Hình học vào 10 Hà Nội qua năm 1988-2017 Bài 1:1988 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn P trung điểm cung AB không chứa C D Hai dây PC PD cắt AB E F Các dây AD PC kéo dài cắt I: dây BC PD kéo dài cắt K Chứng minh rằng: a/ Góc CID góc CKD b/ Tứ giác CDFE nội tiếp c/ IK // AB d/ Đường tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiếp xúc với PA A Bài 2: 1989 Cho hình vng ABCD điểm E cạnh BC Tia Ax vng góc với AE cắt cạnh CD kéo dài F Kẻ trung tuyến AI tam giác AEF kéo dài cắt cạnh CD K.Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI G a/ Chứng minh AE = AF b/Chứng minh tứ giác EGFK hình thoi c/ Chứng minh tam giác AKF CAF đồng dạng AF2 = KF.CF d/Giả sử E chuyển động cạnh BC, chứng minh FK = BE + DK chu vi tam giác ECK khơng đổi Bài 3:1990 Cho đường tròn (O), dây AB điểm C ngồi tròn nằm tia AB Từ điểm cung lớn AB kẻ đường kính PQ đường tròn , cắt dây AB D.Tia CP cắt đường tròn điểm thứ hai I.Các dây AB QI cắt K a/ Cm tứ giác PDKI nội tiếp b/ Cm CI.CP = CK.CD c/ Cm IC tia phân giác góc ngồi đỉnh I tam giác AIB d/ Giả sử A,B,C cố định Cmr đường tròn (O)thay đổi qua B đường thẳng QI qua điểm cố định Bài 4:1991 Cho đoạn thẳng AB điểm C nằm A,B Người ta kẻ nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax By vng góc với AB tia Ax lấy điểm I Tia vuông góc với CI C cắt tia By K Đường tròn đường kính IC cắt IK P a/ Cm tứ giác CPKB nội tiếp b/ Cm AI.BK= AC.CB c/ Cm tam giác APB vuông d/ Giả sửA,B,I cố định Hãy xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang vng ABKI lớn Bài 5: 1992 Cho nửa đường tròn đường kính AB K điểm cung AB Trên cung KB lấy M (M ≠ K,B ) Trên tia AM lấy N cho AN = BM Kẻ dây BP//KM Gọi Q giao điểm đường thẳng AP, BM a/ So sánh tam giác AKN BKM b/ Cm tam giác KMN vuông cân c/ Tứ giác ANKP hình gì? Tại sao? d/ Gọi R,S giao điểm thứ QA QB với đường tròn ngoại tiếp tam giác OMP, chứng minh M di động cung KB trung điểm I RS ln nằm đường tròn cố định Bài 6: 1993 Cho đường tròn (O ) ( O ) tiếp xúc A tiếp tuyến chung Ax Một đường thẳng d tiếp xúc với (O ) , ( O ) điểm B,C cắt Ax M.Kẻ đường kính B O D, C O E a/ Cmr M trung điểm BC b/ Cmr tam giác O1MO2 vuông c/ Cmr B,A,E thẳng hàng; C,A,D thẳng hàng d/ Gọi I trung điểm DE Cmr đường tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xúc với đường thẳng BC � Bi 7: 1994 Cho tam gíac ABC cân A, A < 900, mét cung trßn BC n»m tam giác ABC tiếp xúc với AB,AC B C Trên cung BC lấy điểm M hạ đờng vuông góc MI,MH,MK xuống cạnh tơng ứng BC ,CA, BA Gọi P giao điểm MB,IK Q giao điểm MC,IH a) b) c) d) Chứng minh tứ giác BIMK,CIMH nội tiếp đợc Chứng minh tia đối tia MI phân giác cđa gãc HMK Chøng minh tø gi¸c MPIQ néi tiÕp đợc Suy PQ//BC Gọi (O1) đờng tròn qua M,P,K,(O2) đờng tròn qua M,Q,H; N giao điểm thứ hai (O1) (O2) D trung điểm BC Chứng minh M,N,D thẳng hàng Bài 8: 1995 Cho nửa đường tròn đường kính AB điểm C,D thuộc nửa dường tròn cho cung AC < 900 góc COD = 900 Gọi M điểm nửa đường tròn, cho C điểm cung AM Các dây AM BM cắt OC, OD E, F a/ Tứ giác OEMF hình gì? Tại sao? b/ Chứng minh D điểm cung MB c/ Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn M cắt tia OC, OD I K Chứng minh tứ giác OBKM OAIM nội tiếp � Bài :1996 Cho tam giác ABC(AB>AC ; BAC >900) I,K thứ tự trung điểm AB,AC Các đờng tròn đờng kính AB,AC cắt điểm thứ hai D; tia BA cắt đờng tròn (K) điểm thứ hai E, tia CA cắt đờng tròn (I) điểm thứ hai F a) Chứng minh bai điểm B,C,D thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp c) Chứng minh ba đờng thẳng AD,BF,CE đồng quy Gọi H giao điểm thứ hai tia DF với đờng tròn ngoại tiếp tam giác AEF Hãy so sánh độ dài đoạn thẳng DH,DE Bài 10 : 1997 Tốt nghiệp Cho đường tròn (O;r) dây cung AB (ABAB Từ C kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn P,K Gọi I trung điểm AB a) b) c) d) Chứng minh tứ giác CPIK nội tiếp đường tròn Chứng minh tam giác ACP PCB đồng dạng Từ suy ra: CP2 = CB.CA Gọi H trực tâm tam giác CPK Hãy tính PH theo r Giả sử PA// CK, chứng minh tia đối tia BK tia phân giác góc CBP Bài 11: 1997 Cho đờng tròn (O) bán kính R dây BC cố định Gọi A điểm cung nhỏ BC Lấy điểm M cung nhỏ AC,kẻ tia Bx vuông góc với tia MA I cắt tia CM D 1) Chứng minh gúc AMD= gúc ABC MA tia phân giac góc BMD 2) Chứng minh A tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD góc BDC có độ lớn không phụ thuộc vào vị trí điểm M 3) Tia DA cắt tia BC E cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai F, chứng minh AB tiếp tuyến đờng tròn ngoai tiếp tam giác BEF Chứng minh tích P=AE.AF không đổi M di động Tính P theo bán kính R ABC = Bài 12: 1998 Tốt nghiệp Cho đường tròn (O;R ), dây CD có trung điểm H Trên tia đối tia DC lấy điểm S qua S kẻ tiếp tuyến SA, SB với đường tròn Đường thẳng AB cắt đường thẳng SO; OH E F a/ Chứng minh tứ giác SEHF nội tiếp b/Chứng minh OE.OS = R2 c/ OH.OF = OE.OS d/ Khi S di động tia đối tia DC chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định Bài 13: 1998 Cho đường tròn O bán kính R, dây AB cố định (AB< 2R) điểm M tùy ý cung lớn AB (M khác A,B) Gọi I trung điểm dây AB (O’) đường tròn qua M tiếp xúc với AB A Đường thẳng MI cắt (O), (O’)lần lượt giao điểm thứ hai N,P 1/ Cm IA2 = IP.IM 2/ Cm tứ giác ANBP hình bình hành 2/ Cm IB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác MBP 4/ Cm M di chuyển trọng tâm G tam giác PAB chạy cung tròn cố định Bài 14: 1999 Tốt nghiệp Cho tam gi¸c ABC vuông A,đờng cao AH Đờng tròn đờng kính AH cắt cạnh AB,AC lần lợt E F 1) Chứng minh tứ giác AEHF hình chữ nhật 2) Chứng minh: AE.AB = AF.AC 3) Đờng thẳng qua A vuông góc với EF cắt cạnh BC I Chứng minh I trung điểm BC 4) Chøng minh rằng: nÕu diÖn tÝch tam giac ABC gấp đôi diện tích hình chữ nhật AEHF tam giác ABC vuông cân Bi 15: 2000 Cho đờng tròn (O) điểm A nằm đờng tròn Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB,AC cát tuyến AMN với đờng tròn( B,C,M,N thuộc đờng tròn; AM