PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN VÀ Ứng dụng http://kinhhoa.violet.vn http://kinhhoa.vioel.vn b Phương pháp đổi biến số I = ∫ f ( x)dx Tính  a Đổi biến số dạng 1: +Quy tắc: Bước 1: Chọn x = u (t ) Bước 2: - Lấy vi phân dx - Đổi cận : Giả sử Khi β ( cách thích hợp ) = u '(t )dt x = a ⇒t =α x=b⇒t =β I = ∫ f (ut ).u '(t )dt α Bước 3: Tính β I = ∫ f (ut ).u '(t )dt α http://kinhhoa.vioel.vn Đổi biến số dạng  Một số dấu hiệu dẫn tới việc lựa chon u(t) Dấu hiệu Cách chọn a −x 2 a +x 2 (a + x ) 2   π π  x = a sin t , t ∈ - ;      x = a cos t , t ∈ [ 0;π ]   π π  x = atgt , t ∈  - ; ÷     x = a cot gt , t ∈ ( 0;π ) I Phương pháp đổi biến số Bài 1: Tính tích phân sau dx I1 = x − x dx I = ∫ x − 2x + 2 dx (t = − x ) =∫ ( x − = tgt ) ( x − 1) + 1 ∫ I2 = ∫ dx 4− x ( x = 2sin t ) I = ∫ x x + 1dx 2 ( x = tgt ) (t = x + 1) Bài giải I1 = ∫ x − x dx Đặt: t = − x2 ⇒ t = − x2 ⇒ x2 = − t x = ⇒ t =1 Ta có: xdx = −3t dt x =1⇒ t = ⇒ xdx = − t dt Vậy: I1 = t ( − t ) dt ∫1 3 = ∫ t dt = t 20 http://kinhhoa.vioel.vn = Cách 1 I1 = ∫ x − x dx = − ∫ (1 − x ) d (1 − x ) 20 3 = − (1 − x ) = http://kinhhoa.vioel.vn I2 = ∫ dx 4− x  π π Đặt: x = 2sin t , t ∈ - ;   2 π π Ta có: x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = dxπ = 2cos tdt π 2 Vậy: I = ∫ π 6π 2 2cos tdt − 4sin t =∫ π π 2cos tdt − sin t 2cos tdt =∫ = ∫ dt = t π 2cos t π http://kinhhoa.vioel.vn π π π π π = − = 2 dx I3 = ∫ = x − 2x + dx ∫1 ( x − 1)2 +  π π Đặt: x − = tgt , t ∈  − ; ÷  2 π x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = Ta có: dx = dt = + tg t dt cos x ( Vậy : π ) π dx (1 + tg t ) ∫1 ( x − 1)2 + = ∫0 tg 2t + dt = ∫0 dt = t http://kinhhoa.vioel.vn π π = I = ∫ x x + 1dx  π π Đặt: x = tgt , t ∈  − ; ÷  2 Ta có: dx = dt cos t x=0 ⇒ t =0 π x =1 ⇒ t= π Vậy: I = tgt tg 2t + 1 dt = sin xdx ∫0 ∫0 cos4 x cos t π π d (cos t ) = −∫ = cos t 3cos t http://kinhhoa.vioel.vn π 2 −1 = I = ∫ x x + 1dx Đặt: t = 1+ x ⇒ t =1+ x 2 ⇒ xdx = tdt Ta có: 2tdt = xdx x = ⇒ t =1 x =1⇒ t = Vậy: I = 2 t tdt = t dt = t ∫1 ∫1 2 http://kinhhoa.vioel.vn 1 = (2 − 1) 1 = (3t − 2sin 2t + sin 4t ) 2π 3π = ∫ (3 − 4cos 2t + cos 4t )dt = 80 2π Vậy 3π ' : − I4 I = 2π I − I = 2π 3π ⇒ 2I4 = 3π ⇒ I4 = http://kinhhoa.vioel.vn Bài tập:Tính tích phân sau: π cos x 1, ∫ x dx e +1 −1 2, ∫ cos x dx sin x + cos x π 3, ∫ x cos 2π x sin xdx 4, ∫ x cos http://kinhhoa.vioel.vn xdx Ứng dụng tích phân I Tính diện tích hình phẳng II Tính thể tích vật thể tròn xoay I Tính diện tích hình phẳng Hình phẳng giới hạn bởi:  y = f ( x) y =   x = a  x = b  y = f ( x)  y = g ( x)   x = a  x = b ⇒ b S = ∫ f ( x) dx a ⇒ b S = ∫ f ( x) − g ( x) dx a http://kinhhoa.vioel.vn I Tính diện tích hình phẳng  Bài tập 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường:  y = x − 2x  y = a,   x = −1  x = 2  y = sin2 xcos3 x   y = b,  x =  x = π  http://kinhhoa.vioel.vn  y = x − 2x  y = a,   x = −1  x = 2 Bài giải Ta có: s = ∫x x − x dx -1 y −1 −1 0 + - Vậy: s = ∫ ( x − x)dx + ∫ (2 x − x )dx =( x −x ) −1 + (x − x ) http://kinhhoa.vioel.vn = π b, y = sin xcos x, y = 0, x = 0, x= 2 Ta có: π π s = ∫ sin x cos x dx = ∫ (sin x cos x)dx 3 0 π π = ∫ sin x(1 − sin x)cos xdx = ∫ (sin x − sin x)d sin x = ( sin x − sin x) π 0 = 15 http://kinhhoa.vioel.vn I Tính diện tích hình phẳng  Bài tập 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = x  a,  y = − x y =  S=∫ y o x 2 3/ x xdx + ∫ (2 − x )dx = x + (2 x − ) 2 = + = http://kinhhoa.vioel.vn Bài tập 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = x − x y = − x + x Bài giải 2 Ta có: Hồnh độ giao điểm nghiệm phương trình: x − 2x = −x + 4x 2 x = ⇔ −2 x + x = ⇔  x = http://kinhhoa.vioel.vn Vậy Diện tích hình phẳng :3 là: S = ∫ x − x + x − x dx y = ∫ x − x dx = − ∫ (2 x − x)dx O = −( x − x ) 3 =9 http://kinhhoa.vioel.vn x II Tính thể tích vật thể tròn xoay  Thể tích vật thể tròn xoay sinh từ phép quay quanh Ox hình phẳng giới hạn đường:  y = f ( x) y =   x = a  x = b b Là: V = π ∫ f ( x)dx a http://kinhhoa.vioel.vn II Tính thể tích vật thể tròn xoay  Thể tích vật thể tròn xoay sinh từ phép quay quanh Oy hình phẳng giới hạn đường:  x = f ( y) x =   y = a  y = b b Là: V = π ∫ f ( y )dy a http://kinhhoa.vioel.vn Bài tập 1: Thể tích vật thể tròn xoay sinh từ phép quay hình phẳng H quanh Ox π   4 H =  y = + sin x + cos ; y = 0; x = ; x = π    Thể tích vật thể cần tính là: π V = π ∫ (1 + sin x + cos x)dx 4 7  = π  x − sin x ÷ 16 4  π − cos x =π∫ dx = π http://kinhhoa.vioel.vn π Bài tập 2: Thể tích vật thể tròn xoay sinh từ phép quay quanh Oy hình phẳng giới hạn đường:   x  y = ; x = 0; y = 2; y =    Thể tích vật thể cần tính là: 4 V = π ∫ x dy = π ∫ ydy 2 =πy 2 = 12π http://kinhhoa.vioel.vn Bài tập 3: Thể tích vật thể tròn xoay sinh từ phép quay hình phẳng giới hạn đường sau quanh Ox y    y = x ; y = 2x    Thể tích vật thể là: 2 2 V = π ∫ ( x ) dx − π ∫ ( x ) dx = π ∫ (2 x − x )dx 0 O 32   5 12π  =π  x − x ÷ =π 4− ÷ = 20  20    http://kinhhoa.vioel.vn x