Đang tải... (xem toàn văn)
Đây là giáo trình Giải tích lồi được Thầy giáo Huỳnh Thế Phùng giảng dạy và biên soạn tại trường Đại học khoa học Đại học Huế.Nội dung cuốn sách:Chương 1: T“p lồi Chương 2: Không gian liên hợp Topo yếu chương 3: Hàm lồi
GIẢI TÍCH LỒI Huỳnh Thế Phùng - Khoa Tốn, Đại học Khoa học Huế 20/10/2005 Mục lục Mục lục Chương 1 Tập lồi 1.1 Tập lồi - Đa tạp affine 1.1.1 Đa tạp affine 1.1.2 Tập lồi 1.1.3 Nón lồi 1.1.4 Định lý Carathéodory 1.2 Định lý tách tập lồi 1.2.1 Định lý Hahn-Banach 1.2.2 Tập lồi hấp thụ - Điểm bọc - Phiếm hàm Minkowskii 1.2.3 Định lý tách tập lồi 1.3 Không gian tôpô lồi địa phương 1.3.1 Không gian tôpô 1.3.2 Không gian tôpô tuyến tính 11 1.3.3 Không gian tôpô lồi địa phương 13 1.3.4 Tôpô lồi địa phương mạnh 14 1.3.5 Khơng gian tích - Phần bù tơpơ 15 1.4 Tập lồi không gian tôpô lồi địa phương 16 1.4.1 Sự liên tục phiếm hàm Minkowski - Nửa chuẩn 17 1.4.2 Các tính chất tơpơ 18 1.4.3 Nón lùi xa tập lồi 19 1.5 Bài tập 21 Chương Không gian liên hợp - Tôpô yếu 22 2.1 Định lý tách 22 2.1.1 Phiếm hàm tuyến tính liên tục 22 2.1.2 Định lý Tách 23 2.1.3 Định lý Tách mạnh 24 2.2 Tôpô yếu - Tôpô yếu* 25 2.2.1 Tôpô yếu X 25 2.2.2 Tôpô yếu* X ∗ 27 2.2.3 Cặp đối ngẫu tổng quát 28 2.2.4 Không gian Banach phản xạ 30 2.3 Bài tập 32 Chương Hàm lồi 33 3.1 Cấu trúc hàm lồi 33 3.1.1 Định nghĩa hàm lồi 33 3.1.2 Các phép toán hàm lồi 35 3.2 Sự liên tục hàm lồi 37 3.2.1 Hàm nửa liên tục 37 3.2.2 Sự liên tục hàm lồi 39 3.3 Hàm liên hợp 41 3.3.1 Biểu diễn hàm lồi theo hàm affine 41 3.3.2 Hàm liên hợp 42 3.4 Dưới vi phân hàm lồi 44 3.4.1 Định nghĩa 44 3.4.2 Quan hệ với đạo hàm theo hướng 45 3.4.3 Các phép toán qua vi phân 48 3.4.4 Ứng dụng khảo sát toán Quy hoạch lồi 50 3.5 Bài tập 51 Tài liệu tham khảo 52 Chương TẬP LỒI 1.1 Tập lồi - Đa tạp affine 1.1.1 Đa tạp affine Cho X không gian vectơ, ta ký hiệu L(x, y), [x, y], (x, y), [x, y) đường thẳng qua x, y, đoạn thẳng, khoảng mở nửa khoảng nối hai điểm x y Tức L(x, y) = {λx + (1 − λ)y [x, y] = {λx + (1 − λ)y (x, y) = {λx + (1 − λ)y [x, y) = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ R}, | λ ∈ [0, 1]}, | λ ∈ (0, 1)}, | λ ∈ (0, 1]} Một tập M ⊂ X gọi đa tạp affine, hay đơn giản tập affine, với cặp điểm x, y ∈ M ta có L[x, y] ⊂ M Từ định nghĩa ta có tính chất sau a) Giao họ đa tạp affine đa tạp affine Nếu A ⊂ X tập X ta gọi bao affine A, ký hiệu aff(A), giao tất đa tạp affine chứa A Từ tính chất a) aff(A) đa tạp affine đa tạp affine bé chứa A Thật tập aff(A) biểu diễn cách tường minh Ta gọi véctơ có dạng m x= λi , với λi ∈ R thoả mãn λi = i=1 tổ hợp affine véctơ {a1 , a2 , · · · , am } Ta nhận tính chất sau b) aff(A) = {x | x tổ hợp affine vectơ thuộc A} c) A đa tạp affine A = aff(A), tức m λi | m ∈ N∗ ; ∈ A; λi ∈ R : A= λi = 1 d) M đa tạp affine với m ∈ M ta có M − m ≤ X, tức M = m + V, với V khơng gian X Lúc đó, ta gọi chiều đối chiều M chiều đối chiều V : dim M := dim V ; codim M := codim V Nếu codim M = ta nói M siêu phẳng Bây Y không gian vectơ, ta ký hiệu L(X, Y ) không gian ánh xạ tuyến tính từ X vào Y Đặc biệt Y = R, ta đặt X # := L(X, R), khơng gian phiếm hàm tuyến tính X e) M ⊂ X siêu phẳng tồn f ∈ X # \ {0} α ∈ R cho M = f −1 (α) = {x ∈ X | f (x) = α} f) Nếu codim M = k ∈ N tồn siêu phẳng M1 , M2 , · · · , Mk cho k M= Mi 1.1.2 Tập lồi Tập hợp C ⊂ X gọi lồi với cặp điểm x, y ∈ C ta có (x, y) ⊂ C a) Giao họ tập lồi lồi Tương tự bao affine, ta gọi bao lồi tập A ⊂ X, ký hiệu co A, giao tất tập lồi chứa A Từ tính chất co A tập lồi tập lồi bé chứa A Một tổ hợp affine x = véctơ {a1 , · · · , am } m i=1 λi với λi ≥ gọi tổ hợp lồi b) co A = {x | x tổ hợp lồi vectơ thuộc A} c) C tập lồi C = co C, tức m m ∗ C= λi | m ∈ N ; ∈ C; λi ≥ : λi = Nếu C tập lồi, ta định nghĩa số chiều C số chiều aff(C): dim C := dim aff(C) d) Nếu A B tập lồi α ∈ R, tập A + B, αA lồi 1.1.3 Nón lồi Một tập K ⊂ X gọi nón với điểm k ∈ K λ > ta có λk ∈ K Nếu nữa, K tập lồi gọi nón lồi Một tổ hợp tuyến tính m i=1 λi gọi tổ hợp dương λi ≥ với i, tổ hợp dương khơng tầm thường tồn hệ số λi dương chặt a) Giao họ nón lồi nón lồi Ta gọi bao nón lồi tập A ⊂ X, ký hiệu co A, nón lồi bé chứa A Lúc đó, b) co A = {x | x tổ hợp dương không tầm thường vectơ thuộc A} c) K nón lồi K = co K, tức m K= m λi ki | m ∈ N; ki ∈ K; λi ≥ : λi > 0} d) Nếu K1 , K2 nón lồi chứa gốc K1 + K2 = co(K1 ∪ K2 ) 1.1.4 Định lý Carathéodory Định lý 1.1 Cho A ⊂ X Lúc đó, với k ∈ co A \ {0}, tồn hệ độc lập tuyến tính {a1 , a2 , · · · , am } ⊂ A số dương λ1 , · · · , λm cho m k= λi Chứng minh Giả sử k ∈ co A \ {0}, lúc k biểu diễn dạng tổ m hợp dương vectơ thuộc A: k = λi với λi > với i Nếu hệ {a1 , a2 , · · · , am } phụ thuộc tuyến tính, tồn hệ số (µ1 , · · · , µm ), với µj > 0, cho m µi = Bây đặt t0 = λj µj µj > = λs , µs ta λi := λi − t0 µi ≥ 0, ≤ i ≤ m, k= λi ; i=s λi = i=s Lặp lại thủ tục nhiều lần ta biểu diễn k dạng tổ hợp dương hệ độc lập tuyến tính Định lý 1.2 (Carathéodory) Giả sử dim X = n < ∞ A ⊂ X Lúc đó, với x ∈ co A, x tổ hợp lồi họ không n + vectơ thuộc A Tức là, tồn hệ {a0 , a1 , · · · , am } ⊂ A số λ0 , · · · , λm ≥ 0, với m ≤ n, cho m m λi = x= λi Chứng minh Đặt B = {(x, 1) | x ∈ A} ⊆ Y = X × R Dễ thấy co B = co A × {1} Do đó, với x ∈ co A ta có y = (x, 1) ∈ co B ⊆ co B Theo Định lý 1.1 tồn m vectơ độc lập tuyến tính {(a0 , 1), (a1 , 1), · · · , (am , 1)} ⊆ B số dương λi cho m (x, 1) = λi (ai , 1), tức m m λi = λi ; x= 0 Cuối cùng, ý dim Y = n+1 nên m ≤ n định lý chứng minh 1.2 Định lý tách tập lồi 1.2.1 Định lý Hahn-Banach Cho X không gian vectơ Một ánh xạ ϕ : X → R gọi phiếm hàm tuyến tính a) ϕ(x + y) ≤ ϕ(x) + ϕ(y) với x, y ∈ X; b) ϕ(λx) = λϕ(x) với λ > 0, x ∈ X Định lý 1.3 (Hahn-Banach) Cho ϕ phiếm hàm tuyến tính X, M không gian X f ∈ M # thoả mãn f (m) ≤ ϕ(m); ∀m ∈ M Lúc đó, tồn F ∈ X # cho a) F |M = f ; b) F (x) ≤ ϕ(x) với x ∈ X Chứng minh Ta xét tập hợp U mà phần tử cặp (Y, g) M ≤ Y ≤ X, g ∈ Y # , g|M = f g(y) ≤ ϕ(y) với y ∈ Y Trên U ta định nghĩa quan hệ hai α xác định (Y, g) α(Z, h) ⇔ Y ≤ Z; h|Y = g Có thể kiểm chứng (U, α) không gian thứ tự, tập thẳng tồn phần tử chận Theo Bổ đề Zorn, U tồn phần tử tối đại (Y, g) Ta Y = X điều kết thúc chứng minh Giả sử ngược lại tồn v ∈ X \ Y Với cặp y1 , y2 ∈ Y ta có g(y1 ) − g(y2 ) = g(y1 − y2 ) ≤ ϕ(y1 − y2 ) ≤ ϕ(y1 + v) + ϕ(−y2 − v) ⇒ λ = sup{g(y1 ) − ϕ(y1 + v) | y1 ∈ Y } ≤ µ = inf{g(y2 ) + ϕ(−y2 − v) | y2 ∈ Y } Với y ∈ Y t ∈ R ta đặt h(y + tv) = g(y) − tλ Dễ kiểm chứng h ∈ Z # , với Z không gian sinh Y v, thỏa mãn h|Y = g Mặt khác, h(y + tv) ≤ ϕ(y + tv) với y + tv ∈ Z Vậy (Y, g) = (Z, h) ∈ U (Y, g) α(Z, h), mâu thuẫn (Y, g) phần tử tối đại Định lý chứng minh Hệ 1.1 Cho X không gian định chuẩn M không gian X Lúc đó, với f ∈ M ∗ , tồn F ∈ X ∗ cho F |M = f F = f Chứng minh Sử dụng Định lý 1.3 với ϕ(x) = f x Hệ 1.2 Cho X không gian định chuẩn x0 ∈ X \ {0} Lúc đó, tồn f ∈ X ∗ cho f = f (x0 ) = x0 Chứng minh Sử dụng Hệ 1.1 với M = span{x0 } f (λx0 ) = λ x0 1.2.2 Tập lồi hấp thụ - Điểm bọc - Phiếm hàm Minkowskii Một tập A không gian vectơ X gọi hấp thụ ∀v ∈ X, ∃ > 0, (− v, v) ⊂ A hay, cách tương đương, ∀v ∈ X, ∃δ > 0, ∀|t| ≥ δ, v ∈ tA Một điểm x0 gọi điểm bọc A A − x0 hấp thụ Tập tất điểm bọc A, ký hiệu core A, gọi lõi A Như vậy, x0 ∈ core A ⇔ ∀v ∈ X, ∃ > 0, ∀λ ∈ (− , ) : x0 + λv ∈ A Rõ ràng, khái niệm điểm bọc mở rộng khái niệm điểm không gian định chuẩn Hơn nữa, ta có kết sau Mệnh đề 1.4 Nếu X không gian định chuẩn A ⊂ X, a) int A ⊂ core A b) Nếu dim X < ∞ A lồi, int A = core A Chứng minh Khẳng định a) suy trực tiếp từ định nghĩa Để chứng minh b) ta giả thiết {e1 , e2 , · · · , en } sở X Vì chuẩn X tương đương nên khơng tính tổng qt ta xét chuẩn · xác định n n xi e i i=1 := |xi | i=1 Với x0 ∈ core A, tồn > cho x0 ± ei ∈ A với i = n Do A lồi nên B := co{x0 ± ei | ≤ i ≤ n} ⊂ A Để kết thúc chứng minh ta ý B hình cầu tâm x0 , bán kính (X, · ) Mệnh đề 1.5 Nếu C ⊂ X tập lồi, core C tập hợp lồi lin C := {y ∈ X | ∃ c ∈ C, [c, y) ⊂ C} Chứng minh Giả sử c1 , c2 ∈ core C t ∈ (0, 1) Lúc đó, với v ∈ X tồn > cho ci + λv ∈ C với λ ∈ (− , ) Vì C lồi nên ta có tc1 + (1 − t)c2 + λv = t(c1 + λv) + (1 − t)(c2 + λv) ∈ C với λ ∈ (− , ) Vậy tc1 + (1 − t)c2 ∈ core C, hay core C lồi Để chứng minh lin C lồi ta lấy y1 , y2 ∈ lin C t ∈ (0, 1) Theo định nghĩa, tồn c1 , c2 ∈ C cho [c1 , y1 ) ⊆ C [c2 , y2 ) ⊆ C Dễ kiểm chứng [ct , ty1 + (1 − t)y2 ) ⊆ C với ct := tc1 + (1 − t)c2 ∈ C Vì ty1 + (1 − t)y2 ∈ lin C, hay lin C lồi Bây giờ, cho C tập lồi hấp thụ X Ta định nghĩa phiếm hàm Minkowskii C hàm xác định pC (x) := inf{λ > | x ∈ λC}; x ∈ X Rõ ràng, ≤ pC (x) < ∞ với x ∈ X Định lý 1.6 pC phiếm hàm tuyến tính {x ∈ X | pC (x) < 1} ⊂ C ⊂ {x ∈ X | pC (x) ≤ 1} Cụ thể hơn, ta có {x ∈ X | pC (x) < 1} = core C {x ∈ X | pC (x) ≤ 1} = lin C 1.2.3 Định lý tách tập lồi Cho A B hai tập không gian vectơ X Một phiếm hàm tuyến tính f ∈ X # \ {0} gọi tách A B f (a) ≤ f (b) (hoặc f (a) ≥ f (b)); ∀a ∈ A, b ∈ B Điều tương đương với nói rằng, tồn số α ∈ R cho f (a) ≤ α ≤ f (b); ∀a ∈ A, b ∈ B Lúc đó, ta nói siêu phẳng H(f ; α) := f −1 (α) = {x ∈ X | f (x) = α} tách A B Trường hợp B tập điểm: B = {x0 }, ta nói đơn giản siêu phẳng H(f ; α) tách A x0 Rõ ràng, siêu phẳng tách hai tập, có, khơng Định lý 1.7 (Định lý tách bản) Cho A B hai tập lồi khác rỗng, core A = ∅ A ∩ B = ∅ Lúc đó, tồn siêu phẳng tách A B Bổ đề 1.1 Nếu C tập lồi hấp thụ x0 ∈ C tồn siêu phẳng tách C x0 Chứng minh Đặt M := span{x0 } g : M → R xác định g(λx0 ) := λ với λ ∈ R Lúc g ∈ M # , nữa, pC (x0 ) ≥ nên g(m) ≤ pC (m) với m ∈ M Áp dụng Định lý Hahn-Banach tồn f ∈ X # cho f |M = g f (x) ≤ pC (x) với x ∈ X Rõ ràng f (x0 ) = Mặt khác, với c ∈ C ta có f (c) ≤ pC (c) ≤ Nên f tách C x0 Chứng minh Định lý 1.7 Giả sử a0 ∈ core A b0 ∈ B Đặt x0 := a0 − b0 C := A − B − (a0 − b0 ) Lúc đó, C lồi, hấp thụ khơng chứa x0 Từ Bổ đề tồn f ∈ X # \ {0} tách C x0 Dễ kiểm chứng f tách A B 1.3 Không gian tôpô lồi địa phương 1.3.1 Không gian tôpô Cho X tập hợp khác rỗng Một họ τ ⊂ P(X) gọi tôpô X thoả mãn tính chất sau: i) ∅, X ∈ τ , ii) Giao số hữu hạn phần tử thuộc τ thuộc τ , iii) Hợp họ tuỳ ý phần tử thuộc τ thuộc τ 38 Mệnh đề 3.12 Cho f : X → R, ba phát biểu sau tương đương a) f l.s.c b) C(f ; α) đóng, với α ∈ R, c) epi f tập đóng X × R Chứng minh a ⇒ b) Cho (xλ ) dãy C(f ; α) hội tụ x Lúc đó, f (x) ≤ lim inf f (xλ ) ≤ α nên x ∈ C(f ; α) b ⇒ c) Cho (xλ , γλ ) dãy epi f hội tụ (x, γ), ta chứng minh (x, γ) ∈ epi f từ suy epi f đóng Nhưng điều hiển nhiên γ = lim γλ ≥ lim inf f (xλ ) ≥ f (x) c ⇒ a) Cho x0 ∈ X γ < f (x0 ) ta có (x0 , γ) ∈ epi f Do epi f đóng, tồn lân cận gốc V số dương cho [(x0 + V ) × (γ − , γ + )] ∩ epi f = ∅ Do định nghĩa tập epi f từ suy f (x) > γ với x ∈ x0 + V Điều kết thúc chứng minh Từ kết mà hàm nửa liên tục gọi hàm đóng Hệ 3.4 Một hàm lồi, l.s.c l.s.c theo tơpơ yếu Hệ suy từ Mệnh đề 2.8, Mệnh đề 3.12 bổ đề mà ta kiểm chứng trực tiếp Bổ đề 3.3 Cho X không gian lồi địa phương Y = X × R khơng gian lồi địa phương (với tơpơ tích) Y ∗ = X ∗ × R Hơn tơpơ yếu τw (Y ) Y tích tôpô yếu τw (X) X tôpô R Cho f : X → R Ta gọi bao đóng f hàm f¯ := fepi f Tức là: f¯(x) := inf{γ ∈ R | (x, γ) ∈ epi f }; x∈X bao lồi đóng f hàm cof := co f Từ định nghĩa ta nhận kết sau Mệnh đề 3.13 f¯ (cof ) hàm đóng (lồi đóng) lớn số hàm đóng (lồi đóng) non f Hơn nửa, epi f¯ = epi f ; epi(cof ) = co(epi f ) Chú ý: co f¯ khơng thiết hàm đóng đó, nói chung co f¯ = cof 39 Mệnh đề 3.14 Một hàm lồi, đóng, khơng thường khơng nhận giá trị hữu hạn Chứng minh Vì f khơng thường nên f ≡ +∞, tồn x0 để f (x0 ) = −∞ Ta xét trường hợp sau Lúc đó, với x ∈ X mà f (x) < +∞ ta chứng minh f (x) = −∞ Vì f (x) < +∞ nên tồn điểm (x, γ) ∈ epi f Với n ∈ N∗ ta có (x0 , −n2 ) ∈ epi f , mà epi f lồi nên ( n1 x0 + (1 − n1 )x, − nn + (1 − n1 )γ) ∈ epi f , tức f ( n1 x0 + (1 − n1 )x) ≤ −n + (1 − n1 )γ Cho n → ∞ với ý f l.s.c ta nhận f (x) = −∞ Mệnh đề 3.15 a) f đóng f = f¯ b) Nếu f lồi f¯ lồi cof = f¯ c) Nếu f1 , f2 đóng f1 + f2 đóng d) Nếu fα đóng với α ∈ I, ∨fα đóng e) Nếu fα lồi, đóng với α ∈ I, ∨fα lồi, đóng Chứng minh a) f đóng ⇔ epi f đóng ⇔ epi f = epi f = epi f¯ ⇔ f = f¯ b) f lồi ⇒ epi f lồi ⇒ epi f¯ = epi f lồi ⇒ f¯ lồi ⇒ cof = f¯ Cuối cùng, khẳng định c), d) e) suy từ định nghĩa hàm đóng từ tính chất epi(∨fα ) = ∩(epi fα ) 3.2.2 Sự liên tục hàm lồi Một hàm f gọi Lipschitz địa phương x0 tồn lân cận gốc lồi, cân đối V số K > cho |f (x) − f (x )| ≤ KpV (x − x ); ∀x, x ∈ x0 + V f gọi Lipschitz địa phương tập mở U ⊂ X Lipschitz địa phương điểm thuộc U Chú ý X không gian định chuẩn ta nhận định nghĩa hàm Lipschitz thơng thường cách chọn V hình cầu đơn vị Định lý 3.16 Cho f lồi thường, phát biểu sau tương đương a) f liên tục điểm x¯ ∈ X b) f bị chặn tập lồi mở khác rỗng c) int(epi f ) = ∅ 40 d) int(dom f ) = ∅ f Lipschitz địa phương int(dom f ) e) int(dom f ) = ∅ f liên tục điểm thuộc int(dom f ) Chứng minh a ⇒ b) Nếu f liên tục x¯ f bị chặn f (¯ x) + lân cận lồi mở U x¯ b ⇔ c) Nếu f bị chặn γ tập lồi mở U , U ×(γ, +∞) ⊆ epi f Vì int(epi f ) = ∅ Ngược lại, (x0 , γ) ∈ int(epi f ) tồn tập lồi mở U x0 số > cho U × (γ − , γ + ) ⊆ epi f , suy f bị chặn γ U d ⇒ e) e ⇒ a) hiển nhiên b ⇒ d) Giả sử f bị chặn γ tập lồi mở U Lấy u ∈ U , tồn lân cận gốc lồi, cân đối W cho u + 2W ⊆ U Với x0 ∈ int(dom f ) tồn > đủ bé để x1 := x0 + (x0 − u) ∈ dom f Lúc đó, với λ = /(1 + ), x0 = (1 − λ)x1 + λu nên với x ∈ x0 + 2λW ta có f (x) ≤ γ0 := (1 − λ)f (x1 ) + λγ Nghĩa f bị chặn γ0 x0 + 2V với V = λW Lấy tùy ý x, x ∈ x0 + V Nếu pV (x − x ) > đặt x := x + pVx−x ta (x−x ) có pV (x − x) = nên x ∈ x + V ⊆ x0 + 2V suy f (x ) ≤ γ0 Mặt khác, pV (x−x ) pV (x−x ) x = 1+p x + 1+pV 1(x−x ) x , nên f (x) ≤ 1+p γ0 + 1+pV 1(x−x ) f (x ), suy V (x−x ) V (x−x ) f (x) − f (x ) ≤ pV (x − x ) (γ0 − f (x )) ≤ pV (x − x )(γ0 − f (x )) + pV (x − x ) (3.2) Chú ý rằng, x ∈ x0 +V z := 2x0 −x thuộc x0 +V x0 = x 2+z Áp dụng tính lồi f ta có f (x ) ≥ 2f (x0 )−f (z) ≥ 2f (x0 )−γ0 , nên γ0 −f (x ) ≤ 2(γ0 −f (x0 ) Điều với (3.2) suy f (x) − f (x ) ≤ 2(γ0 − f (x0 )pV (x − x ) Lại V cân đối nên từ ta có |f (x) − f (x )| ≤ KpV (x − x ), với K = 2(γ0 − f (x0 ) Nếu pV (x − x ) = thì, với n ∈ N∗ , n(x − x ) ∈ V nên xn = x + n(x − x ) ∈ n n x + V ⊆ x0 + 2V f (x) ≤ 1+n f (xn ) + 1+n f (x ) ≤ 1+n γ0 + 1+n f (x ) Cho n → +∞ ta nhận f (x) ≤ f (x ) Tương tự, f (x ) ≤ f (x), suy f (x ) = f (x) Tóm lại, trường hợp ta ln ln có |f (x) − f (x )| ≤ KpV (x − x ) với x, x ∈ x0 + V , nên f Lipschitz địa phương x0 Vì x0 chọn tùy ý int(dom f ) nên f Lipschitz địa phương int(dom f ) Hệ 3.5 Nếu f hàm lồi thường Rn f liên tục tôpô tương đối aff(dom f ) điểm x ∈ ri(dom f ) 41 Chứng minh Khơng tính tổng qt giả thiết ∈ dom f Lúc đó, Y := aff(dom f ) không gian Rn Nếu cần ta xét thu hẹp không gian Y , nên giả thiết Y = Rn Lúc tồn x0 ∈ int(dom f ) với > đủ bé H := {x0 ± ei | ≤ i ≤ n} ⊆ dom f ({e1 , e2 , · · · , en } sở Rn ) Vì f lồi nên f bị chặn M := max{f (x) | x ∈ H} co H, lân cận x0 Vậy f liên tục int(dom f ) 3.3 Hàm liên hợp 3.3.1 Biểu diễn hàm lồi theo hàm affine Nhắc lại rằng, hàm affine X hàm có dạng ϕ(x) = x∗ , x + α, với x∗ ∈ X # α ∈ R Lúc đó, ϕ liên tục x∗ ∈ X ∗ Ký hiệu AX họ tất hàm affine liên tục X Cho f hàm X Ta ký hiệu A(f ) := {ϕ ∈ AX | ϕ ≤ f }; L(f ) := {x∗ ∈ X ∗ | x∗ ≤ f } Định lý 3.17 Cho f hàm thường Lúc đó, f lồi đóng ϕ f= ϕ∈A(f ) Chứng minh Ta cần kiểm chứng điều kiện cần hàm thuộc A(f ) lồi đóng Mặt khác, hiển nhiên f ≥ ∨ϕ∈A(f ) ϕ nên ta chứng minh bất đẳng thức ngược lại Tức là, với x0 ∈ X α < f (x0 ) tồn ϕ ∈ A(f ) cho ϕ(x0 ) > α Do epi(f ) lồi đóng (x0 , α) ∈ epi(f ), tồn (x∗ , β) ∈ X ∗ × R tách mạnh (x, α) epi(f ), tức tồn > cho x∗ , x + βγ < x∗ , x0 + βα − ; ∀(x, γ) ∈ epi(f ), hay x∗ , x + βγ < x∗ , x0 + βα − ; ∀x ∈ dom f, γ ≥ f (x) (3.3) Cố định x ∈ dom f cho γ → +∞ ta thấy β ≤ Ta xét hai trường hợp: i) x0 ∈ dom f : Thay x = x0 vào (3.3) ta suy β < Lại thay γ = f (x) với biến đổi nhỏ ta có f (x) > x ∗ , x0 − x − + α =: ϕ(x); ∀x ∈ dom f β 42 Như ϕ ∈ A(f ), ϕ(x0 ) = − β + α > α ii) x0 ∈ dom f β < 0: Chứng minh (i) iii) x0 ∈ dom f β = Lúc x∗ , x − x0 + < 0; ∀x ∈ dom f Chú ý rằng, từ (i) ta có A(f ) = ∅, tức tồn hàm affine ϕ(x) = x∗1 , x +α1 ≤ f (x) với x ∈ dom f Với số nguyên dương n tùy ý ta đặt ϕn (x) = ϕ(x) + n x∗ , x − x0 + n Dễ thấy ϕn ∈ A(f ) Hơn nữa, chọn n đủ lớn ta có ϕn (x0 ) > α Hệ 3.6 Cho f hàm thường, dương Lúc đó, f lồi đóng ϕ f= ϕ∈L(f ) Chứng minh Ta chứng minh điều kiện cần Giả sử f lồi, đóng thường, dương (lúc f (0) = 0!) Ta với ϕ ∈ A(f ) tồn φ ∈ L(f ) cho φ ≥ ϕ, từ đó, kết hợp Định lý 3.17 suy điều phải chứng minh Thật vậy, ϕ(x) = x∗ , x + α ≤ f (x) với x ∈ X, ta có x∗ , nx + α ≤ f (nx) = nf (x) với x ∈ X n ∈ N Chia hai vế cho n cho n → ∞ ta nhận x∗ , x ≤ f (x) Nghĩa φ ∈ L(f ) với φ(x) = x∗ , x Mặt khác = f (0) ≥ ϕ(0) = α nên φ ≥ ϕ, hệ chứng minh Hệ 3.7 Cho f : X → R Lúc đó, ϕ cof = ϕ∈A(f ) Hệ 3.8 Cho f hàm lồi, đóng, thường X Lúc đó, tồn x∗ ∈ X ∗ cho hàm g(x) := x∗ , x − f (x) bị chặn 3.3.2 Hàm liên hợp Cho hàm f : X → R Ta gọi hàm f ∗ : X ∗ → R xác định sau hàm liên hợp (hay biến đổi Fenchel - Moreau) f : f ∗ (x∗ ) := sup{ x∗ , x − f (x) | x ∈ X} = sup{ x∗ , x − f (x) | x ∈ dom f } Ví dụ 3.1 Với f (x) = x∗0 , x + α; x ∈ X, ta có f ∗ (x∗ ) = −α; x∗ = x∗0 , +∞; x∗ = x∗0 43 Với tơpơ σ(X ∗ , X), đối ngẫu X ∗ X Do đó, g : X ∗ → R hàm X ∗ ta có định nghĩa hàm liên hợp g hàm g ∗ : X → R xác định g ∗ (x) := sup{ x∗ , x − g(x∗ ) | x∗ ∈ X ∗ } = sup{ x∗ , x − g(x∗ ) | x∗ ∈ dom g} Ta ký hiệu f ∗∗ := (f ∗ )∗ gọi hàm liên hợp bậc hai f Ví dụ 3.2 Cho ∅ = C ⊂ X Lúc (δC )∗ (x∗ ) = sup x∗ , x = σC (x∗ ) x∈C Nói cách khác, liên hợp hàm hàm tựa Ngược lại, C lồi đóng ta có (σC )∗ = δC Vậy, C lồi đóng δC∗∗ = δC Mệnh đề 3.18 a) f ∗ (x∗ ) + f (x) ≥ x∗ , x với x∗ ∈ X ∗ , x ∈ X b) f ∗∗ ≤ f c) f ∗ hàm lồi đóng X ∗ Chứng minh a) Hiển nhiên, từ định nghĩa ta có f ∗ (x∗ ) ≥ x∗ , x − f (x) với x ∈ X b) Từ a) suy x∗ , x − f ∗ (x∗ ) ≤ f (x) với x∗ ∈ X ∗ , f ∗∗ (x) ≤ f (x) c) Vì f ∗ sup họ hàm lồi (thực affine) đóng Từ mệnh đề ta nhận hệ sau Hệ 3.9 f ∗∗ ≤ cof Mệnh đề 3.19 Nếu f lồi, đóng, thường f ∗ Chứng minh Từ Mệnh đề 3.18, f ∗ lồi đóng Mặt khác, từ Hệ 3.8 tồn x∗ cho f ∗ (x∗ ) hữu hạn Cuối áp dụng Mệnh đề 3.14 suy f ∗ thường Định lý 3.20 (Fenchel-Moreau) Cho f : X → (−∞, +∞] Lúc đó, f = f ∗∗ f lồi, đóng Chứng minh Rõ ràng, f = f ∗∗ f lồi đóng Bây giả sử f lồi đóng ta chứng minh f = f ∗∗ , hay đơn giản hơn, f ≤ f ∗∗ Nếu f ≡ +∞ hiển nhiên f ∗∗ ≡ +∞ Trường hợp ngược lại ta có f thường Theo Định lý 3.17, với x ∈ X α < f (x) tồn hàm affine ϕ(u) = x∗ , u − γ ≤ f (u) với u ϕ(x) > α Nhưng lúc đó, f ∗ (x∗ ) ≤ γ f ∗∗ (x) ≥ x∗ , x − f ∗ (x∗ ) ≥ x∗ , x − γ = ϕ(x) > α Tức f ≤ f ∗∗ định lý chứng minh hoàn toàn 44 Hệ 3.10 Giả sử cof thường Lúc đó, cof = f ∗∗ ; (cof )∗ = f ∗ Chứng minh Vì g = cof lồi đóng thường nên g = g ∗∗ Mặt khác, g ≤ f suy g ∗ ≥ f ∗ g = g ∗∗ ≤ f ∗∗ Kết hợp với Hệ 3.9 suy g = f ∗∗ Cuối cùng, từ giả thiết dễ kiểm chứng f ∗ thường Từ f ∗ = f ∗∗∗ = g ∗ 3.4 Dưới vi phân hàm lồi 3.4.1 Định nghĩa Trong mục ta giả thiết f : X → R hàm lồi thường f (x0 ) < ∞ Một phiếm hàm x∗ ∈ X ∗ gọi gradient hàm f x0 f (x) ≥ f (x0 ) + x∗ , x − x0 ; ∀x ∈ X Về mặt hình học, điều có nghĩa hàm affine φ(x) := f (x0 ) + x∗ , x − x0 ; x∈X có đồ thị siêu phẳng nằm epi f tựa vào epi f điểm (x0 , f (x0 )) Tập hợp tất gradient f x0 gọi vi phân f điểm ký hiệu ∂f (x0 ) Vậy, ∂f (x0 ) = {x∗ ∈ X ∗ | f (x) − f (x0 ) ≥ x∗ , x − x0 ; ∀x ∈ X} Nếu ∂f (x0 ) tập khác rỗng ta nói f khả vi phân x0 Mệnh đề 3.21 Ba phát biểu sau tương đương: a) x∗ gradient f x0 , b) f (x0 ) + f ∗ (x∗ ) = x∗ , x0 , c) (x∗ , −1) ∈ Nepi f (x0 , f (x0 )) Chứng minh b) ⇔ x∗ , x0 − f (x0 ) = f ∗ (x∗ ) ⇔ x∗ , x0 − f (x0 ) ≥ x∗ , x − f (x); ∀x ∈ X ⇔ f (x) − f (x0 ) ≥ x∗ , x − x0 ; ∀x ∈ X (⇔ a) ⇔ γ − f (x0 ) ≥ x∗ , x − x0 ; ∀(x, γ) ∈ epi f ⇔ (x∗ , −1), (x, γ) − (x0 , f (x0 )) ≤ 0; ∀(x, γ) ∈ epi f ⇔ c) 45 Định lý 3.22 Nếu f lồi, thường liên tục điểm đó, điểm x0 ∈ int(dom f ), ∂f (x0 ) tập lồi, compact yếu*, khác rỗng Chứng minh Từ Định lý 3.16 ta có int(epi f ) = ∅ f liên tục x0 Vì (x0 , f (x0 )) không thuộc int(epi f ) nên, theo Định lý tách, tồn (x∗ , β) = (0, 0) cho x∗ , x0 + βf (x0 ) ≤ x∗ , x + βγ; ∀(x, γ) ∈ epi f Do tính chất epi f ta phải có β ≥ Thay γ = f (x) với x ∈ dom f ta nhận x∗ , x0 + βf (x0 ) ≤ x∗ , x + βf (x); ∀x ∈ dom f Nếu β = x0 ∈ int(dom f ) suy x∗ = mâu thuẫn Vậy β > Chia hai vế ∗ bất đẳng thức cho β đặt x∗0 = − xβ ta nhận f (x) − f (x0 ) ≥ x∗0 , x − x0 ; ∀x ∈ X Vậy x∗0 ∈ ∂f (x0 ), tức ∂f (x0 ) = ∅ Tính lồi compact yếu* tập suy từ Hệ 2.8 Ví dụ 3.3 Nếu f hàm affine liên tục: f (x) = x∗ , x +α, ∂f (x0 ) = x∗ với x0 ∈ X Nếu f hàm tập lồi C: f (x) = δC (x), ∂δC (x0 ) = {x∗ ∈ X ∗ | x∗ , x − x0 ≤ 0; ∀x ∈ C} = NC (x0 ) Nếu f hàm chuẩn không gian định chuẩn X: f (x) = x , ∂f (x0 ) = 3.4.2 {x∗ | x∗ = 1, x∗ , x0 = x0 }; x0 = 0, {x∗ | x∗ ≤ 1}; x0 = Quan hệ với đạo hàm theo hướng Cho hàm f : X → R x0 ∈ X cho f (x0 ) ∈ R Với vectơ d ∈ X, ta định nghĩa đạo hàm f theo hướng d giới hạn sau, tồn tại, hữu hạn vô hạn: f (x0 + λd) − f (x0 ) f (x0 ; d) := lim λ→0+ λ Ví dụ 3.4 Cho f, g : R → R, xác định f (x) = x sin x1 ; x > 0, 0; x ≤ 0; g(x) = √ x; x ∈ R Lúc đó, f (0; 1) không tồn tại, f (0; −1) = 0, g (0; 1) = +∞, g (0; −1) = −∞ 46 Qua ví dụ ta thấy đạo hàm theo hướng tồn khơng, tuỳ theo trường hợp Tuy vậy, f hàm lồi đạo hàm theo hướng ln ln tồn Điều khẳng định định lý sau Định lý 3.23 Giả sử f hàm lồi thường X x0 ∈ dom f Với d ∈ X, ta có a) Hàm số sau ϕd (λ) := f (x0 + λd) − f (x0 ) ; λ λ ∈ (0, +∞) không giảm khoảng (0, +∞) b) Đạo hàm f theo hướng d tồn f (x0 ; d) = inf ϕd (λ) λ>0 c) f (x0 + d) − f (x0 ) ≥ f (x0 ; d), với d ∈ X Chứng minh Với λ2 > λ1 > 0, f lồi, ta có f (x0 + λ1 d) ≤ λ1 λ1 f (x0 + λ2 d) + (1 − )f (x0 ) λ2 λ2 Từ suy ϕd (λ1 ) ≤ ϕd (λ2 ) ϕd hàm không giảm khoản (0, +∞) Các kết luận b) c) suy trực tiếp từ a) Định lý 3.24 Cho f hàm lồi thường X x0 ∈ dom f a) f (x0 ; ·) hàm lồi X b) Nếu x0 ∈ int dom f hàm f (x0 ; d) hữu hạn với d ∈ X c) Nếu f liên tục x0 f (x0 ; d) hữu hạn liên tục d ∈ X Chứng minh a) Tính f (x0 ; ·) suy từ định nghĩa Ta chứng minh f (x0 ; ·) cộng tính Thật vậy, với d1 , d2 ∈ X ta có f (x0 + λd1 + λd2 ) − f (x0 ) λ f (x0 + 2λd1 ) + f (x0 + 2λd2 ) − 2f (x0 ) ≤ lim λ→0+ 2λ f (x0 + 2λd1 ) − f (x0 ) f (x0 + 2λd2 ) − f (x0 ) = lim + lim λ→0+ λ→0+ 2λ 2λ = f (x0 ; d1 ) + f (x0 ; d2 ) f (x0 ; d1 + d2 ) = lim λ→0+ 47 b) Giả sử > cho x0 − d ∈ dom f Với λ > ta có λ (x0 − d) + (x0 + λd) λ+ λ+ λ ≤ f (x0 − d) + f (x0 + λd) λ+ λ+ f (x0 ) = f Từ ϕd (λ) ≥ f (x0 ) − f (x0 − d) với λ > Kết hợp với Định lý 3.23.c) suy f (x0 ; d) hữu hạn c) Nếu f liên tục x0 tồn lân cận gốc V cho f (x0 + d) − f (x0 ) < với d ∈ V Từ Định lý 3.23 suy f (x0 ; ·) bị chặn trên V Vì f (x0 ; ·) lồi, thường, dương suy liên tục X Bổ đề 3.4 Nếu g hàm lồi, dương g(0) = ∂g(0) = dom g ∗ Hơn nữa, ∂g(0) = ∅ g nửa liên tục và, lúc g(d) = sup{ x∗ , d | x∗ ∈ ∂g(0)} Chứng minh x∗ ∈ ∂g(0) ⇔ x∗ , d ≤ g(d), ∀d ∈ X ⇔ g ∗ (x∗ ) = ⇔ x∗ ∈ dom g ∗ Nếu x∗ ∈ ∂g(0) g(d) ≥ x∗ , d với d ∈ X Do đó, lim inf d→0 g(d) ≥ = g(0) g nửa liên tục Ngược lại g nửa liên tục tức tồn γ < lân cận gốc V cho tập A := V × (−∞, γ] có giao rỗng với epi g Sử dụng định lý tách để ý epi g nón lồi ta suy ∂g(0) = ∅ Hơn lúc g lồi, thường, g lồi, đóng, thường, nên theo Hệ 3.6, g(d) = sup ϕ(d) ϕ∈L(g) Ta kết thúc chứng minh cách ý L(g) = ∂g(0) Mệnh đề 3.25 Nếu f hàm lồi thường điểm x0 ∈ dom f ta có ∂f (x0 ) = ∂f (x0 ; ·)(0) = dom(f (x0 ; ·))∗ Hơn nữa, ∂f (x0 ) = ∅ f (x0 ; ·) nửa liên tục gốc, f (x0 ; d) = sup{ x∗ , d | x∗ ∈ ∂f (x0 )} Chứng minh Đẳng thức ∂f (x0 ) = ∂f (x0 ; ·)(0) suy trực tiếp từ định nghĩa Định lý 3.23 Tất khẳng định khác suy từ Bổ đề 3.4 Hệ 3.11 Nếu hàm lồi f liên tục x0 f (x0 ; d) = max{ x∗ , d | x∗ ∈ ∂f (x0 )} (3.4) 48 Chứng minh Theo Định lý 3.24 f (x0 ; ·) liên tục nên từ Mệnh đề 3.25 f (x0 ; d) = sup{ x∗ , d | x∗ ∈ ∂f (x0 )} Cuối theo Định lý 3.22 tập ∂f (x0 ) compact yếu*, ta nhận (3.4) Hàm f gọi khả vi Gâteaux x0 ∈ X tồn x∗ ∈ X ∗ cho f (x0 + λd) − f (x0 ) = x∗ , d ; λ→0 λ lim ∀d ∈ X Phiếm hàm fG (x0 ) = x∗ trên, có, gọi đạo hàm Gâteaux f x0 Định lý 3.26 Nếu hàm lồi f liên tục x0 có tập ∂f (x0 ) gồm phần tử {x∗ }, f khả vi Gâteaux x0 fG (x0 ) = x∗ Ngược lại, f lồi, khả vi Gâteaux x0 ∂f (x0 ) = {fG (x0 )} Chứng minh Nếu ∂f (x0 ) = {x∗ } theo Hệ 3.11 ta có f (x0 + λd) − f (x0 ) = f (x0 ; d) = x∗ , d , λ→0+ λ lim ∀d ∈ X Mặt khác, f (x0 + λd) − f (x0 ) = −f (x0 ; −d) = x∗ , d , λ→0− λ lim ∀d ∈ X Vậy f khả vi Gâteaux x0 fG (x0 ) = x∗ Ngược lại, f khả vi Gâteaux x0 f (x0 ; d) = fG (x0 ), d với d ∈ X Từ Hệ 3.11 ta lại có ∂f (x0 ) = {fG (x0 )} 3.4.3 Các phép toán qua vi phân Mệnh đề 3.27 Cho f hàm lồi thường X λ > Lúc ∂(λf )(x) = λ ∂f (x); ∀x ∈ dom f Chứng minh Từ định nghĩa ta có (λf ) (x; d) = λf (x; d) với x ∈ dom f d ∈ X Do x∗ ∈ ∂(λf )(x) ⇔ x∗ , d ≤ (λf ) (x; d), ∀d ∈ X ⇔ ⇔ ∗ x ∈ ∂f (x) λ Vậy ∂(λf )(x) = λ ∂f (x) ⇔ ∗ x , d ≤ f (x; d), ∀d ∈ X λ x∗ ∈ λ∂f (x) 49 Định lý 3.28 (Moreau-Rockafellar) Nếu f1 , f2 , · · · , fm hàm lồi thường X ∂(f1 + f2 + · · · + fm )(x) ⊃ ∂f1 (x) + ∂f2 (x) + · · · + ∂fm (x); ∀x ∈ ∩ dom fi Nếu tồn điểm x1 ∈ ∩ dom fi có đến m − hàm fi liên tục, ∂(f1 + f2 + · · · + fm )(x) = ∂f1 (x) + ∂f2 (x) + · · · + ∂fm (x); ∀x ∈ ∩ dom fi Cho f1 , f2 , · · · , fm hàm lồi X f = ∨fi Với x0 ∈ X ta ký hiệu I(x0 ) = {i ∈ {1, 2, · · · , m} | fi (x0 ) = f (x0 )} Mệnh đề sau cho ta cơng thức tính vi phân hàm f x0 Định lý 3.29 Với x0 ∈ X ta có ∂fi (x0 ) ∂f (x0 ) ⊃ co i∈I(x0 ) Nếu hàm f1 , f2 , · · · , fm liên tục x0 ∂fi (x0 ) ∂f (x0 ) = co i∈I(x0 ) Bây cho {fi | i ∈ I}, với I tập tuỳ ý, họ hàm lồi X Đặt f= fi với x0 ∈ X : I(x0 ) = {i ∈ I | fi (x0 ) = f (x0 )} i∈I Định lý 3.30 Với x0 ∈ X ta có ∂f (x0 ) ⊃ co ∂fi (x0 ) i∈I(x0 ) Nếu I không gian tôpô compact, hàm f (i, x) = fi (x) nửa liên tục trên, theo biến i, I hàm fi , i ∈ I, liên tục x0 , ∂f (x0 ) = co ∂fi (x0 ) i∈I(x0 ) Hệ 3.12 Cho I không gian tôpô compact f (i, x) : I × Rn → R hàm nửa liên tục theo biến i, lồi liên tục theo biến x Ký hiệu fi (x), f (x) I(x0 ) tương tự định lý Lúc đó, với y ∗ ∈ ∂f (x0 ) tồn i1 , i2 , · · · , ik ∈ I(x0 ) với k ≤ n + cho k k αj yj∗ , y∗ = j=1 với αj ≥ 0, yj∗ ∈ ∂fij (x0 ); ≤ j ≤ k : αj = j=1 50 3.4.4 Ứng dụng khảo sát toán Quy hoạch lồi Cho f hàm lồi thường X C tập lồi khác rỗng X Ta quan tâm đến toán quy hoạch lồi sau P(C; f ) : f (x) → min, x ∈ C Một điểm x0 ∈ C gọi điểm cực tiểu hàm f C, nghiệm Bài toán P(C; f ), f (x0 ) ≤ f (x); ∀x ∈ C C gọi tập chấp nhận f hàm mục tiêu tốn Khi C = X, ta gọi tốn khơng có ràng buộc viết cách đơn giản P(f ) Kết sau mở rộng Định lý Fermat giải tích cổ điển Mệnh đề 3.31 Một điểm x0 ∈ X nghiệm toán quy hoạch lồi P(f ) ∈ ∂f (x0 ) Trong trường hợp tổng quát ta có kết sau Định lý 3.32 Cho x0 ∈ C, a) Nếu ∂f (x0 ) ∩ (−NC (x0 )) = ∅, x0 nghiệm Bài toán P(C; f ) b) Ngược lại x0 nghiệm Bài toán P(C; f ) f liên tục điểm x ∈ C, ∂f (x0 ) ∩ (−NC (x0 )) = ∅ Trường hợp C đa tạp affine song song với khơng gian V NC (x0 ) = V ⊥ điểm x0 ∈ C Vì vậy, ta có hệ sau Hệ 3.13 Nếu C đa tạp affine song song với không gian V X f liên tục điểm x ∈ C, điểm x0 ∈ C nghiệm toán P(C; f ), ∂f (x0 ) ∩ V ⊥ = ∅ Đặc biệt C đa tạp affine có đối chiều hữu hạn cho C = {x ∈ X | x∗i , x = αi ; ≤ i ≤ m} = ∅, (3.5) đó, x∗i ∈ X ∗ αi ∈ R, NC (x0 ) = span{x∗1 , x∗2 , · · · , x∗m } Vì vậy, ta có hệ sau Hệ 3.14 Giả sử C cho (3.5) f liên tục điểm x ∈ C Lúc đó, điểm x0 ∈ C nghiệm toán P(C; f ) tồn số thực λi ∈ R, ≤ i ≤ m, cho λi x∗i ∈ ∂f (x0 ) 51 3.5 Bài tập Bài tập 3.1 Cho f hàm lồi không gian định chuẩn X Chứng minh f bị chặn hình cầu B(x0 , r) bị chặn hình cầu Bài tập 3.2 Xác định ex , a) f (x) := 2, +∞, hàm f¯, co f , cof với f hàm biến thực cho x > 0; −1 < x ≤ 0; x ≤ −1, x x < 0; e , b) f (x) := 1, ≤ x < 1; +∞, x ≥ Bài tập 3.3 Hãy xác định hàm co f , f ∗ f ∗∗ với f : R → R xác định a) f (x) = e−x , b) f (x) = arctan(x) Bài tập 3.4 Cho f : R → R Chứng minh a) f lồi bị chặn hàm affine f hàm affine b) f hàm lõm mà cof thường f hàm affine Bài tập 3.5 Cho hàm f : R2 → R xác định f (x, y) = x2 + y , x2 + y > 1; x2 + y , x2 + y ≤ a) Chứng minh f hàm lồi liên tục R2 b) Tính vi phân hàm f điểm : A(1, 0), B( 12 , 12 ), C(1, 1), D(0, 0) Bài tập 3.6 Đặt f (x) = (x2 − 1)2 , x ∈ R a) Vẽ đồ thị hàm f Từ xác định hàm g = co f b) Xác định ∂g(x) x ∈ R 52 Ti liu tham kho [1] Haăm Brezis, Gii tớch hàm - Lý thuyết ứng dụng, (N.H Nghĩa, N.T Long dịch), Nxb ĐHQG Tp HCM, 2002 [2] I Ekeland, R Temam, Convex Analysis and Variational Problems, NorthHolland, American Elsevier, 1973 [3] R.B Holmes, Geometric Functional Analysis and Its Applications, SpringerVerlag, 1975 [4] B.N Pshenhichnyi, Giải tích lồi Bài toán cực trị (tiếng Nga), Nauka, 1980 [5] A.P Robertson, W Robertson, Khơng gian vectơ tơpơ, (P Đ Chính dịch), Nxb ĐH&THCN, 1977 [6] R.T Rockafellar, Convex analysis, Princeton University Press, 1970 [7] Hồng Tụy, Hàm thực Giải tích hàm, Nxb ĐHQG Hà Nội, 2003 ... nên hội tụ theo chuẩn kéo theo hội tụ yếu*, hay tôpô yếu* yếu tôpô mạnh Bây với phần tử x ∈ X, phiếm hàm tuyến tính tương ứng φx xét 2.2.2 liên tục theo tôpô σ(X ∗ , X) nên liên tục theo tôpô... đối, hấp thụ V0 (theo nghĩa τ tơpơ tuyến tính yếu nhận tập V ∈ V0 làm lân cận gốc) Kết hợp với Mệnh đề 1.16 Mệnh đề 1.17 ta khẳng định thêm τ hoàn toàn xác định họ P0 nửa chuẩn (theo nghĩa τ tôpô... x ∈ A} ⊆ Y = X × R Dễ thấy co B = co A × {1} Do đó, với x ∈ co A ta có y = (x, 1) ∈ co B ⊆ co B Theo Định lý 1.1 tồn m vectơ độc lập tuyến tính {(a0 , 1), (a1 , 1), · · · , (am , 1)} ⊆ B số dương