Đang tải... (xem toàn văn)
Đề thi học sinh giỏi cấp huyện toán lớp 9, Đề thi học sinh giỏi cấp huyện toán lớp 9,; PHÒNG GDĐT TP. BẮC GIANG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐNĂM HỌC 20162017 Môn: Toán lớp 9Thời gian làm bài: 150 phútBài 1: (5 điểm) a. Cho biểu thức M= với a, b > 0 và a b Rút gọi M và tính giá trị biểu thức M biết b. Tìm các số nguyên a, b thoả mãn c. Cho a, b, c thỏa mãn ; ; Tính giá trị biểu thức H= Bài 2: (4,5 điểm) a. Tính giá trị của biểu thức N= b. Cho a, b là số hữu tỉ thỏa mãn + Chứng minh là số hữu tỉ c. Giải phương trình Bài 3: (3,5 điểm) a. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn b. Cho a, b, c>0 thỏa mãn abc=1 . Chứng minh Bài 4: (6 điểm) Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn, trên Ax lấy M sao cho AM > R. Từ M vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn, từ C vẽ CH vuông góc với AB, CE vuông góc với AM. Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt BC tại N. Đường thẳng MO cắt CE, CA, CH lần lượt tại Q, K, P.a.Chứng minh MNCO là hình thang cânb.MB cắt CH tại I. Chứng minh KI son song với ABc.Gọi G và F lần lượt là trung điểm của AH và AE. Chứng minh PG vuông góc với QF Bài 5: (1 điểm) Tìm số nguyên dương n lớn nhất để A= 427 + 42016 + 4n là số chính phươngHọ tên thí sinh..........................................................................SBD:................................PHÒNG GDĐTTP. BẮC GIANGHƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐNĂM HỌC 20162017Môn: Toán lớp 9.CâuNội DungĐiểmBài 14 đa1,5đRút gọn M= với a, b>0 và a bTa có + Nếu a>b>0 + nếu 00 thỏa mãn abc=1 . Chứng minh 1 ab a bc b ca c 2 Bài 4: (6 điểm) Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn, trên Ax lấy M sao cho AM > R. Từ M vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn, từ C vẽ CH vng góc với AB, CE vng góc với AM. Đường thẳng vng góc với AB tại O cắt BC tại N. Đường thẳng MO cắt CE, CA, CH lần lượt tại Q, K, P. a Chứng minh MNCO là hình thang cân b MB cắt CH tại I. Chứng minh KI son song với AB c Gọi G và F lần lượt là trung điểm của AH và AE. Chứng minh PG vng góc với QF Bài 5: (1 điểm) Tìm số ngun dương n lớn nhất để A= 427 + 42016 + 4n là số chính phương Họ tên thí sinh SBD: PHÒNG GD&ĐT TP BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2016-2017 Mơn: Tốn lớp 9 Câu Nội Dung Bài a/ ab -Rút gọn M= với a, b>0 và a b 1,5đ a b -Ta có 1 a 1 b ab a b Điểm 4đ 0,75 0,25 0,25 0,25 ab ab a b ab ( ab 1 a b ab ) 1 a b + Nếu a>b>0 ab 0 a b a b a b 0; ab ab ab ab 1 M 1 a b a b a b + nếu 00 ta có x y xy x y xy x y x y 0,5 áp dụng ta có 1 1 ab a ab a ab abc a ab( c 1) (a 1) 1 1 abc 1 c ab( c 1) a ab(c 1) a c a 1 c Vây ta có ab a c a 1 a 1 b Tương tự ta có ; bc b a b ca c b c nên 1 3 ab a bc b ca c 0,5 1 c a b 3 c 1 a 1 a 1 b 1 b 1 c 1 1 Vậy dấu “=” có khi a=b=c=1 ab a bc b ca c 2 0,25 Bài 6đ E Q F K A N M C I T G O H B P a/ 2đ -Ta có ACB nội tiếp đường tròn (vì ) mà AB là đường kính nên ACB vng tại C AC BN Ta có MA=MC ( ), OA=OC ( ) nên MO là trung trực của AC · · NBO MO AC MO // NB MOA · · -Ta có OA MA ( ) MAO NOB 900 ; xét MAO và NOB có · · · · ; OA OB R MAO NOB MO NB MAO NOB 900 ; MOA NBO b/ 2đ c/ 2đ -Ta có MO // NB; MO NB MNBO là hình bình hành.Ta có MAO = NOB (cm trên) nên ta có NO=MA, mà MA=MC ( ) nên NO=MC vậy MNBO là hình thang cân · · · · NOB 900 ; CBH MOA -Xét CHB và MAO có MAO ( cm trên) CH HB HB MA AO R -Ta có CH AB (gt) ; MA AB IH HB HB ( ) CH // MA IH // MA MA AB R CH HB HB IH IH -Nên ta có 2 2 CH IH IC IH MA R 2R MA MA -Chi ra KI là đường trung bình của tam giác ACH KI // AB CHB : MAO -Chưng minh FQIO là hình bình hành QF // IO -Chưng minh O là trục tâm tam giác GIP PG OI PG QF Bài * A 427 42016 4n 227 1 41989 4n 27 Vì A và 227 là số chính phương nên 41989 4n27 là số chính 0,5 0,75 0,75 0,5 0,5 0,5 0,5 0,75 0,75 0,5 1đ 0,25 phương Ta có 41989 4n27 > 4n 27 (2n 27 )2 *mà 41989 4n27 là số chính phương nên ta có 41989 n27 2n 27 1 n 27 23977 n 4004 Với n=4004 ta có A= A 427 42016 44004 227 24004 là số chính phương Vậy n=4004 thì A=427+42016+4n là số chính phương - HẾT - 0,5 0,25 PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2016 - 2017 Mơn Tốn : Lớp (Thời gian làm bài: 150 phút) - Bài 1: (5,0 điểm) x2 x x 1 Cho biểu thức: P . Với x 0, x 1. : x x x x 1 x a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm x để P . c) So sánh: P và 2P. Bài 2: (4,0 điểm) a) Tìm x, y Z thỏa mãn: y x x y x y xy b) Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn điều kiện: 1 1 1 b c a b c a 3 Chứng minh rằng: a b c chia hết cho 3. Bài 3: (4,0 điểm) a) Giải phương trình sau: x 20 x 25 x x 10 x 20 b) Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1. Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh bằng a. N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB. Gọi E là giao điểm của CN và DA. Vẽ tia Cx vng góc với CE và cắt AB tại F. Lấy M là trung điểm của EF. a) Chứng minh: CM vng góc với EF. b) Chứng minh: NB.DE = a2 và B, D, M thẳng hàng. c) Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích của hình vng ABCD Bài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: a b c a b c ab bc ca bc ca ab - Hết Lưu ý: Học sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay PHỊNG GD & ĐT THÀNH PHỐ THANH HĨA - Câu Ý HƯỚNG DẪN CHẤM Nội dung Điều kiện : x 0, x 1. x2 x x 1 P : x x x x 1 x a 2 đ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2016 - 2017 Mơn Tốn : Lớp (Thời gian làm bài: 150 phút) - x x 1 : x x x x 1 x2 x x ( x 1) ( x x 1) x 1 x x 1 x x 1 : x 1 2 x 1 x 1 x x 1 x x 1 Với x 0, x 1. Ta có: P 2 x x 1 Bài 5,0đ b 2,0đ x x x x 60 ( x 2)( x 3) Vì x nên x x (t/m) Vậy P = khi x = 4 Vì x x x Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 0,25 0,25 0.25 0,25 P2 2P 0,25 0,25 P2 2P Dấu “=” xảy ra khi P = 2 x = 0 Vậy P2 2P y x x y x y xy y x x y x y xy x 1 (2 y y x) 1 0,5 Vì x, y Z nên x - 1 Ư(-1) = 1; 1 +) Nếu x – 1 = 1 x = 2 Khi đó 2y2 - y – 2 = - 1 y = 1 (t/m) 1 hoặc y = Z (loại) +) Nếu x – 1 = -1 x = 0 Khi đó 2y2 - y = 1 y = 1 (t/m) 1 hoặc y = Z (loại) x x Vậy ; y 1 y 1 a) Từ giả thiết 1 1 1 ( )2 a b c a b c 1 2( )0 ab bc ca Vì a, b, c 0 nên a + b + c = 0 a b c 0,25 c 2 1,0đ x x 1 0P2 P( P 2) A 2 đ Bài 4,0đ b 2đ a b c a b3 3ab(a b) c3 a b3 c3 3abc Vậy a b3 c3 M với a, b, c Z Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng hằng đẳng thức x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) mà khơng chứng minh thì trừ 0,5 điểm 10 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 (m - 3) = 8 (Thỏa mãn đk) 0,5đ 0,25đ Với m m2 - 2m + 1 = -4m m2 + 2m + 1 = 0 (m + 1)2 = 0 m = - 1 (Thỏa mãn đk) Vậy m ĐK: x b (1,5đ) Nhận thấy: x khơng phải là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế cho 0,25đ x ta có: 4 x2 2x x x x x x (x ) ( x )2 0 x x x x 0,5đ 4 t t x x t , thay vào ta có: Đặt x x x x t 2 (t 4) t t t (t 3)(t 2) t 2 0,5đ Đối chiếu ĐK của t x t 3 x x x ( x 2)( x 1) x x Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1 hoặc x = 4 0,25đ Câu 3,5 đ Từ 2x6 + y2 – 2x3y = 320 (x3 - y)2 + (x3)2 = 320 a 0,25đ (1,5đ) => (x ) 320 => x mà x ngun nên ta có các trường hợp: 0,25đ + Nếu x = 0 thì y khơng ngun ( loại) 0,25đ + Nếu x = 1 hoặc x = -1 thì y khơng ngun (loại) 0,25đ + Nếu x = 2=> y= - 8 hoặc y = 24 0,25đ + Nếu x = -2 => y= -24 hoặc y = 8 Vậy phương trình đã cho có 4 cặp nghiệm (x;y) là: 0,25đ (2;-8);(2;24);(-2;- 24);(-2;8) a 3b 3c 3a 2b 3c 3a 3b 2c b 6 (2,0đ) Ta có : 2015 a 2016 b 2017 c 0,5đ b c 4033 c a 4032 a b 4031 6 2015 a 2016 b 2017 c Đặt 2015 + a = x; 0,5đ 2016 + b = y; 2017 + c = z (x,y,z > 0) b c 4033 c a 4032 a b 4031 VT = 0,5đ 2015 a 2016 b 2017 c 16 VT 0,5đ yz zx x y y x x z y z x y z x y z x z y y x z x y z 2 2 (Co si ) x y x z z y Dấu “=” xảy ra khi x = y = z suy ra a = 673, b = 672, c = 671 2 5,0 đ Câu A D B O N I C H K E M · a 90 Vì A thuộc đường tròn đường kính BC nên BAC (1,5đ) Xét vng BAC và vng AHC có AB AH = tan ·ACB AC HC 2AB 2AH AM AH (Vì HC = 2IC) (Vì AM = 2AB) AC IC AC IC Xét 2 tam giác AHM và CIA ta có AM AH AC IC · · A (Cùng phụ HAC · HAM IC ) AHM ~ CIA ( cgc) Gọi giao điểm của MH với AI là D b (1,5đ) Vì AHM ~ CIA ( câu a) · · ( 2 góc tương ứng) HMA IAC · DAM · · · 900 nên HMA DAM 900 Mà: IAC · ADM 900 MH IA tại D Gọi E là trung điểm của MC. Nối AE cắt BC ở N c (2,0đ) AN N là trọng tâm của tam giác AMC 2 NE 17 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Vì K là trọng tâm của tam giác MBC Nên K là giao điểm của BE và MO và 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ BK KE AN BK NK / / AB ( Định lí Ta Lét đảo) (1) NE KE BA BM Vì BE là đường trung bình của tam giác AMC EM EC Nên BE//AC mà AC AB nên BE AB (2) · Từ (1) và (2) NK BE tại K BKN 900 (3) Vì N là trọng tâm của AMC nên BN = BC khơng đổi N thuộc BC cố định mà BN khơng đổi nên N là điểm cố định (4) Từ (3) và (4) K ln thuộc đường tròn đường kính BN cố định. Câu 2,0 đ Đặt BC = a; CA = b; AB = c; SABC = s; Gọi độ dài các đường cao ứng với các cạnh a; b; c lần lượt là x; y; z (với x, y, z là các số ngun dương); r là bán kính đường tròn nội tiếp ABC. 2 0,25đ Khi đó: SABC =s = ax = by = cz 2 s = SIAB + SIAC + SIBC = r(a + b + c) = (a + b + c) (do r = 1) Suy ra: x = abc > 2 (theo BĐT tam giác). a Tương tự y > 2; z > 2 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ S S S Lại có: IAB IAc ICB s s s 1 Do x, y, z nguyên dương và lớn hơn 2. x y z 2s Giải ra ta có x = y = z = 3 nên a = b = c = Vậy ABC đều Câu 0,25đ 0,5đ 2,0 đ Áp dụng BĐT Cơ-si cho 2 số khơng âm (a + b + c) và d ta có: 1 = (a + b + c) + d 2. (a b c).d 1 = a + b + c + d 4(a + b + c).d 1.(a + b + c) 4(acủa x để biểu thức P nhận giá trị nguyên. . Tính giá trị của biểu thức A = x2015 – x2016 + b) Cho 2017. Câu (2,0 đ) a) Giải phương trình: b) Tìm các cặp số (x; y) nguyên thỏa mãn: Câu (2,0 đ) a) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng là hợp số. b) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Câu (3,0 đ) Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh bằng 2cm. Gọi E, F thứ tự là trung điểm của AD, DC. Gọi I, H thứ thự là giao điểm của AF với BE, BD. Vẽ (M thuộc cạnh BC), O là giao điểm của IM và BD. a) Tính độ dài của AI, BI. b) Chứng minh 4 điểm B, I, H, M cùng thuộc một đường tròn. c) Chứng minh DH.BO = OH.BD. Câu (1,0 đ) Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: -Hết - 27 PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 - 2017 ĐƠNG SƠN Mơn Tốn – Bảng A (Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề) - Bài 1: Cho biểu thức: A = a, Rút gọn biểu thức A. b, Tính giá trị biểu thức A khi x = 3 + ; y = 3 - Bài 2: Cho 3 số a, b, c 0 thỏa mãn: a b c và a3+b3 +c3 = 3abc. P = Chứng minh rằng : P.Q = 9. ; Q = Bài 3: Giải phơng trình : (4x – 1) = 2(x2+1) + 2x -1. : Bài 4: Giải hệ phương trình sau: Bài 5: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn x + y + z = 3 và x4+y4+z4 =3xyz. Hãy tính giá trị của biểu thức M = x2006 + y2006 + z2006 Bài 6: Cho Parabol (P) có phương trình y = x2 và điểm A(3;0) ; Điểm M thuộc (P) có hồnh độ a. a) Xác định a để đoạn thẳng AM có độ dài ngắn nhất . b) Chứng minh rằng khi AM ngắn nhất thì đường thẳng AM vng góc với tiếp tuyến của (P) tại điểm M. Bài 7: Tìm nghiệm ngun của phương trình : x3 + x2 + x +1 = 2003y Bài 8: Cho tam giác ABC vng ở A. I là trung điểm của cạnh BC, D là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Đường trung trực của AD cắt các đường trung trực của AB, AC theo thứ tự tại E và F. a) Chứng minh rằng: 5 điểm A,E,I,D,F cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh rằng: AE.AC = AF.AB. c) Cho AC = b; AB = c. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AEF theo b, c Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A. Một điểm P di động trên BC. Qua P vẽ PQ//AC (Q AB) và PR//AB (R AC). Tìm quỹ tích các điểm D đối xứng với P qua QR. - HẾT - 28 PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HỊA BÌNH KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Năm học 2016 - 2017 Môn thi: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu (5.0 điểm) a) Chứng minh rằng với mọi số ngun a ta đều có là số ngun chia hết cho 6 b) Tìm số tự nhiên n sao cho n + 24 và n – 65 là hai số chính phương. Câu (5.0 điểm) a) Giải phương trình sau: b) Giải hệ phương trình sau: Câu (5.0 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x2 + 2y2 – 2xy + 4x – 2y + 15. b) Cho a > 1, b > 1, c > 1. Chứng minh rằng: Câu (5.0 điểm) Cho đường tròn (O; R), đường kính BC. A là một điểm trên đường tròn (A khác B và C). Hai tiếp tuyến vẽ từ A và B cắt nhau tại P. Gọi H là hình chiếu của A lên BC, E là giao điểm của PC và AH. a) Chứng minh E là trung điểm của AH. b) Tính AH theo R và khoảng cách PO = d - HẾT - 29 PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP CẤP HUYỆN TRỰC NINH Năm học 2016 - 2017 Mơn thi: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Bài 1 (4,0 điểm). 1) Rút gọn biểu thức: A = 2) Cho a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A b) Đặt B = A + x – 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B Bài 2 (4,0 điểm) Giải phương trình 1) Giải phương trình: 2) Giải phương trình: Bài (3,0 điểm). 1) Chứng minh rằng với k là số ngun thì 2016k + 3 khơng phải là lập phương của một số ngun. 2) Tìm nghiệm ngun của phương trình Bài (7,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm nằm trên nửa đường tròn (O) (C khác A, C khác B). Gọi H là hình chiếu vng góc của C trên AB, D là điểm đối xứng với A qua C, I là trung điểm của CH, J là trung điểm của DH. a) Chứng minh b) Chứng minh CJH đồng dạng với HIB c) Gọi E là giao điểm của HD và BI. Chứng minh HE.HD = HC2 d) Xác định vị trí của điểm C trên nửa đường tròn (O) để AH + CH đạt giá trị lớn nhất. Bài (2,0 điểm) Cho Chứng minh rằng: -HẾT 30 ... PHỊNG GGD& ĐT HUYỆN THI U HÓA ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 12 tháng... 0,25 phương Ta có 4 198 9 4n27 > 4n 27 (2n 27 )2 *mà 4 198 9 4n27 là số chính phương nên ta có 4 198 9 n27 2n 27 1 n 27 2 397 7 n 4004 Với n=4004 ta có A=... sinh: ; Số báo danh: 14 PHÒNG GD&ĐT HUYỆN THI U HĨA ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 - 2017 Mơn: Tốn Câu