Đang tải... (xem toàn văn)
Trong cuộc sống hằng ngày, chúng ta vẫn thường gặp những vật thể không gian như chiếc cốc, cây bút chì, chiếc nón lá, lon sữa, khối rubik, … và việc nảy sinh những nhu cầu như đo đạc, phân tách, lắp ghép các vật thể là hoàn toàn tự nhiên. Trong chương này, chúng ta sẽ cùng dạo qua các bài toán hình học không gian nhưng không chỉ đơn thuần là giấy và bút, mà còn là cả một cuộc sống muôn màu mở ra trước mắt. Hy vọng kết thúc chương, các em sẽ thấy toán học gần gũi hơn ta tưởng rất nhiều
CHƯƠNG III KHỐI ĐA DIỆN - KHỐI TRÒN XOAY PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Trong sống ngày, thường gặp vật thể không gian cốc, bút chì, nón lá, lon sữa, khối rubik, … việc nảy sinh nhu cầu đo đạc, phân tách, lắp ghép vật thể hoàn toàn tự nhiên Trong chương này, dạo qua tốn hình học không gian không đơn giấy bút, mà sống mn màu mở trước mắt Hy vọng kết thúc chương, em thấy toán học gần gũi ta tưởng nhiều Chương III bao gồm nội dung sau: Phần 1: Làm quen với khối Phần 2: Một số vấn đề định lượng Bài tập trắc nghiệm Đáp án hướng dẫn giải Tựa sách – Tên tác giả PHẦN 1: LÀM QUEN VỚI CÁC KHỐI Hình học khơng gian đến với từ năm tháng đời, từ gắn chặt khơng rời ta hoạt động sống Đến đây, bạn hẳn hồ nghi điều vừa đọc, lẽ trí nhớ bạn, kiến thức hình học không gian thực xuất học: xuất phát từ việc làm quen với hình khối đơn giản đến việc tìm hiểu mối quan hệ khơng gian song song, vng góc sau Tuy nhiên, bình tâm ngẫm lại chút, có thực đến trường bạn làm quen với “hình hộp chữ nhật”, “hình chóp” hay khơng? Thuở chập chững biết đi, nói chưa tròn chữ, phiên “bé” vơ hứng thú với đồ chơi đầy màu sắc hình dáng “kì lạ”, mò mẫm tìm cách leo lên bậc thang dù chưa dạy Lớn lên chút, ta say mê với đồ chơi ghép hình (xem hình 3.1.1.a) hay khối rubik (xem hình 3.1.1.b), ý thức hồn tồn tung Hình 3.1.1.a từ thềm nhà xuống đất chùn chân nhụt chí leo cầu thang lên máng trượt cảm giác mạnh công viên nước; hay hồ bơi thiếu nhi tung hồnh vùng vẫy lần khu vực có bảng “2m4” biết rùng đứng bờ nhìn xuống đáy hồ phần mường tượng sâu nguy hiểm dù chưa lần thực lặn xuống Chưa hết, bạn hẳn thắc mắc số người chơi rubik kì cựu sau chút quan sát nhắm mắt xoay khối rubik ban đầu Trí nhớ tốt hiển nhiên đóng vai trò then chốt, họ cần hiểu rõ Hình 3.1.1.b hình khối để biết mặt tới vị trí sau bước xoay Như vậy, suốt trình trưởng thành, ta học hỏi dần chiếm lĩnh khơng gian, phát triển trí tưởng tượng khả sáng tạo Trong phần này, tìm hiểu số toán thú vị để làm quen với khối không gian như: Phân chia lắp ghép khối, Bản vẽ khối hay Mơ hình khối Không cần phải căng thẳng, mà ngược lại thả để trí tưởng tượng tự xem việc mang lại hiệu CHỦ ĐỀ 1: PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI Những hình ảnh khối phơ mai bị cắt hay mẩu xếp hình lắp ghép lại với ví dụ sinh động cho việc phân chia lắp ghép khối khơng gian (Hình 3.2.1) Hình 3.2.1 Việc phân chia lắp ghép cần tuân thủ số nguyên tắc định Ví dụ cho trước khối lập phương, ta cắt khối theo nhiều cách khác nhau, với cách cắt, ta tạo số khối đa diện mới, tạm gọi khối thành phần, phần khối lập phương ban đầu Những khối thành phần tạo từ cách cắt hiển nhiên lắp ghép lại thành khối lập phương ban đầu (3.2.2.a) Hình 3.2.2.a Tuy nhiên lấy số khối thành phần từ cách cắt khác nhau, chưa ta ghép chúng lại để tạo thành khối lập phương ban đầu: bị thiếu vài phần (xem hình 3.2.2.b), có lại bị thừa, chồng chất lên (Xem hình 3.2.2.c) Hình 3.2.2.b Hình 3.2.2.c Tựa sách – Tên tác giả Một hình (H) gọi phân chia thành hình H H hay nói cách khác, H H ghép lại tạo thành hình (H) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: i Hình (H) hợp thành H H (các khối thành phần hình 3.2.2.b rõ ràng khơng thỏa điều kiện ta thấy có thừa khoảng trống ghép vào khối lập phương Trong đó, khối thành phần hình 3.2.2.a 3.2.2.c thỏa điều kiện) ii H H khơng có điểm chung (2 khối hình 3.2.2.c khơng thỏa điều kiện ta thấy có phần bị chồng lấp khối) Ngoài hai nguyên tắc để thực tốt việc phân chia lắp ghép khối, ta cần hiểu rõ khối để đưa đốn, suy luận hợp lí KHỐI CHĨP Khối tứ diện Khối tứ diện Khối chóp tứ giác Khối chóp tứ giác Hình 3.2.3.a Hình 3.2.3.b Hình 3.2.3.c Hình 3.2.3.d KHỐI LĂNG TRỤ Khối lăng trụ tam giác Khối lăng trụ đứng tam giác Khối lăng trụ tứ giác Khối lăng trụ đứng tứ giác Hình 3.2.4.a Hình 3.2.4.b Hình 3.2.4.c Hình 3.2.4.d Khối hộp Khối hộp đứng Khối hộp chữ nhật Khối lập phương Hình 3.2.4.e Hình 3.2.4.f Hình 3.2.4.g Hình 3.2.4.h KHỐI TRỊN XOAY Khối nón Khối trụ Khối cầu Hình 3.2.5.b Hình 3.2.5.a Hình 3.2.5.c Tùy theo yêu cầu mà việc phân chia hay lắp ghép khối có độ phức tạp khác Đối với khối phức tạp, ta không nên cố gắng biểu diễn thứ hình mà nên chia nhiều bước (Hình 3.2.6) xoay lật hình để có góc nhìn tốt Hình 3.2.6 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 3.1 Phân chia khối tứ diện thành khối tứ diện Nhận xét: cần chọn mặt tùy ý tứ diện ban đầu, chia mặt thành tam giác ta phân chia tứ diện đề cho thành tứ diện Sau đó, chọn tứ diện vừa tạo thành, lặp lại trình Hướng dẫn giải Tựa sách – Tên tác giả Hình 3.3.1 Bài tập tương tự Bài 3.2 Phân chia khối tứ diện thành khối tứ diện khối chóp tứ giác có đáy hình thang Bài 3.3 cụt Phân chia khối tứ diện thành khối tứ diện khối chóp Bài 3.4 Phân chia khối chóp tứ giác thành khối tứ diện mặt phẳng Với việc phân chia đáy khối chóp thành phần, ta định hình khối chóp (Hình 3.3.2) Lúc này, xem ta cắt khối chóp đề cho lần Hình 3.3.2.a Hình 3.3.2.b Như vậy, ta nhận xét để tạo khối tứ diện, đồng nghĩa với việc đáy chúng tam giác, ta nên chọn phương án hình 3.3.2.b lúc việc chia đáy lần theo đường chéo lại tứ giác đáy chia thành tam giác Ở đây, ta khơng chọn phương án hình 3.3.2.a khơng phải khơng thể tiếp tục chia thành tam giác mà số bước thực nhiều hơn, theo đề bài, số lần cắt ta giới hạn lần Hướng dẫn giải Bước 1: Dựng khối chóp tứ giác S.ABCD, mặt phẳng (SAC) chia khối chóp thành khối tứ diện S.ABC SABD (Hình 3.3.3a) Bước 2: Mặt phẳng (SBD) chia tiếp khối chóp thành khối tứ diện Nếu gọi O giao điểm AC BD tên gọi khối tứ diện là: S.AOB, S.BOC, S.COD, S.DOA (Hình 3.3.3b) Hình 3.3.3.a Hình 3.3.3.b Bài tập tương tự Bài 3.5 Phân chia khối bát diện thành khối tứ diện mặt phẳng Bài 3.6 Phân chia khối chóp tứ giác thành khối chóp tứ giác mặt phẳng Bài 3.7 Phân chia khối tứ diện thành khối tứ diện chỉa mặt phẳng Bài 3.8 Phân chia khối tứ diện thành khối tứ diện khối chóp cụt Phân tích tốn Từ tốn trước, ta biết cần chia mặt tứ diện ban đầu thành tam giác ta có tứ diện Sử dụng tứ diện vừa tạo thành, cắt tứ diện theo mặt phẳng song song với mặt nó, ta khối tứ diện khối chóp cụt Hướng dẫn giải Bước 1: Chia khối tứ diện thành khối tứ diện Bước 2: Chọn khối tứ diện vừa tạo, cắt khối mặt phẳng song song với đáy, ta khối chóp cụt khối tứ diện nhỏ (Hình 3.3.4) Hình 3.3.4 Bài tập tương tự Bài 3.9 Phân chia khối chóp cụt tam giác thành khối tứ diện Bài 3.10 Phân chia khối chóp cụt tam giác thành khối tứ diện Bài 3.11 Phân chia khối lập phương thành khối chóp Tựa sách – Tên tác giả Nhận xét: cách chia khối lập phương theo mặt phẳng đối xứng nó, ta khối lăng trụ tam giác Với khối lăng trụ này, ta chia tiếp thành khối chóp Như vậy, cần xử lý khối lăng trụ làm tương tự cho khối lại, ta có kết mong muốn Hướng dẫn giải Bước 1: Chia khối lập phương dọc theo mặt đối xứng (HFBD), ta nửa khối lập phương khối lăng trụ tam giác Ở ta xử lý khối ABD.EFH Bước 2: Chia khối lăng trụ ABD.EFH thành khối tứ diện EABD khối chóp tứ giác E.BDHF (Hình 3.3.5.a) Bước 3: Làm tương tự với khối lăng trụ BCD.HGF (Hình 3.3.5.b) Hình 3.3.5.a Hình 3.3.5.b Bài tốn mở rộng cho khối lăng trụ tứ giác Khi đó, dù khối khơng có tính đối xứng khối lập phương việc chia khối theo mặt phẳng (HFBD) ta làm tương tự để kết ý Bài tập tương tự Bài 3.12 Phân chia khối hộp thành khối tứ diện Bài 3.13 Phân chia khối hộp thành khối chóp tứ giác Bài 3.14 Phân chia khối hộp thành khối tứ diện CHỦ ĐỀ 2: BẢN VẼ CÁC KHỐI Các khối vật thể khơng gian với kích thước bao gồm chiều dài, chiều rộng chiều cao cần mô tả hình dạng khối, ta biểu diễn giấy, hay nói cách khác mặt phẳng Những hình ảnh biểu diễn thực chất hình chiếu song song vật thể lên giấy Hình chiếu song song vật lên mặt phẳng gì? Trước hết ta nhắc lại định nghĩa phép chiếu song song không gian Hình 3.4.1.a Cho mặt phẳng đường thẳng cắt Qua điểm M bất kỳ, ta vẽ đường thẳng d song song trùng với cắt M’ Khi M’ gọi hình chiếu M lên mặt phẳng theo phương Mặt phẳng gọi mặt phẳng chiếu, phương gọi phương chiếu (xem hình 3.4.1.a) Tương tự, hình chiếu hình (H) lên mặt phẳng theo phương tập hợp hình chiếu điểm thuộc hình (H) lên mặt phẳng theo phương (xem hình 3.4.1.b) Khi đường thẳng vng góc với mặt phẳng , ta có phép chiếu vng góc Hình chiếu tạo từ phép chiếu vng góc gọi hình chiếu vng góc (hay gọi tắt hình chiếu) Như nói, hình biểu diễn vật thể khơng gian lên giấy thực chất hình chiếu song song vật thể theo phương chiếu Trong thực tế, ta hay Hình 3.4.1.b sử dụng phép chiếu vng góc để vẽ hình biểu diễn vật vẽ kỹ thuật chẳng hạn Trong hình 3.4.2.a, ta có thiết bị máy (hình góc bên trái) quan sát trực diện quan sát từ bên Hai hướng nhìn khác tương ứng với phương chiếu khác nhau, từ ta có hình chiếu vẽ (hình 3.4.2.b 3.4.2.c) Hình 3.4.2.a Hình 3.4.2.b Hình 3.4.2.c BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 3.15 Vẽ hình chiếu vng góc khối lập phương với phương chiếu phương cạnh khối Khi phương chiếu phương cạnh, đồng nghĩa với việc phương chiếu vng góc với mặt khối lập phương Hình chiếu yêu cầu vẽ hình chiếu vng góc, mặt phẳng chiếu song song với mặt khối lập phương vừa nêu Hình chiếu ta thu hình vng mặt khối lập phương Hướng dẫn giải Tựa sách – Tên tác giả Hình 3.5.1.a Hình 3.5.1.b: Hình chiếu khối lập phương Dựa vào mơ tả phương chiếu đề để xác định hình chiếu, thơng thường phương chiếu phương vng góc với mặt vật Bài 3.16 Vẽ hình chiếu khối chóp tứ giác với phương chiếu trùng với phương cạnh đáy Mặt phẳng chiếu mặt phẳng vng góc với cạnh đáy chọn Dựng đường cao khối chóp, qua dựng mặt phẳng vng góc với phương chiếu Thiết diện khối chóp bị cắt mặt phẳng hình chiếu ta cần vẽ Hướng dẫn giải Hình chiếu khối chóp tứ giác tam giác cân đỉnh khối chóp Hình 3.5.2.a Bài tập tương tự Hình 3.5.2.b: Hình chiếu khối chóp Bài 3.17 Vẽ hình chiếu khối chóp tứ giác với phương chiếu trùng với phương đường cao Bài 3.18 Vẽ hình chiếu khối tứ diện với phương chiếu trùng với phương đường cao Bài 3.19 Vẽ hình chiếu khối hộp đứng có đáy hình thoi với phương chiếu trùng với phương đường chéo đáy Bài 3.20 Cho ngơi nhà có dạng hình lăng trụ ngũ giác đứng hình vẽ Vẽ hình chiếu nhà với phương chiếu: 10 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 3.46 Nón tạo từ khung hình nón với phần vành tre uốn dẻo thành đường tròn có đường kính 40cm tre nối từ đỉnh nón xuống vành lớn gọi khung (hình 3.12.1.a) Người ta chia khung thành 16 đoạn nhau, vạch phân cách người ta lại tiếp tục gắn tiếp vành nón với kích thước nhỏ có đủ tổng cộng 16 vành nón Hình 3.12.1.a a Cho biết góc khung mặt phẳng đáy nón 45o , tính thể tích nón b Tính bán kính vành nón thứ từ đếm lên Câu a: Góc khung mặt phẳng đáy nón góc đường sinh mặt đáy khối nón Với kiện đường kính đáy, ta dễ dàng tìm chiều cao khối nón từ tính thể tích Câu b: Nhận xét thấy đưa tốn gọn lại mặt phẳng để xử lí nhờ vào định lý Thales cho tam giác Hướng dẫn giải a Dựng mô hình nón hình 3.12.1.b với SO đường cao khối nón OM bán kính vành nón lớn Góc khung mặt phẳng đáy góc SMO 45o , nên tam giác SOM vuông cân O Suy ra: SO OM Hình 3.12.1.b 40 20 cm Thể tích nón: 8000 V 202.20 cm3 3 37 Tựa sách – Tên tác giả b Gọi N, T giao điểm vành nón thứ với đường sinh SM đường cao SO Vì mặt phẳng đáy nón mặt phẳng chứa vành nón thứ song song nhau, NT, MO lại giao tuyến (SMO) với mặt nên NT//MO Trong mp(SMO), xét tam giác SMO: NT SN 15 MO SM 16 (do khung SM chia thành 16 phần nhau) Suy NT 15 15 75 MO 20 cm 18,75 cm 16 16 Bài 3.47 Trong trò chơi vận động, thí sinh phải làm phễu nhỏ có dạng hình nón (xem hình 3.12.2.a) sau nhanh chóng hứng nước vào đầy phễu rót vào thùng hình hộp chữ nhật có đáy miệng hình vng Biết đáy phễu đường tròn nội tiếp đáy thùng chiều cao phễu chiều cao thùng Hỏi sau lần rót nước thùng đầy nước? Hình 3.12.2.a Hướng dẫn giải Tưởng tượng ta đặt nón vào hộp, ta kết hình 3.12.2.b Ta nhận thấy đáy nón đường tròn nội tiếp đáy thùng thì độ dài cạnh đáy thùng đường kính đáy nón Gọi kích thước thùng a x a x h (trong a độ dài cạnh đáy thùng, h chiều cao thùng) Ta so sánh thể tích V1 nón thể tích V2 �a � h thùng: V1 � 2� 1 24 � � � V2 V1 �7,64V1 V2 24 a h Vậy cần rót nước lần phễu đầy thùng Hình 3.12.2.b Bài 3.48 Cắt hình nón mặt phẳng song song với đáy phần hình nón nằm mặt phẳng đáy gọi hình nón cụt (xem hình 3.12.3.a) Một cốc có dạng hình nón cụt cao cm, bán kính đáy cốc miệng cốc 3cm 4cm Tính thể tích cốc 38 Hình 3.12.3.a Bài tốn tính thể tích nón cụt mà lại khơng lạ, phương pháp hồn tồn tương tự nón cụt (xem 3.37) Bài tốn quy việc đưa bán kính đáy lớn, đáy nhỏ chiều cao vào mặt phẳng xử lý toán hình học phẳng Hướng dẫn giải Ta dựng mơ hình cốc từ dựng khối nón tương ứng hình 3.12.3.b Để tính thể tích cốc hình nón cụt, ta cần tính hiệu thể tích khối nón đáy tâm B khối nón đáy tâm G hình Lấy điểm M đường tròn đáy lớn, lúc ta xét tốn mặt Hình phẳng (ABM) (hình 3.12.3.c) 3.12.3.b AB AG AB AB � � AB 36 cm MB NG 3 Thể tích khối nón lớn: VB 42.36 192 cm3 Thể tích khối nón nhỏ: VG 32. 36 9 81 cm3 Suy thể tích cốc: VB VG 111 cm3 111 ml �348,72 ml Hình 3.12.3.c Tổng qt tốn: Với khối nón cụt có bán kính đáy lớn đáy nhỏ R r, chiều cao h, ta tìm cơng thức tính thể tích khối nón cụt Sử dụng lại hình 3.12.3.c, lúc NG = r, MB = R GB = h Ta có: V VB VG R2.AB r 2.AG � R2. AG h r 2.AG � � � � R2.h R2 r AG � � � 39 Tựa sách – Tên tác giả AG r AG r r � � AG h AB R GB R r Rr � 1 �2 r R h R2 r h� � R2.h R r r.h� h R2 Rr r Suy ra: V � � � � Rr � 3 Lại có Vậy thể tích khối nón cụt là: V h R2 Rr r Bài 3.49 Một cách khác để tạo hình nón cụt xoay hình thang vng quanh cạnh góc vng nó, cạnh góc vng gọi đường cao hình nón cụt cạnh bên lại gọi đường sinh Một Hình 3.12.4.a khn bánh có dạng hình nón cụt với góc tạo đường sinh đáy lớn (tức miệng khuôn) 60o Biết bán kính đáy 5cm 3cm, tính diện tích miếng kim loại dùng để tạo khuôn bánh Dựng mô hình khn bánh hình nón cụt, ta nhận xét nối dài đường sinh hình nón cụt chúng đồng quy điểm, từ ta có hình nón tương ứng với hình nón cụt dựng Diện tích miếng kim loại bao gồm diện tích xung quanh khối nón cụt diện tích đáy nhỏ Để giải toán này, ta xét toán tổng quát sau: Tính diện tích xung quanh hình nón cụt có bán kính đáy R r (R > r) Nếu cắt hình nón rỗng đáy dọc theo đường sinh trải mặt phẳng, ta có hình 3.12.4.b, phần diện tích giới hạn cung tròn bán kính diện tích xung quanh hình nón cụt 40 l 2r L 2R Hình 3.12.4.b Như ta thấy diện tích xung quanh hình nón cụt hiệu diện tích hình nón đáy lớn hình nón đáy nhỏ Gọi S1,S2 ,Sxq diện tích xung quanh hình nón nhỏ, hình nón lớn hình nón cụt Gọi l L độ dài đường sinh hình nón nhỏ hình nón lớn Xét mặt phẳng chứa trục hình nón vng góc với đáy, hình 3.12.4.c cho ta thiết diện hình nón bị cắt mặt phẳng Hình 3.12.4.c Trong đó: tam giác cân SMM’, tam giác cân SNN’ hình thang cân NN’M’M thiết diện mặt phẳng cắt hình nón lớn, hình nón nhỏ hình nón cụt Ta có: l SN NG r OM R ; L SM cos cos cos cos Diện tích xung quanh hình nón cụt: Sxq S2 S1 RL rl R R r r R2 r cos cos cos Vậy diện tích xung quanh hình nón cụt có bán kính đáy lớn đáy nhỏ R r là: Sxq R2 r cos 41 Tựa sách – Tên tác giả Hướng dẫn giải Áp dụng cơng thức, ta có diện tích xung khn bánh là: Sxq 52 32 2 16 32 cm2 o cos60 Diện tích miếng kim loại tổng diện tích xung quanh khn nón 2 diện tích đáy nhỏ: Sxq r 32 41 cm Bài 3.50 Một lọ vitamin C có dạng hình trụ với bán kính đáy 1,5cm chiều cao 8cm Những viên sủi vitamin C đựng lọ có dạng hình trụ với diện tích đáy diện tích đáy lọ thể tích viên cm3 a Hỏi lọ có tổng cộng viên vitamin C? b Những lọ vitamin xếp thẳng đứng sát vào khay hình hộp chữ nhật Hỏi chiều dài chiều rộng khay để chứa 20 lọ xếp thành hàng, hàng lọ? Hình 3.12.5.a Hình 3.12.5.b Câu a: Để xác định số viên thuốc lọ, ta cần tìm thể tích lọ chia kết cho thể tích viên Vì lọ có dạng hình trụ nên để tìm thể tích ta dùng cơng thức: V B.h r 2h r bán kính đáy h chiều cao lọ.Rõ ràng thơng tin ta có Câu b: Để giải câu b, ta quan sát hình chiếu với phương chiếu vng góc với đáy khay, ta thấy hình ảnh hình 3.12.5.c Hình 3.12.5.c Hướng dẫn giải a Thể tích V1 lọ: V1 1,5 18 cm 42 Mỗi viên thuốc tích V2 cm3 V1 Ta xét tỉ số: V2 18 10 Vậy lọ có 10 viên sủi C b Chiều dài khay lần đường kính đáy lọ: 5.2.1,5 = 15 (cm) Chiều rộng khay lần đường kính đáy lọ: 4.2.1,5 = 12 (cm) Bài 3.51 Một xilanh hình trụ có pít-tơng phần dùng để ngăn cách khoang xilanh (cũng có dạng hình trụ) Cho biết đường kính đáy chiều cao xilanh 8cm 50cm Ban đầu, khoang xilanh chứa đầy nước với thể tích 560 cm3 Sau Hình 3.12.6 người ta bắt đầu đẩy pít-tơng để xả nước ngồi Biết phút pít – tơng di chuyển 5cm dọc theo thân xilanh a Hỏi sau khoang xilanh có thể tích, biết chiều cao pít-tơng 6cm? b Hỏi để đẩy khỏi xilanh? Hướng dẫn giải a Tổng chiều cao khoang xilanh: 50 – = 44 (cm) Chiều cao ban đầu khoang chứa nước: h1 560 35 cm 42 Hai khoang có thể tích chúng có chiều cao (do bán kính đáy nhau), hay nói cách khác chiều cao khoang 44 22 cm Gọi t (phút) thời gian cần để khoang chứa nước đạt độ cao 22 cm: 35 5t 22 � t 13 2,6 (phút) = phút 36 giây b Thời gian cần thiết để đẩy ngoài: 35 (phút) Bài 3.52 Một lăn sơn tường có dạng khối trụ với bán 43 Hình 3.12.7 Tựa sách – Tên tác giả kính đáy 5cm chiều cao 30cm Nhà sản xuất cho biết sau lăn triệu vòng sơn tường bị hỏng Tính diện tích mà sơn tường lăn trước hỏng Chỗ em tính diện tích lăn thơi khơng tính diện tích sơn Nếu cắt hình trụ rỗng đáy theo đường sinh nó, trải mặt phẳng ta có hình chữ nhật có kích thước chiều cao chu vi đáy hình trụ Hình 3.12.7.b Hình 3.12.7.c Diện tích mà sơn tường sơn vòng lăn diện tích hình chữ nhật hình 3.12.7.c Hướng dẫn giải Diện tích sơn tường sơn vòng lăn diện tích xung 2 quanh khối trụ: Sxq 30 750 cm Diện tích sơn tường sơn trước hỏng: 1000000.750 75 107 cm2 Bài 3.53 Một nhà sản xuất sữa có phương án làm hộp sữa: hộp sữa có dạng khối hộp chữ nhật hộp sữa có dạng khối trụ Nhà sản xuất muốn chi phí bao bì thấp tốt (tức diện tích tồn phần hộp), phải chứa thể tích xác định Hỏi phương án tốt phương án nêu? Hướng dẫn giải Phương án 1: Hộp sữa có dạng hình hộp chữ nhật Gọi kích thước hộp sữa a x b x c V thể tích cần đạt mà nhà sản xuất yêu cầu (a, b, c, V > 0) Như ta có: abc = V Diện tích tồn phần hộp sữa trên: S1 2 ab bc ca Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số nguyên dương ab, bc, ca: 44 ab bc ca �33 ab.bc.ca 33 a2.b.2.c2 33 V Suy ra: S1 �63 V Đẳng thức xảy � a b c V Phương án : Hộp sữa có dạng hình trụ Gọi h r chiều cao bán kính đáy hộp hình trụ (h, r > 0) Theo yêu cầu nhà sản xuất: r 2h V � r2h V V � h 2r Diện tích tồn phần hộp diện tích xung quanh cộng diện � V � �V � r � 2 � r � � 2r � �2r � tích hai đáy: S2 2 r.h+2 r 2 rh r 2 �r �V �2r � Xét hàm số S2 r 2 � r � (r > 0) � � V � 4r V r � r2 � 2r � Ta có: S'2 2 � S'2 � r V > Dễ dàng nhận thấy giá trị nhỏ hàm số S2 r 0;� � V � 3 S2 �3 � V � � 16 � � Với giá trị nhỏ S1, S2 V ; 63 V 3 16 3 16 V , ta thấy V hay nói cách khác phương án sử dụng hộp sữa hình trụ tiết kiệm diện tích bao bì Bài 3.54 Người ta thả bóng hình cầu vào cốc nước mực nước dâng lên vị trí cao bóng, nghĩa mặt nước mặt phẳng tiếp xúc với bóng Cho biết đường kính đáy cốc 14cm chiều cao mực nước ban đầu 4cm Tính bán kính bóng? (kết làm tròn tới hàng phần trăm) Hình 3.12.8 45 Tựa sách – Tên tác giả (dựa đề thi Học sinh giỏi Máy tính cầm tay tỉnh Thừa Thiên Huế - 2004 – 2005) Nhận xét: theo mô tả đề bài, rõ ràng chiều cao mực nước sau nhúng chìm bóng vào cốc đường kính bóng Từ ta xác định độ tăng thể tích, thể tích bóng hình cầu tìm lại bán kính R bóng theo cơng thức V R3 Hướng dẫn giải Gọi r (cm) bán kính bóng Theo đề ta có: 4 42.5 r 42.2r � 80 + r 32 r � r 32r 80 3 �r 7,31 cm hay r 2,13 cm Bài 3.55 Một viên kem hình cầu tích 64 cm3 đặt vào bánh cốc có dạng hình trụ với đường kính đáy 6cm chiều cao 14cm Hỏi chiều cao phần kem nhô khỏi bánh bao nhiêu, giả sử viên kem khơng bị biến dạng suốt q trình (kết làm tròn đến hàng phần trăm) Hình 3.12.9.a Nhận xét: Chiều cao phần viên kem nhơ ngồi tổng bán kính khoảng cách từ tâm viên kem (tâm khối cầu) đến mặt phẳng miệng cốc Thiết diện khối cầu bị cắt mặt phẳng miệng cốc miệng cốc (một đường tròn có đường kính 6cm) (Hình 3.12.9.b) Hướng dẫn giải Bán kính r viên kem: r 64 V 3 cm 4 3 Bán kính R đáy cốc: R = (cm) Xây dựng mơ hình viên kem khối cầu tâm O, bán kính r Tâm miệng cốc điểm B Lấy M điểm vành miệng cốc, ta dễ dàng có OM = r = 4cm; BM = R = 3cm Hình 3.12.9b 46 Xét tam giác OMB vuông B, khoảng cách từ O đến mặt phẳng miệng cốc độ dài đoạn OB: OB OM MB2 cm Như chiều cao viên kem nhô khỏi miệng cốc tổng bán kính viên kem độ dài OB: R OB 3 cm �5,65 cm 47 Tựa sách – Tên tác giả CHỦ ĐỀ 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ MƠ HÌNH CÁC KHỐI Ta xem lại số lưới đa giác dùng để tạo mơ hình khối đa diện Khối tứ diện Khối chóp tứ giác Khối lập phương Khối hộp chữ nhật Hình 3.13.1 Hình 3.13.2 Hình 3.13.3 Hình 3.13.4 Ngồi với khối tròn xoay, ta làm tương tự cách cắt khối tròn xoay dọc theo đường sinh trải mặt phẳng, ta có kết hình sau khối trụ khối nón Hình 3.13.5 Hình 3.13.6 Khối nón Khối nón cụt Khối trụ Hình 3.13.7 Hình 3.13.8 Hình 3.13.9 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 48 Bài 3.56 Cho lưới đa giác mơ hình khối tứ diện có dạng hình 3.14.1 Biết lưới tam giác có cạnh 8cm Tính thể tích mơ hình khối tứ diện tạo thành Hình 3.14.1.a Nhận xét: Cạnh lưới dài gấp đôi cạnh mặt bên khối tứ diện Hướng dẫn giải Dựng mơ hình khối tứ diện từ lưới đa giác cho Ta có độ dài cạnh tứ diện: DA = DB = DC = AB = BC = CA = (cm) Gọi H hình chiếu D lên mặt phẳng (ABC) Ta có: AH AB 3 cm 2 Xét tam giác DHA vng H: Hình 3.14.1.b DH DA AH 42 2 cm Thể tích khối tứ diện: 1� � �2 � V SABC DH �AB2 .2 � .2 � � cm � � 3� � � � 3� � Bài 3.57 Cho lưới đa giác mơ hình khối chóp tứ giác có mặt bên tam giác hình 3.14.2.a a Với kích thước cho hình, tính thể tích mơ hình khối chóp tứ giác 2cm Hình 3.14.2.a b Người ta cắt lưới đa giác từ miếng bìa hình vng (phần đứt nét hình 3.14.2.a) Tính diện tích miếng bìa Hướng dẫn giải a Dựng mơ hình khối chóp tứ giác S.ABCD từ lưới cho với O hình chiếu S lên đáy Theo lưới, ta có tất cạnh khối chóp 2cm 49 Hình Tựa sách – Tên tác giả Tương tự 3.58, ta tính thể tích khối chóp: V SABCD SO 2 SA AO 22 22 cm3 3 b Độ dài cạnh miếng bìa hình vng độ dài đoạn thẳng AB AB AM MN NB A 3 2 2 cm 2 M B Hình 3.14.2.c 5cm Bài 3.58 Cho lưới hình nón có kích thước hình vẽ, tính thể tích mơ hình hình nón N Nhận xét: độ dài 5cm hình độ dài đường sinh hình nón Độ dài cung tròn có góc tâm 90o , bán kính 5cm hình chu vi đáy, ta tìm bán kính đáy Hướng dẫn giải Hình 3.14.3 Độ dài cung tròn có góc tâm 90o , bán kính 5cm: C 90 2 cm 360 Vì độ dài cung tròn vừa tìm chu vi đáy hình nón, gọi r (cm) bán kính đáy, ta có: 2 r � r cm Dựng mơ hình hình nón với đường sinh l = 5cm; bán kính đáy �5 � 15 r cm, chiều cao h Ta có: h l r 52 � � cm 4 �4 � 1 �5 � 15 Thể tích khối nón: V r 2.h � � 3 �4 � 125 15 cm3 192 Bài 3.59 Cho miếng bìa hình chữ nhật có kích thước 5cm x 3cm Cuộn miếng bìa lại theo chiều rộng dùng băng dính để nối mép miếng bìa, ta mơ hình hình trụ Tính thể tích hình trụ này? 50 cm cm 5cm Hình 3.14.4 Hướng dẫn giải Tương tự 3.60, chu vi đáy chiều cao khối trụ chiều rộng chiều dài hình chữ nhật Gọi r (cm) bán kính đáy khối trụ, ta có: 2 r � r cm 2 � Thể tích khối trụ: V B.h 2 r h �2 � 2 � 15 cm3 � � 51 ... ghép khối, ta cần hiểu rõ khối để đưa đốn, suy luận hợp lí KHỐI CHĨP Khối tứ diện Khối tứ diện Khối chóp tứ giác Khối chóp tứ giác Hình 3. 2 .3. a Hình 3. 2 .3. b Hình 3. 2 .3. c Hình 3. 2 .3. d KHỐI LĂNG TRỤ... hộp đứng Khối hộp chữ nhật Khối lập phương Hình 3. 2.4.e Hình 3. 2.4.f Hình 3. 2.4.g Hình 3. 2.4.h KHỐI TRỊN XOAY Khối nón Khối trụ Khối cầu Hình 3. 2.5.b Hình 3. 2.5.a Hình 3. 2.5.c Tùy theo yêu cầu... LĂNG TRỤ Khối lăng trụ tam giác Khối lăng trụ đứng tam giác Khối lăng trụ tứ giác Khối lăng trụ đứng tứ giác Hình 3. 2.4.a Hình 3. 2.4.b Hình 3. 2.4.c Hình 3. 2.4.d Khối hộp Khối hộp đứng Khối hộp