ĐỀ TOÁN OLIMPIC 10

8 10 0
  • Loading ...
1/8 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 21/11/2018, 11:34

www.thuvienhoclieu.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI OLYMPIC LỚP 10 CẤP TỈNH Năm học 2017 – 2018 Mơn thi : TỐN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 29/3/2018 Câu (5,0 điểm) a) Giải bất phương trình x   2( x  1)  x 3 x  y  y  x  b) Giải hệ phương trình  2 x  x  16 x  y  y ( x  1)  Câu (4,0 điểm) a) Vẽ đồ thị suy bảng biến thiên hàm số y  x  x | x  1| 2 x b) Cho parabol (P) có phương trình y  ax  bx  c, a  đường thẳng d có phương trình y  2 x  Tìm hệ số a, b, c biết đỉnh A (P) thuộc đường thẳng d , đồng thời (P) cắt đường thẳng d điểm thứ hai B cho AB  OA = OB (O gốc tọa độ) Câu (4,0 điểm) a) Cho ba số thực dương x, y, z Chứng minh: 1   x  y  x  z  x   ( y  z) b) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn abc = Tìm giá trị lớn biểu 1 thức: P    3 3 2a  b  c  a  2b  c  a  b  2a  Câu (3,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M trung điểm đoạn thẳng BC, G trọng tâm tam giác ABM, D(7; 2) điểm nằm đoạn thẳng MC cho GA = GD Biết phương trình đường thẳng AG 3x  y  13  a) Tìm tọa độ điểm A biết hồnh độ nhỏ b) Viết phương trình đường thẳng AB Câu (4,0 điểm) a) Cho góc xOy có số đo   00    1800  Trên tia Ox, Oy lấy điểm A B cho diện tích tam giác OAB khơng đổi S Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn AB theo  S b) Cho tam giác ABC Gọi H trực tâm O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC i) Chứng minh rằng: OH  OA  OB  OC www.thuvienhoclieu.com Page www.thuvienhoclieu.com ii) Đặt BC = a, CA = b, AB = c Tìm hệ thức liên hệ a, b, c cho OH vng góc với trung tuyến vẽ từ đỉnh A tam giác ABC –––––––––––– Hết –––––––––––– Họ tên thí sinh: … ………………………………….; Số báo danh: ……………… www.thuvienhoclieu.com Page www.thuvienhoclieu.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI OLYMPIC LỚP 10 CẤP TỈNH Năm học 2017 – 2018 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Môn thi: TOÁN (Đáp án – Thang điểm gồm trang) Đáp án Điểm Câu Câu a) Giải bất phương trình (5,0 điểm) Điều kiện: x  x   2( x  1)  x + Bpt cho tương đương với x   2( x  1)  x 2,0 0,25 + Bình phương vế thu gọn ta bpt: 0,25 x2  x  x  0,5 x   2 2 x  x  ( x  3) x   x  x    x   1  x  1 x  Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S  1;9 0,25 0,25 0,25 0,25 3 x  y  y  x  (1) b) Giải hệ phương trình  2 x  x  16 x  y  y ( x  1)  (2) Điều kiện: x  y  x3  16 x  y  0,25 + Đặt t  x  y (t  0) , pt (1) trở thành: 3t  t  0,25 t   t  4 so với điều kiện loại t= -4 + Với t  y  x  , thay vào phương trình (2) ta được: x3   x  x  3,0 0,25 0,25 Điều kiện: x  2 Khi đó, ta có: x3   x  x   ( x  2)( x  x  4)  2( x  x  4)  ( x  2) 0,5 x2 x2  2 (vì x  x    x  1   x ) x  2x  x  2x  0,5  + Đặt u  x2 (u  0) , pt trở thành: u   u Giải u = x  2x  www.thuvienhoclieu.com 0,25 Page www.thuvienhoclieu.com x2 + Với u = 1, ta   x  3x   x  2x   x  (thoa)   x  (thoa) x  x  Vậy nghiệm hệ phương trình là:   y  y 1 Câu a) Vẽ đồ thị suy bảng biến thiên hàm số y  x  x | x  1| 2 x (4,0 điểm) 0,25 0,25 0,25 1,5 0,25 2 x  3x x  1 Ta có y   x   x + Vẽ đồ thị hàm số y = 2x2 + 3x với x ≥ -1 ( dạng 0.25 ;phải qua điểm đặc biệt 0.25) + Vẽ đồ thị hàm số y = x với x < - 0,25 + Lập bảng biến thiên ( phải đầy đủ dấu  , chiều biến thiên điểm đặc biết) 0,5 0,5 b) Cho parabol (P) có phương trình y  ax  bx  c, a  đường thẳng d có phương trình y  2 x  Tìm hệ số a, b, c biết đỉnh A (P) thuộc đường 2,5 thẳng d , đồng thời (P) cắt đường thẳng d điểm thứ hai B cho AB  OA = OB (O gốc tọa độ) + Với A  d nên A(m; 2m  2) 0,25 + A đỉnh (P) nên phương trình (P) viết lại : 0,25 y  a( x  m)  2m  (a  0) + Phương trình hồnh độ giao điểm (P) d a ( x  m)  2m   2 x  www.thuvienhoclieu.com 0,25 Page  ( x  m)(ax  am  2)  www.thuvienhoclieu.com 0,25 x  m  x  m  a  0,25   a + Hai giao điểm (P) d A(m; 2m  2), B  m  ; 2m   4  a  2 4 AB           a a  a  (a  0) 0,25 0,25 13 10 26 13 139 x + Với a  2, m  ta có phương trình (P) : y  x  10 50 26 139 Kết luận a  2, b   , c  50 OA  OB  m  (2m  2)  (m  1)  (2m  4)  m  Câu 1 (4,0 a)Cho ba số thực dương x;y;z, chứng minh:   x  y  x  z  điểm) x   ( y  z) +a) Đặt u = x+y+1; v = x + z +1, BĐT cần chứng minh tương đương với: 1   (u  0; v  0) (0.25) uv u v 1 Ta có     u  v   4uv (0.25) uv u v   u  v   (0.25) Vậy BĐT cho (0.5) b)Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn abc = Tìm giá trị lớn biểu thức: 1 P 3   3 2a  b  c  a  2b  c  a  b  2a  11 1 + Áp dụng BĐT:     (u  0, v  0) Ta có uv 4u v 1 1  (0.25)   3  3  3 2a  b  c   a  b  a  c   Tương tự cho hai biểu thức lại 1 0,25 1 0,25 0,25 1,0 1,0 3.0 0,5  Suy ra: P   3  3  3   a  b  a  c  b  c   (0.25) www.thuvienhoclieu.com Page www.thuvienhoclieu.com Mặt khác ta có: (a  b)(a  b)  nên a  b3  ab(a  b) (0.25)  a  b   ab(a  b)  abc  ab(a  b  c ) (0.25) 1  a  b  ab(a  b  c) (0.25) 3  Tương tư: 1.0 1 1 , 3   b  c  bc(a  b  c) a  c  ac(a  b  c) (0.25) Do đó:  1 1 1 1   P            ab  a  b  c)  bc  a  b  c  ca  a  b  c   a  b  c  ab bc ac  1 ( abc = 1) P (c  a  b )  abc Đẳng thức xảy a = b = c = 1 Vậy maxP = 0,5 0,5 0,25 0,25 Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M (3,0 trung điểm đoạn thẳng BC, G trọng tâm tam giác ABM, D(7; 2) điểm điểm) nằm đoạn thẳng MC cho GA = GD Biết phương trình đường thẳng AG 3x  y  13  3.0 a) Tìm tọa độ điểm A biết hồnh độ nhỏ b) Viết phương trình đường thẳng AB B N G M D C A a) + Gọi N trung điểm AB Ta có MN đường trung trực đoạn AB nên GA = GB + Lại có GA = GD, nên G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD (0.25) Vì góc ABD  450 nên AGD  900 , tam giác AGD vng cân G (0.25) + Ta có GD = d(D, AG) = 10 , suy AD = 20 0,25 0,5 0,25 + A  AG nên A( x;3 x  13) ( x  4) AD  20  (7  x)  (11  3x)  20 Giải tìm x = ( x < 4) Suy A(3; 4) b) + NG = 1 AN NM  NA  cos BAG   3 AG 10 www.thuvienhoclieu.com 0,25 0,25 0,25 Page www.thuvienhoclieu.com + Gọi vtpt đường thẳng AB n( a; b) ( a  b  0) Đường thẳng AG có vtpt n '(3; 1) Góc ABG góc đt AB AG nên : 3a  b a  b2 10  10 b     3a  4b  0,5 (0.25) (0.25) + b = 0, chọn a = 1, đt có vtpt n(1;0) qua A(3; 4) có pt : x – = + Tìm G (4; 1) , kiểm tra thấy G D nằm phía đường thẳng nên x – = pt đt AB + 3a = - 4b, chọn a = 4, b = - 3, đt có vtpt n(4; 3) qua A(3; 4) có pt 4x – 3y – 24 = Kiểm tra thấy G D nằm phía khác đường thẳng nên 4x – 3y – 24 = pt đt AB Câu 0 (4,0 a) Cho góc xOy có số đo      180  , tia Ox, Oy lấy điểm) điểm A B cho diên tích tam giác OAB khơng đổi S Tính giá trị nhỏ độ dài đoạn AB theo  S b) Cho tam giác ABC Gọi H trực tâm O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 0,25 0.25 0,25 4,0 i) Chứng minh rằng: OH  OA  OB  OC ii) Đặt BC = a, CA = b, AB = c Tìm hệ thức liên hệ a, b, c cho OH vuông góc với trung tuyến vẽ từ đỉnh A tam giác ABC a) Ta có AB  OA2  OB  2OA.OB.cos   AO  OB   2.OA.OB 1  cos  2S Lại có S  SOAB  OA.OB.sin   OA.OB  sin  4S 1  cos  4S 1  cos  Do ta AB   OA  OB    sin  sin  Suy AB nhỏ OA =OB ( tam giác OAB cân O) 4S 1  cos  ABmin  sin  b) i) Chứng minh rằng: OH  OA  OB  OC 0.25 0.25 0.25 0.25 A O 1,5 H B C M D Gọi AD đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC + Chứng minh tứ giác BHCD hình bình hành www.thuvienhoclieu.com 0,25 Page www.thuvienhoclieu.com Nên HB  HC  HD 0,25 Ta có O trung điểm đoạn AD nên HA  HD  HO Suy HA  HB  HC  HO 0,25 Ta có: OB  OC  2OM  AH ; tương tự OA  OC  BH ; OA  OB  CH 0,25 0,25  OA  OB  OC  OH (đpcm) 0.25 b) Đặt BC = a, CA = b, AB = c Tìm hệ thức liên hệ a, b, c cho OH vng góc với trung tuyến vẽ từ đỉnh A tam giác ABC Gọi M, N, P trung điểm cạnh BC, CA AB OH  AM  OH AM  0,25  (OA  OB  OC ).( AB  AC )   (3OA  AB  AC ).( AB  AC )  0,25  3OA.( AB  AC )  ( AB  AC )  1,5  3OA AB  3OA AC  AB  AB AC  AC   3 AB AP  AC AN  AB  AB AC  AC  3c 3b    c  AB AC  b  2 0,25 0,25 Lại có: a  BC  ( AC  AB)  b2  c  AB AC  AB AC  b  c  a Suy ra: 2a  b  c 0,25 0,25 Ghi chú: Nếu học sinh có cách giải khác Ban Giám khảo thảo luận thống thang điểm cho phù hợp với Hướng dẫn chấm www.thuvienhoclieu.com Page ... www.thuvienhoclieu.com Page www.thuvienhoclieu.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI OLYMPIC LỚP 10 CẤP TỈNH Năm học 2017 – 2 018 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Mơn thi: TỐN (Đáp án – Thang điểm gồm trang) Đáp án Điểm Câu... 2 4 AB           a a  a  (a  0) 0,25 0,25 13 10 26 13 139 x + Với a  2, m  ta có phương trình (P) : y  x  10 50 26 139 Kết luận a  2, b   , c  50 OA  OB  m  (2m... AG) = 10 , suy AD = 20 0,25 0,5 0,25 + A  AG nên A( x;3 x  13) ( x  4) AD  20  (7  x)  (11  3x)  20 Giải tìm x = ( x < 4) Suy A(3; 4) b) + NG = 1 AN NM  NA  cos BAG   3 AG 10 www.thuvienhoclieu.com
- Xem thêm -

Xem thêm: ĐỀ TOÁN OLIMPIC 10, ĐỀ TOÁN OLIMPIC 10

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay