CHỦ ĐỀ 6: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ Phương trình vơ tỷ bản: �g ( x) �0 f ( x )  g ( x) � � �f ( x)  g ( x) Ví dụ 1: Giải phương trình: a) x  x   x  b) 2x 1  x  4x  Lời giải: a) Phương trình tương đương với: x  2 b) Điều kiện: x �0 Bình phương vế ta được: �x �8 3x   2 x  x  x  � 2 x  x  x  � � 4(2 x  x)  ( x  8)2 � x4 � �x �8 �� �� 16 Đối chiếu với điều kiện ta thấy có x  � x x  12 x  64  � � nghiệm phương trình Ví dụ 2: Giải phương trình: II MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ THƯỜNG GẶP Giải phương trình vơ tỷ phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp: Dấu hiệu: + Khi ta gặp tốn giải phương trình dạng: n f ( x )  m g ( x )  h( x )  Mà đưa ẩn, đưa ẩn tạo phương trình bậc cao dẫn đến việc phân tích giải trực tiếp khó khăn + Nhẩm nghiệm phương trình đó: thủ cơng ( sử dụng máy tính cầm tay) Phương pháp:  Đặt điều kiện chặt phương trình ( có) Ví dụ: Đối phương trình: x2    x2   x + Nếu bình thường nhìn vào phương trình ta thấy: CHỦ ĐỀ 7: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH I HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1: a) Một hệ phương trình ẩn x, y gọi hệ phương trình đối xứng loại phương trình ta đổi vai trò x, y cho phương trình khơng đổi b) Tính chất Nếu  x0 , y0  nghiệm hệ  y0 , x0  nghiệm �S  x  y điều kiện S �4 P quy hệ phương trình ẩn S , P �P  x y c) Cách giải: Đặt � Chú ý: Trong số hệ phương trình đơi tính đối xứng thể phương trình Ta cần dựa vào phương trình để tìm quan hệ S , P từ suy qua hệ x, y Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: �x  y  xy  a) �3 �x  y   �2  x  y   � c) � 3 � �x y 6 x y  xy  3 � �x  y  19 b) �  x  y    xy   � � �x  y  xy  d) � � x 1  y 1  Giải: �S  x  y điều kiện S �4 P hệ phương trình cho trở thành: P  x y � a) Đặt � � 2S �P  S  P  � � � �� �  3S � �S  S  3P   �S � S2  � � � � �� � 2S  3S  6S  16  �  S    S  S    � S  � P  Suy x, y hai nghiệm phương trình: X  X  � X  0, X  �x  �x  �� � �y  �y  Chủ đề 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Để giải phương trình bậc lớn Ta thường biến đổi phương trình dạng đặc biệt là: Phương pháp đưa dạng tích: Tức biến đổi phương trình: � �f  x   F  x   � f  x  g  x   � � �g  x   Đưa phương trình tích ta thường dùng cách sau: Cách 1: Sử dụng đẳng thức đưa dạng: a  b2  0, a3  b3  0, Cách 2: Nhẩm nghiệm chia đa thức: Nếu x  a nghiệm phương trình f  x   ta ln có phân tích: f  x    x  a  g  x  Để dự đoán nghiệm ta dựa vào ý sau: Chú ý: Cách 3: Sử dụng phương pháp hệ số bất định Ta thường áp dụng cho phương trình bậc bốn Đặc biệt phương trình bậc 4: Ta sử dụng cách xử lý sau:  Phương trình dạng: x  ax  bx  c Phương pháp: Ta thêm bớt vào vế lượng: 2mx  m phương trình trở thành: ( x  m)2  (2m  a) x  bx  c  m2 Ta mong muốn vế phải có dạng: ( Ax  B) 2m  a  � �� �m 2   b  4(2 m  a )( c  m )  �  Phương trình dạng: x  ax3  bx  cx  d � � a 2 � � Ta tạo vế phải biểu thức bình phương dạng: �x  x  m � Bằng cách khai triển biểu thức: � a �2 �2 a � 2m  �x  amx  m Ta thấy cần thêm vào hai vế �x  x  m � x  ax  � � � � � � lượng: �2m  � a �2 �x  amx  m phương trình trở thành: � Chủ đề - BẤT ĐẲNG THỨC Phần 1: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CƠ SI) Cho số thực khơng âm a, b, c ta có: a  b �2 ab Dấu đẳng thức xảy a  b a  b  c �3 abc Dấu đẳng thức xảy a  b  c Các bất đẳng thức 1, gọi bất đẳng thức Cauchy cho số thực khơng âm (Còn gọi bất đẳng thức Cơ si hay bất đẳng thức AM- GM) Để vận dụng tốt bất đẳng thức Cauchy Ta cần nắm kết sau: 2 1 2 x  y  x y � 1)  � ;  � a b ab a  b2 a b ab 1 3   � � a b c abc a  b2  c 3 3) a  ab  b  (a  b)  (a  b) � (a  b) 4 4) a  ab  b  (a  b)  (a  b)2 � (a  b)2 4 2) a  b  c 5) ab  bc  ca � x  y  z 6) x  y  z � 2 a b c 7) a  b3 � a  b �a  b  c 2 a bc 2 � a  b  � ( a  b)  ( a  b) 4 � a  b4 � 8) 2(a  b ) � a  b  �� � � � � � m m n m n m 9) Với a, b �0 a  b � (a  b ) (*) Thật BĐT cần chứng minh tương đương với (a n  b n )(a m  b m )(a n  b n ) �0 điều hiển nhiên 2 n (**) Tổng quát ta có a n  b n �a  b � �� � �2 � ... sau: �x  y  xy  a) �3 �x  y   �2  x  y   � c) � 3 � �x y 6 x y  xy  3 � �x  y  19 b) �  x  y    xy   � � �x  y  xy  d) � � x 1  y 1  Giải: �S  x  y điều kiện S... a  b  � ( a  b)  ( a  b) 4 � a  b4 � 8) 2(a  b ) � a  b  �� � � � � � m m n m n m 9) Với a, b �0 a  b � (a  b ) (*) Thật BĐT cần chứng minh tương đương với (a n  b n )(a m  b