Đang tải... (xem toàn văn)
Đây là giáo trình Giải tích V được Thầy giáo Huỳnh Thế Phùng giảng dạy và biên soạn tại trường Đại học khoa học Đại học Huế.Nội dung cuốn sách:Chương 1: Định nghĩa Không gian Metric Chương 2:đầy đủ, compact, liên thông
®¹i häc huÕ tr−êng ®¹i häc khoa häc huúnh thÕ phùng Giáo trình GiảI tích V Huế 2008 đại học huế trờng đại học khoa học huỳnh phùng Giáo trình GiảI tích V Huế 2008 Mc lục Mục lục Chương 1 Định nghĩa Không gian Metric 1.1 Định nghĩa 1.1.1 Hàm khoảng cách - Ví dụ 1.1.2 Các tính chất đơn giản 1.1.3 Không gian con, không gian tích 1.1.4 Dãy - Sự hội tụ 1.2 Tôpô không gian metric 1.2.1 Hình cầu, điểm trong, điểm ngồi, điểm biên 1.2.2 Tập mở, lân cận 1.2.3 Tập đóng 1.3 Tập đóng, mở khơng gian con, trù mật 1.3.1 Tập đóng, mở không gian 1.3.2 Tập trù mật, không gian khả ly 10 1.4 Ánh xạ liên tục 11 1.4.1 Định nghĩa 11 1.4.2 Ánh xạ đồng phôi metric tương đương 12 Chương Đầy đủ, Compact, Liên thông 14 2.1 Không gian đầy đủ 14 2.1.1 Dãy Cauchy, không gian đầy đủ 14 2.1.2 Nguyên lý phạm trù Baire 16 2.1.3 Nguyên lý ánh xạ co 16 2.2 Tập hợp compact, không gian compact 16 2.2.1 Tập bị chặn, hoàn toàn bị chặn 16 2.2.2 Tập compact, không gian compact 17 2.2.3 Ánh xạ liên tục tập compact 18 2.2.4 Định lý Ascoli 19 2.3 Không gian liên thông 20 2.3.1 Tập liên thông, không gian liên thông 20 2.3.2 Thành phần liên thông 20 2.3.3 Ánh xạ liên tục không gian liên thông 21 Tài liệu tham khảo 22 Chương Định nghĩa Không gian Metric 1.1 Định nghĩa 1.1.1 Hàm khoảng cách - Ví dụ Cho tập hợp X Một ánh xạ d : X× → R gọi hàm khoảng cách hay metric X nếu, với x, y, z ∈ X ta có a) d(x, y) ≥ 0; b) d(x, y) = ⇔ x = y; c) d(x, y) = d(y, x); d) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) Lúc đó, (X, d) gọi khơng gian metric Các ví dụ không gian metric: a) Không gian R, Rn với khoảng cách thông thường b) Metric rời rạc c) Khơng gian C[a, b] 1.1.2 Các tính chất đơn giản Trong mục ta xem X không gian metric Mệnh đề 1.1 Nếu x1 , x2 , · · · , xn điểm thuộc X (n ≥ 3) d(x1 , xn ) ≤ d(x1 , x2 ) + d(x2 , x3 ) + · + d(xn−1 , xn ) 4 Mệnh đề 1.2 Cho x, y, u, v ∈ X Lúc |d(x, y) − d(u, v)| ≤ d(x, u) + d(y, v) Cho x ∈ X A ⊂ X Ta gọi khoảng cách từ x đến A giá trị d(x, A) := inf{d(x, a) | a ∈ A} Mệnh đề 1.3 Cho A = ∅ x, y ∈ X Lúc |d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y) Bài tập 1.1 Kiểm chứng hàm khoảng cách sau không gian tương ứng: a) X = Rn , d1 (x, y) = x − y ; d∞ (x, y) = x − y ∞ b) X = B[a, b]: tập hàm bị chặn [a, b], d(f, g) := sup[a,b] {|f (x) − g(x)|} c) X = C[a, b], d(f, g) = b a |f (x) − g(x)|dx Bài tập 1.2 Cho không gian metric (X, d) Chứng minh hàm sau metric X: d1 (x, y) = 1.1.3 d(x, y) ; + d(x, y) d2 (x, y) = min{r, d(x, y)}, với r > cho trước Không gian con, không gian tích Cho (X, d) ∅ = Y ⊂ X Nếu xét d Y (Y, d) không gian metric, gọi không gian (X, d) Bây cho (X1 , d1 ) (X2 , d2 ) hai không gian metric Trên tập X = X1 ×X2 ta định nghĩa hàm d : X × X → R xác định d(x, y) := d1 (x1 , y1 ) + d2 (x2 , y2 ); ∀x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ X Dễ kiểm chứng (X, d) không gian metric, gọi khơng gian tích khơng gian (X1 , d1 ) (X2 , d2 ) Tương tự, ta định nghĩa tích n khơng gian metric (Xi , di ); ≤ i ≤ n Bài tập 1.3 Cho dãy không gian metric (Xn , dn ), n ∈ N Xét tích Descartes: ∞ X= Xn = {(xn )n∈N | xn ∈ Xn } n=1 hàm d : X × X → R xác định ∞ d(x, y) = n=1 dn (xn , yn ) , ∀ x = (xn ), y = (yn ) ∈ X 2n + dn (xn , yn ) Chứng minh (X, d) không gian metric 5 1.1.4 Dãy - Sự hội tụ Một dãy không gian metric X ánh xạ f : N → X Lúc đó, ký hiệu xn = f (n) với n ∈ N dãy f gọi dãy {x1 , x2 , · · · , xn , · · · } hay, đơn giản hơn, (xn )n Cho dãy f = (xn )n Giả sử ϕ : N −→ N ánh xạ cho ϕ(k) < ϕ(k + 1) với k Lúc f ◦ ϕ gọi dãy f Trong thực tế, người ta thường đặt nk := ϕ(k), (f ◦ ϕ)(k) = f (ϕ(k)) = f (nk ) = xnk Do đó, dãy f ◦ ϕ dãy (xn )n dãy {xn1 , xn2 , · · · , xnk , · · · } hay (xnk )k , n1 < n2 < · · · < nk < · · · Một dãy (xn ) ⊂ X gọi hội tụ điểm x ∈ X, hay x điểm giới hạn dãy (xn ), ký hiệu x = lim xn , n→∞ dãy số d(xn , x) hội tụ không (trên R) Tức ∀ > 0, ∃n0 : ∀n ≥ n0 , d(xn , x) < Mệnh đề 1.4 Cho (xn ) (yn ) hai dãy X Lúc (a) Nếu (xn ) hội tụ x x điểm giới hạn (b) Nếu (xn ) hội tụ x dãy (xn ) hội tụ điểm (c) Nếu (xn ) (yn ) hội tụ x y lim d(xn , yn ) = d(x, y) n→∞ Bài tập 1.4 Cho dãy (xn ) ⊂ X Chứng minh dãy (x2n ), (x2n+1 ), (x3n ) hội tụ dãy (xn ) hội tụ Bài tập 1.5 Cho X Y không gian metric Chứng minh dãy (xn , yn ) khơng gian tích X × Y hội tụ dãy thành phần (xn ) (yn ) hội tụ (trong X Y , tương ứng) 1.2 Tôpô khơng gian metric 1.2.1 Hình cầu, điểm trong, điểm ngồi, điểm biên Giả sử x0 ∈ X r số thực dương, ta gọi hình cầu mở, hình cầu đóng, mặt cầu tâm x0 bán kính r tập sau đây: B(x0 ; r) ={x ∈ X | d(x0 , x) < r}, B (x0 ; r)={x ∈ X | d(x0 , x) ≤ r}, S(x0 ; r) ={x ∈ X | d(x0 , x) = r} 6 Bây cho A ⊂ X x0 ∈ X Ta nói x0 điểm (ngoài) A tồn số dương cho B(x0 ; ) ⊂ A (B(x0 ; ) ∩ A = ∅) x0 gọi điểm biên A x0 vừa điểm trong, vừa điểm A; Tức là, với > ta có B(x0 ; ) ∩ A = ∅ B(x0 ; ) \ A = ∅ Tập điểm trong, điểm ngoài, điểm biên A gọi phần trong, phần ngoài, biên A ký hiệu int(A), ext(A) ∂A Rõ ràng, ba tập lập thành phân hoạch X (nghĩa chúng rời có hợp X) Hơn nữa, từ định nghĩa ta có: int(A) ⊂ A ⊂ int(A) ∪ ∂A; ext(A) ⊂ X \ A Bổ đề 1.1 Nếu x1 ∈ B(x0 ; r) với r > B(x1 ; r − d(x0 , x1 )) ⊂ B(x0 ; r) Bài tập 1.6 Hãy xây dựng không gian metric X với a, b ∈ X r2 > r1 > mà B(a; r2 ) B(b; r1 ) Bài tập 1.7 Chứng minh (a) int A = {x ∈ X | d(x, X \ A) > 0} (b) ext A = {x ∈ X | d(x, A) > 0} (c) ∂A = {x ∈ X | d(x, A) = d(x, X \ A)} Bài tập 1.8 Cho A, B C tập tập hợp X Chứng minh (a) A ⊂ B ⇔ X \ A ⊃ X \ B ⇔ A \ B = ∅ ⇔ A ∪ B = B ⇔ A ∩ B = A (b) (C ⊂ A C ⊂ B) ⇔ C ⊂ A ∩ B (c) (C ⊃ A C ⊃ B) ⇔ C ⊃ A ∪ B (d) A ∪ B ⊃ C ⇔ C \ A ⊂ B ⇔ C \ B ⊂ A Mệnh đề 1.5 Cho A, B ⊂ X Lúc (a) ext A = int(X \ A) (b) ∂A = ∂(X \ A) (c) int(int A) = int A (d) A ⊂ B ⇒ int A ⊂ int B (e) int(A ∩ B) = int A ∩ int B (f) int(A ∪ B) ⊃ int A ∪ int B 7 1.2.2 Tập mở, lân cận Tập A gọi mở A = int(A), cách tương đương: ∀x ∈ A, ∃ > 0: B(x; ) ⊂ A Ta ký hiệu τ họ tất tập mở X gọi tơpơ X Mệnh đề 1.6 Hình cầu mở B(a; r) tập mở, với a ∈ X r > Mệnh đề 1.7 Với tập A ⊂ X, int A tập mở tập mở lớn A Định lý 1.8 (a) ∅, X tập mở (b) Hợp họ tuỳ ý tập mở mở (c) Giao số hữu hạn tập mở mở Cho x ∈ X, tập V ⊂ X gọi lân cận x tồn cho B(x; ) ⊂ V , tức x ∈ int V >0 Một họ V lân cận x gọi sở lân cận x với lân cận U x tồn V ∈ V cho V ⊂ U Định lý 1.9 Mỗi tập mở trong đường thẳng thực hợp họ không đếm khoảng mở rời 1.2.3 Tập đóng Một tập F ⊂ X gọi tập đóng phần bù nó, X \ F , mở Định lý 1.10 (a) ∅, X tập đóng (b) Giao họ tuỳ ý tập đóng đóng (c) Hợp số hữu hạn tập đóng đóng Mệnh đề 1.11 (a) Hình cầu đóng B (x; r) đóng, với x ∈ X, r > (b) Tập điểm {a} đóng Mệnh đề 1.12 Cho F ⊂ X Lúc F đóng ⇔ ∀(xn ) ⊂ F, (xn → x ⇒ x ∈ F ) 8 Hệ 1.1 Cho tập đóng F ⊂ X x ∈ X Lúc x ∈ F ⇔ d(x, F ) = Bài tập 1.9 Cho hai điểm a, b ∈ X Chứng minh tập F = {x ∈ X | d(a, x) = d(b, x)} đóng tập G = {x ∈ X | d(a, x) < d(b, x)} mở chứa a Bài tập 1.10 Hãy xây dựng không gian metric X tập A ⊂ X cho A = ∅, A = X ∂A = ∅ Bài tập 1.11 Cho A ⊂ X r > Chứng minh (a) Tập Vr (A) = {x ∈ X | d(x, A) < r} mở (b) Tập Vr (A) = {x ∈ X | d(x, A) ≤ r} đóng Bài tập 1.12 Chứng minh khơng gian metric: (a) Mọi tập đóng giao số đếm tập mở (b) Mọi tập mở hợp số đếm tập đóng Bài tập 1.13 Cho A B hai tập X, ta gọi khoảng cách A B giá trị d(A, B) := inf{d(a, b) | a ∈ B, b ∈ B} (a) Chứng minh A ∩ B = ∅ d(A, B) = (b) Tìm hai tập A, B đóng R d(A, B) = A ∩ B = ∅ Cho A ⊂ X x ∈ X Ta nói x điểm dính A tồn dãy (xn ) ⊂ A hội tụ đến x Tập điểm dính A ký hiệu A x gọi điểm tụ A tồn dãy (xn ) ⊂ A hội tụ đến x cho xn = x với n Tập điểm tụ A ký hiệu A Mệnh đề 1.13 (a) x ∈ A ⇔ ∀ > 0, B(x, ) ∩ A = ∅ (b) x ∈ A ⇔ ∀ > 0, (B(x, ) \ {x}) ∩ A = ∅ Mệnh đề 1.14 A = A ∪ A Mệnh đề 1.15 Với tập A ⊂ X, A tập đóng tập đóng bé chứa A Mệnh đề 1.16 Cho F ⊂ X Lúc đó, F đóng ⇔ F = F Mệnh đề 1.17 Cho A, B ⊂ X Lúc (a) A = A (b) A ⊂ B ⇒ A ⊂ B (c) A ∩ B ⊂ A ∩ B (d) A ∪ B = A ∪ B Bài tập 1.14 Cho A ⊂ X Chứng minh (a) int A = X \ (X \ A) (b) A = X \ int(X \ A) (c) ∂A = A \ int A Bài tập 1.15 Chứng minh (a) x ∈ A ⇔ ∀ > 0, B(x; ) ∩ A tập vô hạn phần tử (b) x ∈ A \ A ⇔ ∃ > : B(x; ) ∩ A = {x} (ta nói x điểm lập A) (c) A \ A = A \ A = ∂A \ A Bài tập 1.16 Cho F1 F2 hai tập đóng rời Chứng minh tồn tập mở rời G1 G2 cho Gi ⊃ Fi , ≤ i ≤ 1.3 Tập đóng, mở khơng gian con, trù mật 1.3.1 Tập đóng, mở khơng gian Cho (X, d) Y ⊂ X Lúc ta có khơng gian (Y, d) Bây lấy a ∈ Y , để dễ phân biệt ta ký hiệu BX (a; r) BY (a; r) hình cầu mở tâm a bán kính r X Y Rõ ràng BY (a; r) = BX (a; r) ∩ Y Mệnh đề 1.18 Để tập A ⊂ Y mở Y , điều kiện cần đủ là, tồn tập mở G X cho A = Y ∩ G Hệ 1.2 Để tập B ⊂ Y đóng Y , điều kiện cần đủ là, tồn tập đóng F X cho B = Y ∩ F Hệ 1.3 Cho A ⊂ Y ⊂ X Lúc 10 (a) Nếu A mở X A mở Y (b) Nếu A đóng X A đóng Y Hệ 1.4 Cho A ⊂ Y ⊂ X Lúc (a) Nếu A mở Y Y mở X, A mở X (b) Nếu A đóng Y Y đóng X, A đóng X Hệ 1.5 Cho A ⊂ Y ⊂ X Gọi A bao đóng A Y Ta có A = A ∩ Y Bài tập 1.17 Cho A, B ⊂ X C ⊂ A ∩ B Chứng minh (a) Nếu C mở A B C mở A ∪ B (b) Nếu C đóng A B C đóng A ∪ B 1.3.2 Tập trù mật, không gian khả ly Cho A ⊂ Y ⊂ X Ta nói A trù mật Y A ⊃ Y Vậy A trù mật Y ⇔ ∀ y ∈ Y, ∀ > 0, B(y; ) ∩ A = ∅ Khi A trù mật X ta nói A trù mật khắp nơi, đơn giản A trù mật Không gian metric X gọi khả ly tồn tập đếm được, trù mật khắp nơi Chẳng hạn, R, với metric thơng thường, khả ly có tập Q trù mật khắp nơi Mệnh đề 1.19 Mọi không gian không gian khả ly khả ly Bài tập 1.18 Chứng minh tập mở X viết dạng hợp họ hình cầu mở Hơn nữa, X khả ly họ chọn đếm Bài tập 1.19 Chứng minh tập {(sin n, cos n) | n ∈ N} (trong R2 với khoảng cách Euclide) trù mật S(0; 1) Bài tập 1.20 Cho A tập khác rỗng không gian metric X Chứng minh khẳng định sau tương đương (a) A trù mật khắp nơi X, (b) ∀x ∈ X: d(x, A) = 0, (c) ext A = ∅ 11 1.4 Ánh xạ liên tục 1.4.1 Định nghĩa Cho hai không gian metric X Y ánh xạ f : X → Y Ta nói f ánh xạ liên tục x0 ∈ X với dãy (xn ) ⊂ X, hội tụ x0 , dãy (f (xn )) hội tụ f (x0 ) Y f gọi liên tục tập M ⊂ X f liên tục điểm thuộc M Ta nói f ánh xạ liên tục f liên tục X Định lý 1.20 f liên tục x0 ∀ > 0, ∃ δ > 0, f (B(x0 ; δ)) ⊂ B(f (x0 ); ) Mệnh đề 1.21 Giả sử f liên tục x0 Lúc đó, x0 ∈ A f (x0 ) ∈ f (A) Mệnh đề 1.22 Cho ba không gian metric X, Y , Z Nếu f : X → Y liên tục x ∈ X g : Y → Z liên tục f (x), g ◦ f liên tục x Định lý 1.23 Cho f : X → Y Các mệnh đề sau tương đương (a) f liên tục, (b) Với tập mở G ⊂ Y , f −1 (G) mở X, (c) Với tập đóng F ⊂ Y , f −1 (F ) đóng X, (d) Với A ⊂ X, f (A) ⊂ f (A) Mệnh đề 1.24 Nếu f, g : X → Y ánh xạ liên tục {x ∈ X | f (x) = g(x)} tập hợp đóng X Ánh xạ f gọi liên tục tập M ⊂ X ∀ > 0, ∃ δ > : ∀ x, x ∈ M, d(x, x ) < δ ⇒ d(f (x), f (x )) < Rõ ràng, ánh xạ liên tục M liên tục M Tuy nhiên điều ngược lại nói chung khơng Ánh xạ f gọi Lipschitz với số L d(f (x), f (x )) ≤ Ld(x, x ); ∀x, x ∈ X, gọi đẳng cự d(f (x), f (x )) = d(x, x ) với x, x ∈ X Nếu nữa, f (X) = Y ta nói X Y hai không gian đẳng cự Bài tập 1.21 Chứng minh ánh xạ Lipschitz liên tục Hãy tìm ánh xạ f : R → R liên tục không Lipschitz 12 Bài tập 1.22 Cho A ⊂ X Chứng minh f (x) := d(x, A) ánh xạ Lipschitz Sử dụng kết để làm lại tập 1.9, 1.11, 1.12 Bài tập 1.23 Cho (X, d) khơng gian metric tích không gian (Xi , di ), ≤ i ≤ n Với i ta xét ánh xạ chiếu pri : X → Xi xác định pri (x) := xi với x = (xi ) ∈ X Chứng minh pri liên tục Bài tập 1.24 Chứng minh ánh xạ f : C[a, b] → R liên tục (a) f (x) = x(a); ∀x ∈ C[a, b] (b) f (x) = max{|x(t)| | t ∈ [a, b]}; ∀x ∈ C[a, b] (c) f (x) = b a x(t)dt; ∀x ∈ C[a, b] Bài tập 1.25 Cho A B hai tập đóng rời không gian metric X Chứng minh tồn ánh xạ liên tục f : X → R cho f (x) = với x ∈ A f (x) = với x ∈ B Sử dụng kết để làm lại Bài tập 1.16 1.4.2 Ánh xạ đồng phôi metric tương đương Cho X, Y hai không gian metric f : X → Y song ánh liên tục Lúc tồn ánh xạ ngược f −1 : Y → X Tuy nhiên ánh xạ liên tục không Nếu f −1 liên tục ta nói f phép đồng phơi từ X lên Y X Y gọi hai không gian đồng phôi Từ Định lý 1.23 ta thấy, f phép đồng phôi từ X lên Y với tập A ⊂ X, A mở (đóng) X f (A) mở (đóng) Y Nếu tập hợp X trang bị hai metric khác d1 d2 mà ánh xạ đồng IX : (X, d1 ) → (X, d2 ) phép đồng phơi ta nói d1 d2 metric tương đương tơpơ ký hiệu d1 ∼ d2 Lúc hai metric xác định tôpô X Tức là, với tập A ⊂ X, A mở (đóng) theo d1 A mở (đóng) theo d2 Ta có khái niệm mạnh hơn: d1 d2 gọi tương đương tồn M ≥ m > cho md1 (x, x ) ≤ d2 (x, x ) ≤ M d1 (x, x ); ∀x, x ∈ X Dễ thấy tương đương tôpô tương đương quan hệ tương đương, d1 , d2 tương đương tương đương tơpơ Ví dụ 1.1 (a) Trong R hai metric d1 (x, y) = |x − y| d2 (x, y) = |x3 − y | tương đương tôpô không tương đương 13 (b) Trong Rn metric d1 , d2 d∞ tương đương Bài tập 1.26 Chứng minh hai điều sau tương đương: (a) d1 d2 tương đương tôpô, (b) Một dãy X hội tụ theo metric d1 hội tụ theo d2 Chương Không gian Đầy đủ, Compact, Liên thông 2.1 Không gian đầy đủ 2.1.1 Dãy Cauchy, không gian đầy đủ Cho không gian metric X, dãy (xn ) ⊂ X gọi dãy Cauchy ∀ > 0, ∃n0 , ∀ m, k ≥ n0 , d(xm , xk ) < , gọi dãy bị chặn tồn hình cầu B(a; r) chứa phần tử xn Mệnh đề 2.1 (a) Mọi dãy Cauchy bị chặn, (b) Mọi dãy hội tụ dãy Cauchy Mệnh đề 2.2 Nếu (xn ) dãy Cauchy tồn dãy (xnk ) hội tụ đến x ∈ X, (xn ) hội tụ đến x X gọi khơng gian đầy đủ dãy Cauchy hội tụ Ví dụ 2.1 (a) R với metric thông thường đầy đủ, lúc khơng gian [0, 1) lại khơng đầy đủ (b) Rn , với metric d1 , d2 , d∞ đầy đủ (c) C[a, b] với metric d(f, g) = max[a,b] |f (x) − g(x)| đầy đủ 15 Bài tập 2.1 Chứng minh không gian metric rời rạc đầy đủ Bài tập 2.2 Chứng minh không gian C[a, b] với metric d(f, g) = không đầy đủ b a |f (x) − g(x)|dx Bài tập 2.3 Giả sử d1 d2 hai metric không gian X Chứng minh d1 d2 tương đương đều, dãy X Cauchy theo metric Cauchy theo metric Từ suy ra, d1 d2 tương đương đều, (X, d1 ) đầy đủ (X, d2 ) đầy đủ Bài tập 2.4 Trên R, metric thông thường d ta xét metric d xác định d(x, y) = x y ; − + |x| + |y| ∀ x, y ∈ R Chứng minh d ∼ d (R, d) không đầy đủ Bài tập 2.5 Ký hiệu C0 (R) = {f : R → R | f liên tục lim f (x) = 0} |x|→∞ Trên C0 (R) ta xác định hàm khoảng cách d(f, g) := supx∈R |f (x) − g(x)| Chứng minh (C0 (R), d) không gian đầy đủ Bây C0 (R) ta xét tập K(R) = {f : R → R | f liên tục ∃[a, b] cho f (x) = 0, ∀ x ∈ [a, b]} Chứng minh không gian (K(R), d) không đầy đủ Bài tập 2.6 Một tập Y không gian metric (X, d) gọi bán rời rạc với y ∈ Y tồn > cho B(y, ) ∩ Y = {y}; gọi rời rạc tồn > cho với y ∈ Y , B(y; ) ∩ Y = {y} (a) Chứng minh Y rời rạc khơng gian (Y, d) đầy đủ (b) Tìm ví dụ chứng tỏ khẳng định khơng với tập bán rời rạc Mệnh đề 2.3 Cho không gian metric đầy đủ X Y ⊂ X Lúc đó, khơng gian Y đầy đủ Y tập đóng X Mệnh đề 2.4 Cho không gian metric Xi , ≤ i ≤ m, không gian tích X = X1 × X2 · · · × Xm Lúc X đầy đủ X1 , X2 , · · · , Xm đầy đủ Dãy hình cầu (B(xn ; rn )) gọi thắt lại B(xn ; rn ) ⊃ B(xn+1 ; rn+1 ), với n rn → Định lý 2.5 Không gian metric X đầy đủ khi, dãy hình cầu đóng thắt lại X có giao khác rỗng, nữa, tập điểm Định lý 2.6 Giả sử A tập trù mật khắp nơi X f ánh xạ liên tục từ A vào không gian metric đầy đủ Y Lúc tồn ánh xạ liên tục f : X → Y cho f |A = f Ánh xạ f liên tục 16 2.1.2 Nguyên lý phạm trù Baire Một tập M ⊂ X gọi thưa hay không đâu trù mật int M = ∅ Mệnh đề 2.7 Tập M ⊂ X thưa khi, với hình cầu mở B(x; r) (r > 0) tồn hình cầu B(x1 ; r1 ) ⊂ B(x; r) (r1 > 0) cho B(x1 ; r1 ) ∩ M = ∅ Một tập A gọi thuộc phạm trù thứ A biểu diễn dạng hợp số đếm tập hợp thưa Một tập không thuộc phạm trù thứ gọi thuộc phạm trù thứ hai Định lý 2.8 (Baire) Mọi không gian metric đầy đủ thuộc phạm trù thứ hai Hệ 2.1 Nếu X đầy đủ X = ∪∞ n=1 Mn , tồn k cho Mk chứa hình cầu mở khác rỗng Bài tập 2.7 Trong không gian Rn với metric d2 (hoặc d1 , d∞ ) cho tập F thỏa tính chất: ∀ x ∈ Rn , ∃ > 0, ∀ t ∈ [0, ) : tx ∈ F Chứng minh tồn hình cầu mở khác rỗng B(x0 ; r) ⊂ F 2.1.3 Nguyên lý ánh xạ co Một ánh xạ f : X → Y gọi co tồn α < cho d(f (x), f (x )) ≤ αd(x, x ); ∀ x, x ∈ X Định lý 2.9 (Nguyên lý ánh xạ co) Giả sử f ánh xạ co từ khơng gian metric đầy đủ X vào Lúc tồn x ∈ X cho f (x) = x Bài tập 2.8 Chứng minh phương trình sau có nghiệm thực: 6x + sin x + sin2 x = 2.2 Tập hợp compact, không gian compact 2.2.1 Tập bị chặn, hoàn toàn bị chặn Tập A ⊂ X gọi bị chặn ∃ x0 ∈ X, ∃ r > 0, A ⊂ B(x0 ; r), hoàn toàn bị chặn m B(xi ; ) ∀ > 0, ∃ x1 , x2 , · · · , xm ∈ X, A ⊂ i=1 17 Hệ 2.2 (a) Tập hồn tồn bị chặn bị chặn (b) Hợp số hữu hạn tập bị chặn (hoàn toàn bị chặn) bị chặn (hoàn toàn bị chặn) Đặc biệt, tập hữu hạn phần tử hồn tồn bị chặn Mệnh đề 2.10 Trong Rn , tập hồn tồn bị chặn bị chặn Mệnh đề 2.11 Nếu A hoàn toàn bị chặn A Mệnh đề 2.12 Nếu A hồn tồn bị chặn tồn tập đếm B ⊂ A trù mật A Bài tập 2.9 Gọi l∞ không gian dãy số thực bị chặn, với hàm khoảng cách d(x, y) := supn |xn − yn |, với x = (xn ), y = (yn ) ∈ l∞ Ký hiệu = (0, 0, · · · , 0, · · · ) Chứng minh hình cầu B(0; 1) khơng hồn tồn bị chặn Bài tập 2.10 Chứng minh ảnh tập hoàn toàn bị chặn qua ánh xạ liên tục hồn tồn bị chặn 2.2.2 Tập compact, không gian compact Tâp K ⊂ X gọi tập compact với dãy (xn ) ⊂ K, tồn dãy (xnk ) ⊂ (xn ), hội tụ đến điểm x ∈ K Nếu thân X tập compact ta nói (X, d) khơng gian metric compact Ví dụ 2.2 (i) Một tập hữu hạn compact (ii) Một tập Rn compact đóng bị chặn Định lý 2.13 Nếu K tập compact X (a) K hồn tồn bị chặn (b) Khơng gian (K, d) đầy đủ (do K đóng) Ngược lại, tập K ⊂ X thỏa mãn (a) (b) tập compact Hệ 2.3 Một tập không gian metric đầy đủ compact đóng hồn tồn bị chặn Hệ 2.4 Nếu K ⊂ X tập compact F ⊂ K tập đóng, F compact Mệnh đề 2.14 Mọi không gian compact đầy đủ, hoàn toàn bị chặn khả ly 18 Mệnh đề 2.15 Tích khơng gian compact không gian compact Cho A ⊂ X Họ (Bλ )λ∈I tập Bλ ⊂ X gọi phủ A A⊂ Bλ λ∈I Nếu nữa, Bλ mở với λ ta nói (Bλ ) phủ mở, I tập hợp hữu hạn ta nói phủ hữu hạn Cuối tồn J ⊂ I cho A⊂ Bλ , λ∈J (Bλ )λ∈J gọi phủ phủ (Bλ )λ∈I Định lý 2.16 Để tập K ⊂ X compact, điều kiện cần đủ phủ mở K tồn phủ hữu hạn Một tập A ⊂ X gọi compact tương đối A compact Mệnh đề 2.17 (a) Một tập compact tương đối hồn tồn bị chặn (b) Trong khơng gian đầy đủ tập hồn tồn bị chặn compact tương đối (c) Mọi tập tập compact tương đối compact tương đối Bài tập 2.11 Một điểm x ∈ X gọi điểm -cô lập tập M ⊂ X B(x; ) ∩ M = {x} Cho M tập compact X Chứng minh với dương cho trước tập điểm -cơ lập M hữu hạn Từ suy tập điểm cô lập M đếm Bài tập 2.12 Cho (Gλ )λ∈I phủ mở không gian compact X Chứng minh tồn r > cho hình cầu mở bán kính r X chứa tập Gλ 2.2.3 Ánh xạ liên tục tập compact Mệnh đề 2.18 Cho ánh xạ liên tục f : X → Y K ⊂ X tập compact Lúc (a) f (K) compact (b) f liên tục K Hệ 2.5 Cho f hàm số nhận giá trị thực liên tục X Nếu K ⊂ X tập compact, tồn x∗ , x∗ ∈ K cho f (x∗ ) ≤ f (x) ≤ f (x∗ ); ∀x ∈ K 19 Bài tập 2.13 Cho K tập compact khác rỗng X Chứng minh với x ∈ X tồn y ∈ K cho d(x, y) = d(x, K) Bài tập 2.14 Cho f : X → Y song ánh liên tục từ không gian compact X lên không gian metric Y Chứng minh Y không gian compact f phép đồng phôi Bài tập 2.15 Cho F tập đóng G tập compact X cho F ∩ G = ∅ Chứng minh d(F, G) > Chứng tỏ khẳng định khơng G đóng mà không compact Bài tập 2.16 Cho X không gian compact f : X → X ánh xạ thỏa mãn d(f (x), f (y)) < d(x, y) với x = y Chứng minh f có điểm bất động Bài tập 2.17 Cho X không gian compact f : X → X ánh xạ thỏa mãn d(f (x), f (y)) ≥ (x, y) với x, y ∈ X Chứng minh f phép đẳng cự từ X lên X 2.2.4 Định lý Ascoli Giả sử X không gian metric compact C(X) không gian hàm liên tục X Với cặp f, g ∈ C(X) ta định nghĩa d(f, g) := max{|f (x) − g(x)| | x ∈ X} Lúc đó, tương tự chứng minh Ví dụ 2.1, (C(X), d) không gian metric đầy đủ Cho M ⊂ C(X) Ta nói M tập (a) bị chặn x0 ∈ X sup{|f (x0 )| | f ∈ M } < ∞ (b) bị chặn điểm với x ∈ X, M bị chặn x (c) bị chặn sup{|f (x)| | f ∈ M, x ∈ X} < ∞ (d) đồng liên tục x0 ∈ X với > 0, tồn δ > cho, với x ∈ B(x0 ; δ) f ∈ M ta có |f (x) − f (x0 )| < (e) đồng liên tục X M đồng liên tục điểm (f) đồng liên tục X với > 0, tồn δ > cho, với x, x ∈ X thỏa mãn d(x, x ) < δ f ∈ M ta có |f (x) − f (x )| < Mệnh đề 2.19 Nếu tập M compact tương đối C(X), M bị chặn đồng liên tục Định lý 2.20 Một họ M ⊂ C(X) bị chặn điểm đồng liên tục X compact tương đối C(X) 20 2.3 Không gian liên thông 2.3.1 Tập liên thông, không gian liên thông Cho không gian metric X Một tập A ⊂ X gọi liên thông không tồn tập mở U , V thỏa mãn A ∩ U = ∅; A ∩ V = ∅; A ∩ U ∩ V = ∅; A ⊂ U ∪ V Ngược lại, gọi tập không liên thông Nếu thân X tập liên thông ta nói X khơng gian liên thơng Dễ thấy lúc đó, X có hai tập vừa mở vừa đóng X ∅ Mệnh đề 2.21 Nếu A tập liên thơng A ⊂ B ⊂ A, B liên thông Mệnh đề 2.22 Nếu (Aλ ) họ tập liên thơng có giao khác rỗng, hợp chúng tập liên thơng Hệ 2.6 Nếu A1 , A2 , · · · , Am tập liên thông thỏa mãn Ai−1 ∩ Ai = ∅ với ≤ i ≤ m, ∪Ai liên thơng 2.3.2 Thành phần liên thơng Cho X không gian metric X Với x ∈ X ta gọi tập hợp sau C(x) := A x∈A⊂X A liên thông thành phần liên thông x X Mệnh đề 2.23 (a) C(x) tập liên thông lớn chứa x (b) Nếu y ∈ C(x), C(y) = C(x) (c) Nếu y ∈ C(x), C(y) ∩ C(x) = ∅ (d) C(x) đóng với x ∈ X Từ mệnh đề ta thấy {C(x), x ∈ X}, không kể tập trùng nhau, phân hoạch không gian X Hơn nữa, X không gian liên thông C(x) = X với x ∈ X 21 2.3.3 Ánh xạ liên tục không gian liên thông Định lý 2.24 Nếu f : X → Y ánh xạ liên tục A ⊂ X tập liên thơng X, f (A) tập liên thông Y Bổ đề 2.1 Một tập E ⊂ R liên thông khi, với x, y ∈ E mà x < y ta phải có [x, y] ⊂ E Từ suy tập liên thông R khoảng Hệ 2.7 Cho f : X → R hàm liên tục A ⊂ X tập liên thơng Lúc đó, f (A) khoảng R Bài tập 2.18 Cho X khơng gian liên thơng, đó, hai tập đóng F , G rời tùy ý có d(F, G) > Chứng minh X không gian compact 22 Tài liệu tham khảo [1] Hoàng Tụy, Hàm thực Giải tích hàm, Nxb ĐHQG Hà Nội, 2003 [2] B Z Vulikh, A Brief Course in the Theory of Functions of a real variable, Mir Publishers, Moscow (1976) [3] J Dieudonné, Cơ sở giải tích đại I, Nxb ĐH&THCN (1979) [4] W Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill (1974) [5] Phan Đức Chính, Giải tích hàm tập I, Nxb ĐH&THCN (1979) [6] Yu S Otran, Bài tập Lý thuyết hàm số biến số thực, Nxb ĐH&THCN (1979) [7] B Gelbaum, J Olmsted, Các phản ví dụ giải tích, Nxb ĐH&THCN (1982) ... Cho x ∈ X, tập V ⊂ X gọi lân cận x tồn cho B(x; ) ⊂ V , tức x ∈ int V >0 Một họ V lân cận x gọi sở lân cận x v i lân cận U x tồn V ∈ V cho V ⊂ U Định lý 1.9 Mỗi tập mở trong đường thẳng thực... , V thỏa mãn A ∩ U = ∅; A ∩ V = ∅; A ∩ U ∩ V = ∅; A ⊂ U ∪ V Ngược lại, gọi tập không liên thông Nếu thân X tập liên thông ta nói X khơng gian liên thơng Dễ thấy lúc đó, X có hai tập v a mở v a... rời rạc v i y ∈ Y tồn > cho B(y, ) ∩ Y = {y}; gọi rời rạc tồn > cho v i y ∈ Y , B(y; ) ∩ Y = {y} (a) Chứng minh Y rời rạc khơng gian (Y, d) đầy đủ (b) Tìm v dụ chứng tỏ khẳng định khơng v i tập