Đang tải... (xem toàn văn)
Nói đến Đại số sơ cấp là người ta thường nói đến phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức và tìm cực trị một biểu thức. Một mảnh đất đã được cày xới nhiều lần và quá sâu qua năm tháng. Mặc dù vậy, mảnh đất này vẫn đang và tiếp tục được khai thác, gieo trồng tiếp qua các bài kiểm tra, kỳ thi, sách đọc thêm, các chuyên đề chọn lọc,v.v... Để tiếp cận mảnh đất ấy một cách tương đối hệ thống chúng tôi đã viết cuốn sách với bốn chương dưới đây: (1) Bất đẳng thức. (2) Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. (3) Phương trình và bất phương trình. (4) Bổ sung một vài bài đại số thi 10 chuyên, ĐH và CĐ, HSG.
Bất đẳng thức-Cực trị Hệ phương trình-Dãy số Đàm Văn Nhỉ ĐHSP Hà Nội Ngày 18 tháng 03 năm 2013 Mục lục Bất đẳng thức 1.1 Khái niệm bất đẳng thức 1.1.1 Khái niệm tính chất bất đẳng thức 1.1.2 Một vài bất đẳng thức thường gặp 1.2 Một số tập tổng hợp 1.3 Định lý Rolle, Đa thức bậc n 1.4 Bất đẳng thức Chebyshev 1.4.1 Bất đẳng thức với dãy tăng-giảm 1.4.2 Bất đẳng thức Chebyshev 1.5 Bất đẳng thức Karamata, Schur, Muirheard 1.6 Một vài bất đẳng thức Số học 1.7 Phân thức hữu tỷ 1.8 Cực trị có điều kiện 1.9 Bất đẳng thức tam giác 1.10 Bất đẳng thức Ptolemy, Hayashi cho đa giác 1.11 Bất đẳng thức (M, N ) Phương trình bất phương trình 2.1 Giải hệ qua đánh giá 2.2 Phân thức hữu tỷ xác định quan 2.3 Hệ phương trình tổng 2.4 Giải biện luận 2.5 Phương trình hàm hệ 6 29 45 66 66 67 73 80 85 95 109 121 124 130 130 146 152 180 203 2.5.1 Phương trình hàm đơn giản 2.5.2 Phương trình hàm Cauchy 2.5.3 Phương trình hàm D’Alembert 2.5.4 Một vài phương trình hàm khác 2.5.5 Phương trình hàm N 2.5.6 Phương trình hàm Z 2.6 Bài tạp Dãy số giới hạn 3.1 Cấp số cộng cấp số nhân 3.2 Một vài dãy số truy hồi qua sai phân 3.3 Dãy (an), (bn) với an+1 = uan + vbn , bn+1 = tan + zbn 3.4 Dãy an+1 = f (an ) với hàm f (x) 3.5 Một vài dãy truy hồi 3.6 Một số tổng dãy đặc biệt 3.7 Giới hạn dãy số 3.7.1 Một vài nguyên lý hội tụ 3.7.2 Một số ví dụ 3.8 Giới hạn tổng, tích qua tích phân 3.9 Chuyên đề nâng cao dãy số 3.9.1 Hệ truy hồi qua cấp số nhân 3.9.2 Làm độ phức tạp dãy truy hồi 3.9.3 Phép biến đổi Abel đánh giá tổng 3.10 Bài dành cho học sinh giỏi với gợi ý 3.11 Bài tập 203 206 210 214 216 230 231 232 232 235 243 244 249 256 281 281 283 310 316 316 328 347 352 370 Lời nói đầu Nói đến Đại số sơ cấp người ta thường nói đến phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức tìm cực trị biểu thức Một mảnh đất cày xới nhiều lần sâu qua năm tháng Mặc dù vậy, mảnh đất tiếp tục khai thác, gieo trồng tiếp qua kiểm tra, kỳ thi, sách đọc thêm, chuyên đề chọn lọc,v.v Để tiếp cận mảnh đất cách tương đối hệ thống viết sách với bốn chương đây: (1) Bất đẳng thức (2) Giá trị lớn giá trị nhỏ (3) Phương trình bất phương trình (4) Bổ sung vài đại số thi 10 chuyên, ĐH CĐ, HSG Tuy ba chương đầu vấn đề cổ điển, chúng lại xuất lĩnh vực tốn học Trong chương trình tốn phổ thơng, ba chun đề có mặt tất mơn, như: Số học, Đại số, Giải tích, Hình học Lượng giác Đặc biệt, kỳ thi Đại học, Học sinh giỏi quốc gia hay quốc tế có thuộc ba chuyên đề kể Do vậy, qua sách muốn cung cấp cho em học sinh lớp 9,10,11,12, thầy cô giáo, sinh viên em học sinh giỏi kiến thức tối thiểu bất đẳng thức, giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ hệ phương trình Chúng tơi kết thúc lời nói đầu câu dặn nhiều bậc vĩ nhân: Khát vọng vươn lên mục đích sống Về ký hiệu: N ký hiệu cho tập số tự nhiên N∗ ký hiệu cho tập số tự nhiên dương Z ký hiệu cho vành số nguyên Q ký hiệu cho trường số hữu tỷ R ký hiệu cho trường số thực C ký hiệu cho trường số phức Chú ý: Giả sử y = f (x) xác định liên tục đoạn [a, b] với a < b Để đơn giản, vài tập ta viết đạo hàm y ′ = f ′ (x) thay cho việc viết: y ′ = f ′(x) (a, b) Hà Nội, ngày 01 tháng 08 năm 2013 Đàm Văn Nhỉ Chương Bất đẳng thức Bất đẳng thức số toán nhiều người thuộc nhiều lĩnh vực quan tâm đến Bất đẳng thức khơng phải tốn khó, chọn cách chứng minh cho đơn giản Sáng tác bất đẳng thức khơng khó, biểu diễn hình thức hai vế cho đẹp mắt Nếu để ý, bạn thấy toán bất đẳng thức chia làm hai nhóm Nhóm I vận dụng số bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức qua phép biến đổi nhóm II tìm cực trị biểu thức Đây tốn tìm chặn hay chặn xét xem biểu thức đạt đại lượng đánh giá Như vậy, chuyên đề trình bày nhằm giải hai vấn đề chính: (i) Chứng minh lại số bất đẳng thức gắn liền với tên tuổi nhà tốn học trình bày việc vận dụng để giải vài ví dụ (ii) Tìm cực trị cho số biểu thức để từ suy tính chất đặc biệt cần quan tâm đối tượng Phần viết thành chương 1.1 1.1.1 Khái niệm bất đẳng thức Khái niệm tính chất bất đẳng thức Định nghĩa 1.1.1 Cho hai số thực a b a gọi lớn b, ký hiệu a > b, hiệu a − b số dương; a gọi lớn b, ký hiệu a b, hiệu a − b số không âm; a gọi nhỏ b, ký hiệu a < b, hiệu a − b số âm; a gọi nhỏ b, ký hiệu a b, hiệu a − b số không dương a a Giá trị tuyệt đối a |a| = −a a < Tính chất 1.1.2 Với số thực a, b, c số tự nhiên n ln có tính chất: a>b a>b a>b |a| > |b| a ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ b ⇐⇒ a−b>0 a+c>b+c a2n+1 > b2n+1 a2n > b2n a=b a>b Với a > b, c > ⇐⇒ ac > bc c < ⇐⇒ ac < bc a > b, b > c =⇒ a > c |a| 1.1.2 α ⇐⇒ α −α a α Một vài bất đẳng thức thường gặp Khi chứng minh bất đẳng thức, đồng thức thường sử dụng: Mệnh đề 1.1.3 Với số thực a, b, c, x, y, z d = có đồng thức sau đây: (i) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 (ii) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) (iii) (a + b)3 = a3 + 3ab(a + b) + b3 (a − b)3 = a3 − 3ab(a − b) − b3 (iv) a2 − b2 = (a − b)(a + b) (v) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) (vi) (a2 + b2)(x2 + y ) = (ax + by)2 + (ay − bx)2 (vii) (a2 + b2 + c2 )(x2 + y + z ) = (ax + by + cz)2 + (ay − bx)2 + (bz − cy)2 + (cx − az)2 |a| a |a| = |b| a = ±b (viii) |ab| = |a||b|, | | = d |d| (ix) Với a = có + a + a2 + · · · + an = an+1 − a−1 n+1 a2 − (x) Với a = có (1 + a)(1 + a )(1 + a ) · · · (1 + a ) = a−1 2n Ba bổ đề mệnh đề trình bày vài bất đẳng thức thơng dụng thường sử dụng sau Bổ đề 1.1.4 Với số thực a, b, c, x, y, z có kết sau: (i) a2 + b2 2ab (ii) (a2 + b2)(x2 + y ) (ax + by)2 (iii) (a2 + b2 + c2 )(x2 + y + z ) (iv) ||a| − |b|| |a + b| |a| + |b| (ax + by + cz)2 Bài giải: (i) Bởi (a − b)2 nên a2 + b2 2ab Dấu = xảy a = b (ii) Do (a2 + b2 )(x2 + y ) = (ax + by)2 + (ay − bx)2 (ax + by)2 nên (a2 + b2)(x2 + y ) (ax + by)2 Dấu = xảy a b = x y (iii) Do (a2 +b2 +c2 )(x2 +y +z ) = (ax+by+cz)2 +(ay−bx)2 +(bz− cy)2 + (cx − az)2 (ax + by + cz)2 nên (a2 + b2 + c2 )(x2 + y + z ) b c a (ax + by + cz)2 Dấu = xảy = = x y z (iv) Ta ln có |a| ±a, |b| ±b Khi a+ b |a+ b| = a+ b |a| + |b|; Còn a + b < |a + b| = −a − b |a| + |b| Tóm lại |a + b| |a| + |b| Bởi |a| = |a + b + (−b)| |a + b| + | − b| = |a + b| + |b| nên |a| − |b| |a + b| Tương tự |b| = |a + b + (−a)| |a + b| + | − a| = |a + b| + |a| nên |b| − |a| |a + b| Tóm lại ||a| − |b|| |a + b| |a| + |b| Bổ đề 1.1.5 Với a, b, c, x, y, z, u, v, t ln có bất đẳng thức sau: √ (i) a + b + c 3 abc √ √ abc + xyz (ii) (a + x)(b + y)(c + z) √ √ √ (iii) (a + x + u)(b + y + v)(c + z + t) abc + xyz + uvt √ abc+1 Dấu = xảy a = b = c (iv) (a + 1)(b + 1)(c + 1) √ √ √ √ 3 abc abc abc Bài giải: (i) Vì√ a + b + c +√ abc ab + c √ 3 nên a + b + c + abc abc hay a + b + c abc (ii) Nếu ba số a + x, b + y, c + z 0, chẳng hạn a + x = 0, a = x = bất đẳng thức hiển nhiên Xét a + x, b + y, c + z = : Theo (i) ta có a abc b c + + 33 a+x b+y c+z (a + x)(b + y)(c + z) xyz x y z + + 33 a+x b+y c+z (a + x)(b + y)(c + z) √ √ abc + xyz Từ suy cộng vế theo vế 3 (a + x)(b + y)(c + z) (ii) (iii) Vì (a + x + u)(b + y + v)(c + z + t) (a +√x)(b + y)(c + z) √ √ 3 3 xyz + uvt nên (a + x + u)(b + y + v)(c + z + t) abc + + √ uvt (iv) suy từ (iii) x = y = z = 1, u = v = t = Ví dụ 1.1.6 Với ba số thực a, b, c ∈ [1, 2] ln có bất đẳng thức (a − 1)(b − 1)(c − 1) + (2 − a)(2 − b)(2 − c) Bài giải: Vì a, b, c ∈ [1, 2] nên ta nhận bất đẳng thức 3 Vậy (a − 1)(b − 1)(c − 1) + (2 − a)(2 − b)(2 − c) (a − 1)(b − 1)(c − 1) + (2 − a)(2 − b)(2 − c) (a − + − a)(b − + − b)(c − + − c) = (a − 1)(b − 1)(c − 1) + (2 − a)(2 − b)(2 − c) Bổ đề 1.1.7 Cho ba số thực a, b, c Khi có bất đẳng thức sau: + ab (i) + a2 + b2 + ab 1 (ii) + + a, b, c 1 + a2 + b2 + c2 + abc 1 + (iii) 2 (1 + a) (1 + b) + ab ... 2013 Đàm Văn Nhỉ Chương Bất đẳng thức Bất đẳng thức số toán nhiều người thuộc nhiều lĩnh vực quan tâm đến Bất đẳng thức khơng phải tốn khó, chọn cách chứng minh cho đơn giản Sáng tác bất đẳng thức. .. 1.3 Định lý Rolle, Đa thức bậc n 1.4 Bất đẳng thức Chebyshev 1.4.1 Bất đẳng thức với dãy tăng-giảm 1.4.2 Bất đẳng thức Chebyshev 1.5 Bất đẳng thức Karamata, Schur,...Mục lục Bất đẳng thức 1.1 Khái niệm bất đẳng thức 1.1.1 Khái niệm tính chất bất đẳng thức 1.1.2 Một vài bất đẳng thức thường gặp 1.2 Một số tập tổng