số tự nhiên chẵn C = x ∈ ℝ|x < - tập số có bình phương bé c Biểu diễn sơ đồ Venn Biểu thị tập hợp đường cong kín Ví dụ: A 22/01/2017 Tốn rời rạc I - TẬP HỢP Lực lượng tập hợp - Cho A tập hợp Số phần tử A gọi lực lượng (bản số) tập hợp A Ký hiệu A hay cardA - Nếu tập A có hữu hạn phần tử ta nói tập A tập hữu hạn Ngược lại, tập A phần tử khơng đếm ta nói A tập vơ hạn Ví dụ: ℕ = 0, 1, 2, … ℤ = … − 3, −2, −1, 0, 1, 2, … a |b b ℚ= ≠ 0, a, b ∈ ℤ 𝕀 = ℝ\ℚ - tập số vô tỷ ℝ = Tập số thực ℂ = a + bi|a, b ∈ ℝ, i2 = −1 Là tập vô hạn phần tử X = 1, 5, - tập hữu hạn phần tử X = 22/01/2017 Toán rời rạc I - TẬP HỢP Quan hệ tập hợp a Tập hợp Tập A gọi tập tập X phần tử tập A thuộc tập X Ký hiệu A ⊂ X X ⊃ A (đọc X chứa A) Định lý: Số lượng tập hợp tập hợp X 2n , X = n Tập tất tập tập X ký hiệu P(X) Ví dụ: X = a, b X = Số lượng tập 22 = P X = ∅, a , b , a, b Định nghĩa: Hai tập hợp A B A = B ⟺ A ⊂ B B ⊂ A Ghi nhớ: - Tập rỗng tập hợp - Cho A tập hợp A ⊂ A - Với A, B, C tập hợp A ⊂ B, B ⊂ C ⟹ A ⊂ C 22/01/2017 Toán rời rạc I - TẬP HỢP Các phép toán tập hợp Cho A, B tập hợp, U tập vũ trụ a Phần bù (Complement) tập hợp Phần bù tập hợp A tập phần tử thuộc U không thuộc A A = x ∈ U|x ∉ A b Giao (Intersection) tập hợp Giao tập hợp A B tập tạo nên từ phần tử vừa thuộc tập A tập B Ký hiệu A ∩ B Nghĩa A ∩ B = x ∈ U| x ∈ A ∧ x ∈ B c Hợp (union) tập hợp Hợp tập hợp A B tập tạo nên từ phần tử thuộc hai tập Ký hiệu A ∪ B Nghĩa A ∪ B = x ∈ U| x ∈ A ∨ x ∈ B 22/01/2017 Toán rời rạc I - TẬP HỢP Các phép toán tập hợp d Hiệu tập hợp Hiệu tập hợp A B tập phần tử thuộc A không thuộc B Ký hiệu A\B (đọc A trừ B) Nghĩa A\B = x ∈ U| x ∈ A ∧ x ∉ B Khi A ⊂ B B\A gọi phần bù A B, ký hiệu CB A e Tích Descartes (Đề các) tập hợp Tích Đề tập A B tập tất cặp có thứ tự x, y , x ∈ A y ∈ B Ký hiệu AxB Nghĩa AxB = x, y |x ∈ A, y ∈ B Ghi nhớ: AxB = A B 22/01/2017 Toán rời rạc I - TẬP HỢP Ví dụ: Cho A = a, b, c, d , B= c, d, e, f Ta có: A ∩ B = c, d A ∪ B = a, b, c, d, e, f A\B = a, b a, c , a, d , b, c , b, d , AxB = c, c , c, d , d, c , d, d , 22/01/2017 Toán rời rạc a, e , b, e , c, e , d, e , a, f , b, f , c, f , d, f I - TẬP HỢP Các phép giao, hợp, tích Descartes mở rộng cho nhiều tập hợp Ai = x|∀i ∈ I, xi ∈ Ai i∈I Ai = x|∃i ∈ I, xi ∈ Ai i∈I Ai xi i∈I |∀i ∈ I, xi ∈ Ai i∈I 22/01/2017 Toán rời rạc I - TẬP HỢP Tính chất (Định lý) Cho A, B, C tập tùy ý tập vũ trụ U a Tính giao hốn A∩B=B∩A A∪B=B∪A b Tính kết hợp A∩ B∩C = A∩B ∩C A∪ B∪C = A∪B ∪C c Luật De Morgan A∩B=A∪B A∪B=A∩B 22/01/2017 Toán rời rạc 10 III – GIẢI TÍCH TỔ HỢP Tổ hợp Cơng thức nhị thức Newton Định lý 1: Cho x, y biến thực n số nguyên không âm tùy ý Ta có n x+y n Cnk x k y n−k = k=0 Chứng minh: Cách 1: Sử dụng quy nạp yếu để chứng minh Cách 2: Ta có hệ số hạng tử x k y n−k số cách chọn k nhân tử x + y x + y n lấy x n - k nhân tử lại lấy y Ta có: Số cách chọn k nhân tử x + y Cnk từ n nhân tử Sau đem nhân với y n−k n – k nhân tử lại hệ số x k y n−k 22/01/2017 Toán rời rạc 52 III – GIẢI TÍCH TỔ HỢP Tổ hợp Cơng thức nhị thức Newton Hệ 1: n Cnk = Cn0 + Cn1 + Cn2 + ⋯ + Cnn = 2n k=0 Chứng minh: Khai triển + Hệ 2: n n −1 k Cnk = Cn0 − Cn1 + Cn2 + ⋯ + −1 n Cnn = k=0 Chứng minh: Khai triển − 22/01/2017 n Toán rời rạc 53 III – GIẢI TÍCH TỔ HỢP Tổ hợp Một vài tính chất khác tổ hợp a Điều kiện đầu, cuối Với n số tự nhiên Ta có: Cn0 = Cnn = b Đối xứng Cho n r số nguyên khơng âm r ≤ n Ta có: Cnr = Cnn−r c Công thức đệ qui Cho n k số nguyên cho < k < n Ta có: k k−1 Cnk = Cn−1 + Cn−1 d Công thức Vandermonde Cho k, r, m, n số nguyên không âm với r nhỏ m, n, k nhỏ r Ta có: r r−k C k Cm+n = ri=0 Cm n 22/01/2017 Tốn rời rạc 54 III – GIẢI TÍCH TỔ HỢP Tổ hợp Một vài tính chất khác tổ hợp Từ b) c), ta tính tất hệ số tổ hợp phép cộng Các hệ số tính viết theo dòng (mỗi dòng ứng với giá trị n=0, 1, ), dòng chúng tính viết theo cột (mỗi cột ứng với giá trị m = 0, 1, … ,n) theo bảng tam giác n=0 n=1 n=2 Bảng gọi bảng tam giác PasCal 22/01/2017 Toán rời rạc 55 III – GIẢI TÍCH TỔ HỢP Tổ hợp Một vài tính chất khác tổ hợp Tam giác PasCal với n = 22/01/2017 Toán rời rạc 56 III – GIẢI TÍCH TỔ HỢP Tổ hợp b Tổ hợp lặp Định nghĩa Cho n phần tử khác Số cách chọn k, (k ∈ ℤ), phần tử từ n phần tử ban đầu (một phần tử chọn nhiều lần (lặp)) cho hai cách lấy gọi khác hai cách lấy có phần tử khác gọi tổ hợp lặp chập k n Ký hiệu K kn K(n, k) Mệnh đề Số tổ hợp lặp chập k n phần tử k K kn = Cn+k−1 22/01/2017 Toán rời rạc 57 III – GIẢI TÍCH TỔ HỢP Tổ hợp b Tổ hợp lặp Chứng minh: Giả sử A tập có n phần tử khác nhau, ký hiệu A = a1 , a2 , … , an Theo đầu phải chọn k phần tử, có phần tử chọn nhiều lần (tối đa k lần) khơng chọn lần Gọi xi số lần phần tử , i = 1, n xuất k lần chọn ≤ xi ≤ k Ta có x1 + x2 + ⋯ + xn = k (@) Bài tốn trở thành tìm số nghiệm ngun khơng âm phương trình (@) Do ≤ xi ≤ k i , i = 1, n nên ta thể k dấu * mối dấu cộng gạch | (có n – dấu cộng) ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ |||||||||||||||||| k dấu ∗ n−1 gạch | Rõ ràng, hoán vị lặp k dấu * n – dấu | nghiệm phương trình (@) Số hốn vị lặp số nghiệm ngun khơng âm (@), số tổ hợp lặp chập k n phần tử 22/01/2017 k+n−1 ! k! n−1 ! n−1 k = Cn+k−1 = Cn+k−1 Toán rời rạc 58 III – GIẢI TÍCH TỔ HỢP Một cách phát biểu khác tổ hợp lặp Mệnh đề Số cách cho k vật giống vào n hộp khác n−1 Ck+n−1 Chứng minh Biểu diễn k vật giống k dấu * cần n – gạch | để chia k vật giống vào n hộp khác ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ |||||||||||||| k dấu ∗ n−1 gạch | Mỗi hoán vị lặp k dấu * n – gạch | cách chia Số cách chia số hốn vị lặp Ta có 22/01/2017 k+n−1 ! k! n−1 ! k n−1 = Cn+k−1 = Cn+k−1 Toán rời rạc 59 III – GIẢI TÍCH TỔ HỢP Hệ Số nghiệm ngun khơng âm phương trình n−1 Ck+n−1 x1 + x + ⋯ + x n = k Hệ Số cách chia k đồ vật đồng chất giống vào n hộp phân biệt số tổ hợp lặp chập k n n−1 k Ck+n−1 = Ck+n−1 22/01/2017 Toán rời rạc 60 III – GIẢI TÍCH TỔ HỢP Tổ hợp b Tổ hợp lặp Ví dụ: Có cách cho bánh giống vào hộp khác Giải: **|*|* Rõ ràng, cách chia bánh giống vào hộp khác tổ hợp lặp với k = n = Số cách chia 22/01/2017 3−1 C4+3−1 = C62 = Toán rời rạc 6! 2!4! = 15 (cách) 61 III – GIẢI TÍCH TỔ HỢP Tổ hợp b Tổ hợp lặp Ví dụ: Có loại nón A, B, C Cần mua nón Hỏi có cách chọn Giải: Ta liệt kê cách chọn AA, BB, CC, AB, BC, AC Rõ ràng, tổ hợp lặp chập Số cách chia 22/01/2017 C3+2−1 = C42 = Toán rời rạc 4! 2!2! = (cách) 62 III – GIẢI TÍCH TỔ HỢP Nguyên lý Dirichlet (nguyên lý chuồng chim bồ câu) Nguyên lý Nếu số chuồng bồ câu số bồ câu có chim bồ câu chung chuồng Nguyên lý Dirichlet tổng quát Nếu nhốt n chim bồ câu vào k chuồng chắn có n chuồng có khơng chim bồ câu k 22/01/2017 Toán rời rạc 63 III – GIẢI TÍCH TỔ HỢP Nguyên lý Dirichlet (nguyên lý chuồng chim bồ câu) Ví dụ Trong lớp có 50 người có bạn có ngày sinh nhật ngày sinh nhật có bạn có tháng sinh Trong nhóm có 367 người có người ngày sinh Chú ý: Gọi x số nguyên nhỏ lớn x Ví dụ x = 7,1 x = Nếu nhốt n chim bồ câu vào k chuồng chắn có chuồng có 22/01/2017 n k chim bồ câu Tốn rời rạc 64 III – GIẢI TÍCH TỔ HỢP Nguyên lý Dirichlet (nguyên lý chuồng chim bồ câu) Bài tập Trong tháng có 30 ngày Một đội bóng chuyền thi đấu ngày trận chơi không 45 trận 30 ngày tháng Chứng minh có chuỗi ngày liên tục tháng cho thời gian đội chơi 14 trận Cho A ⊂ S = 1,2, … , 25 A ≥ 14 Chứng minh tồn số a, b a ≠ b cho a + b = 26 22/01/2017 Toán rời rạc 65 22/01/2017 Toán rời rạc 66