“Hệ phương trình” Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 Trang “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 Nội dung CHUYÊN ĐỀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN A PHẦN LÝ THUYẾT Dạng 1: Giải hệ phương trình phương pháp Dạng 2: Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số Dạng 3: Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ B PHẦN BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN C PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN PHẦN HƯỚNG DẪN – ĐÁP SỐ MỤC I 12 B CÁC BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN 12 C CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN 16 II: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ VÀ BÀI TOÁN PHỤ 20 A MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 20 Dạng 1: Giải biện luận hệ phương trình theo tham số m 20 Dạng 2: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm  x; y  thỏa điều kiện cho trước 20 Dạng 3: Tìm mối liên hệ x , y không phụ thuộc vào tham số m 20 B BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN 23 C HƯỚNG DẪN – ĐÁP SỐ MỤC II 26 III PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO 34 HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1: 34 HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 38 HỆ CÓ YẾU TỐ ĐẲNG CẤP ĐẲNG CẤP 40 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 48 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 64 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HẰNG ĐẲNG THỨC: 72 KHI TRONG HỆ CÓ CHỨA PHƯƠNG TRÌNH BẬC THEO ẨN x, HOẶC y 75 PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 79 MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN PHẦN HỆ PHƯƠNG TRÌNH 85 HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BÀI TẬP RÈN LUYỆN 90 IV HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN 110 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 CHUYÊN ĐỀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Cho hai phương trình bậc hai ẩn ax + by = c a/x + b/y = c/ Khi ta có hệ hai phương trình bậc hai ẩn ax  by  c (I)  / / / a x  b y  c * Nếu hai phương trình có nghiệm chung (xo;y0) (xo;y0) gọi mợt nghiệm hệ (I) * Nếu hai phương trình cho khơng có nghiệm chung ta nói hệ (I) vơ nghiệm Giải hệ phương trình tìm tất nghiệm I MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN A PHẦN LÝ THUYẾT Dạng 1: Giải hệ phương trình phương pháp a) Phương pháp giải: Để giải hệ hai phương trình bậc hai ẩn phương pháp ta làm bước sau đây: Biểu diễn một ẩn từ một phương trình hệ qua ẩn Thay ẩn bới biểu thức biểu diễn vào phương trình lại Giải phương trình mợt ẩn nhận Tìm giá trị tương ứng ẩn lại b) Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Giải hệ phương trình : { 2𝑥 + 𝑦 = 12 (1) 7𝑥 − 2𝑦 = 31 (2) Hướng dẫn giải Từ phương trình (1), biểu diễn y theo x ta có y  12  2x Thay y phương trình (2) y  12  x , ta x – 12 – x   31  x – 24  x  31  11x  55  x Thay x = vào phương trình y  12  x , ta được: y  12 – 2.5  Vậy hệ có nghiệm (x, y) = (5; 2) Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 Dạng 2: Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số a) Phương pháp giải: Để giải hệ hai phương trình bậc hai ẩn phương pháp cộng đại số ta làm bước sau đây: Nhân hai vế phương trình hệ với số thích hợp (nếu cần) để đưa hệ cho hệ mới, hệ số mợt ẩn (hoặc đối nhau) Trừ (hoặc cợng) vế phương trình hệ để khử bớt một ẩn Giải phương trình mợt ẩn thu Thay giá trị tìm ẩn vào mợt hai phương trình hệ để tìm ẩn b) Ví dụ minh hoạ : Giải hệ phương trình sau 3 x  y  11 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  x  y  Hướng dẫn giải Các hệ số ẩn y hai phương trình đối nhau, ta cợng vế hai phương trình để khử ẩn y ta thu được: x  12  x  Thay vào phương trình thứ hai hệ, ta có:  y   y    y  1 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (3;-1) 2 x  y  Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:  2 x  y  Hướng dẫn giải Các hệ số ẩn x hai phương trình nhau, ta trừ vế hai phương trình để khử ẩn x, ta được: y 8  y  Thay y = vào mợt hai phương trình cho hệ ta được: 2.x – 3.1   x   x  3 Vậy hệ phương trình có nghiệm  x, y    ; 2  1  Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 5 x  11 y  Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:  10 x  y  74 Hướng dẫn giải Nhân hai vế phương trình thứ với 2, giữ nguyên phương trình hai ta hệ mới: 10 x  22 y  16  10 x  y  74 Trừ vế phương trình thứ (mới) cho phương trình thứ hai ta được: 29 y   58  y  2 Thay vào phương trình thứ hai, ta có 10 x –  2   74  10 x  60 x Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y) = (6 ; -2) *Lưu ý: Khi hệ có chứa biểu thức giống nhau, ta kết hợp phương pháp đặt ẩn phụ để đưa hệ hệ đơn giản Sau sử dụng phương pháp cộng để tìm nghiệm hệ phương trình Dạng 3: Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ a) Phương pháp giải Đặt điều kiện để hệ có nghĩa (nếu cần) Đặt ẩn phụ điều kiện ẩn phụ (nếu có) Giải hệ theo ẩn phụ đặt Trở lại ẩn cho để tìm nghiệm hệ số b) Ví dụ minh hoạ 1 x  y 1  Ví dụ 5: Giải hệ phương trình  3    x y Hướng dẫn giải Điều kiện: x ≠0, y ≠ Đặt 1  a;  b (*) x y Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 Hệ phương trình cho tương đương với a  b   3a  4b   b   a  b  3a  3b  7b  b   Ta có:      3a  4b  3a  4b  a  b  a   b a      b  Thay  vào (*) ta có a   1   y   y    1  x   x  7 7 Vậy nghiệm hệ phương trình  x, y    ;  9 2 B PHẦN BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN 3 x  y  Bài I.01 Giải hệ phương trình  2 x  y  3 x  y  11 Bài I.02 Giải hệ phương trình:  x  y   x  y  3 Bài I.03 Giải hệ phương trình:  x  y  x  3y  Bài I.04 Giải hệ phương trình:  3 x  y  1 2 x  y  Bài I.05 Giải hệ phương trình sau:  x  y  2 x  y  3 Bài I.0.6 Giải hệ phương trình sau:  3 x  y  x  y  Bài I.07 Giải hệ phương trình sau:  3 x  y   x  y  26 Bài I.08 Giải hệ phương trình sau:  5 x  y  16 3 x  y  11 Bài I.09 Giải hệ phương trình sau:  x  y  Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 2 x  y  Bài I.10 Giải hệ phương trình sau:  4 x  y  x  y  Bài I.11 Giải hệ phương trình:   x  y  1 2 x  y  Bài I.12 Giải hệ phương trình:  x  y  3 x  y  Bài I.13 Giải hệ phương trình:  5 x  y  23 3( x  1)  2( x  y )  Bài I.14 Giải hệ phương trình  4( x  1)  ( x  y )  2  y 3  x Bài I.15 Giải hệ phương trình:  1  2y   x 1  x  y   Bài I.16 Giải hệ phương trình:   2 x    y  3x  x 1   Bài I.17 Giải hệ phương trình   2x   x  4 y2 5 y2  x y   Bài I.18 Giải hệ phương trình:     x  y 5 y 1  1 y 1 4 x  y  Bài I.19 Không dùng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình:  x  y   x2   x 1 y    Bài I.20 Giải hệ phương trình    3  x  y  Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 C PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải hệ phương trình sau:  x  y  10   x  y  16 3x  y   2 x  y  12 2 x  y   2 x  y   2 x  y    x  y  10 2 x  y  5  x  y  x  y   2 x  y  3x  y  18  x  y  5 x  y  7  3x  y  8 3 x  y    9 x  y   4 x  y  6 10  2 x  y  16   x  y  3 11  3 x  y  10 2 x  y  12  4 x  y   x  y  13  x  y  x  y  14  2 x  y  18 2 x  y  15   x  y   x  y  5 16  3x  y  5   x  y  3 17  x  y   x  y  2( x  1) 18  7 x  y  x  y  3 x  y  12 19  4 x  y  x  y  20   x  y  5 2 x  y   ( x  y ) 21  6 x  y  y  10 2 x  y  10 22  5 x  y  2 x  y  23  x  y  3 x  y  2 24   x  y  2 x  y  25  2 x  y  1 5 x  y  10 26  5 x  y   x  y  27  x  y  3x  y  28  4 x  y  12 x  y  29  3x  y   x  y  10 30   x  y  1 2 x  y  3 x  20 31  4 x  y  x  y  12 3 x  y  32  6 x  y  2 x  y  2 33  3x  y  3 5 x  y  34  10 x  y  3 x  y   x 35  5( x  y )  3 x  y  2 x  y  36  4 x  y  12 2 x  y  37  3 x  y  3 x  y  38  2 x  y  2 x  y  39   x  y  5 2 x  y  40  4 x  10 y   x  y  2 41  2 x  y  2 x  y  42  3 x  y  15  x  y  5 43  3x  y  2 x  y  44  x  y  3 x  y  45  5 x  y  12 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 x  y  x  y  3x  y  12 46  4 x  y  1  x  y  4( x  1) 47  5 x  y  ( x  y )  48  x  3y   3 x  y  1 2 x  y  50  4 x  y   x  y  3 51  x  y  3 x  y  52   x  y  17  x  y  13 53  3 x  y  x  y  54   x  y  1 2 x  y  55  x  y   x  y  10  56   x  y  3 x  y  57  5 x  y  23 x  y  58  x  y  2 x  y  59  3 x  y  2 x  y  60  3 x  y  3 x  y  61  6 x  y  x  y  62   x  y  21 4 x  y  63  3 x  y  9 3( x  1)  2( x  y )  64  4( x  1)  ( x  y )  2 x  y  65  3 x  y  3 x  y  66  7 x  y  23 x  3y  67  2 x  y  2 x  y  68  3 x  y  x  y  69  3 x  y  4 x  y  70  2 x  y  x  y  71  3 x  y  x  y  72  2 x  y  x  y  73  2 x  y  x  y  74  3 x  y  2 x  y  75  x  y  x  y  76  2 x  y  2 x  y  77  x  y  3 x  y  78  x  y   x  y  xy  79   x  y  xy  2 x  y  80  3 x  y  12  x  y  11 81  4 x  y  2  y 3  x 82  1  2y   x x2  x 1  y    83    3  x  y   x  y  2014  84  x y     x  | y | 85  4 x  y  2 x  y  86  3 x  y  3 x  y  87  x  y  Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang “Hệ phương trình” Ủng hộ word liên hệ 0986 915 960 x  y  88  x  y  2 x  y  2014 89   x  y  2015 x  y  90  x  y  ( x  3)( y  2)   xy 91  ( x  1)( y  1)  xy  2 x  y  92   x  y  1  x  y  1 93  3 x  y  3 x  y  94  4 x  y  2 x  y    95  x y    2 x  y  96  3 x  y  2 x  y  4 97  x  3y  2 x  y  98  x  y  2 x  y  3 99  3 x  y  x  y  100  3 x  y  3 x  y  101  2 x  y  3 x  y  102  x  y  3 x  y  21 103  2 x  y  3 x  y  104  x  3y   x  y  xy  105   x  y  xy  3 x  y  106  4 x  y  3 x  y  21 107  2 x  y  3 x  y  108  x  3y  1 x  y 1  109  2    x y  x  y  x  y   110    1  x  y x  y 1 x  y    111  3  1  x y   x 1   112     x  1 y 1 y   x  y  x  y  1,1  113     0,1  x  y x  y  x x  y  x  y  114    2x    x  y x  y  x   y 1   115    1  x  y  y  2x x 1  y 1   116   x  y  1  x  y  117  x   y 1   118    1  x  y  1 x  y   119  1    x y 15 x x  y  y  12   120   x  x 2  y  12 y Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960  3  x  y  x  y  2     10   x  y x  y Trang 10 ... PHỤ 20 A MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 20 Dạng 1: Giải biện luận hệ phương trình theo tham số m 20 Dạng 2: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm  x; y  thỏa điều kiện cho... 64 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HẰNG ĐẲNG THỨC: 72 KHI TRONG HỆ CĨ CHỨA PHƯƠNG TRÌNH BẬC THEO ẨN x, HOẶC y 75 PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 79 MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN PHẦN HỆ PHƯƠNG... phương trình : { 2